ISM_T11_C08_B - Chapter 8 Practice Exercises 89-92. Example...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: Chapter 8 Practice Exercises 89-92. Example CAS commands: Mathematica: (functions and domains may vary) Clear[x, f, p] f[x_]:= xp Log[Abs[x]] int = Integrate[f[x], {x, e, 100)] int /. p Ä 2.5 In order to plot the function, a value for p must be selected. p = 3; Plot[f[x], {x, 2.72, 10}] CHAPTER 8 PRACTICE EXERCISES # ' xÈ4x# c 9 dx; ” u œ 4x c 9 • Ä du œ 8x dx " 8 559 1. ' Èu du œ " † 2 u$Î# b C œ 83 " 1# a4x# c 9b $Î# bC 2. # ' 6xÈ3x# b 5 dx; ” u œ 3x b 5 • Ä ' Èu du œ 2 u$Î# b C œ 2 a3x# b 5b$Î# b C 3 3 du œ 6x dx 3. ' x(2x b 1)"Î# dx; ” u œ 2x b 1 • Ä du œ 2 dx #Î$ #Î& " # ' ˆ u c 1 ‰ Èu du œ " Š' u$Î# du c ' u"Î# du‹ œ " ˆ 2 u&Î# c 2 u$Î# ‰ b C 4 45 3 # œ 4. (2x b 1) 10 c (2x b 1) 6 bC (1 c u) Èu ' Èx œ 2 3 1cx dx; ” uœ1cx Ä c' du œ c dx • du œ ' ŠÈu c " Èu ‹ du œ 2 3 u$Î# c 2u"Î# b C (1 c x)$Î# c 2(1 c x)"Î# b C ; b1 ” # 11. &Î$ b ' z#Î$ ˆz&Î$ b 1‰#Î$ dz; ” u œ z5 #Î$ " • Ä du œ z dz 3 # % 10. ' 2t dt t b1 ;” % 9. ;” u œ t# Ä du œ 2t dt • ' u du 1 œ tanc" u b C œ tanc" t# b C b 3 5 ' u#Î$ du œ 3 † 3 u&Î$ b C œ 55 % $ ' Èt dt 9 c 4t % 8. ' 4ybdy ; ” y $ # 7. dy ' 25yb y ;” # 6. 9 c 4x ;” u œ 25 b y# Ä du œ 2y dy • " 4 " # " " ' du œ # ln kuk b C œ # ln a25 b y# b b C u u œ 4 b y% •Ä du œ 4y$ dy " " ' du œ 4 ln kuk b C œ 4 ln a4 b y% b b C u u œ 9 c 4t% " • Ä c 16 ' du œ c16t$ dt du Èu " œ c 16 † 2u"Î# b C œ c È9 c 4t 8 # ' È x dx # 5. ' È x dx 8x u œ 8x# b 1 Ä du œ 16x dx • " 16 du " ' Èu œ 16 † 2u"Î# b C œ È8x8 b 1 b C u œ 9 c 4x# Ä c "' 8 du œ c8x dx • du Èu " œ c 8 † 2u"Î# b C œ c È9 c 4x 4 bC bC 9 #5 ˆz&Î$ b 1‰&Î$ b C 560 12. Chapter 8 Techniques of Integration 5 4 5 ' uc"Î# du œ 5 † 2Èu b C œ # ˆ1 b z%Î& ‰"Î# b C 4 %Î& 1 ' zc"Î& ˆ1 b z%Î& ‰c"Î# dz; ” u œ 4 b zÎ& • Ä c" du œ z dz 5 2) ' (1sincos d))) c 2 15. sin dt ' 3 b 4tcos t ; ” u œ 3 b 4 cos t • du œ c4 sin t dt " Ä c4' 16. 2t ' 1cos sindt ; ” b 2t u œ 1 b sin 2t Ä du œ 2 cos 2t dt • " 2 " " ' du œ 2 ln kuk b C œ 2 ln k1 b sin 2tk b C u 17. ' (sin 2x) ecos 2x dx; ” u œ cos 2x • Ä c " ' eu du œ c " eu b C œ c " ecos 2x b C # # # du œ c2 sin 2x dx u œ sec x ' (sec x tan x) esec x dx; ” Ä ' eu du œ eu b C œ esec x b C du œ sec x tan x dx • 18. 23. ' v dv v ; ” ln 24. dv ' v(2 b ln v) ; ” u œ 2 b ln v • " # # # 28. ' È dx 49cx œ " 7 ' dx É 1 cˆ x ‰ 7 ;” uœ x 7 Ä du œ " dx • 7 # # 27. ' È 2 dx 1 c 4x ;” u œ 2x Ä du œ 2 dx • # # 26. "c ' sin È x dx 1cx ;– u œ sinc" x Ä du œ È dx — 1cx # "c # 25. ' ax b1b adx tan 2b c 21. 2x 1 ln 2 c bC 22. " È2 Š5 5 ‹ b C ln x u œ ln v Ä " du œ v dv • ' du œ ln kuk b C œ ln kln vk b C u Ä du œ v dv ' du œ ln kuk b C œ ln k2 b ln vk b C u ' du œ ln kuk b C œ ln k2 b tanc" xk b C u xb ; ” u œ 2 b tanc" x Ä du œ x dx 1 • b ' u du œ " u# b C œ " asinc" xb# b C # # œ sinc" u b C œ sinc" (2x) b C ' È du 1cu ' È du 1cu œ sinc" u b C œ sinc" ˆ x ‰ b C 7 È ' 2x 1 dx œ ' 5xÈ2 dx œ ) ) ) ) 20. ' e sec# ae b d); ” u œ e • Ä ' sec# u du œ tan u b C œ tan ae b b C du œ e d) ) 2 ) ) ) ) ) 19. ' e sin ae b cos# ae b d); ” u œ cos ˆe) ‰ •Ä du œ c sin ˆe) ‰ † e d) #Î" #Î" 14. ) ' (1 cossin d) b )) ;” u œ 1 b sin ) Ä du œ cos ) d) • ' udu œ 2u"Î# b C œ 2È1 b sin ) b C du u # # 13. ;” u œ 1 c cos 2) Ä du œ # sin 2) d) • " # " ' du œ c 2u b C œ c #(1 c " 2)) b C u cos " " œ c 4 ln kuk b C œ c 4 ln k3 b 4 cos tk b C ' cu# du œ c " u$ b C œ c " cos$ ae b b C 3 3 Chapter 8 Practice Exercises 29. 561 Ê1 c Š 3t ‹ 4 Ê1 c Š 2t ‹ 3 3 41. 42. x ' sin# x dx œ ' 1 c cos 2x dx œ # c sin42x b C # ' cos# 3x dx œ ' " b cos 6x dx œ x b sin 6x b C # # 12 $ 43. ) ) ) ' sin$ # d) œ ' ˆ1 c cos# # ‰ ˆsin # ‰ d); – œ 44. 2 3 cos$ ) # c 2 cos ) # bC u œ cos ) Ä c ' a1 c u# b u# du œ ' au% c u# b du du œ c sin ) d) • ' sin$ ) cos# ) d) œ ' a1 c cos# )b (sin )) acos# )b d); ” $ & $ & œ u 5 c u 3 bCœ cos ) 5 c cos ) 3 bC # # 40. ' dv (v b 1)Èv b 2v œ' d(v b 1) (v b 1)È(v b 1) c 1 # # 39. ' dx (x c 1)Èx c 2x œ' # # 38. b ' t b dt b 5 œ ' (t d(t2) 2) 1 œ tanc" (t b 2) b C 4t b b d(xc1) (x c 1)È(x c 1) c 1 # # 37. c " ' y cdy b 8 œ ' (yd(y2) 2) 4 œ # tanc" ˆ y c 2 ‰ b C c b # 4y # # 36. 'È dx 4xcx c3 œ' d(xc2) È1c(xc2) # # 35. ' È dx 4x c x œ' d(x c 2) È4 c (x c 2) # # 34. ' 6 dx xÈ4x c 9 œ 3' dx xÉ x c 9 4 # # 33. ' 4 dx 5xÈ25x c 16 œ 4 25 ' dx xÉx c 16 25 œ " 5 secc" ¸ 5x ¸ b C 4 œ 2 secc" ¸ 2x ¸ b C 3 œ sinc" ˆ x c 2 ‰ b C # œ sinc" (x c 2) b C # # 32. ' 1 bdt 25t ;” u œ 5t Ä du œ 5 dt • " 5 du ' 1bu œ " 5 tanc" u b C œ œ secc" kx c 1k b C œ secc" kv b 1k b C ) u œ cos # Ä c2 ' a1 c u# b du œ ) du œ c " sin # d) — # # # # 31. dt ' 9bt œ " 9 ' dt 1bˆt‰ ;– uœ du œ " 3 " 3 t Ä dt — " 3 du ' 1bu œ " 3 tanc" u b C œ # # # 30. ' È dt 9 c 4t œ " 3 ' dt ;– uœ du œ 2 3 2 3 t Ä dt — " 2 ' È du 1cu # # # 'È dt 16 c 9t œ " 4 ' dt ;– uœ du œ 3 4 3 4 t Ä dt — " 3 ' È du 1cu œ " 3 sinc" u b C œ " 3 sinc" ˆ 3t ‰ b C 4 œ " 2 sinc" u b C œ " 2 sinc" ˆ 2t ‰ b C 3 " 3 t tanc" ˆ 3 ‰ b C " 5 tanc" (5t) b C 2u 3 c 2u b C 562 45. Chapter 8 Techniques of Integration (tan 2t) asec# 2t c 1b dt œ ' tan 2t sec# 2t dt c ' tan 2t dt; ” ln ksec 2tk b C u œ tan t Ä 6 ' au# b 1b du œ 2u$ b 6u b C du œ sec# t dt • u œ 2t du œ 2 dt • ' tan$ 2t dt œ ' Ä œ " 4 " # tan# 2t c " " " " ' tan u sec# u du c " ' tan u du œ 4 tan# u b # ln kcos uk b C œ 4 tan# 2t b # ln kcos 2tk b C # " # 46. ' 6 sec% t dt œ 6' atan# t b 1b asec# tb dt; ” œ 2 tan$ t b 6 tan t b C dx ' 2 sin dxcos x œ ' sin 2x œ ' x dx 2 ' cos 2 csin x œ ' cosdx ; ” x 2x # # 47. csc 2x dx œ c " ln kcsc 2x b cot 2xk b C # 48. u œ 2x Ä du œ 2 dx • ' du cos u œ ' sec u du œ ln ksec u b tan uk b C œ ln ksec 2x b tan 2xk b C 49. Î1 Î1 Î1 Î1 50. ' 3 4 4 Ècot# t b 1 dt œ ' 3 4 4 csc t dt œ cc ln kcsc t b cot tkd 3 44 œ c ln ¸csc 341 b cot 341 ¸ b ln ¸csc 1 b cot 1 ¸ 4 4 œ c ln ¹È2 c 1¹ b ln ¹È2 b 1¹ œ ln ¹ È2 b " ¹ œ ln » 2c1 È ŠÈ2 b "‹ ŠÈ2 b 1‹ #c1 Î1 Î1 Î1 Î1 Î1 Î1 œ c ˆc " c " ‰ b < " c ˆc " ‰‘ œ 2 # # # # 52. 1 1 1 1 œ (2 c 0) c (0 c 2) œ 4 53. Î1 Î1 Î1 54. 57. 58. 59. b ' 4x c 13 dx œ ' <(2x b 1) b #x 4c 1 ‘ dx œ x b x# b 2 ln k2x c 1k b C 2x 8 ' 2xcdx œ ' ˆ2 b x c 4 ‰ dx œ 2x b 8 ln kx c 4k b C x4 c1 ' 2y b 4 dy œ ' y # # # 2y dy y b4 # c' dy y b4 œ ln ay# b 4b c # # # 56. " # y tanc" ˆ # ‰ b C # # ' 9xbdx x $ 9 œ ' ’ x ax xbbb9c 9x “ dx œ ' ˆx c # # 55. dx dx x ' xx b 4 œ x c ' x4 b 4 œ x c 2 tanc" ˆ # ‰ b C # Î1$ 1 œ cÈ2 csin td 2 b È2 csin td #1Î# œ cÈ2 (c1 c 0) b È2 [0 c (c1)] œ 2È2 $1 9x ‰ x b9 dx œ x # c 9 # ln a9 b x# b b C Î1 1 Î1 ' 2 È1 b cos 2t dt œ È2 ' 2 kcos tk dt œ cÈ2 ' 3 1 1 1 1 1 Î1c 2 2 2 cos t dt b È2 '3 2 cos t dt 2 Î1 Î1c ' 2 È1 c cos 2t dt œ È2 ' 2 ksin tk dt œ 2È2 '0 sin t dt œ ’c2È2 cos t“ 2 2 0 œ 2È2 [0 c (c1)] œ 2È2 1# 1 '02 È1 c sin# x dx œ '02 ¸cos x ¸ dx œ '0 cos x dx c ' 2 cos x dx œ <2 sin x ‘ 0 c <2 sin x ‘ # # # # # # 1 1 Î1 51. 2 1 Î1 Î1 sin 2x dx c 1 Î1 '0 È1 c cos# 2x dx œ '0 ksin 2xk dx œ '0 1 1 Î1 Î1 ' 2 4 Ècsc# y c 1 dy œ ' 2 4 cot y dy œ cln ksin ykd 2 4 œ ln 1 c ln " È2 œ ln È2 » œ ln Š3 b 2 È2‹ 2 ' sin 2x dx œ c < cos 2x ‘ 0 b < cos 2x ‘ # # 2 2 Chapter 8 Practice Exercises # # # 563 60. 61. dy " ' yy b 41 dy œ ' yy b 1 b 4 ' y dy 1 œ # ln ay# b 1b b 4 tanc" y b C b b 65. ' sec (5 c 3x) dx; ” y œ 5 c 3x • dy œ c3 dx Ä " ' sec y † Šc dy ‹ œ c " ' sec y dy œ c 3 ln ksec y b tan yk b C 3 3 œ c " ln ksec (5 c 3x) b tan (5 c 3x)k b C 3 66. 67. 68. ' x csc ax# b 3b dx œ " ' csc ax# b 3b d ax# b 3b œ c " ln kcsc ax# b 3b b cot ax# b 3bk b C # # ' cot ˆ x ‰ dx œ 4 ' cot ˆ x ‰ d ˆ x ‰ œ 4 ln ¸sin ˆ x ‰¸ b C 4 4 4 4 ' tan (2x c 7) dx œ " ' tan (2x c 7) d(2x c 7) œ c " ln kcos (2x c 7)k b C œ " ln ksec (2x c 7)k b C # # # ' xÈ1 c x dx; ” u œ 1 c x • du œ c dx œ 2 5 69. Ä c ' (1 c u)Èu du œ ' ˆu$Î# c u"Î# ‰ du œ c & $ (1 c x)&Î# c 2 (1 c x)$Î# b C œ c2 – 3 ŠÈ1 c x‹ 3 ŠÈ1 c x‹ 5 70. ' 3xÈ2x b 1 dx; ” u œ 2x b 1 • du œ 2 dx œ 3 10 Ä ' 3 ˆ u c 1 ‰ Èu † " du œ 3 ' ˆu$Î# c u"Î# ‰ du œ 3 † 2 u&Î# c 3 † 2 u$Î# b C # # 4 45 43 c $ & (2x b 1)&Î# c " (2x b 1)$Î# b C œ # z œ tan ) Ä dz œ sec# ) d) • b " # 3c2 3c1 3 ˆÈ2x b 1‰ 10 ˆÈ2x b 1‰ # 71. ' Èz# b 1 dz; ” œ œ sec ) tan ) 3c1 sin ) 2 cos ) # ' Ètan# ) b 1 † sec# ) d) œ ' sec$ ) d) (FORMULA 92) zÈ z b 1 # # ' sec ) d) b ln ksec ) b tan )k b C œ z œ 4 tan ) Ä dz œ 4 sec# ) d) • b " # #Î" # œ z 16 a16 b z b bC # $ 72. # ' a16 b z# bc$Î# dz; ” 4 " " ' 64sec ))dd)) œ 16 ' cos ) d) œ 16 sin ) b C œ sec # # 64. x dx cos dx ' cotcotb csc x œ ' cos xxb 1 œ ' (cos1x)(1 c cos x) dx œ ' cos x c 1 b sin x dx x c cos x sin x x) " dx ' d(sin x c ' sin x b ' dx œ c sin x b cot x b x b C œ x b cot x c csc x b C œ sin # # # # # 63. c x dx sin dx ' tantanb sec x œ ' sin xxb 1 œ ' (sin1x)(1sin sin x) dx œ ' sin x c 1 bxcos x dx x c x cos x) " dx ' d(cos x c ' cos x b ' dx œ cos x c tan x b x b C œ x c tan x b sec x b C œc cos # # # # # 62. t 1ct # b ' 2t ÈÈ1 c t # dt œ ' 2t dt È1 c t b' dt t œ c2È1 c t# b ln ktk b C # # # ' Èt b 2 4ct dt œ ' t dt È4 c t b 2' dt È4 c t t œ cÈ4 c t# b 2 sinc" ˆ # ‰ b C 2 5 u&Î# c 2 u$Î# b C 3 —bC bC ln ¹z b È1 b z# ¹ b C z 16È16 b z bC 564 73. Chapter 8 Techniques of Integration y É 1 bˆ 5 ‰ 1 b tan ) # œ ln ¸y b È25 b y# ¸ b C 74. Ê1 b Š 3y 5‹ Ä 75. " 3 ln ¸È25 b 9y# b 3y¸ b C ;” # 78. ' È4 c x# dx; ” x œ 2 sin ) Ä dx œ 2 cos ) d) • ' 2 cos ) † 2 cos ) d) œ 2 ' (1 b cos 2)) d) œ 2 ˆ) b " sin 2)‰ b C # # œ 2) b 2 sin ) cos ) b C œ 2 sinc" ˆ x ‰ b xÉ1 c ˆ x ‰ b C œ 2 sinc" ˆ x ‰ b # # # 79. 12 œ c 12 b C œ c sin ) b C œ c È12 x b C u x c1 # 81. ' Èww c 1 dw; ” # w œ sec ) tan Ä ' ˆ sec ) ‰ † sec ) tan ) d) œ ' tan# ) d) œ ' asec# ) c 1b d) ) dw œ sec ) tan ) d) • œ tan ) c ) b C œ Èw# c 1 c secc" w b C z œ 4 sec ) Ä dz œ 4 sec ) tan ) d) • sec ' 4 tan )†44sec )) tan ) d) œ 4 ' 82. ' Èz zc 16 dz; ” # tan# ) d) œ 4(tan ) c )) b C z œ Èz# c 16 c 4 secc" ˆ 4 ‰ b C 83. u œ ln (x b 1), du œ x ' ln (x b 1) dx œ x ln (x b 1) c ' x b 1 dx œ x ln (x b 1) c ' dx b ' x dx 1 œ x ln (x b 1) c x b ln (x b 1) b C" b dx xb1 ; dv œ dx, v œ x; œ (x b 1) ln (x b 1) c x b C" œ (x b 1) ln (x b 1) c (x b 1) b C, where C œ C" b 1 # # $ #Î$ # 80. ' 12 dx ax c 1 b ;” x œ sec ) Ä dx œ sec ) tan ) d) • ) cos ' 12 sectan tan ) d) œ ' 12 sin ) d) ; ” ) ) # œ ln ksec ) b tan )k b C" œ ln º x b Ɉ x ‰ c 1º b C" œ ln ¹ x b 3 3 # # ' È dx # x c9 ;” x œ 3 sec ) Ä' dx œ 3 sec ) tan ) d) • # "c œ " # )c # 77. ;” " # sin ) cos ) œ sin x # c xÈ 1 c x # # # ' Èx dx 1cx x œ sin ) Ä dx œ cos ) d) • # # Note: Ans ´ cx È 1 c x 3 c 2 È1 c x# b C by another method 3 cos " ' sin )cos ) ) d) œ ' sin# ) d) œ ' 1 c cos 2) d) œ " ) c 4 sin 2) b C # # bC 3 sec ) tan ) d) È9 sec ) c 9 $ cu œ cos )d Ä c ' a1 c u# b du œ cu b # 76. ;” $ $ ' Èx dx 1cx x œ sin ) Ä dx œ cos ) d) • cos ' sin )cos ) ) d) œ ' sin$ ) d) œ ' a1 c cos# )b (sin )) d); u 3 # # # ' dx x È1 c x x œ sin ) Ä dx œ cos ) d) • cos d ' sin ))cos) ) œ ' csc# ) d) œ c cot ) b C œ c1x c x # # # ' È25dy 9y b œ " 5 ' dy œ " 3 ' È du 1bu œ " 3 ln ¹È1 b u# b u¹ b C" from Exercise 73 bC b C œ c cos ) b " 3 cos$ ) œ cÈ1 c x# b " a1 c x# b 3 # xÈ 4 c x 2 bC œ' 3 sec ) tan ) d) 3 tan ) œ ' sec ) d) b C" œ ln ¹x b Èx# c 9¹ b C u œ sin ) Ä du œ cos ) d) • Èx c 9 ¹ 3 ' 12u du # œ ln ksec ) b tan )k b C" œ ln ¹È1 b u# b u¹ b C" œ ln ºÉ1 b ˆ y ‰ b y º b C" œ ln ¹ 5 5 # # # # # dy ' È25 b y œ " 5 ' dy œ' du È1 b u u œ tan ) , <u œ y ‘ ; ” Ä 5 du œ sec# ) d) • ' Èsec ) d) œ ' sec ) d) È25 b y b y ¹ 5 b C" $Î# bC Chapter 8 Practice Exercises 84. u œ ln x, du œ " " " ' x# ln x dx œ 3 x$ ln x c ' 3 x$ ˆ x ‰ dx œ x3 3 dx 1 b 9x dx x 565 ; dv œ x# dx, v œ " 3 x$ ; $ ln x c x 9 bC œ x tanc" (3x) c " 6 ln a1 b 9x# b b C c dx È4 c x œ x cosc" ˆ x ‰ c È4 c x# b C œ x cosc" ˆ x ‰ c 2É1 c ˆ x ‰ b C # # # 87. ex ÐbÑ (x b 1)# ïïïïî ex ÐcÑ 2(x b 1) ïïïïî ex ÐbÑ 2 ïïïïî ex 0 88. ÐbÑ x# ïïïïî ÐcÑ 2x ïïïïî ÐbÑ 2 ïïïïî 0 sin (1 c x) cos (1 c x) c sin (1 c x) c cos (1 c x) Ê Ê ' (x b 1)# ex dx œ c(x b 1)# c 2(x b 1) b 2d ex b C ' x# sin (1 c x) dx œ x# cos (1 c x) b 2x sin (1 c x) c 2 cos (1 c x) b C 89. u œ cos 2x, du œ c2 sin 2x dx; dv œ ex dx, v œ ex ; I œ ' ex cos 2x dx œ ex cos 2x b 2 ' ex sin 2x dx; u œ sin 2x, du œ 2 cos 2x dx; dv œ ex dx, v œ ex ; I œ ex cos 2x b 2 ’ex sin 2x c 2 ' ex cos 2x dx“ œ ex cos 2x b 2ex sin 2x c 4I Ê I œ c c 90. u œ sin 3x, du œ 3 cos 3x dx; dv œ e c c 2x # 92. x dx 3 3 " " ' x b 4x b 3 œ # ' xdx3 c # ' x dx 1 œ # ln kx b 3k c # ln kx b 1k b C b b # 91. x dx dx ' x c 3x b 2 œ ' x2c 2 c ' x dx 1 œ 2 ln kx c 2k c ln kx c 1k b C c c c c c Ê Iœ 4 13 ˆc " e # 2x sin 3x c 3 e 4 2x 2 cos 3x‰ b C œ c 13 e 2x sin 3x c 3 13 e 2x cos 3x b C c c c c c Iœc"e # 2x sin 3x b 3 ’c " e # # 2x cos 3x c 3 # 'e 2x sin 3x dx“ œ c " e # c c u œ cos 3x, du œ c3 sin 3x dx; dv œ e 2x dx, v œ c " e # c Iœ'e dx, v œ c " e # 3 2 2x sin 3x dx œ c e " # 2x sin 3x b # ' cosc" ˆ x ‰ dx œ x cosc" ˆ x ‰ b ' Èx dx # # # 86. u œ cosc" ˆ x ‰ , du œ # ; dv œ dx, v œ x; 4 cx # dx ' tanc" 3x dx œ x tanc" 3x c ' 13x 9x b # 85. u œ tanc" 3x, du œ ; dv œ dx, v œ x; ;” y œ 1 b 9x# Ä x tanc" 3x c dy œ 18x dx • " 6 ;” 'e $ ' dy y y œ 4 c x# Ä x cosc" ˆ x ‰ c # dy œ c2x dx • # " # dy ' Èy ex cos 2x 5 b 2ex sin 2x 5 bC 2x ; 2x cos 3x dx; 2x ; 2x sin 3x c 3 e 4 2x cos 3x c 9 I 4 566 93. Chapter 8 Techniques of Integration # œ 96. 97. 98. 99. " 3 b c ln ¸ cos ) c 2 ¸ b C œ c " ln ¸ cos ) b 1 ¸ b C cos ) 1 3 cos ) 2 dx x ' x4xbdx œ ' x4 b 4 œ 2 tanc" ˆ # ‰ b C 4x 3) dv " ' (v bc 8v œ # ' 2v ' & # $ 3 Šc 4v b 5 8(v c 2) œ " 16 ln ¹ (v c 2)v (v b 2) ¹ b C dv vc2 œ b " 3 ln kx c 2k b C œ " 3 ln ¹ È x b 1 c " ¹ b C xb1b1 È # 107. ' dx x ˆ3 È x b 1 ‰ Ô u œ Èx b 1 × ; Ö du œ 2Èdxb 1 Ù Ä x Õ dx œ 2u du Ø 2 3 " " " " ' au ucdub u œ 3 ' u du 1 c 3 ' u du 1 œ 3 ln ku c 1k c 3 ln ku b 1k b C 1 c b # # 106. # $ ' 2x b x c 21x b 24 dx œ x b 2x c 8 2 # x c 3x b 3 ln kx b 4k # œ x # c 9 # ln kx b 3k b 3 # ln kx b 1k b C <(2x c 3) b x ‘ x b 2x c 8 ' # # 105. ' x xbb 4x 3 dx œ ' ˆx c x b3x b 3 ‰ dx œ ' 4x b 4x # $ $ $ 104. ' x b 1 dx œ ' ˆ1 b xx b "x ‰ dx œ ' ’1 b x(x "c 1) “ dx œ ' dx b ' x dx 1 c ' dx œ x x cx c c x $ # œ x # b 4 3 ln kx b 2k b 2 3 ln kx c 1k b C b ln kx c 1k c ln kxk b C # # 103. 2 4 ' x xbb x 2 dx œ ' ˆx b x b2x c 2 ‰ dx œ ' x dx b 3 ' x dx 1 b 3 ' x dx 2 xc x c b # $ # # # % 102. dt dt " " " ' t ct tdtc 2 œ " ' t t c 2 c 3 ' t t b 1 œ 6 ln kt# c 2k c 6 ln at# b 1b b C 3 # # # % 101. dt " " ' t b 4t b 3 œ " ' t dt 1 c # ' t dt 3 œ # tanc" t c # b b " #È 3 t tanc" Š È3 ‹ b C œ x dx b 3 # 9 ' x dx 1 c # ' xdx3 b b dx œ ' (2x c 3) dx b # 100. dv ' (v c (3v cc7) dv c 3) œ ' (c2) 1 b ' 1)(v 2)(v vc # 4x ' 3x xb b xb 4 dx œ ' $ # 4 x dx c ' xc4 x b1 b # cos ) d ' sin ) b sin )) c 6 ; csin ) œ xd # Ä ' dx x bxc6 dx œ 4 ln kxk c " 8(v b #) ‹ # # 95. ' cos )sin ) d)) c 2 ; ccos ) œ yd b cos Ä c' # $ # 94. b1 2 ' x x(xc1) dx œ ' ˆ xc1 c 2 c x" ‰ dx œ 2 ln ¸ xc" ¸ b " b C œ c2 ln kxk b " b 2 ln kx c 1k b C x x x x # ' x(xdx 1) b œ ' Š" c x 1 xb1 b c1 (x b 1) ‹ dx œ ln kxk c ln kx b 1k b " xb1 bC dy y byc2 œc"' 3 dy yc1 b " 3 yb2 " ' y dy# œ 3 ln ¹ y c 1 ¹ b C b œ " 5 " " c ' xdx 2 c 5 ' xdx 3 œ 5 ln ¸ sin ) b 2 ¸ b C sin ) 3 c b " # ln ax# b 1b b 4 tanc" x b C dv œ c 3 ln kvk b 8 5 16 ln kv c 2k b " 16 ln kv b 2k b C b' dv vc3 œ ln ¹ (v c 2)(v c 3) ¹ b C (v c 1) " # tanc" t c È3 6 tanc" t È3 bC " 3 2 ' x dx# b 3 ' x dx 4 c b Chapter 8 Practice Exercises 3u du u (1 b u) # $ 567 s Õ ds œ du ub1 Ø s œ ln È es b 1 c " ¹ È es b 1 b 1 ¹ u c1 # bC d a16 c y b È16 c y # # œ c " ln k 4 c x # k b C # 114. (a) (b) # 4t c1 # œ 117. " 9 ln kxk c œ " 6 119. 120. ' sin3 x cos4 x dx œ ' cos4 xa1 c cos2 xbsin x dx œ ' cos4 x sin x dx c ' cos6 x sin x dx œ c cos x b cos x b C 5 7 5 7 ' cos5 x sin5 x dx œ ' sin5 x cos4 x cos x dx œ ' sin5 x a1 c sin2 xb2 cos x dx œ ' sin5 x cos x dx c 2' sin7 x cos x dx b ' sin9 x cos x dx œ sin x c 2sin x b sin x b C 6 8 10 6 8 10 # 118. ' È dx 9cx # dx ' 9cx # 116. " " " " " " ' x a9dx x b œ 9 ' dx b 18 ' 3 dx x c 18 ' 3 dx x œ 9 ln kxk c 18 ln k3 c xk c 18 ln k3 b xk b C c x c b " 18 ln k9 c x# k b C " " " " xb3 ' 3 dx x b 6 ' 3dxx œ c 6 ln k3 c xk b 6 ln k3 b xk b C œ 6 ln ¸ x c 3 ¸ b C c b ;” x œ 3 sin ) Ä dx œ 3 cos ) d) • x ' 3 cos ) d) œ ' d) œ ) b C œ sinc" 3 b C 3 cos ) # # 115. ' 9xcdx x ;” u œ 9 c x# " Ä c#' du œ c2x dx • du u " œ c # ln kuk b C œ ln " Èu b C œ ln " È9 c x bC # ; <t œ sec )‘ Ä # " # " ' È t dt " # # ' È t dt # 4t c 1 œ " 8 a ' dÈ4t c 1b 4t c 1 œ " 4 È4t# c 1 b C sec ) tan )† sec ) d) tan ) ' # # (b) œ " 4 ' sec# ) d) œ tan ) b C œ È4t4 c 1 b C 4 # ; cx œ 2 sin )d Ä # # 113. (a) # ' 4xcdx x ' 4xcdx x " œc#' # (b) x dx È4 b x d a4 c x b 4cx " œ c # ln k4 c x# k b C 2 ' 2 sin4)†coscos ) d) œ ' tan ) d) œ c ln kcos )k b C œ c ln Š È4 2c x ‹ b C ) # ' ; cx œ 2 tan yd Ä # # 112. (a) 4bx 4bx # ' Èx dx # (b) sin x cos x dx cos x œ " # a ' dÈ4 b x b œ È4 b x# b C ' 2 tan y†2 sec y dy œ 2 ' sec y tan y dy œ 2 sec y b C œ È4 b x# b C 2 sec y # y ' È16dy y c # 111. (a) y ' È16dy y c œc"' # œ cÈ16 c y# b C œ c4 cos x b C œ c 4È16 c y 4 ; cy œ 4 sin xd Ä 4 ' # 110. ' ds È es b 1 Ès Ôu œ esb 1× e Ö du œ È ds Ù Ä ; 2 e s b1 Õ ds œ 2u du Ø du uc ' u a2u du1b œ 2 ' (u b 1)(u c 1) œ ' u du 1 c ' u du 1 œ ln ¸ u b " ¸ b C 1 c b uc b C œ cÈ16 c y# b C c 109. ' e ds 1 ; Ô du œ es ds × c u œ es c 1 Ä u ' u(udu 1) œ c' udu1 b ' du œ ln ¸ u b 1 ¸ b C œ ln ¸ e ec " ¸ b C œ ln k1 c e u b b s $ $Î# $ 108. du u(1 b u) u œ 3 ln ¸ u b 1 ¸ b C œ 3 ln ¹ 1bÈx ¹ b C $ dx ' x ˆ1 b È x ‰ ; Ö Ô u œ Èx × dx Ù Ä' du œ 3x # Õ dx œ 3u du Ø $ œ 3' Èx s kbC 568 121. 122. Chapter 8 Techniques of Integration ' tan4 x sec2 x dx œ tan x b C 5 5 ' tan3 x sec3 x dx œ ' asec2 x c 1b sec2 x † sec x † tan x dx œ ' sec4 x † sec x † tan x dx c ' sec2 x † sec x † tan x dx œ sec5 x 5 c sec3 x 3 bC 123. " ' sin 5) cos 6) d) œ " ' asinac)b b sina11)bb d) œ " ' sinac)b d) b " ' sina11)b d) œ " cosac)b c ## cos 11) b C # # # # œ " cos ) c # " ## cos 11) b C d) b t¸ 4 " # 1 ' cos 6) d) œ " ) b 12 sin 6) b C # 124. 125. ' cos 3) cos 3) d) œ " ' acos 0 b cos 6)b d) œ " ' # # ' É1 b cosˆ 2t ‰ dt œ ' È2¸ cos t¸ 4 dt œ 4È2 ¸ sin bC 126. ' et Ètan2 et b 1 dt œ ' k sec et k et dt œ lnk sec et b tan et k b C (x) œ 24xc& which is decreasing on [1ß 3] Ê maximum of f Ð%Ñ (x) on [1ß 3] is f Ð%Ñ (1) œ 24 Ê M œ 24. Then % c " " kEs k Ÿ 0.0001 Ê ˆ 3180" ‰ ˆ 2 ‰ (24) Ÿ 0.0001 Ê ˆ 768 ‰ ˆ n ‰ Ÿ 0.0001 Ê n Ÿ (0.0001) ˆ 180 ‰ Ê n% 10,000 ˆ 768 ‰ n 180 768 180 Êf Ê n 14.37 Ê n 16 (n must be even) % % 127. kEs k Ÿ 3c" 180 Ð%Ñ (˜x)% M where ˜x œ 3c" n œ 2 n ; f(x) œ " x œ xc" Ê f w (x) œ cxc# Ê f ww (x) œ 2xc$ Ê f'''(x) œ c6xc% 128. kET k Ÿ # 1c0 12 (˜x)# M where ˜x œ # Ê 2 3n Ÿ 10c$ Ê œ 1c0 6 3n # 1000 Ê n Ê ˜x # 1c0 n # œ " n;0 2000 3 Ÿ f ww (x) Ÿ 8 Ê M œ 8. Then kET k Ÿ 10c$ Ê Ê n 25.82 Ê n 26 xi 0 1/6 1/3 1/2 21/3 51/6 1 xi 0 1/6 1/3 1/2 21/3 51/6 1 f(xi ) 0 1/2 3/2 2 3/2 1/2 0 f(xi ) 0 1/2 3/2 2 3/2 1/2 0 m 1 2 2 2 2 2 1 m 1 4 2 4 2 4 1 " 12 ˆ " ‰# (8) Ÿ 10c$ n 129. ˜x œ bca n 6 œ 1 6 œ 1 1# ; x! x" x# x$ x% x& x' x! x" x# x$ x% x& x' ! mf(xi ) œ 12 Ê T œ ˆ 1 ‰ (12) œ 1 ; 12 i0 mf(xi ) 0 1 3 4 3 1 0 mf(xi ) 0 2 3 8 3 2 0 & ! mf(xi ) œ 18 and i0 1 S œ ˆ 18 ‰ (18) œ 1 . Ê n 6.38 Ê n 8 (n must be even) 131. yav œ œ œ " 365 c 0 " <ˆ 21 21 c37 ˆ 365 ‰ cos < 365 (365 c 101)‘ b 25(365)‰ c ˆc37 ˆ 365 ‰ cos < 365 (0 c 101)‘ b 25(0)‰‘ 365 21 21 37 21 37 21 37 21 21 c 21 cos ˆ 365 (264)‰ b 25 b 21 cos ˆ 365 (c101)‰ œ c 21 ˆcos ˆ 365 (264)‰ c cos ˆ 365 (c101)‰‰ b 21 " 21 '0365 <37 sin ˆ 365 (x c 101)‰ b 25‘ dx œ 365 <c37 ˆ 365 cos ˆ 365 (x c 101)‰ b 25x‰‘ $'& 21 ! % 130. ¸f Ð%Ñ (x)¸ Ÿ 3 Ê M œ 3; ˜x œ œ 6 ˜x 3 œ 1 18 Ê œ 2c" n œ " n % c . Hence kEs k Ÿ 10c& Ê ˆ 2180" ‰ ˆ " ‰ (3) Ÿ 10c& Ê n " 60n Ÿ 10c& Ê n% 10 60 25 Chapter 8 Practice Exercises 37 ¸ c #1 (0.16705 c 0.16705) b 25 œ 25° F " 675c20 675 " " '20 c8.27 b 10c& a26T c 1.87T# bd dT œ 655 <8.27T b 103 569 ¸ " 655 [(5582.25 b 59.23125 c 1917.03194) c (165.4 b 0.052 c 0.04987)] ¸ 5.434; 26bÈ676 b 4(1.87)(283,600) #(1.87) 8.27 b 10c& a26T c 1.87T# b œ 5.434 Ê 1.87T# c 26T c 283,600 œ 0 Ê T ¸ ¸ 396.45° C 133. (a) Each interval is 5 min œ 1 2.5 24 c 1 12 hour. 29 12 b 2a2.4b b 2a2.3b b Þ Þ Þ b 2a2.4b b 2.3 d œ (b) a60 mphbˆ 12 hours/gal‰ ¸ 24.83 mi/gal 29 134. Using the trapezoid rule, ˜x œ 15 Ê ˜x œ 7.5; 2 ! mf(xi ) œ 794.8 Ê Area ¸ a794.8ba7.5b œ 5961 ft2 ; The cost is Area † a$2.10/ft2 b ¸ a5961 ft2 ba$2.10/ft2 b œ $12,518.10 Ê the job cannot be done for $11,000. ¸ 2.42 gal x! x" x# x$ x% x5 x' x( x) xi 0 15 30 45 60 75 90 105 120 f(xi ) 0 36 54 51 49.5 54 64.4 67.5 42 1 # b œ c1 b 0 œ c 1 137. 2 " œ lim <ln ˆ 4b b 1 ‰ c b ‘ c (ln 1 c 1 c ln 3) œ ln c bÄ_ bÄ_ bÄ_ # # # _c 143. dx 4x b 9 dx 4x b 9 œ " # _ _ _ ' _c 142. '0 xe3x dx œ b Ä c_ lim " " < x e3x c 9 e3x ‘ 0 œ c 9 c 3 b b Ä c_ lim " " " ˆ b e3b c 9 e3b ‰ œ c 9 c 0 œ c 9 3 œ 2 '0 '0 dx x b9 4 œ " # b lim Ä_ 2 < 3 tanc" ˆ 2x ‰‘ b œ 3 0 " # b lim Ä_ 2 < 3 tanc" ˆ 2b ‰‘ c 3 c c c c c c c 141. _ '0 x# e x dx œ lim ccx# e x c 2xe x c 2e x d 0 œ lim acb# e b c 2be b c 2e b b c (c2) œ 0 b 2 œ 2 b # # $ 140. 3v c 1 4v c v _ _ '1 # 139. 2 du u c 2u du uc2 dv œ '1 ˆ " b v " v _ _ _ '3 œ '3 c '3 du u b œ lim <ln ¸ u c 2 ¸‘ 3 œ lim <ln ¸ b c 2 ¸‘ c ln ¸ 3 c 2 ¸ œ 0 c ln ˆ " ‰ œ ln 3 u b 3 3 bÄ_ c 4‰ 4v c 1 dv œ lim <ln v c bÄ_ " 4 &Î$ c &Î$ &Î$ lim ) Ä _ ()b1) &Î$ ) d) ) diverges Ê _ _ œ 1 and '2 1 ' d) () b 1) &Î$ &Î$ c &Î$ c &Î$ c 138. d) 2 () b 1) d) 2 () b 1) d) () b 1) _ c _ ' œ' 1 b' 2 b '2 d) () b 1) converges if each integral converges, but diverges bÄ_ " v c ln (4v c 1)‘ 1 3 4 b b 1 b ln 3 œ 1 b ln b b 1 $Î# $Î# $Î# c $Î# ' 11 ydy c œ' 0 dy y b '0 1 dy y œ 2 '0 1 dy y œ 2 † 3 lim bÄ! <y"Î$ ‘ 1 œ 6 Š1 c lim b bÄ! b"Î$ ‹ œ 6 " 3 tanc" (0) # " b " b b b 136. bÄ! lim cx ln x c xd 1 œ (1 † ln 1 c 1) c lim b bÄ! cb ln b c bd c1 c lim bÄ! ln b Šb‹ œ c1 c lim bÄ! Šc " '01 ln x dx œ c c # c # 135. '03 È dx 9cx œ lim bÄ3 '0b È dx 9cx œ lim bÄ3 <sinc" ˆ x ‰‘ b œ lim 3 0 bÄ3 b 0 sinc" ˆ 3 ‰ c sinc" ˆ 3 ‰ œ & & 132. av(Cv ) œ T# c 0.62333 10 T $ ‘ #! '(& m 1 2 2 2 2 2 2 2 1 c0œ 1 # mf(xi ) 0 72 108 102 99 108 128.8 135 42 Šb‹ ‹ 570 œ 144. Chapter 8 Techniques of Integration " # ˆ2 † 1‰ c 0 œ 3# 4 dx x b 16 # 1 6 b œ 2 lim <tanc" ˆ x ‰‘ 0 œ 2 Š lim <tanc" ˆ b ‰‘ c tanc" (0)‹ œ 2 ˆ 1 ‰ c 0 œ 1 4 4 # Ê I œ 1 b 0 c I Ê 2I œ 1 Ê I œ 147. ln z z e bÄ_ " # bÄ_ converges # # # ln z z ln z z œ _ Ê diverges c c c 1 151. 154. ' cos Èx dx; – Èx 'È dx c2x c x u œ Èx Ä du œ #dxx — È d(x b 1) È1 c (x b 1) † ' cos uu2u du œ 2' cos u du œ 2 sin u b C œ 2 sin Èx b C # 157. 1bu # ' È du # 156. ' (t c 1) dt ' ” È t c 2t u œ t# c 2t Ä du œ (2t c 2) dt œ 2(t c 1) dt • ; cu œ tan )d Ä # # 155. œ' œ sinc" (x b 1) b C " # du ' Èu œ Èu b C œ Èt# c 2t b C ' sec ))d) œ ln ksec ) b tan )k b C œ ln ¹È1 b u# b u¹ b C sec # # œ ln ksin )k c " # sin# ) b C œ ln ¹ Èxx b 1 ¹ c " Š Èxx b 1 ‹ b C # % # # 153. ;” # # $ # ' dx x ax b 1 b x œ tan ) Ä dx œ sec# ) d) • # # 152. sec ) d ' tan ) sec )) œ ' cos ))d) œ ' Š 1 c sin) ) ‹ d(sin )) sin sin # b2 ' x cbx2 dx œ c ' ˆx b 4x c 4 ‰ dx œ c ' 4 x $ #Î$ œ 2x 3 c x b 2Èx c 2 ln ˆ1 b Èx‰ b C x dx c 3 # 5 ' x dx 2 c # ' x dx 2 œ c x# b c # x ' 1 bdx x ; – È # _c Ê _ ' dx x a1 b e x b u œ Èx Ä du œ #dxx — È b 1 ex diverges 2 2 ' u 1†2u udu œ ' ˆ2u# c 2u b 2 c 1 b u ‰ du œ 3 u$ c u# b 2u c 2 ln k1 b uk b C b c 3 # ln kx b 2k c # # # b a# " x Ä 0 ’x lim “ xÄ0 # Šx ‹ # " œ lim x a1 b e x b x œ lim a1 b ex b œ 2 and '0 xÄ0 1 dx x diverges Ê # # # c # _c # _c 150. dx x a1 b e x b dx x a1 b e x b dx x a1 b e x b dx x a1 b e x b _ c _ ' œ' 1 b' 0 b '0 1 b '1 c _c c c _c 149. 2 dx ex b e x 2 dx ex b e x 4 dx ex converges Ê _ _ _ _ ' œ 2'0  '0 ' 2 dx ex b e c 148. 0  et Èt _ Ÿ e t for t 1 and '1 e t dt converges Ê _ # _ _ '1 dz œ '1 dz b 'e dz œ ’ (ln2z) “ b lim ’ (ln#z) “ œ Š 1 c 0‹ b lim ’ (ln2b) c " “ 2 # 1 e b bÄ_ e bÄ_ '1 et Èt dt converges x converges dx x a1 b e x b ; '01 x a1dx e b diverges b x 5 # ln kx c 2k b C c c c c u cos u du œ lim cce u u sin u du œ 1 b lim ce u _ _ c 146. I œ '0 e cos ud b c '0 e 0 # # 145. lim ) Ä _ È) b 1 ) d) ) _ _ œ 1 and '6 # _ _ _c _ ' œ 2'0 4 dx x b 16 bÄ_ bÄ_ diverges Ê '6 d) È) b 1 diverges sin ud b c '0 ae u b cos u du 0 Chapter 8 Practice Exercises 158. 159. 571 ' et cos et dt œ sin et b C # ' 2 c cos x b sin x dx œ ' sin x # # # 2 csc# x dx c ' cos x dx sin x b ' csc x dx œ c2 cot x b " sin x c ln kcsc x b cot xk b C œ c2 cot x b csc x c ln kcsc x b cot xk b C 160. 161. 162. 163. ÐbÑ ) ïïïïî ÐcÑ 1 ïïïïî 0 164. sin ' cos )) d) œ ' 1 c cos) ) d) œ ' sec# ) d) c ' d) œ tan ) c ) b C cos dv ' 819c v " # " " bv " ' v dv 9 b 12 ' 3 dv v b 1"# ' 3 dv v œ 12 ln ¸ 3 c v ¸ b 6 tanc" v b C b c b 3 3 # # # œ x ' 1cossindxx œ ' 1d(sin x)x œ tanc" (sin x) b C b b sin cos (2) b 1) " # sin (2) b 1) c " cos (2) b 1) 4 Ê ) ' ) cos (2) b 1) d) œ # sin (2) b 1) b " cos (2) b 1) b C 4 166. ' É 1 b È) œ 4 3 Š1 b È ) ‹ $Î# c 4 Š1 b È ) ‹ "Î# bCœ4 Ô ŒÉ1 b È)9 Õ 3 167. È dx ' 2 sinsec xÈx ; – Èx y œ Èx Ä dy œ 2dxx — È y† ' 2 sin sec2y dy œ ' 2 sin 2y dy œ c cos (2y) b C œ c cos ˆ2Èx‰ b C y y 169. 170. ' dy sin y cos y œ' 2 dy sin 2y œ ' 2 csc (2y) dy œ c ln kcsc (2y) b cot (2y)k b C c ' ) cd2)) b 4 œ ' () c d) b 3 œ È3 tanc" Š )È " ‹ b C 1) 3 tan ' cos xx dx œ ' tan x sec# x dx œ ' tan x † d(tan x) œ " tan# x b C # # # 3 # # 172. ' dr (r b 1)Èr b 2r # 171. œ' d(r b 1) (r b 1)È(r b 1) c 1 œ secc" kr b 1k b C # # # % % 168. # # # ' xx cdx œ ' ˆx b x 16x16 ‰ dx œ x# 16 c & b ' ˆ x 2x 4 c c 2x ‰ x b4 dx œ $ # œ x # b 2x b 3 ln kx c 1k c Ô ;Ö " xc1 bC d) × ÙÄ 2) Õ d) œ 2(x c 1) dx Ø x œ 1 b È) d) dx œ È dx 4 ' 2(x c 1) dx œ 2 ' Èx dx c 2 ' Èx œ 3 x$Î# c 4x"Î# b C Èx × c É1 b È) b C Ø x # x b ln ¹ x c4 b4¹ bC # # # 165. x dx c ' x c 2x b 1 œ ' ˆx b 2 b x 3x2x 2 1 ‰ dx œ ' cb $ # _ '2 dx (x c 1) b " " œ lim < 1 c x ‘ 2 œ lim < 1 c b c (c1)‘ œ 0 b 1 œ 1 bÄ_ # # % bÄ_ (x b 2) dx b 3 ' dx xc1 b' dx (x c 1) 572 173. Chapter 8 Techniques of Integration (r ' È b 2) dr cr c 4r # % 177. 178. ' (15)2xb1 dx œ " ' (15)2xb1 d(2x b 1) œ " Š 15 15 ‹ b C # # ln 2x 1 179. ' Èx dx œ 2– 2cx ;” 3 yœ2cx Ä c' dy œ c dx • $ (2 c y) dy Èy œ 2 3 y$Î# c 4y"Î# b C œ ŠÈ2 c x‹ c 2È2 c x— b C sin †cos ' cos )sin )) d) œ ' a1 csin ))b d) œ ' csc# ) d) c ' d) œ cot ) c ) b C # # # 182. ' ln Èx c 1 dx; – y œ Ê œ " # dy œ ' 2y ln y dy œ y# ln y c ' y dy œ y# ln y c " y# b C œ (x c 1) ln Èx c 1 c " (x c 1) b C" # # c(x c 1) ln kx c 1k c xd b ˆC" b " ‰ œ # " 3 " # 183. 184. ' )# tan a)$ b d) œ x dx 8 c 2x c x # " ' tan a)$ b d a)$ b œ 3 ln ksec )$ k b C d ax b 1 b # É 9 c ax b 1 b # 186. 187. 188. 0 Î1 Î1 '0 10 È1 b cos 5) d) œ È2 ' # # 9 c 4t # ' È t dt œc"' 8 d a9 c 4t b È9 c 4t " œ c 4 È9 c 4t# b C 10 cos ˆ 5#) ‰ d) œ 2È 2 5 <sin ˆ 5#) ‰‘ 1Î"! œ ! # # # # dx œ " # d a x# b œ " # ˆx# ex c ex ‰ b C œ # # ' x$ ex ' x# ex # # # # 185. 1 ' z azzbb 4b dz œ " ' ˆ " b z" 4 z c zb1 ‰ z b4 dz œ " 4 ln kzk c # # % 'È œ " # ' # # 181. c ' y cdy b 2 œ ' (yd(y1) 1) 1 œ tanc" (y c 1) b C c b 2y # œ csinc" v c # 180. # ' È1vc v dv; cv œ sin )d Ä È1 c v v bC Èx c 1 dx 2È x c 1 —Ä ' ln y † 2y dy; u œ ln y, du œ cx ln kx c 1k c x c ln kx c 1kd b C œ " # sinc" Š x b1 3‹ bC " 4z c " 8 ln az# b 4b c bC ax c 1 b e x # Î1 b Î1 4 4 cos 2x dx œ ’c sin 2x“ Î1 Î1 Î1 Î1 ' 2 È1 b cos 4x dx œ cÈ2 ' # ## # # 176. ' dx ax c 1 b œ' dx a1 c x b œ x 2 a1 c x b # # 175. 2) ' (1sincos d))) b 2 " œc#' ## 174. d(1 b cos 2)) (1 b cos 2)) œ b 2 " #(1 b cos 2)) # # ' 4ybdy y œ " # ' d ay b 4 b ay b œ " 4 # œ' (r b 2) dr È4 c (r b 2) ;” u œ % c (r b 2)# Ä c' du œ c2(r b 2) dr • du 2È u œ cÈu b C œ cÈ4 c (r b 2)# b C tanc" Š y ‹ b C # bCœ " 4 sec# ) b C " 4 xb ln ¸ x c " ¸ b C (FORMULA 19) 1 È2 # 2 4 œ È2 # 2 3 (2 c x)$Î# c 4(2 c x)"Î# b C dy y ; dv œ 2y dy, v œ y# " 8 tanc" z # bC 2È 2 5 ˆsin 1 4 c 0‰ œ 2 5 Chapter 8 Practice Exercises # # # # 573 189. ) ) ' 1cot sind)) œ ' (sin )cos1)bdsin )b ; ” b )a x œ sin ) Ä dx œ cos ) d) • dx ' x a1dx x b œ ' dx c ' xx b 1 b x œ ln ksin )k c " ln a1 b sin# )b b C # # # 190. u œ tanc" x, du œ # "c 191. ' tan2Èyy dy ; <Èy œ x‘ È 'e œ 2t Ä †2x ' tan x2x dx œ ln ksec xk b C œ ln ¸sec Èy¸ b C 192. et dt dx t (x b 1)(x b 2) b 3et b 2 ; ce œ xd Ä t ln ¸ x b " ¸ b C œ ln ˆ et b " ‰ b C xb# e b# ' œ' dx xb1 c' œ c ) b ln 194. ¸ ) b2 ¸ ) c2 bC tan# x dx œ ' asec# x c 1b dx œ tan x c x b C ' 1 c cos 2x dx œ ' 1 b cos 2x # "c 195. asin ' cos È œ ln kcsc (2x) b cot (2x)k b C 197. 198. ' sin # x # cos x # dx œ ' " # sin ˆ x b x ‰ dx œ # # x dx ax b 2 b " # ' sin x dx œ c " cos x b C # c" 199. 200. ' et dt 1 b et œ ln a1 b et b b C # # ' tan$ t dt œ ' _ (tan t) asec# t c 1b dt œ bÄ_ cb œ lim ˆ 2e2b c bÄ_ # "‰ 4e2b c ˆ0 c " ‰ œ 4 " 4 202. ' 3 b sectanxxb sin x dx œ 3 ' cot x dx b ' sec xxdx b ' tan (sin v) cot v v dv ' ln (sindv œ ' (sincosln (sin v) ; ” u œ ln cos v dv • v) v) du œ sin v # cos x dx œ 3 ln ksin xk b ln ktan xk b sin x b C 203. Ä ' du œ ln kuk b C œ ln kln (sin v)k b C u c c c $ 201. ln y dy y x†ex e3x _ _ '1 Ô x œ ln y × ; Ö dx œ dy Ù Ä y Õ dy œ ex dx Ø # œ " È2 x tanc" Š È2 ‹ b " # ax b 2 b bC '0 # # ' x c x b 2 dx œ ' x dx 2 c ' b # # ax b 2 b # œ " È2 x tanc" Š È2 ‹ b " ax# b 2b # tan t # c ' tan t dt œ dx œ '0 xe # # $ 196. x cos dx 2 ' sincos c dx x œ c ' (sin x) a1xcdx xb œ c ' (sincos axcos xb œ c ' sindx œ c2' csc 2x dx x sin sin x) 2x # xb dx 1cx ;– u œ sinc" x Ä du œ È dx — 1cx # # 193. ' 4)cd)) # œ ' ˆc1 b 4 4c) ‰ d) œ c ' d ) c ' d) )c# b' ' cos u du œ sin u b C œ sin asinc" xb b C œ x b C "c " œ c x tanc" x b ln kxk c " # ln a1 b x# b b C œ c tanx x b ln kxk c ln È1 b x# b C dx xb# œ ln kx b 1k c ln kx b 2k b C d) )b# œ c) c ln k) c 2k b ln k) b 2k b C tan t # c ln ksec tk b C 2x dx œ lim <c x e # # " ' tan x x dx œ c " tanc" x b ' x a1dx x b œ c x tanc" x b ' dx c ' 1xbdx x b x x # dx 1bx ; dv œ dx x " ,vœcx; bC 2x " c4e 2x ‘b 0 574 204. Chapter 8 Techniques of Integration œ secc" kuk b C œ secc" k2x c 1k b C 205. ' eln Èx dx œ ' Èx dx œ 2 x$Î# b C 3 ' e) È3 b 4e) d); ” sin 5t ' 1 b (cos dt 5t) 206. u œ 4e) Ä du œ 4e) d) • " 4 " ' È3 b u du œ " † 2 (3 b u)$Î# b C œ 6 a3 b 4e) b$Î# b C 43 209. 210. x& 5x% 20x$ 60x# 120x 120 0 sin x ÐbÑ ïïïïî c cos x ÐcÑ ïïïïî c sin x ÐbÑ ïïïïî cos x ÐcÑ ïïïïî sin x ÐbÑ ïïïïî c cos x ÐcÑ ïïïïî c sin x Ê ' x& sin x dx œ cx& cos x b 5x% sin x b 20x$ cos x c 60x# sin x c 120x cos x b 120 sin x b C 211. ' 1 bdrÈr ; – # $ % u œ Èr Ä dr du œ 2Èr — % 2 ' 2ubdu œ ' ˆ2 c 1 b u ‰ du œ 2u c 2 ln k1 b uk b C œ 2Èr c 2 ln ˆ1 b Èr‰ b C 1u œ secc" ku b 1k b C œ secc" kln t b 1k b C t # 216. ' t(1 b ln t)Èdt t)(2 b ln t) ; ” u œ lndtt • (ln du œ # # # 215. ' 8 dm mÈ49m c 4 œ 8 7 ' dm mÉm c ˆ 2 ‰ 7 œ 4 secc" ¸ 7m ¸ b C # du ' (1 b u)Èu(2 b u) œ ' (u b 1)Èdub 1) c 1 (u Ä $Î# $Î# # 214. ' (t b 1) dt at b 2tb ;” u œ t# b 2t Ä du œ 2(t b 1) dt • " # ' udu œ " # † 3u"Î$ b C œ 3 # # $ # $ 213. 8 y ' y (ydy 2) œ ' dy c ' 2ydy b ' 4ydy c ' (y dy 2) œ ln ¹ y b 2 ¹ b 2 c y2 b b y y # % 212. c 10x b c ' x 4x 10x20x 9 dx œ ' d ˆxx c 10x b 99‰ œ ln kx% c 10x# b 9k b C c b # bC "Î$ at# b 2tb b) ' (27)3)b1 d) œ " 3 ' (27)3)b1 d(3) b 1) œ # 208. ' È dv e2v c 1 ;” x œ ev Ä dx œ ev dv • ' dx xÈ x c 1 œ secc" x b C œ secc" aev b b C " 3 ln 27 " 3 (27)3)b" b C œ # # 207. ;” u œ cos 5t Ä c"' 5 du œ c5 sin 5t dt • du 1bu " " œ c 5 tanc" u b C œ c 5 tanc" (cos 5t) b C Š 27 27 ‹ b C ln 3 1 bC # # # # ' dx (2x c 1)Èx c x œ' 2 dx (2x c 1)È4x c 4x œ' 2 dx (2x c 1)È(2x c 1) c 1 ;” u œ 2x c 1 Ä du œ 2 dx • ' du uÈ u c 1 Chapter 8 Practice Exercises 217. If u œ 575 '0x È1 b (t c 1)% dt and dv œ 3(x c 1)# dx, then du œ È1 b (x c 1)% dx, and v œ (x c 1)$ so integration 1 x by parts Ê '0 3(x c 1)# ’'0 È1 b (t c 1)% dt“ dx œ ’(x c 1)$ ! '0x È1 b (t c 1)% dt“ " ! 1 È $Î# " c '0 (x c 1)$ È1 b (x c 1)% dx œ ’c " a1 b (x c 1)% b “ œ 86c " 6 œ Av(v c 1) av b 1b b B(v c 1) av b 1b b Cv# av# b 1b b (Dv b E) av# b (v c 1) v œ 0: c1 œ cB Ê B œ 1; v œ 1: 4 œ 2C Ê C œ 2; coefficient of v% : 0 œ A b C b D Ê A b D œ c2; coefficient of v$ : 4 œ cA b B b E c D coefficient of v# : 0 œ A c B b C c E Ê C c D œ 4 Ê D œ c2 (summing with previous equation); coefficient of v: 1 œ cA b B Ê A œ 0; in summary: A œ 0, B œ 1, C œ 2, D œ c2 and E œ 1 œ lim <ln (v c 1)# c bÄ_ bÄ_ 1 # # # " v b tanc" v c ln a1 b v# b‘ 2 b 1) œ lim ’ln Š (b c b ‹ c 1b " b b tanc" b“ c ˆln 1 c " # b tanc" 2 c ln 5‰ œ ˆ0 c 0 b 1 ‰ c ˆ0 c # œ b ln (5) b " # c tanc" 2 219. u œ f(x), du œ f w (x) dx; dv œ dx, v œ x; œ ˆ 31 b c # 220. dx '0a 1bx 1a ‰ # ' 3 2 2 f(x) dx œ cx f(x)d 3 22 c ' 3 2 2 xf w (x) dx œ < 3#1 f ˆ 3#1 c 1 f ˆ 1 ‰‘ c ' 3 2 2 cos x dx # # _ œ ctanc" xd 0 œ tanc" a; 'a a therefore, tanc" a œ 1 # c tanc" a Ê tanc" a œ CHAPTER 8 ADDITIONAL AND ADVANCED EXERCISES "c ' 2. " x asinc" xb dx œ x asinc" xb b 2 asinc" xb È1 c x# c 2x b C œ " x # , " " " x(x b 1) œ x c x b 1 , " " " " x(x b 1)(x b 2) œ 2x c x b 1 b #(x b 2) , " " " " " x(x b 1)(x b 2)(x b 3) œ 6x c #(x b 1) b #(x b 2) c 6(x b 3) , " " " " " x(x b 1)(x b 2)(x b 3)(x b 4) œ #4x c 6(x b 1) b 4(x b #) c 6(x b 3) " x(x b 1)(x b 2) â (x b m) œ # "c c' 2x sin x dx È1 c x œ 2 asinc" xb È1 c x# c ' 2 dx œ 2 asinc" xb È1 c x# c 2x b C; therefore # œ! k0 m (c") (k!)(m c k)!(x b k) ; k therefore ' # # u œ sinc" x, du œ dx È1 c x 2x ; dv œ c È dx , v œ 2È1 c x# ; 1cx # "c ' asinc" xb dx œ x asinc" xb c ' # # # 1. u œ asinc" xb , du œ # 2 sin x dx È1 c x ; dv œ dx, v œ x; 2x sin x dx È1 c x # Î1 Î1 c csin xd 3 2 2 œ 1 a3b c ab c c(c1) c 1d œ 1 a3b c ab b 2 # # dx 1 bx b œ lim ctanc" xd a œ lim atanc" b c tanc" ab œ bÄ_ 1 4 Ê a œ 1 since a € 0. bÄ_ ; b " 24(x b 4) Ê the following pattern: dx x(x b 1)(x b 2) â (x b m) Î1 Î1 # # Î1 Î1 Î1 Î1 # $ # Ê _ '2 4v b v c 1 v (v c 1) av b 1b dv œ lim bÄ_ 2 " '2b ˆ v c 1 b vc# b 1 b v # # # # Î1 Î1 # 218. 4v b v c 1 v (v c 1) av b 1b $ œ A v # b B v b C vc1 b Dv b E v b1 # Ê 4v$ b v c 1 c 2v 1bv ‰ dv " # b tanc" 2 c ln 5‰ 1 # c tanc" a; 576 Chapter 8 Techniques of Integration (c") œ ! ’ (k!)(m c k)! ln kx b kk“ b C k m k0 ;” 4. ' sinc" Èy dy; – dz œ œy # "c # z œ Èy dy 2È y "c œ z sin # z b C " 6. u œ ln ŠÈx b È1 b x‹ , du œ Š Èx bdx 1 b x ‹ Š #Èx b È œ Ê bCœ # 4 œ " # ln Št c È1 c t# ‹ c 2x " # sinc" t b C Ô uc1œ 2 È3 2 È3 sec ) × Õ du œ œ œ œ 4 3 2 3 sec ) tan ) d) Ø " È3 Ä " È3 4 ' ŠÈ 3 sec ) b 1‹ (sec )) d) œ 4 3 tan ) b ln ksec ) b tan )k b C" œ " È3 " 3 † É 3 (u c 1)# c 1 b 4 È3u# c 6u c 1 b ’2Ée2x c 2ex c ln ¹u c 1 b É(u c 1)# c 4 ¹ b ŠC" b 3 " È3 " b ln ¹ex c 1 b Ée2x c 2ex c 3 ¹“ b C # # # # œ " 16 b 2 c 2 ' ’ x 2x2x 2 2 b (x b 1) b 1 c x 2x2x 2b# b (x c 1) b 1 “ dx bb c # # # # # % 9. ' x " 4 dx œ ' b " ax b 2b c 4x dx œ ' " ax b 2x b 2b ax c 2x b 2b dx # # 8. a ' È2e 3e2x c ex b dx c 6ex c 1 ;” u œ ex Ä du œ ex dx • ' È(2u c 1) du 3u c 6u c 1 # # # œ " # " " du " ' u du 1 c # ' u du 1 c # ' uu b 1 œ # ln ¹ Èu c 1 c b u b1 ¹c " # tanc" u b C œ œ " È3 ' (2u c 1) du É(u c 1) c 4 3 4 3 ; " ' sec# ) d) b È ' sec ) d) 3 È3 # " È3 " È3 ln ¹ ln # Õ d) œ du u b1 " # Ø " ln ¸ tan ) c " ¸ c # ) b C sec ) (u c 1) b É 3 (u c 1)# c 1¹ b C" 4 È3 #‹ # # 7. ' dt t c È1 c t t œ sin ) Ä ;” dt œ cos ) d) • d) ' sincosc) cos ) œ ' tan d))c 1 ; Ô du œ sec# ) d) × ) u œ tan ) # # ' ln ŠÈx b È1 b x‹ dx œ x ln ŠÈx b È1 b x‹ c 2 # # tan ) c ln ksec ) b tan )k # 2Èx b x c ln ¹2x b 1 b 2Èx b x¹ # " x b " œ " sec ) # # – dx œ " sec ) tan ) d) — Ä # " 4 sec " ' (sec ) cˆ1)†tan ))‰tan ) d) œ # ' asec# ) c sec )b d) bC Èx b x c ln ¹2x b 1 b 2Èx b x¹ Ä " # #" ' ln ŠÈx b È1 b x‹ dx œ x ln ŠÈx b È1 b x‹ c " ' ÈxxÈdx b x ; " ' # # 1 # # # 5. ) ) cos " ' 1 cdtan ) œ ' cos cos sin ) d) œ ' 12bcos #2) d) œ # ' (sec 2) b 1) d) œ ln ksec 2) b4tan 2)k b 2) b C )c ) # " ‹ 2È 1 b x œ dx 2È x È 1 b x ; dv œ dx, v œ x; ; x dx Ɉx b ‰ c 4 "c zÈ1 c z c sin z bC Ê 4 Èy c y sin Èy sinc" Èy b # c b # "c # "c # # œ x # sinc" x b —Ä ' 2z sinc" z dz; from Exercise 3, ' z sinc" z dz ' sinc" Èy dy œ y sinc" Èy b Èy È1 c y#c sin Èy # # # œ x # sinc" x c " sin# ) d) œ x sinc" # # xÈ1 c x c sin x bC 4 ' ) x c " ˆ# c # sin 2) ‰ 4 bCœ x # sinc" x b sin ) cos ) c ) 4 bC bC bC ' (u c 1)duu b 1b a # # # # # ' x sinc" x dx œ x# sinc" x c ' x dx 2È 1 c x # # 3. u œ sinc" x, du œ œ dx È1 c x ; dv œ x dx, v œ x # ; x œ sin ) Ä dx œ cos ) d) • ' x sinc" x dx œ x # sinc" x c ' sin ) cos ) d) 2 cos ) Chapter 8 Additional and Advanced Exercises # # 577 œ " 16 ln ¹ x x b 2x b 2 c 2x b # ¹ b " ctanc" (x b 1) b tanc" (x c 1)d b C 8 " xb1 x x Ä '12 ln u du œ cu ln u c ud # œ (2 ln 2 c 2) c (ln 1 c 1) œ 2 ln 2 c 1 œ ln 4 c 1 " " Èn c k # 15. dy dx œ È2 csin td ! 16. dy dx 1Î% œ1 # % # œ ˆc " b ln 3‰ c (0 b ln 1) œ ln 3 c # b 1 shell shell 17. V œ 'a 21 ˆ radius ‰ Š height ‹ dx œ '0 21xy dx œ 61 '0 x# È1 c x dx; 1 0 œ c61 '1 ˆu"Î# c 2u$Î# b u&Î# ‰ du 0 Ä c61 '1 (1 c u)# Èu du Ô uœ1cx × du œ c dx Õ x# œ (1 c u)# Ø œ c61 < 2 u$Î# c 4 u&Î# b 2 u(Î# ‘ " œ 61 ˆ 2 c 3 5 7 3 84 16 ˆ 70 c105b 30 ‰ œ 61 ˆ 105 ‰ œ 321 œ 61 35 ! # 2 1cx 0 " # 4 5 b 2‰ 7 Î b œ '0 Š " c x ‹ dx œ '0 ˆc1 b 1x Î # # 12 12 ‰ dx œ ' 12 ˆc1 b " 1bx # ## # ## # œ Ê 1 b Š dy ‹ œ dx ## c2x 1cx Î œ 1 b 2x b x a1 c x b b "‰ 1cx b dx œ <cx b ln ¸ 1 c x ¸‘ ! 1x Î # a1 c x b b 4x a1 c x b 1x œ Š 1 b x ‹ ; L œ '0 c # 12 Ê1 b Š dy ‹ dx dx "Î# # Î1 Î1 œ Ècos 2x Ê 1 b Š dy ‹ œ 1 b cos 2x œ 2 cos# x; L œ '0 dx # # œ '0 1 " È 1 cx dx œ csinc" xd ! œ " 1 # œ k0 k0 Ï Ê1 c ’k Š n ‹“ Ò " 4 Ê1 b ŠÈcos 2t‹ dt œ È2 '0 # # # # œ # 14. n lim ! Ä_ k0 œ œ n lim ! Š È Ä_ n n ck " ‹ ˆ n ‰ œ n lim ! Ä_ c c n1 n1 œ n 13. n lim ! ln É1 b Ä_ k1 n k n " œ n lim ! ln ˆ1 b k ˆ " ‰‰ ˆ n ‰ œ '0 ln (1 b x) dx; ” n Ä_ n 1 k1 n1 Î b # " b " b # œ c b xÄ! xÄ! # lim lim xÄ! Šc # 1 x 'x cos t dt œ t # b xÄ! lim x 'x 1 cos t t ^ dt is an indeterminate 0 † _ form and we apply l'Hopital's rule: c'1 x cos t t dt œ lim c Š cos x ‹ x ‹ œ lim xÄ! cos x œ 1 u œ 1 b x, du œ dx x œ 0 Ê u œ 1, x œ 1 Ê u œ 2 • " Ñ " ˆn‰ # # b b # b # b 12. xÄ! lim tÄ! lim t Š cos t ‹ t # " 'x1 cos t dt; t Š‹ œ lim tÄ! c c 11. x lim Ä_ ' xx sin t dt œ x lim_ cc cos td x x œ x lim_ cc cos x b cos (cx)d œ x lim_ ac cos x b cos xb œ x lim_ 0 œ 0 Ä Ä Ä Ä " cos t # # œ " 6 c ln ¸ x b " ¸ b x1 " 1# ’ln ¹ x x cxb" bxb1¹ c 2È3 tanc" Š 2x c 1 ‹ c 2È3 tanc" Š 2x b 1 ‹“ b C È3 È3 œ1 Ê xÄ! lim # #" # # #" # œ " 6 c ln ¸ x b 1 ¸ b x1 " 1# " ' ” x 2x cb 1 c ˆ cx 3 xc ‰ b 3 4 c # # ' 10. " ' x " 1 dx œ 6 ' c " ˆxc1 c b xc2 x cxb1 c xb2 ‰ x bxb1 2x b 1 x bxb1 dx c 3 ˆx b ‰ b 3 • 4 dx 'x1 cos t dt diverges since '01 dt diverges; thus t t 4 Ècos# t dt 578 Chapter 8 Techniques of Integration b 4 % x œ 1 <ln ¸ 5 c x ¸ c 5 ‘ " œ 1 ˆln 4 c 5 ‰ c 1 ˆln x 4 œ 151 4 b 21 ln 4 shell shell 19. V œ 'a 21 ˆ radius ‰ Š height ‹ dx œ '0 21xex dx b 1 œ 21 cxex c ex d " œ 21 ! 20. V œ '0 ln 2 21(ln 2 c x) aex c 1b dx c(ln 2) ex c ln 2 c xex b xd dx # œ 21 '0 ln 2 œ 21 ’(ln 2) ex c (ln 2)x c xex b ex b œ 21 ’2 ln 2 c (ln 2) c 2 ln 2 b 2 b œ 21 ’c (ln#2) c ln 2 b 1“ 21. (a) V œ '1 1 c1 c (ln x)# d dx e e # œ 1 cx c x(ln x)# d 1 b 21'1 ln x dx e (b) V œ '1 1(1 c ln x)# dx œ 1'1 c1 c 2 ln x b (ln x)# d dx e e (FORMULA 110) e œ 1 cx c x(ln x)# b 2(x ln x c x)d 1 e œ 1 ccx c x(ln x)# b 2x ln xd 1 œ 1 cce c e b 2e c (c1)d œ 1 e œ 1 cx c 2(x ln x c x) b x(ln x)# d 1 c 21'1 ln x dx e œ 1 cx c 2(x ln x c x) b x(ln x)# c 2(x ln x c x)d 1 e œ 1 c5x c 4x ln x b x(ln x)# d 1 œ 1 c(5e c 4e b e) c (5)d œ 1(2e c 5) e (b) V œ 1'0 aey c 1b# dy œ 1'0 ae2y c 2ey b 1b dy œ 1 < e# c 2ey b y‘ ! œ 1 ’Š e# c 2e b 1‹ c ˆ " c 2‰“ # # œ 1 Š e# c 2e b 5 ‹ œ # 23. (a) lim x ln x œ 0 Ê # 1 ae c 4e b 5b # b b xÄ! xÄ! lim f(x) œ 0 œ f(0) Ê f is continuous # 1 1 2y " # 22. (a) V œ 1 '0 <aey b# c 1‘ dy œ 1'0 ae2y c 1b dy œ 1 < e# c y‘ ! œ 1 ’ e# c 1 c ˆ " ‰“ œ # # 1 1 # # œ 1 '1 ˆ dx b x 4 5 dx x b dx ‰ 5cx " 4 # # 18. V œ 'a 1y# dx œ 1 '1 25 dx x (5 c x) c 5‰ x # ln 2 “ 0 (ln 2) # “ c 21(ln 2 b 1) 2y " 1 ae c 3 b # Chapter 8 Additional and Advanced Exercises # Ô u œ (ln x) × Ö du œ (2 ln x) dx Ù # 2 xÙ x # # # Ö '2 x (b) V œ '0 1x (ln x) dx; Ö # Ù Ä 1 Œb lim ’ 3 (ln x) “ b c 0 Š 3 ‹ (2 ln x) dv œ x dx Ä! Õ Ø vœ x 3 $ 579 dx x9 24. V œ '0 1(c ln x)# dx 1 25. M œ '1 ln x dx œ cx ln x c xd e œ (e c e) c (0 c 1) œ 1; 1 e Mx œ '1 (ln x) ˆ ln#x ‰ dx œ e œ " # Šcx(ln x)# d 1 c 2 '1 ln x dx‹ œ e e e # My œ '1 x ln x dx œ ’ x e # 1 " 2x dx È # È1 c x œ 2 ’c 1 c x “ œ 2; ! M 2 therefore, x œ My œ 1 and y œ 0 by symmetry 1 # My œ '0 28. y œ ln x Ê 1 b Š dx ‹ œ 1 b x# Ê S œ 21'c xÈ1 b x# dy Ê S œ 21'0 ey È1 b e2y dy; ” dy # d 1 e tan 4 29. L œ 4 '0 Ê1 b Š dy ‹ dx; x#Î$ b y#Î$ œ 1 Ê y œ ˆ1 c x#Î$ ‰ dx 1 # # È1 œ 1 ’eÈ1 b e# b ln Š Èb e be ‹ 2b1 c È 2“ $Î# "Î# "c %Î1 œ 21 ˆ " ‰ csec ) tan ) b ln ksec ) b tan )kd tan # e œ 1 ’ŠÈ1 b e# ‹ e b ln ¹È1 b e# b e¹“ c 1 ’È2 † 1 b ln ŠÈ2 b 1‹“ "c Î1 u œ tan ) Ä S œ 21'1 È1 b u# du; ” Ä 21 ' du œ sec# ) d) • e sec ) † sec# ) d) Ê dy dx œ c 3 ˆ1 c x#Î$ ‰ # # # œ ŠÈ1 b e# c ln ¹ È1 b e e È b " ¹‹ c ’È2 c ln Š1 b È2‹“ œ È1 b e# c ln Š 1eb e b " ‹ c È2 b ln Š1 b È2‹ e e Î1 4 4 "c Î1 # tan e (sec )) atan ) b 1b tan ) tan "c "c Î1 œ' d) œ ' e (tan ) sec ) b csc )) d) œ csec ) c ln kcsc ) b cot )kd tan4 Î1 dx; ” # # e # " x e "c 27. L œ '1 É1 b # 26. M œ '0 1 2 dx È1 c x œ 2 csinc" xd ! œ 1; dx œ '1 # therefore, x œ My M œ e b1 4 and y œ " Èx b 1 x # œ " # ’x# ln x c b œ c21 lim bÄ! b œ 1 Œ lim bÄ! cx(ln x)# d b c 2'0 ln x dx9 1 1 cx ln x c xd 1 œ 21 b " # '1e (ln x)# dx " # e e ln x # “1 c " # e # x # “œ " # ’Še# c b bÄ! x 9 b (e c 2); x dx " 4 '1 ‹ b "“ œ # Mx M ae# b 1b ; œ ec2 # tan x œ tan ) • Ä Lœ' 4 # dx œ sec ) d) # $ œ 1 ”ˆ 8 ‰ (ln 2)# c ˆ 2 ‰ lim 3 3 ’ x ln x c 3 “ • œ 1 ’ 8(ln 2) c 3 2 16(ln 2) 9 b 16 27 “ e sec )†sec ) d) tan ) e $ $ b $ u œ ey du œ ey dy • ˆxc"Î$ ‰ ˆ 2 ‰ 3 580 Chapter 8 Techniques of Integration $Î# ‰ $Î# œ 41'0 ˆ1 c x#Î$ ‰ ˆ x " ‰ dx; – 1 1 u œ x #Î$ 3 $Î# '1 du œ c61'0 (1 c u)$Î# d(1 c u) 2 dx — Ä 4 † # 1 0 (1 c u) du œ 3 x $Î" " œ c61 † 2 <(1 c u)&Î# ‘ ! œ 5 # 121 5 31. Š dy ‹ œ dx " 4x Ê 1 dy dx œ „" #Èx Ê y œ Èx or y œ cÈx, 0 Ÿ x Ÿ 4 32. The integral ' 1 È1 c x# dx is the area enclosed by the x-axis and the semicircle y œ È1 c x# . This area is half the circle's area, or 1 1 # and multiplying by 2 gives 1. The length of the circular arc y œ È1 c x# from x œ c1 to # 1 b Ä b_ u œ ex ” du œ ex dx • Ä b Ä b_ œ ˆc " b e! ‰ b ˆ0 b " ‰ œ 1 e e 34. u œ " 1by b Ä b_ ! œ " # b0œ " # œ " È2 <sinc" u ‘ #0 È2 œ " È2 sinc" È2 # œ " È2 ˆ1‰ 4 # # $ # # 36. 1 6 œ sinc" " # 1 dx È4 c x 1 dx È4 c x c x È œ 18 2 1 dx È4 c 2x œ " È2 È " œ <sinc" x ‘ ! œ '0 # b ÎÑ b Ð œ un 2 2 nb# bCœ 2 bCœ nb# # # ˆÈ u ‰ n nb#  '0 b ŠÈx c a ‹ n2 bC  '0 bÎ # Î 35. u œ x# c a# Ê du œ 2x dx; ' x ŠÈx# c a# ‹ n dx œ " ' ˆÈu‰ n du œ # " # ' un 2 du œ " Š u b 1 ‹ b C, n Á c2 # n2 n 1 b dy Ÿ n lim Ä_ ! '0 2 du È4 c u c # Ê 0 Ÿ n lim '0 Ä_ 1 yn 1by '01 yn dy œ n lim_ ’ nyb 1 “ " œ n lim_ Ä Ä n1 " n b1 œ 0 Ê n lim '0 Ä_ 1 # # # lim nÄ_ '01 nyb y 1 c n1 dy œ n lim Œ’ 1 y y “ b '0 b Ä_ n c dy , du œ c (1 b y) ; dv œ nyn # 1 dy, v œ yn ; 1 " yn 1by ˆ c b a c œ a Ä c_ <c " b e lim e b Ä c_ ea ‘b lim c œ a Ä c_ cce u d 1a b lim e c lim cc e u d e 1 c c lim ' e a Ä c_ ea 1 u du b lim '1e b e u du b <ce eb b ca œ a Ä c_ lim 'a0 e ex ex dx b b ca b ca _c b c a _c 33. (b) ex ex _ _ ' dx œ ' e ex ex dx lim '0b e ex ex dx; b "‘ e dy9 œ " # b n lim Ä_ # c circle's circumference. In conclusion, 2 ' 1 È1 c x# dx œ ' 1 1 1 dx È1 c x . '01 yn 1by # c x œ 1 is L œ ' 1 Ê1 b Š dy ‹ dx œ ' 1 Ê1 b Š È cx ‹ dx œ ' dx # # 1 1 1cx dx È1 c x œ " # (21) œ 1 since L is half the dy. Now, 0 Ÿ yn 1by Ÿ yn nyn 1 1by dy $Î# c $Î# 30. S œ 21 ' 1 f(x) É1 b cf w (x)d# dx; f(x) œ ˆ1 c x#Î$ ‰ 1 $Î" $Î# Ê cf w (x)d# b 1 œ $Î" $Î# c c $Î# $Î# Ê Š dy ‹ œ dx # 1cx x Ê L œ 4 '0 Ê1 b Š 1 c x ‹ dx œ 4'0 x 1 1 dx x œ 6 <x#Î$ ‘ ! œ 6 " x $Î# Ê S œ 2 1 ' 1 ˆ 1 c x #Î$ ‰ † 1 " dx Èx c c c Chapter 8 Additional and Advanced Exercises # # 581 37. bÄ_ bÄ_ bÄ_ " # bÄ_ œ 1 if x € 0 bÄ_ bÄ_ # " #  p Ÿ 1. 1 40. The area is given by the integral A œ '0 c dx xp ; œ c_, diverges; œ 1 c 0, converges; thus, p 1 for infinite area. 1 The volume of the solid of revolution about the x-axis is Vx œ 1'0 p " # volume for values of p satisfying 1 Ÿ p  2, as described above. 41. e2x 2e2x 4e2x Iœ 42. e3x 3e3x 9e3x 3x ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ e2x 3 cos 3x 1 3 sin 3x c 1 cos 3x 9 2e2x 9 sin 3x b ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ cos 3x c 4 I Ê 9 sin 4x " c 4 cos 4x " c 16 sin 4x 13 9 Iœ e2x 9 (3 sin 3x b 2 cos 3x) Ê I œ e2x 13 (3 sin 3x b 2 cos 3x) b C I œ c e4 cos 4x b 3e3x 16 sin 4x c 9 16 IÊ 25 16 Iœ e3x 16 (3 sin 4x c 4 cos 4x) Ê I œ e3x 25 c converges if 2 p € 1 Í p  2 (see Exercise 39). In conclusion, the curve y œ x p gives infinite area and finite (3 sin 4x c 4 cos 4x) b C Î _ The volume of the solid of revolution about the y-axis is Vy œ 1 '1 cR(y)d# dy œ 1'1 , and diverges if p " # . Thus, Vx is infinite whenever the area is infinite (p 1). _ b b bÄ! bÄ! c c p  1: A œ lim cx1 p d 1 œ " c lim b b b bÄ! bÄ! b1 c p € 1: A œ lim cx1 p d 1 œ 1 c lim b b b p œ 1: A œ lim bÄ! cln xd œ c lim 1 b bÄ! ln b œ _, diverges; b1 p p c p€ " # for finite volume. In conclusion, the curve y œ x _ " about the x-axis is V œ '1 1 ˆ xp ‰ dx œ 1 '1 _ _ 39. A œ '1 dx xp converges if p € 1 and diverges if p Ÿ 1. Thus, p Ÿ 1 for infinite area. The volume of the solid of revolution dx x2p c xt bÄ_ which converges if 2p € 1 and diverges if 2p Ÿ 1. Thus we want p gives infinite area and finite volume for values of p satisfying c c 38. G(x) œ lim # _ '1 bÄ_ lim ln ˆ x ax 1 c b "‰ #x '0b e # Ê ab b 1 b b a bÄ_ bÄ_ œ c_ Ê the improper integral diverges if a  " # " # ; in summary, the improper integral dx converges only when a œ and has the value c ln42 xb b dt œ lim <c " e xt ‘ 0 œ lim Š 1 cxe ‹ œ x 1c0 x œ " x if x € 0 Ê xG(x) œ x ˆ " ‰ x dx x2p which converges if 2p  1 or dy y2 p c # œ " # ˆ ln 1 c " # ln 2‰ œ c ln42 ; if a  " # : 0 Ÿ lim ab b 1 b b bÄ_ a  lim (bb1)2a b b1 # bÄ_ lim bÄ_ # ”ln œ lim (b b 1)2a 1 which # # integral diverges if a € ; for a œ œ lim É1 b œ1 Ê œ0 #Î" " # Èb b 1 " # : b lim b Ä_ " b ‰ c ˆ ’ln # # œ lim " bÄ_ # ab b 1 b b a c ln 2a “ ; lim ab b 1 b b bÄ_ a € lim b2a bÄ_ b œ lim b2 a 1 2 œ _ if a € " Ê the improper ab b 1 b b # _ '1 ˆ x ax 1 c b "‰ #x dx œ lim '1b ˆ x ax 1 c #"x ‰ dx œ b a lim < # ln ax# b 1b c " # " ln x‘ 1 œ lim ’ # ln b ax b 1 b x a b “ 1 c ln 2"Î# • 582 43. Chapter 8 Techniques of Integration sin 3x 3 cos 3x ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ sin x ccos x csin x c9 sin 3x I œ c sin 3x cos x b 3 cos 3x sin x b 9I Ê c8I œ c sin 3x cos x b 3 cos 3x sin x Ê I œ sin 3x cos xc83 cos 3x sin x b C 44. cos 5x c sin 5x c25cos 5x Ê Iœ 45. eax aeax a# eax ax ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ 5 16 sin 4x c " cos 4x 4 " c 16 sin 4 I œ c " cos 5x cos 4x c 4 " 9 sin 5x sin 4x b 25 16 9 I Ê c 16 I œ c " cos 5x cos 4x c 4 5 16 sin 5x sin 4x (4 cos 5x cos 4x b 5 sin 5x sin 4x) b C ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ aeax b # sin bx c " cos bx b " c b sin bx # # # # # # 46. eax aeax a# eax Iœ eax b ÐbÑ ÐcÑ ÐbÑ # 47. ln (ax) " x ÐbÑ ÐbÑ I œ x ln (ax) c ' ˆ " ‰ x dx œ x ln (ax) c x b C x 48. ln (ax) " x ÐbÑ ÐbÑ Ê >(x b 1) œ '0 tx e t dt œ lim cctx e t d b b x '0 tx 1 e t dt œ lim ˆc bb b 0x e! ‰ b x>(x) œ x>(x) 0 e bÄ_ cc _ c c c c _ c (b) u œ tx , du œ xtx 1 dt; dv œ e t dt, v œ ce t ; x œ fixed positive real bÄ_ bÄ_ c c 49. (a) >(1) œ '0 e t dt œ lim c $ Iœ " 3 x$ ln (ax) c ' ˆ " ‰ Š x ‹ dx œ x 3 _ # # Ê Iœ eax a bb (a cos bx b b sin bx) b C 1 x x# " 3 x$ " 3 " x$ ln (ax) c 9 x$ b C '0b e t " dt œ lim cce t d b œ lim <c eb c (c1)‘ œ 0 b 1 œ 1 0 # # # # # # sin bx b # # Ê Iœ eax a bb (a sin bx c b cos bx) b C cos bx " b sin bx " c b cos bx aeax b cos bx c a b I Ê Ša bb b ‹I œ eax b (a cos bx b b sin bx) # # I œ c eb cos bx b sin bx c a b I Ê Ša bb b ‹I œ eax b (a sin bx c b cos bx) bÄ_ x bÄ_ Chapter 8 Additional and Advanced Exercises (c) >(n b 1) œ n>(n) œ n!: n œ 0: >(0 b 1) œ >(1) œ 0!; n œ k: Assume >(k b 1) œ k! n œ k b 1: >(k b 1 b 1) œ (k b 1) >(k b 1) œ (k b 1)k! œ (k b 1)! Thus, >(n b 1) œ n>(n) œ n! for every positive integer n. 583 for some k € 0; from part (b) induction hypothesis definition of factorial x n n 1 1 50. (a) >(x) ¸ ˆ x ‰ É 2x and n>(n) œ n! Ê n! ¸ n ˆ n ‰ É 2n œ ˆ n ‰ È2n1 e e e (b) n 10 20 30 40 50 60 n 10 ˆ n ‰n È2n1 e 3598695.619 2.4227868 ‚ 10") 2.6451710 ‚ 10$# 8.1421726 ‚ 10%( 3.0363446 ‚ 10'% 8.3094383 ‚ 10)" ˆ n ‰n È2n1 e 3598695.619 calculator 3628800 2.432902 ‚ 10") 2.652528 ‚ 10$# 8.1591528 ‚ 10%( 3.0414093 ‚ 10'% 8.3209871 ‚ 10)" ˆ n ‰n È2n1 e1 12n e 3628810.051 Î (c) calculator 3628800 584 Chapter 8 Techniques of Integration NOTES: ...
View Full Document

Ask a homework question - tutors are online