Chap3 - 第3章 力系的平衡 力系的平衡 (...

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Unformatted text preview: 第3章 力系的平衡 力系的平衡 ( Equilibrium of Force System ) 第3章 力系的平衡 ■ ■ ■ ■ 平衡条件与平衡方程 平面物体系的平衡问题 平面桁架 空间物体系的平衡问题 ■ 讨论 平面任意力系实例 主矢 F ¢ ¹ 0 R R F ¢ = 0 R R 主矩 最后结果 说明 说明 M O = 0 O 合力 合力作用线过简化中心 合力作用线过简化中心 M O M O M O ¹ 0 O 合力 M O ¹ 0 O 合力偶 与简化中心的位置无关 M O = 0 O 平衡 与简化中心的位置无关 合力作用线距简化中心 合力作用线距简化中心 ¢ F R F ¢ R 其中 M O d = O F ¢ R R 合力矩定理 M oo = F ¢d R R M o ( F ) = M O = å M O ( F ) M o R i R O O i FR = F ¢ = F ¢¢ = R R R R R ( - 3 3 ) 若为 O1 点,如何? 点,如何? ■ 平 衡 条 件 与 平 衡 方 程 ◇力系的平衡条件 ◇力系的平衡方程 由力系等效定理,力系平衡的充要条件 由力系等效定理,力系平衡的充要条件 ◇(conditions both of necessary and sufficient for equilibrium) : 力 v ' v FR = 0 M o = 0 系 的 平 v ' v FR = 0 M o = 0 平 衡 衡 条 件 满足这一条件的力系称为“平衡力系”。 “ ” 。 ◇ 力 系 的 平 衡 方 程 ★ 平面一般力系 ★ 空间一般力系 ★ 平 面 一 般 力 系 平 衡 方 程 ★ 平面力系平衡方程 ★ 平面力系平衡举例 ★ 平 面 力 系 平 衡 方 程 对平面一般力系,如在oxy平面内, oxy 则: S F = 0 S x = 0 S F = 0 S y S M (F)= 0 S O F = 0 (一矩式) 或(基本式) 力系中各力在坐标轴上投影的代数和分 别等于零,各力对任意点之矩的代数和等 于零。 三个独立的平衡方程,可解3个未知量。 ★ 平 面 力 系 平 衡 方 程 其他形式: S F = 0 S x = 0 S M (F)= 0 S A F = 0 S M (F)= 0 S B F = 0 S M (F)= 0 S A F = 0 S M (F)= 0 S B F = 0 S M (F)= 0 S C F (两矩式) (三矩式) (三矩式) C B A B x A、B 连线不垂直 于x 轴 轴 A C A、B、C三点不 在同一条直线上 例题1 已知: 1 = 10kN P2 = 40kN 尺寸如图; , 2 , 已知:P1 求: 轴承A、B处的约束力. 解: 取起重机,画受力图. å Fx = 0 x FAx + FB = 0 = Fy å F = 0 y FAy - P1 - P2 = 0 1 Ay 2 M å A A = 0 - FB × 5 - 1.5 × P1 - 3.5 × P2 = 0 1 B 2 = 解得 解得 kN FAy = 50 kN FB = - kN FAx = 31 31 kN Ay ★ 平 面 力 系 平 衡 举 例 例题2 在图示刚架中,已知 q = kN/m F = 2 , 6 m 3 10 × kN, M = kN m ,不计刚架自重。求固定端A 处的约束力。 ■ 物 体 系 的 平 衡 问 题 * 物体系的平衡 * 静定与静不定问题 * 物系的平衡问题举例 物体系是指由几个物体通过约束组成的系统。 * 物 体 系 的 平 衡 其特点:整体系统平衡,每个物体也平衡,局 部也平衡。可取整体或部分系统或单个物体或 局部为研究对象。 整体平衡, 局部必然平衡。 局部必然平衡。 * 物 体 系 的 平 衡 衡 F By F ’ R2 F By RBy R F ’ R2 F Bx RBx F F R Bx Ax F F Ax Ay Ay F Cx C F C RC R x F Ay C F F Cy RCy * 物 体 系 的 平 衡 整体平衡, 局部必然平衡。 * 静 定 与 静 不 定 问 题 由平衡方程可解出全部未知数—静定问题 静定问题 (statically determinate problem) 。 由平衡方程无法求出全部未知数—静不定问题 静不定问题 (statically indeterminate problem) 。 * 确定物体在空间的位置所需独立坐标的 目,称为物体的自由度(degree of freedom) (N) N ) 静 定 约束状态:刚体在空间运动所受的限制状况。 与 独立的平衡方程数 Ne 静 未知约束力个数 Nr 不 自由度数 N =Ne-Nr 定 不完全约束 — Ne ﹥ Nr 问 完全约束 — Ne=Nr — 静定问题 题 多余约束 — Ne ﹤Nr — 静不定问题 * 静 定 与 静 不 定 问 题 示例 多余约束 : 自由度数 1 不完全约束: 自由度数-1 完全约束 : 自由度数 0 * 静 定 与 静 不 定 问 题 机 构 — 不完全约束 构 静定结构(statically determinate structure) —完全约束 structure) — 超静定结构(statically indeterminate structure) —多余约束 structure) — 结 构{ i = N r - N e 超静定次数 (degree of statically indeterminate problem) * 物 体 系 的 平 衡 问 题 举 例 例 题 1 图示结构 ,若 F 确定四种情形下的约束力 确定四种情形下的约束力 l A l l F P A B l B M=F l M P = l l C C l A 和l 已知。 P l B l F P D A l B M=F l M P = C C D * 物 体 系 的 平 衡 问 题 举 例 例题1 1 l A F P l 第一种情形 B l C l 第二种情形 A l C l B M=F l M P = 例题 1 * l 物 体 A 系 l 的 C 平 衡 问 第四种情形 题 举 例 F P l D B 第三种情形 l A l l B M=F l M P = C D A 例题 1 l D B l C F Ay l F Ax A d 形情种一第 l F P C l B F BC F P D F Ay 形情种一第 例题 1 1 l F Ax A d l B F P D F BC C S M ( F ) = 0 : F ´ d ­ F ´ 2l = 0 S A BC ´ P ´ 2 BC P F = 2 2 F BC P ­ Ay ´ S M ( F ) = 0 : ­F ´ l ­ F ´l = 0 S B P P Ay F = ­ F Ay P F +F cosa = 0 SF = 0 : Ax BC cos x F =­2F ­ Ax = 2 P l l A 例题 1 1 l F Ay F l By M=F l M P = F Ax C A F ´ ´ By B 分析BC和 BC 和 ABD杆受力 ABD 形情种二第 D B C F ´ ´ Cx F ´ ´ Bx M=F l M P l = F ´ ´ Cy B F Bx l D F ´ ´ By B 形情种二第 例题 1 考察BC杆 BC 的平衡 C F ´ ´ Cx F ´ ´ Bx M=F l M P = F ´ ´ Cy S F = 0 : F ´­ F ´=0 F ´= F ´ S x Bx ­ Cx Cx Bx S F = 0 : F ´­ F ´=0 F ´= F ´ S y By ­ Cy Cy By S M ( F ) = 0 : F ´´l +F ´l = 0 S B Cy BC + P P 2 Ö¯ = ­ — F F ´= F ´ Cy By 2 P 形情种二第 例题 1 F 1 Ax F Ay By l F A l B ABD D 考察ABD杆 的平衡 的平衡 F Bx C C S M ( F ) = 0 : S A ) = 0 : F Bx = 2 F P 2 S M ( F ) = 0 : S B ) = 0 : F = 0 Ay S M ( F ) = 0 : S C F = ­F Ax ­ P l 形情种二第 例题 1 l B D M=F l M P = l A l C F A A B F C C 更简单的 方 法 l B F ´ B F B M=F l M P = D l A 例题 1 1 l 形情种二第 l D B 关于平衡对象 的选择 的选择 M=F l M P = C l F A 能不能以整体 l 为平衡对象 A C F C C l B M=F l M P = D l l D B A l C l F A A 形情种三第 例题 1 F P l F Cy F Cx C l B F P D 形情种三第 例题 1 l F A A F P l B D F Cy F Cx C E S M ( F ) = 0 : F ´ l ­F ´ 2l = 0 S A ) = 0 : Cx ´ ­ P ´ 2 ­ A ´ S M ( F ) = 0 : ­F ´ l ­ F ´ 2l = 0 S C P ´ 2 S M ( F ) = 0 : ­F C y ´ 2l ­F ´ l = 0 S E ) = 0 : ­ C ´ 2 ­ A ´ F = 2F , F = F , F = ­2F Cx P Cy P A P l 形情种四第 例题 1 l D B A M=F l M P = C l F A A l F C l B M=F l M P = C SM (F) = 0 : F = F = F C A C P D 已 知 : 求 : 形 情 种 一 第 例题 2 FP、l、r A、D 二处约束力 l l l B C 2FP r B E l D 1.5l 1.5l A D FP A E C 2F P 形情种一第 例题 2 B B E D 2F P C C E D F By 2F P B F Bx A F A M A x A x A F A y E F E DE D C l l l l C B E l l D F P 1.5l 1.5 l ′ F ′ T l 1. l .5 1 5l B A l D F ′ T1 1.5l 1.5 1. l .5 1 5l A F P l l E F T l 形情种二第 例题 2 r F Ax M A F Ay C F T1 r F ′ By F ′ F T B T C F E Bx F T1 F 例题 2 形情种二第 B DE DE D F Ax A F Ay M A F C T T E F T1 q l l l l C B 形情种三第 例题 2 r E l q—载 荷 集 度 q — l D F P l l 2ql 2 l l 1.5l 1.5 l 1. l .5 1 5l C B A E l l D 1.5l 1.5 1. l .5 1 5l A F P r 2ql 2 ql ′ F ′ T 例题 2 形情种三第 B F Ax A F Ay M A F By F C T E D 2ql 2 B F Bx F T1 F E DE D F T E F T1 l l H l l B 形情种四第 例题 2 C E l l D F P 1.5l 1.5 1. l .5 1 5l A 问题:在不改变结构和载荷F P 的位置与方向的情形下,怎样 改变缆索CH的位置,才能使A CH 端的约束力偶M 减小 ? A r kN , 例题 3 已知: F=20kN, q=10kN/m, M = 20 × m L=1m; =10kN/m, 求: A,B处的约束力. 解: 取CD梁,画受力图. M å M c = 0 l 0 F sin 60 × l - ql × - F cos 30 0 × 2 = 0 l B B 2 0 0 解得 FB=45.77kN 取整体,画受力图. å F ix = 0 F ix 0 0 0 0 F - F cos 60 - F sin 30 = 0 Ax B Ax B 解得 解得 å FAx = 32. kN 89 F F iy = 0 F iy 解得 解得 M å M A A 0 0 F - F sin 60 0 - 2 - F cos 30 0 = 0 ql Ay B Ay B FAy = -2. kN 32 F = 0 0 0 0 0 M A - M - 2 × 2 + F sin 60 × 3 - F cos 30 × 4 = 0 ql l B l l A B 解得 解得 M A = 10. kN 37 A 例题 4 0 q 已知: DC=CE=CA=CB=2l, R=2r=l, = 45 0, P, 各构件自重不计. 求: A,E 支座处约束力及BD 杆受力. 解: 取整体,画受力图. M å M E E = 0 5 - F A × 2 × 2 l - P × l = 0 A 2 解得 解得 5 2 F = P A = A 8 å F ix = 0 F F + F cos 45 = 0 Ex A 5 F = P Ex = Ex 8 解得 解得 å 0 F iy = 0 F iy 0 F - P + F sin 45 = 0 Ey A 13 F = P Ey = 8 解得 解得 取DCE杆,画受力图. M C å M C = 0 解得 解得 0 - F cos 45 × 2 - F × l + F × 2 = 0 l K l DB Ex 3 2 F = P DB = DB 8 (拉) * 例题 5 图示构架,由直杆BC,CD及直角弯杆AB组成, 物 各杆自重不计,载荷分布及尺寸如图。在销钉B上 体 作用载荷P。已知q、a、M、且 M = qa 求固定 系 端A的约束力及销钉B对BC杆、AB杆的作用力。 的 平 衡 问 题 举 例 2 解: 取CD 杆,画受力图. 杆,画受力图. a å M D = 0 FCx × a - qa × = 0 Cx D = 2 1 得 得 FCx = qa = 2 取BC 杆(不含销钉B ),画受力图. ),画受力图. å Fix = 0 = 解得 解得 å M C = 0 解得 解得 ' Cx FBCx - F = 0 = 1 FBCx = qa BCx 2 M - FBCy a = 0 = FBCy = qa = 取销钉B,画受力图. ,画受力图. '' ' ' FABx - FBCx = 0 å Fix = 0 = ABx BCx = ix 1 1 ' ' FABx = qa 则 FABx = - qa 解得 ABx = 解得 则 ABx 2 2 '' ' ' å Fiy = 0 FABy - FBCy - P = 0 = = ABy BCy iy ' ' FABy = P + qa 则 FABy = -( P + qa) + + 解得 ABy 解得 则 ABy 取AB杆(不含销钉B),画受力图. ),画受力图. å Fix = 0 ix = 解得 解得 1 FAx + × q × 3a - FABx = 0 Ax ABx = 2 FAx = - qa Ax å Fiy = 0 FAy - FABy = 0 Ay ABy iy = 解得 解得 FAy = P + qa Ay 1 = å M A = 0 M A - × q × 3a × a + FABx××3 aa - FABy × a = 0 A ABx 3 ABy A = 2 解得 解得 M A = ( P + qa) + a A * 物 体 系 的 平 衡 问 题 举 例 例题 6 如图所示。吊车梁支承在三角拱钢架的突出部分D、E 上。梁重 P = 20 kN ,其作用点通过点C ;每个钢架 1 重 P = 60 kN ;载荷 P = 10 kN ;风力 F = 10 kN 。尺寸如 2 图。D、E两点在力 P 的作用线上。求支座A和B的约束力。 解:(1)取整体系统,受力如图 (a)。由平衡方程 F F P P P P å M A ( F ) = 0 12 By - 5 - 2 - 10 - 4 2 - 6 1 = 0 F + F - P - P - 2 P = 0 Ay By 2 1 å F = 0 y 解得 F = 77. kN 5 F = 72. kN 5 By Ay (2)取吊车梁,受力如图(b),由平衡方程 å M D ( F ) = 0 8 E - 4 1 - 2 2 = 0 F P P 5 解得 F = 12. kN E (3)取右边钢架,受力如图(c)。由平衡 方程 å M ( F ) = 0 C 6 F - 10 F - 4 P + F ¢ ) = 0 ( By Bx E 解得 F = 17. kN 5 Bx (4) 再取整体系统。由平衡方程 å F = 0 x 解得 F + F - F = 0 Ax Bx F = 7. kN 5 Ax ■ 平面桁架 ◇桁架及其分类 ◇工程实例与理想桁架 ◇桁架杆件内力计算 桁架—由杆件通过焊接、铆 ◇ 桁 架 及 其 分 类 接或螺栓连接而成的结构 。 ◇ 桁 架 及 其 分 类 ◇ 桁 架 及 其 分 类 ※ 平面桁架 ※ 空间桁架 ◇ 桁架及其分类 平面桁架 ● 平面结构, 载荷作用在结构平 面内; ● 对称结构, 载荷作用在对称 面内。 ◇桁架及其分类 空间桁架 ● 结构是空 间的,载荷是任 意的; ● 结构是平 面的,载荷与结 构不共面。 ◇ 工 程 实 例 与 理 想 桁 架 ◇ 工 程 实 例 与 理 想 桁 架 ◇ 工 程 实 例 与 理 想 桁 架 ◇ 工 程 实 例 与 理 想 桁 架 理想桁架: ①桁架杆件均为直的; ②杆件用光滑铰链连结; ③外力(载荷)都作用在节点(杆端 连接处)上,且在桁架平面内; ④桁架杆重忽略不计或均匀分配到节 点上。 由以上假设可知,杆件均为二力杆— 拉杆或压杆。 ◇工程实例与理想桁架 无余杆桁架:若从桁架中去掉任一根杆件, 其形状可变,图(a);有余杆桁架:若去掉某 几根杆件,其形状不变。如图 (b)所示 形角三本基 ◇工程实例与理想桁架 型模算计化简 ◇工程实例与理想桁架 节点 杆件 ◇工程实例与理想桁架 模型与实际结构的差异 ◇ 桁架杆件内力计算 ① 节点法 ② 截面法 法 点 节 ● 以节点为研究对象 ● 由平面汇交力系平衡 方程求解 例1平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点D 处作用载荷 P = 10 kN 。试求桁架各杆件的内力。 节 点 法 法面截 * 用假想截面将桁架截开; * 考察局部桁架的平衡, 直接求得杆件的内力。 特点:“切一刀,取其半, “ 画内力,求平衡。” ” 例2如图 所示平面桁架,各杆件的长度都等 面 法 于1m。在节点E上作用载荷P =10kN,在节 1 点G上作用载荷 P2 = 7 kN 。试计算杆1、2和3 的内力。 ★ 空 间 一 般 力 系 平 衡 方 程 □ 空间力系平衡方程 □ 空间约束类型与约束反力 □ 空间力系平衡问题举例 □ 空 间 力 系 平 衡 方 程 根据平衡的充要条件 v ' FR = 0 v M o = 0 ′ ′ ′ ′ F ′ = F x ′ i + F y ′ j + F z ′ k R R R R R R R M = M i + M j + M k O ox oy oz k □ 空 间 力 系 平 衡 方 程 程 F ˊ = S F =0 ix Rx F ˊ = S F =0 Ry iy F ˊ = S F =0 iz Rz 即 SF =0 ix S F =0 iy S F =0 iz M ox = å M x (F ) = 0 M oy = å y ( F ) = 0 M M oz = å z ( F ) = 0 M å M (F ) = 0 x å M ( F ) = 0 å M ( F ) = 0 y z 空间任意力系平衡的必要和充分条件是:力 系中各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等 于零,各力对每个轴之矩的代数和也等于零。 六个独立的平衡方程,可解6个未知量。 □ 空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力 约束类型 约束力 未知量 个数 1 1 2 2 2 3 □ 空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力 约束类型 约束力 未知量 数目 3 4 4 5 6 □ 空 间 力 系 平 衡 问 题 举 例 例题1 图示三轮小车,自重 P = 8 kN ,作用于 E 点,载荷 P = 10 kN 作用于 C 点。求小车静 1 止时地面对车轮的约束力。 □ 空 间 力 系 平 衡 问 题 举 例 例题2 均质方板由六根杆支撑于水平位置,直杆两 端各用球铰链与扳和地面连接。板重为 P , 在 A 处作用一水平力 F ,且 F = 2 P ,不计 杆重。求各杆的内力。 ■ 讨 论 空间力系和平面力系特殊情形下 的平衡方程 空间平行力系 平面平行力系 空间汇交力系 平面汇交力系 空间力偶系 平面力偶系 本 章 作 业 4­18 4­23 4­27 3­18 3­26(e) 3­32 3­38 3­43 3­44 3­47 3­50 3­52 3­57 3­59 习题讨论课­­题1 ­­ 图示构架中不计各杆件重量,力F=1000N,杆 ABC与杆DEF平行,尺寸如图,求铰支座A、D处 的约束反力。 习题讨论课­­题2 ­­ 图示结构位于铅垂面内,由杆AB、CB及斜T形杆BCE组 成,不计各杆的自重。已知载荷F1、F2、M及尺寸a,且 M=F1a,F2作用于销钉B 上,求:(1)固定端A处的约束 反力;(2)销钉B对AB 开发杆及T形杆的作用力 习题讨论课­­题3 ­­ 3 由直角曲杆ABC、DE,直杆CD及滑轮组成的结构如图所 示,AB杆上作用有水平均布载荷q。不计各构件的重量,在 D处作用一铅垂力F,在滑轮上悬吊一重为Q重物,滑轮的半 径r=a,P=2F,CO=OD。求支座E及固定端A的约束反力。 习题讨论课­­题4 ­­ 4 在图示构架中,A、C、D、E处为铰链连接,BD杆上的销 钉 B 置 于 AC 杆 的 光 滑 槽 内 , 力 F=200N , 力 偶 矩 M=100N∙m,不计各构件重量,各尺寸如图,求A、B、C 处受力。 习题讨论课­­题5 ­­ 5 图示结构中,A处为固定端约束,C处为光滑接 触,D处为铰链连接。已知 F = F = 400 N 1 2 a = 45 ° M = 300 N m AB = BC = 400 mm × , CD = CE = 300 mm , 不计各构件自重,求固定端A 处与铰链D处 的约束力。 习题讨论课­­题6 ­­ 6 平面桁架的支座和载荷如图所示。ABC为等边 三角形,E,F为两腰中点,又AD=DB。求杆CD的内 力 F 。 CD 习题讨论课­­题7 ­­ 7 桁架受力如图所示,已知 F = 10 kN F = F = 20 kN , 2 1 3 。试求桁架4,5,7,10各杆的内力。 §3-3 物体系的平衡∙静定和超静定问题 总数 m 总杆数 m - 3 =2( n - 3 ) m = 2n - 3 总节点数 n 总节点数 关于平面桁架的几点假设: 1、各杆件为直杆, 各杆轴线位于同一平面内; 2、杆件与杆件间均用光滑铰链连接; 且位于桁架几何平面内; 3、载荷作用在节点上, 4、各杆件自重不计或均分布在节点上 在上述假设下,桁架中每根杆件均为二力杆 在上述假设下,桁架中每根杆件均为二力杆 节点法与截面法 1、节点法 2、截面法 例3-1 P , 已知: 1 = 450kN 已知: 1 F1 = 300kN , 1 P2 = 200kN , 2 F2 = 70kN ; 2 r r 求: 力系的合力 F 合力与OA杆的交点到点O的距离x, , R R 合力作用线方程 (1)向O点简化, 求主矢和主矩 求主矢和主矩 AB 0 q =p ACB = arctan = 16.7 0 AC 解: ' ' FRx = å ix = F1 - F2 cos q = 232.9 Fix 1 kN Rx 2 ' ' FRy = å iy = - P1 - P2 - F sin q = -670.1 Fiy kN kN 1 Ry 2 r r ' ' ¢ 大小 FR 大小 FR = R R 方向余弦 2 2 2 2 kN ( å F ) + ( å F ) = 709.4 kN ix ix iy iy å F = 0.3283 cos ( F , i ) = ix ix ' ' R R ' ' R R F å F = -0.9446 cos ( F , j ) = ( 主矩 ' ' R R ( ) ) iy iy ' ' FR R M o = å o F = -3F1 - 1.5 P1 - 3.9 P2 = -2355 × m M o kN m 1 o 1 2 (2)、求合力及其作用线位置. (2)、求合力及其作用线位置. M o 2 3 5 5 o d = = = 3 . 3 1 9 7 m m ' ' F R 7 0 9 . 4 R d x= = 3.514 m m 0 0 0 0 cos ( 90 - 70.84 ) (3)、求合力作用线方程 ( ) '' ' ' M o = å M o FR = x × FRy - y × FRx = x × FRy - y × FRx o o R Ry Rx Ry Rx ) 即 -2355 = x ( -670.1) - y ( 232.9 有:607.1 x - 232.9 y - 2355 = 0 = 例3-2(例2-1) 例3-2(例2-1) 已知:AC=CB=l, P=10kN; 已知:AC=CB=l, 铰链A和DC杆受力. 求:铰链A和DC杆受力. (用平面任意力系方法求解) 求: 解:取AB梁,画受力图. 取AB梁,画受力图. å Fx = 0 x Fy å F = 0 y å M A A = 0 0 0 FAx + Fc cos 45 = 0 Ax c 0 FAy + Fc sin 450 - F = 0 Ay c 0 0 Fc cos 45 × l - F × 2l = 0 = c 解得 FC = 28. kN F = -20 , F = -10 解得 F 28 , Ax kN Ay kN Ax Ay C 例3-4 已知: 已知: P, q, a, M = pa; = 求: 支座A、B处的约束力. 解:取AB梁,画受力图. Fx å F = 0 FAx = 0 x åM å A A = 0 解得 解得 Fy å F = 0 y 解得 解得 解得 FAm = 0 解得 Am = FB × 4a - M - P × 2a - q × 2a × a = 0 = 3 1 FB = P + qa B 4 2 FAy - q × 2a - P + FB = 0 = P 3 FAy = + qa + Ay 4 2 例3-5 已知: = 100kN M = 20kN × m , , 已知:P , q = 20 kN , l = 1m F = 400kN ; m 求 固定端A 处约束力. : 取T 型刚架,画受力图. 解: 1 kN 其中 F1 = q ´ 3l = 30 kN 其中 1 2 0 Fx å F x = 0 FAx + F1 - F sin 60 0 = 0 = Ax 1 解得 FAx = 316.4 kN 解得 Ax o F y = 0 FAy - P - F cos 60 o = 0 Ay å Fy Ay 解得 F Ay = 300kN åM å A A = 0 o o MA - M - F 1 × l + F cos 60 o × l + F sin 60 o × 3 = 0 l A 1 解得 MA = -1188kN × m 解得 M A kN 2 kN 例3-6 已知: P = 700 , P = 200 , 尺寸如图; 已知: 1 1 2 求:(1)起重机满载和空载时不翻倒,平衡载重P3; (2)P3=180kN,轨道AB 给起重机轮子的约束力。 3 解:取起重机,画受力图. r r F A 满载时, = 0, 满载时,A 为不安全状况 M å M B B = 0 P min × 8 + 2 P - 10 2 = 0 P 3 min 1 3 1 2 解得 P3min=75kN 3min r r F 空载时, B = 0, 为不安全状况 空载时, B M å M A A 解得 = 0 4P3max-2P1=0 3max 1 F3max=350kN 3max 75 kN £ P £ 350 kN 3 3 P3=180kN时 3 M å M A A 解得 4 3 - 2 1 - 14 2 + 4 B = 0 P P P F 3 1 2 B FB=870kN B å 解得 = 0 A B 1 2 3 F iy = 0 F A + F - P - P - P = 0 B 1 2 3 F iy FA=210kN A 例3-7 r r lF , 不计物体自重与摩擦, , , 已知: OA=R, = AB 系统在图示位置平衡; 求: 力偶矩M 的大小,轴承O处 的约束力,连杆AB受力, 冲头给导轨的侧压力. 解: 取冲头B,画受力图. å 解得 解得 F iy = 0 F - F cosq = 0 F iy B B F Fl F = = B B 2 2 cos q l 2 - R 2 å 解得 解得 F - F sin q = 0 N B N B F ix = 0 F ix F = F tan q = N N FR 2 2 l 2 - R 2 取轮,画受力图. å 解得 解得 F = ox = ox å 解得 解得 F ix = 0 F ix F + F A sin q = 0 ox A ox FR 2 2 l 2 - R 2 F iy = 0 F iy F + F A cosq = 0 oy A oy F = - F oy = oy M å M o o = 0 解得 M = FR 解得 F A cos q × R - M = 0 A 例3-9 0 已知: P 1 , 2 , P=2P 1 , R=2r, = 20 0; q 已知: 1 , P 2 , , 1 r, 求: 物C 匀速上升时,作用于 轮I上的力偶矩M;轴承 A,B处的约束力. 解: 取塔轮及重物C,画受力图. M å M B B = 0 解得 解得 由 由 F tt Pr - Ftt R = 0 Pr = = 10 P 1 1 R F r r = tan F tt 20 0 0 0 解得 F r = F tan 20 0 = 3 . 64 P 解得 r tt 1 1 å F ix = 0 F ix 解得 å F iy = 0 F iy F - F = 0 Bx r Bx r F = 3 64 1 Bx = , P Bx 1 F - P - P - F = 0 By 2 t By 2 t F = 32P By = 1 解得 By 1 解得 取轮I,画受力图. å F ix = 0 ix 解得 å FAx + Fr ' = 0 FAx = - 3.64 P 1 F iy = 0 FAy + Ft' - P = 0 F iy 1 解得 FAy = -9 P M A å M A = 0 M - F ' ' × r = 0 t t 解得 解得 M = 10 P r 1 1 例3-10 已知: 已知: P=60kN, P 1 20kN, P 2 10kN, = , 2 = 1 风载F=10kN, 尺寸如图; 求: 求: A,B处的约束力. A,B处的约束力. 解: 取整体,画受力图. M å M A A = 0 12 F - 10 P - 6 P - 4 P - 2 - 5 = 0 P F By 1 2 By 1 2 解得 解得 FBy = 77. kN 5 F By å F Ay + F - 2 P - P - P = 0 Ay By 1 2 By 1 2 F iy = 0 F iy 解得 解得 FAy = 72. kN 5 F Ay 取吊车梁,画受力图. M D å M D = 0 8 E ''E - 4 P - 2 P = 0 F 1 2 1 2 '' F E = 12 5 . kN E 解得 解得 取右边刚架,画受力图. åM C C 解得 解得 = 0 ( 6 F - 10 Bx - 4 P + F ) = 0 F FBy E By Bx E FBx = 17. kN 5 F Bx 对整体图 å 解得 解得 F ix = 0 F Ax + F - F = 0 F ix Ax Bx Bx F Ax = 7. kN 5 Ax 例3-12 已知: P=10kN,尺寸如图; 已知: P=10kN,尺寸如图; 求: 桁架各杆件受力. 解: 取整体,画受力图. å F ix = 0 F Bx = 0 ix Bx M å M B B å = 0 2 P - 4 Ay = 0 F Ay F Ay = 5kN Ay F iy = 0 F + F - P = 0 Ay By Ay By iy F = 5kN By By 取节点A,画受力图. å F iy = 0 F iy 解得 解得 å F = -10 (压) kN 1 1 F ix = 0 F ix 解得 解得 0 F Ay + F sin 30 0 = 0 Ay 1 1 0 F + F cos 30 0 = 0 2 1 2 1 F = 8 66 (拉) . kN 2 2 取节点C,画受力图. å F ix = 0 F ix 解得 解得 å 0 0 F cos 30 0 - F ' ' cos 30 0 = 0 4 1 4 1 F = -10 (压) kN 4 4 F iy = 0 iy ( F = 10 (拉) kN 3 3 解得 解得 取节点D,画受力图. å F ix = 0 F ix 解得 解得 ) 0 - F - F ' ' + F sin 30 0 = 0 F3 1 4 3 1 4 F - F ' ' = 0 5 2 5 2 F = 8 66 (拉) . kN 5 5 例3-13 已知: P = 10 , P = 7 , 各杆长度均为1m; 已知: 1 kN 2 kN 1 2 求: 1,2,3杆受力. 解: 取整体,求支座约束力. å F ix = 0 F ix M å M B B = 0 2 1 + P - 3 Ay = 0 P 2 F Ay 1 2 解得 解得 å FAx = 0 F Ax F iy = 0 F iy 解得 解得 FAy = 9kN F Ay F Ay + F - P - P = 0 Ay By 1 2 By 1 2 FBy = 8kN F By 用截面法,取桁架左边部分. 0 - F ×1 cos 30 0 - F Ay ×1 = 0 × 1 Ay 1 M E å M E = 0 解得 å F iy = 0 F iy 解得 解得 å F = 10 4 (压) . kN 1 1 F = 1 15 (拉) . kN 2 2 F ix = 0 F ix 解得 解得 0 F Ay + F × sin 60 0 - P = 0 Ay 2 1 2 1 0 F + F + F cos 60 0 = 0 1 3 2 1 3 2 F = 9 81 (拉) . kN 3 3 例 3-14 , 2 已知: P1 = 4kN P2 = 10kN 尺寸如图; , 已知: 1 求:BC杆受力及铰链A受力。 解: 取AB 梁,画受力图. 梁,画受力图. Fix = 0 å Fix = 0 å Fiy = 0 iy = å M A = 0 A = Fix = 0 å Fix = 0 0 FAx - FT cos 300 = 0 Ax T 0 FAy - P1 - P2 + FT sin 300 = 0 1 Ay 2 T 0 FT sin 300 × 6 - 4 P2 - 3P1 = 0 1 = T 2 0 FAx - FT cos 300 = 0 Ax T ì ì ï 0 0 å Fiy = 0 FAy - P1 - P2 + FT sin 30 = 0 1 í Ay 2 T iy = ï 0 î å M A = 0 FT sin 300 × 6 - 4 P22 - 3P1 = 0 = T 1 = A 解得 解得 FT = 17.33 kN T FAy = 5.33 kN FAy 5.33 kN (1) 可否列下面的方程: 可否列下面的方程: å Fix = 0 ix = å M A = 0 å M A = 0 å M B = 0 å M B = 0 ì å Fix = 0 ì å Fix = 0 ï ï íå M A = 0 íå M A = 0 ïå M = 0 ïå M = 0 B B î î FAx - FT cos 300 = 0 FAx - FT cos 300 = 0 FT sin 300 ××6 - 4 P22 - 3P1 = 0 FT sin 300 6 - 4 P - 3P = 0 1 -6 FAy + 3P1 + 2 P2 = 0 -6 FAy + 3P + 2 P2 = 0 1 FAx - F cos 30 oo = 0 FAx - F cos 30 = 0 T T FT sin 30 oo ×× 6 + 4 P22 - 3 P = 0 FT sin 30 6 + 4 P - 3 P = 0 1 1 - 6 FAy + 3 P11 + 2 P2 = 0 - 6 FAy + 3 P + 2 P2 = 0 (2) (2) 又可否列下面的方程? 又可否列下面的方程? åMA = 0 A o FT sin 30o × 6 - 4 P22 - 3P1 = 0 1 T å MB = 0 å MB = - 6 FAy + 3P1 + 2 P2 = 0 - Ay + P P2 = 0 1 å MC = 0 C ìå M A = 0 A ï íå M B = 0 B ï îå M C = 0 C FAx × AC - 3P1 - 4 P2 = 0 1 Ax 2 = FT sin 30oo × 6 - 4 P22 - 3P = 0 1 T 1 - 6 FAy + 3P1 + 2 P = 0 1 2 Ay 2 (3) FAx × AC - 3P1 - 4 P2 = 0 1 Ax 2 能否从理论上保证三组方程求得的结果相同? 能否从理论上保证三组方程求得的结果相同? 例 3-15 , 已知:P=10kN , a , 杆,轮重不计; , 求: A ,C支座处约束力. 求: A ,C支座处约束力. 解: 取整体,受力图能否这样画? 取整体,画受力图. 取整体,画受力图. å M A = 0 4aFAx + 8.5aP - FT a = 0 A = Ax T = 解得 解得 FAx = - kN 20 Ax å FAx + FCx = 0 Ax Cx = 解得 FCx = 20 kN Cx 取BDC杆(带着轮) 取BDC杆(带着轮) åMB = 0 B 4aFCy + FT × 3a + FT 1 × a - FCx × 4a = 0 = Cy T T 1 Cx kN 解得 FCy = 15 kN 解得 Cy 对整体受力图 对整体受力图 å Fiy = 0 iy = 解得 解得 FAy + FCy + FT - P = 0 Ay Cy T FAy = - kN 10 Ay 取BDC 杆(不带着轮) 取ABE(带着轮) 取ABE杆(不带着轮) 例3-16 已知:P , a ,各杆重不计; 求:B 铰处约束反力. 解:取整体,画受力图 取整体,画受力图 å M C = 0 - FBy × 2a = 0 = C = By 解得 解得 FBy = 0 By 取ADB杆,画受力图 取DEF杆,画受力图 取DEF杆,画受力图 å M D = 0 D = 得 得 FE sin 45oo × a - F × 2a = 0 E FE sin 45oo = 2 F E o ' ' å Fix = 0 FE cos 45 o - FDx = 0 = E Dx ix 得 得 ' ' o FDx = FE cos 45o = 2 F Dx E å M B = o B ' ' FDx × a - F × 2a = 0 = Dx ' ' F 得 FDx = 2 得 Dx = 对ADB杆受力图 对ADB杆受力图 å M A = 0 A = 得 得 FBx × 2a + FDx × a = 0 = Bx Dx FBx = - F - Bx 例3-17 已知: a ,b ,P, 已知: 各杆重不计, C,E处光滑; C,E处光滑; 求证: AB杆始终受压,且大小为P. 求证: 解: 取整体,画受力图. 取整体,画受力图. å Fix = 0 ix = FAx = 0 Ax = å M E = 0 P × (b - x ) - FAy × b = 0 = E = Ay P 得 FAy = (b - x 得 Ay - ) b 取销钉A,画受力图 取销钉A,画受力图 å Fix = 0 ix = 得 FAx + FADCx = 0 Ax ADCx = FADCx = 0 ADCx 取ADC杆,画受力图. 取BC,画受力图. 取BC,画受力图. ' ' FC × b - Px = 0 = å M B = 0 C = B 得 得 x F = P = b ' ' C C 对ADC杆 å M D = 0 对ADC杆 D = x ' ' 得 FADCy = FC = P 得 ADCy C = b å Fy = 0 对销钉A y = b b ' ' FADCy × - FC × = 0 = ADCy C 2 2 FAB + FAy + FADCy = 0 AB Ay ADCy = x x FAB + P - P + P = 0 AB b b 解得 解得 FAB = - P ( 压) 压) AB 例3-19 已知: 荷载与尺寸如图; 求: 解: 每根杆所受力. 取整体,画受力图. 取整体,画受力图. å Fix = 0 ix = FAx = 0 Ax = å M B = 0 -8 FAy + 5*8 + 10*6 + 10* 4 + 10* 2 = 0 = Ay B = 得 得 FAy = 20 kN Ay = å Fiy = 0 FAy + FBy - 40 = 0 Ay By iy = 得 得 FBy = 20 kN By 求各杆内力 取节点A ìå Fiy = 0 ® F ï AD iy AD í ïå Fix = 0 ® FAC î AC î ix 取节点C ìå Fiy = 0 ® F ï CF iy CF í ïå Fix = 0 ® FCD = 0 î CD î ix 取节点D ìå F = 0 ï iy iy ® FDF , F í DE DF DE å Fix = 0 ï î î ix 取节点E ìå Fiy = 0 ® F ï EG iy EG í ïå Fix = 0 ® FEF î EF î ix L L 例3-20 已知:P 1 2 ,P 3 ,P , 1 2 3 尺寸如图. 尺寸如图. 求:1,2,3杆所受力。 解: 求支座约束力 求支座约束力 å M A A å F = 0 iy iy ® F A y A y = 0 ® FBy By 从1,2,3杆处截取左边部分 从1,2,3杆处截取左边部分 åF å iy iy = 0 ® F 2 2 å M = 0 ® F1 1 å F = 0 ® F 3 ® 3 C C ix ix 若再求4,5杆受力 取节点D å F ix å F = 0 iy ® F 5 = 0 ® F 4 ® ...
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