Chap2 - 第 2章 力系的简化 力系的简化 (Reduction...

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Unformatted text preview: 第 2章 力系的简化 力系的简化 (Reduction of Force System) 第 2 章 力系的简化 ■ 汇交力系 ■ 力偶系 ■ 空间任意力系的简化 ■ 讨论 ■ 汇交力系 力 系 两个或两个以 上的力所构成的系 统称为力系,又称 力的集合. 空间力系 风力 重力 浮力 阻力 ■ 汇交力系 汇交力系 (concurrent force system) 所有力的作用 线汇交于一点的力 系称为汇交力系 ■ 汇交力系 一、力在直角坐标轴上的投影与分解 F = F cos ü a x ï F = F cos b ý y ï F = F cos g þ z F = F sin g cos ü j x ï F = F sin g sin j ý y ï F = F cos g z þ ■ 汇交力系 v v v v F =Fx +Fy +F z v v v =Fi +F j +Fk x y z ■ 汇交力系 二、汇交力系合成与平衡 合成—几何法 力多边形法则 ■ 汇交力系 合成—解析法 v v v v v FR = F1 + F2 + LL + Fn = å Fi 而 F R x = å Fix F R y = å Fiy F R z = å Fiz 合力的大小和方向余弦分别为 F = ( F ) 2 + ( F ) 2 + ( F ) 2 å ix å iy å iz R å F ix cos( R , i) = F F R cos( R , j) = F å F iy F R ü ï å F ý iz cos( R , k ) = F ï F þ R ■ 汇交力系 平衡—几何法 平衡的几何条件是:汇交力系的力多边形自行封闭。 ■ 汇交力系 平衡—解析法 汇交力系平衡的必要和充分条件 是:力系的合力等于零,即 v FR = 0 其平衡方程式为 å F = 0 ix å F = 0 iy å F = 0 iz 即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 ■ 汇交力系 例 起吊装置如图(a)所示,起重杆 A端用球铰链固 定在地面上,B端则用绳CB和DB拉住,两绳分别系在 墙上的点C和D,CD连线平行于X轴。若已知 a = 30° Ð ° CE = EB = DE , , EBF = 30 ,如图(b)所示, P 物重 = 10 kN 。不计杆重,试求起重杆所受的压力和 绳子的拉力。 解:取起重杆 AB 与重物为研究对 象,建立图示坐标系,受力如图(a)。 Ð ° 由已知条件可知, CBE = ÐDBE = 45 由平衡方程 å F = 0 x F sin 45 - F sin 45 = 0 ° 2 ° 1 å F = 0 y F sin ° - F cos ° cos ° - F cos ° cos ° = 0 30 1 45 30 2 45 30 A å F = 0 z F cos ° sin ° + F cos ° sin ° + F cos ° - P = 0 45 30 2 45 30 A 30 1 解得 F = F = 3 54 kN . 1 2 F = 8. kN 66 A F 为正值,表明所设的 A F 方向正确, AB 为压杆。 A 力对点的矩 ■ 力偶系 ★ 力对点之矩与力对轴之矩 ★ 力偶系 ★力对点之矩与力对轴之矩 1、力对点之矩 (moment of a force about a point) 力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。 1)矢积表达式 v v v v F ( F x ,F y ,F z ) A ( x , y , z ) v v v v r= x i+ y j+ z k v v v v M o ( F ) = r ´ F 力矩的大小 M O (F ) = F × d = 2 A OAB D ★力对点之矩与力对轴之矩 2)力对点之矩的解析式为 é i j k ù v v v v ê ú Mo (F) = r ´ F = ê x y z ú êFx Fy Fz ú ë û = (F y­F z) i +(F z­F x) j+(F x­F y) k z y x z y x = [M O ( F )]x i + [M O ( F )] y j + [M O ( F )] k z [ o ( )] x = yF - zF ü M F z y ï [ o ( )] y = zF - xF ý M F x z ï [ o ( )] z = xF - yF þ M F y x 力对点的矩为零的条件: 要使|MO(F )|=0,就有r×F =0,得: 1)r =0或r与F 共线,即力通过矩心; 2) F = 0 ★力对点之矩与力对轴之矩 力对点 之矩是定位 于矩心的矢量,其矢 量方向由右手定则确 定. 平面问题中力对点之 矩是代数量。取绕矩 心逆时针转动为正, 反之为负。 ★力对点之矩与力对轴之矩 2、力对轴之矩 实 例 moment of a force about an axis 力对轴之矩是 力使物体绕某轴转 动效果的度量。 F F z F y F x F ★力对点之矩与力对轴之矩 定义 :将力向垂直于 : 该轴的平面投影 ,力的 投影与投影至轴的垂直 距离的乘积. Mz (F) = F d xy = ±2 ADoAB ★力对点之矩与力对轴之矩 力对轴之矩的解析式 M x ( ) = yF - zF ü F z y ï M y ( ) = zF - xF ý F x z ï M z ( ) = xF - yF þ F y x ★力对点之矩与力对轴之矩 3、力对点之矩与力对轴之矩的关系 F [ o ( )] = M x ( ) = yF - zF ü M F x z y ï F [ o ( )] = M y ( ) = zF - xF ý M F y x z [ o ( )] = M z ( ) = xF - yF ï M F z F y x þ 力对点之矩在通过该点的某轴 上的投影等于力对该轴之矩。 v v v v v v v v M O (F) = M x (F) i + M y (F) j + M z (F)k ★力对点之矩与力对轴之矩 M o F 特 殊 情 形 结 论 : 当轴垂直于r 和F 所在的平面时, 力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 ★力对点之矩与力对轴之矩 4、 合力之矩定理 汇交力系 ( F , F 2 , L , F n ) 1 n F = S F R i i=1 M (F )= S M O (F ) O R i M z ( R ) = [M O ( R ) Z = å[M F F ] O ( ) Z = å M Z ( ) F ] F 合力矩定理:(汇交力系)合力对任一点之矩矢等于 力系中各力对该点之矩矢的矢量和; (汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中 各力对该轴之矩的代数和。 *该定理适用于有合力的任何力系 ★力对点之矩与力对轴之矩 例 题 已知 : F ,l1,l2 ,a . 求 : MO(F ) 解: M (F) = M ( x ) + M ( y ) O o F o F =M (F sin a i) + M (F cosa j) O O ★力对点之矩与力对轴之矩 例 题 题 三角形分布载荷作用在水平梁 AB 上,如图所示。 最大载荷强度为 q , 梁长 l 。试求该力系的合 m 力 解: 求合力的大小 q¢ = x q m l l F = ò q ¢dx = R 0 求合力作用线位置 l F R h = ò q ¢xdx 0 1 q m l 2 2 h = l 3 即合力大小等于三角形线分布载荷的面积,合 力作用线通过三角形的几何中心。 ★力对点之矩与力对轴之矩 ★力偶系 力 偶 (couple) : 大 小相等,方向相反,不 F 1 r r 1 BA r 2 F 2 共线的两个力所组成 的力系. F 1 力偶作用面(acting plane of a couple) : 二力所在平面。 F 2 力偶臂(arm of couple):二力作用线之间的垂直距离。 ★力偶系 ● 力 偶 实 例 ★力偶系 ● 力 偶 实 例 F 1 F 2 ★力 偶 系 力 偶 矩 矢 力偶三要素:力偶矩的 大小;力偶作用面在空 间的方位;力偶在作用 面内的转向。 力偶三要素可用一个矢 量表示,称为力偶矩矢 (moment vector of couple) 力偶对O点之矩等于这个 力系中的两个力对该点 M = r ´ F 之矩之和。 BA ★力偶系 O 1 M = M (F) + M (F´) O O O = r ×F + r × F´ A B = r × F ­ r × F A B =( r ­ r ) × F A B = r × F BA ? M O1 = 其方向亦可由 右手定则确定。 ★ 力偶系 ●力偶的性质 性质一 : 力偶无合力,即主矢FR=0. 性质二 : 力偶对刚体的运动效应 (effect of motion) 只与力偶矩矢量有关. ★ 力偶系 F F ´ F F ´ 推 论 * 只要保持力偶矩矢量 F F ´ 不变,力偶可在作用面内 任意移动,其对刚体的作 用效果不变 ★ 力偶系 推 论 F F ´ F / 2 F´/ 2 (b) * 保持力偶矩矢量不变,分别改变力和 力偶臂大小,其作用效果不变。 ★ 力偶系 推 论 M=Fdk * 只要保持力偶矩矢量大小和方向不变 ,力 偶可在与其作用面平行的平面内移动。 ★ 力偶系 ●力偶系及其合成 z 力偶系(system of couples) : 由两个或两个以上力偶 x y 组成的特殊力系 ★力偶系 力偶系合成的结果 : M 仍然是一个力偶,其 力偶矩矢量等于原力 偶系中所有力偶矩矢 量之和。即 n M=S M i i=1 ★力偶系 SM z SM y M = åM i +åM j +åM k ix iy iz SM x M = M = M x +L M = å ix ü + nx M x 1 ï ï M = M y +L+ M = åM ý y 1 ny iy ï M = M z +L+M = åM ï z 1 nz iz þ ( å M 2 ix ) + ( å M å M ix cos (M, i ) = M å M iz cos (M, k ) = M 2 iy ) + ( å M cos (M, j)= iz ) å M M 2 iy ü ï ï ï ý ï ï ï þ ★ 力偶系 例题1 已知 : M1 和 M2 (M1=M2 =M 0), 及其作用面. 求: 合力偶 。 ★力偶系 解 : 首先将已知力偶矩 (大小和方向)表示成矢量表达式 r1 M n 1 = 1 = M × n 1 1 M n 2 = 2 = M 2 × n 2 r 1 r2 r 2 r = r ×r 1 CB AB r = r × r 2 DC AC r , r , r , r CB AB DC AC 其中 都可以表示成 i ,j k 的形式 结 果 : M=M +M 1 2 =(0.555i+1.279j+0.899k)M 0 ★力偶系 例题2 已知: 结构受力如图所示,图中M, r 均为已知, 且l=2r. 试: 画出AB 和BDC 杆的受力图; 求A,C 二处的约束力. ★力偶系 例题 2 受力分析: 1. AB杆为二力杆; 2. BDC杆的A、B二 处分别受有一个 方向虽然未知但 可以判断出的力. ■ 空间任意力系简化 (reduction of a force system) ◆ 力的平移 F : 力; B :任一点; a :F 与B 所在平面; n B n : a 平面的法 r 线单位矢; F ■ 空间任意力系简化 n n n B B r r F F 在B点作用什么力系才能 使二者等效 ? ■ 空间任意力系简化 〞 F n n B B r r F ( -F〞= F′=F ) = ) M ( F , F ¢¢) = M B (F) = r ´ F BA F′ F ■ 空间任意力系简化 M ( F , F ¢¢) = M B (F) = r ´ F BA 力的平移定理:作用在刚体上某点A的力F 可平行移到任一点B,但必须同时附加一个 力偶,这个附加力偶的力偶矩矢等于原来 的力F 对新作用点B的矩矢。 ■ 空间任意力系简化 实例 F ′ A F A F A F A ■ 空间任意力系简化 M F ′ A F A F A M x F A F A M y ■ 空间任意力系简化 ■ 空间任意力系简化 ◆ 空间任意力系向一点简化 ■ 空间任意力系简化 主 矢 ¢ ¢ ¢ F1 = F1 F 2 = F 2 L n = F n F F ˊ =S F ˊ R i = S F i 主矢(principal vector) :力系中 所有力的矢量 和 ■ 空间任意力系简化 F ˊ = S F ix Rx F ˊ = S F Ry iy F ˊ = S F iz Rz ¢ ( å F ) 2 + ( å F ) 2 + ( å F ) 2 ix iy iz F = R å F ix cos( F R , i ) = ¢ F R ¢ ¢ cos( F R å F iz , k ) = ¢ F R ¢ cos( F R å F iy , j ) = ¢ F R ü ï ï ï ï ý ï ï ï ï þ ■ 空间任意力系简化 M = M (F M = M (F ) L M = M (F ) 1 o 1 ) 2 o 2 n o n 主 矩 M o = å M i = å M o ( F ) i = å ri ´ F i 主矩(principal moment) : 力系中所有的力对同一 点(矩心)之矩的矢量和. ■ 空间任意力系简化 M ox = å [M o ( F ) x = å M x ( F ) M oy = å [M o ( F ) y = å M y ( F ) M oz = å [M o ( F ) z = å M z ( F ) ü 2 2 M O = [ M x ( F )] + [ M y ( F )] + [ M z ( )] ï å å å F 2 ï å M y ( ) ï F ï å M x ( F ) ( ( cos M O ,i) = cos M O ,j ) = ý M O M O ï ï å M z ( ) F ( cos M O ,k ) = ï ï M O þ ■ 空间任意力系简化 主矢 F R¢ = å F 主矩 M O = å M i = å M O (F) 简化结果:空间任意力系任一O点简化,可得 一个力和一个力偶。这个力的大小和方向等于力 系的主矢,作用线通过简化中心;这力偶的矩矢 等于该力系对简化中心的主矩。 ■ 空间任意力系简化 主矢的特点: ◆ 对于给定的力系,主矢唯一; ◆ 主矢仅与各力的大小和方向有关,主矢不 涉及作用点和作用线,因而主矢是自由矢。 主矩的特点: ◆ 力系主矩M 与矩心( O )的位置有关; O ◆ 力系主矩是定位矢,其作用点为矩心。 ■ 空间任意力系简化 F B M D M C F C M E F A 怎样判断不同力系的 运 动 效 应 是 否 相 同? 同? 力系等效定理(theorem of equivalent force systems) : 不同的力系对刚体运动效应相等的条件是不同力系的 主矢和对同一点的主矩对应相等. ■ 空间任意力系简化 空间任意 力系 汇交力系 合 力 F =SF R i 力 偶 系 合 力 偶 M = S M ( F ) O O i ■ 空间任意力系简化 实例 固定端约束 平面载荷作用的情形 平面分布约束力简化结果 : FA x ; FA y ; MA ■ 讨 论 ◆ 关于几个力学矢量的分类 请判断力矢量、力矩矢量、力偶矩矢 量、主矢、主矩分别属于下列矢量中的 哪一种: ●自由矢;●滑动矢;●定位矢. 请分析合力与主矢、合力偶矩矢量与 主矩的相同点和不同点. ■ 讨 论 ◆ 几种常见约束 ● 活 页 铰 ● 三维固定端 ■ 讨 论 ●活页铰 ■ 讨 论 ● 三维固定端 ■ 讨 论 ◆ 特 殊 情 形 形 力系向任一点(O )简化结果 1) F = 0, M o = 0 R —零力系(平衡力系) 2) F = 0, M o ¹ 0 — 合力偶 R 3) F ¹ 0, M o = 0 R — 合 力 4) F ¹ 0, M o ¹ 0 (FR ^ MO )— 合力 R (还可以再简化) ■ 讨 论 M O ( R ) = å M O ( ) F F [M O ( F R ) ]Z = å[M O ( F ) ] Z = å M Z ( F ) 合力矩定理 :合力对任一点之矩矢等于力系 中各力对该点之矩矢的矢量和;合力对任一轴 之矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。 ■ 讨 论 F ¹ 0, M o ¹ 0 R 一 般 情 形 ● ● ● F R垂直于MO F R平行于MO F R既不平行也不垂直于MO 三种结果都还可以再简化 ■ 讨 论 ■ 讨 论 wrench of force system ■ 讨 论 问题 : 力系如图所示,若 FT、FQ、h、e等为 已知,求: F Q 1. 向 C 点简化结果 2. 最后简化结果 F T C h F ′ T e 本 章 作 业 ...
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This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

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