비감쇠운동방정&ig

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Unformatted text preview: 비감쇠 운동방정식 , 해 자유물체도 스프링 질량 시스템을 매달면 정적 평형상태에서 정지 정적 평형상태에서 변위를 주면 진동시작 이 변위를 초기변위 x 로 운동은 평형상태로부터 측정 x 로 기술가능 F = ma 를 적용 외력의 합 = 가속도 x 질량 ma=-kx m d 2 x/dt 2 + kx = 0 운동방정식 질량을 공중에 스프링에 지지된 것처럼 힘을 표시 스프링 힘은 x 에 비례 x 에 비례하지 않으면 비선형 진동 어려움 윗식의 x, dx/dt, d 2 x/dt 2 은 시간의 함수임 운동방정식의 해는 물체의 미래의 운동 해는 주기적이므로 sine 함수로 가정 가장 일반적인 주기적 함수인 사인함수를 이용 x = A sin( t+ ) A 진폭 , 최대치 meter 고유진동수 각속도 rad/sec 사인 함수의 초기 위치를 결정 , 위상각 rad 가정한 sine 함수를 운동방정식에 대입후 식을 만족하면 해임 dx/dt= A cos( t+ ) d 2 x/dt 2 = - A sin( t+ ) 이로부터-m A sin( t+ )= -A sin( t+ ) 윗식은 =k/m 이면 항상 성립 는 시스템의 고유한 특성 , 고유진동수 사인함수 그림 사인함수 그림 x o =0.5mm, v o =2 2 mm/s, w n =2 rad/s, A=1.5mm 운동방정식 m d 2 x/dt 2 + kx = 0 은 2 차 선형 상미분방정식 적분시 2 개의 적분상수가 필요 가정한 해의 A 임 x 평형위치 변위 x kx x 자유물체도 초기조건을 적용 x o =x(0)=Asin( ) v o = Acos( ) 주어진 초기조건에 대하여 풀면 A= (x o +v o )/ =tan-1 ( x o /v o ) 운동방정식의 해는 x(t)= ( x o +v o )/ sin( t+tan-1 ( x o /v o )) 미분방정식 이용 1.1 절의 결과는 조화운동으로 가정하여 얻은 결과임 일반적인 미분방정식의 해 m d 2 x/dt 2 + kx = 0 변위를 아래와 같이 가정 x(t) = ae t 이를 미분 dx(t)/dt = ae t d 2 x(t)/dt 2 = 2 ae t 을 본식에 대입 m 2 ae t + kae t = 0 ae t 이므로 m 2 + k = 0 이어야 함 이를 풀면 는 = (-k/m) = (k/m) j = j 각각의 에 대하여 x(t)=a 1 e j t 와 x(t)=a 2 e-j t 위 두해의 합도 해가 됨 따라서 x(t)=a 1 e j t + a 2 e-j t 여기서 a 1 a 2 은 복소수 상수이어야 실수의 x(t) 를 얻을수 있음...
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This note was uploaded on 10/16/2011 for the course MECHATRONI 111 taught by Professor Jung during the Spring '11 term at Hanyang University.

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