ISM_T11_C08_A - CHAPTER 8 TECHNIQUES OF INTEGRATION 8.1...

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CHAPTER 8 TECHNIQUES OF INTEGRATION 8.1 BASIC INTEGRATION FORMULAS 1. ; 2 u C 2 8x 1 C u8 x 1 du 16x dx '' 16x dx du 8x 1 u ÈÈ # ± # # ”• È È œ± œ Äœ ± œ ± ± 2. ; 2 u C 2 1 3 sin x C u 1 3 sin x du 3 cos x dx 3 cos x dx du 13 s i n x u ± È È œ ± œ ±± 3. 3 sin v cos v dv; 3 u du 3 u C 2(sin v) C us i n v du cos v dv È È œ œ ± œ ± 2 3 $Î# $Î# 4. cot y csc y dy; u ( du) C C u cot y du csc y dy $# $ # ² œ œ² IJ œ ² ± u 44 cot y % % 5. ; ln u ln 10 ln 2 ln 5 x 2 du 16x dx x 0 u 2, x 1 u 10 0 2 1 10 16x dx du 8x 2 u # ± # "! # Ô× ÕØ cd kk œ œÊœ œ ² œ 6. ; du ln u ln 3 ln 1 ln 3 ut a n z du sec z dz z u 1, z u 3 1 1 Î Î 4 1 3 3 3 1 sec z dz tan z u 43 # ÖÙ È œ œ œÊœ œÊœ œ ² œ # " 11 È È 7. ; 2 ln u C 2 ln x 1 C ux du dx 2 du dx 2 du xx 1 x dx x u ˆ‰ È È ± " # È È " œ œ Äœ± œ ± ± 8. ; 2 ln u C 2 ln x 1 C 1 du dx 2 du ' dx dx 2 du 1 x dx x u ²² " # È È È œÄ œ ± œ ² ± œ œ È ¸¸ È 9. cot (3 7x) dx; cot u du ln sin u C ln sin (3 7x) C u37 x du 7 dx ²Ä ² œ ² ± œ ² ² ± k k "" " 77 7 10. csc ( x 1) dx; csc u ln csc u cot u C 1 du dx 1 1 1 œ ± ± œ du ²" ln csc ( x 1) cot ( x 1) C ² ± ² ± " 1 11. e csc e 1 d ; csc u du ln csc u cot u C ln csc e 1 cot e 1 C ue 1 du e d )) ¸ ¸ ˆ‰ˆ‰ ± Ä ± ± œ² ± ± ± ± œ ) ) ) ) 12. dx; cot u du ln sin u C ln sin (3 ln x) C u3l n x du cot (3 ln x) x dx x ± k k œ ± œ ± ±
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494 Chapter 8 Techniques of Integration 13. sec dt; 3 sec u du 3 ln sec u tan u C 3 ln sec tan C u du '' t3 tt 3 33 t dt 3 –— kk ¸¸ œ œ Äœ ± ± œ ± ± 14. x sec x 5 dx; sec u du ln sec u tan u C ux 5 du 2x dx ab k k ”• # # "" ## ²Ä œ ± ± œ² œ ln sec x 5 tan x 5 C ± ² ± " # abab 15. csc (s ) ds; csc u du ln csc u cot u C ln csc (s ) cot (s ) C us du ds ² Ä ± ± œ² ² ± ² ± œ 11 1 1 kkk k 16. csc d ; csc u du ln csc u cot u C ln csc cot C u du " ± )) ) ) ) # # ) œ œ IJ œ ± ±œ ± ± d 17. 2xe dx; e du e e e 2 1 1 ux du 2x dx x 0 u 0, x ln 2 u ln 2 0 0 ln 2 ln 2 uu l n 2 ln 2 0 È x # Ô× ÕØ È cd œ œ œÊœ œ Êœ Ä œ œ ² œ²œ # ! 18. sin (y) e dy; e 1 e u cos y du sin y dy y u 0, y u 1 ' 1 1 Î 2 01 10 u cos y e e œ œÊœ œÊœ ² œ œ œ ²œ 1 # ! ±" ±" ±" 1 19. e sec v dv; e C e C ut a n v du sec v dv tan v u u tan v # # œ œ ± œ ± 20. ; 2e du 2e C 2e C du e d t t dt 2t t È t È È È È œ œ ± œ ± 21. 3 dx; 3 du 3 C C ux1 du dx x1 u u ln 3 ln 3 3 ² " ˆ‰ œ± œ Äœ± œ ± Ð Ñ 22. dx; 2 du C C u ln x du 22 2 xl n l n dx x u ln x u ln x œ œ ± œ ± 23. ; C C uw du 2 d w 2 2 w dw w ln ln È È wu w # # È È È œ œ ± œ ± u 24. 10 d ; 10 du C C u2 du 2 d 2u 10 10 ln 10 ln 10 ) ) ) ) Š‹ œ œ ± œ ± # ) 25. ; 3 tan x C 3 tan 3u C x3 u dx 3 du 9 du 3 dx 19 u 1x ²² ±" ±" œ œ ± œ ± 26. ; 2 tan u C 2 tan (2x 1) C du 2 dx 4 dx 2 du 1 (2x 1) 1 u ² ±" ±" œ ± œ ± ± 27. ; sin u 0 u3 x du 3 dx x 0 u 0, x u 0 0 16 12 Î Î dx du x 1u 6 3 6 1 8 È È ± ± # " ±" "Î# !
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