근궤적법

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1. 서 론 s-평면상에 도시된 극점의 위치로부터 제어시스템의 안정도와 성능을 어느 정도 파악할 수 있다. 또한 일반적으로 폐루프 제어시스템 설계시 적당한 시스템 설계파라미터들을 선정 하여 폐루프 극점이 바람직한 위치에 놓이도록 조정한다. 이러한 목적을 조직적이며 쉽게 달성할 수 있는 대표적인 방법이 근궤적법(root locus method)이다. 2. 근궤적 개념 다음과 같은 폐루프 제어시스템에 대하여 근궤적 개념을 생각하기로 한다. 이 제어시스템의 폐루프 전달함수  는 다음과 같다.    (5.1) 여기서 는 개루프 전달함수이며, 근궤적을 작도하기 위하여 개루프 전달함수 일반식을 다음과 같이 표시한다.     ·····     ·····    (5.2) 식 (5.1)에서 폐루프 전달함수의 분모를 0으로 하는 특성방정식에 대하여 생각해 보기로 한다.     (5.3) 우선 특성방정식 (5.3)을 만족시키는 개루프 전달함수 를 다음과 같은 극좌표로 표시 한다.            ± ± ······ (5.4) 이 때 복소수함수인 개루프 전달함수 의 크기와 위상은 각각 다음과 같다.   (5.5)        ······ (5.6) 만일 s-평면상에 어떤 점이 개루프 전달함수 의 크기조건식 (5.5)와 위상조건식(5.6) 을 만족한다면, 그 점은 폐루프 특성방정식의 근이 된다. 따라서 근궤적을 그리는 순서는 위상조건식 (5.6)으로부터 가능한 근들을 찾아내고, 다음에 크기조건식 (5.5)로부터 위치를 결정한다. 이와 같은 방법으로 식 (5.2)에 있는 근궤적 파라미터 K를 0에서 무한대까지 변화시켜 가며 그때의 특성방정식의 근을 s-평면상에 작도한다. 이러한 근궤적선도로부터 각각의 개 푸르 극점과 영점이 근궤적, 즉 폐루프 극점의 위치에 영향을 준다는 것을 알 수 있고 이 방법은 근궤적 파라미터 값에 따른 모든 폐루프 극점의 취리를 도해적으로 보여준다.
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근궤적을 작도할 때 유의해야 할 점은 식 (5.2)의 개루프 전달함수의 일반형에서 근궤적 파라미터 K<0이 되는 경우이다. 일반적으로 우리는 K>0인 최소위상플랜트(minimum phase plant) 경우에 대한 근궤적을 작도하지만, 비최소위상플랜트(non-minimum phase plant) 경우는 근궤적 파라미터 K의 값이 음수가 될 수 있다. 이 경우에는 개루프 전달함수  의 크기와 위상이 각각 다음과 같이 표시된다.
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