Chap5 - 第5章 点的运动 5 与刚体 的简单运动...

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Unformatted text preview: 第5章 点的运动 5 与刚体 的简单运动 的简单运动 (Motion of a Point and Simple motion of a Rigid­Body) 第5章 点的运动 与刚体的简单运动 ■ 点的运动 ■ 刚体的简单运动 ■ 讨 论 ■ 点的运动 ★ ★ ★ ★ 矢量法 直角坐标法 自然(弧坐标)法 应用举例 ★ 矢量法 * * * * 运动方程 速度 加速度 变矢量求导的几何解释 ★ 矢量法 * 运动方程 点在任意瞬时t的位置用矢量r(t)表示, r(t)简称为位矢(position vector) 。 z 位矢端图 P r ´ P ´ r P² r = r (t) r² y x O -运动方程 ★ 矢量法 *速 度 t 瞬时: 矢径 r(t) z v P D r ' t+D t 瞬时: 矢径 r (t + D t ) 或r(t)+ D r(t) ´ P D t 时间间隔内矢径的改变量 r(t) ' r (t + D t ) O D r(t)= r ' (t + D t )- r(t) 点在 t 瞬时的速度 y D r d r & v = lim = = r D t ®0 D t t D ® 0 d t x 速 度(velocity) —— 描述点在 t 瞬时运动快慢和运动方 向的力学量。速度的方向沿着运动轨迹的切线;指向与 点的运动方向一致;速度大小等于矢量的模。 ★ 矢量法 v z P r O x ´ P v D ´ ´ r v a *加 速 度 t 瞬时: 速度 v(t) ´ v y t+D t 瞬时:速度 v´(t + D t ) 或v( t)+ D v(t) D t 时间间隔内速度的改变量 D v(t)= v´ (t + D t )- v(t) 点在 t 瞬时的加速度: 2 D v d v d 2 r && & a = lim = = v a = 2 = r 2 D t ®0 D t t D ® 0 d t d t 加速度(acceleration) —— 描述点在 t 瞬时速度大小和方向 变化率的力学量。加速度的方向为D v的极限方向(指向与轨 迹曲线的凹向一致) 加速度大小等于矢量a的模。 ★ 矢量法 * 变矢量求导的几何解释 变矢量(variable vector)求导 A(t) B (D A) B A(t+ D t ) B t 时刻: 矢量A(t) B t+D t 时刻: 矢量A(t+ D t ) B D t时间间隔中矢量改变: B参考系 (D A) = A(t+ D t ) - A(t) B B B ( A B æ d A ö D ) B & ) =ç ÷ = ( A lim Dt è d t ø B D t ®0 t D ® 0 B -此即变矢量A(t)在参考系B中对于时间t的导数。 ★ 矢量法 * 变矢量求导的几何解释 变矢量求导与参考系关系 单摆矢量 r 在固定坐标系 OA Ox y 中 1 1 ( r ) Ox 1 y 1 D OA Ox 1 y 1 æ d r ö OA OA = lim ¹ 0 ç OA ÷ t Ox y Dt D t ®0 t è d ø Ox 1 y 1 D ® 0 1 1 ★ 矢量法 * 变矢量求导的几何解释 变矢量求导与参考系关系 单摆矢量 r 在动参考系 OA Ox y (固结于OA杆上)中 2 2 ( r ) Ox 2 y 2 D OA Ox 2 y 2 æ d r ö OA OA OA = lim = 0 ç ÷ t Ox y Dt è d ø Ox 2 y 2 D t ®0 D ® 0 t 2 2 ★ 矢量法 * 变矢量求导的几何解释 位矢端图 速度端图 (hodograph of position vector) (hodograph of velocities) z P r v z ´ P ´ r D v P² r² v 1 y O x a v x O v v ´ v v y ★ 矢量法 * 变矢量求导的几何解释 变矢量求导的几何解释 dr & v = = r dt dv & a = = v = dt dA 变矢A(t)对时间t的导数 dt 为一新变矢,此 新变矢为变矢A(t)的端点的速度 u,即 d A = u dt ★ 直角坐标法 * 运动方程 * 速度 * 加速度 ★ 直角坐标法 z P r x k j i O y *运动方程 不受约束的点在空间有 3个自由度,在直角坐标 系中,点在空间的位置由 3个方程确定: z y x x = f (t) 1 y = f (t) 2 z = f (t) 3 ★ 直角坐标法 z r k j O i y r = x i + y j + z k & & & & v = r = ( x i + y j + z k ) & + ( x i + y & + z k ) j & z y x 度 将矢径(position vector)表示成 v P *速 (Oxyz)为定参考系 & j & i = & = k = 0 & & & & & v = r = x i + y j + z k = v x i + v y j + v z k x ★ 直角坐标法 z r x v P k j O i y *速 度 & &i & j &k v = r = x + y + z = v x i + v y j + v z k z y & & & v = x , v = y , v = z x y z x 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影 等于点的相应坐标对时间的一阶导数。 ★ 直角坐标法 z v r z k O i x y & x y z a = v = &&i + &&j + &&k & = a x i + a y j + a z k a j y x * 加速度 a x = && = v x x & a y = && = v y y & a z = && = v z = z & 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等 于点的相应坐标对时间的二阶导数。 ★ 自然(弧坐标)法 * 弧坐标与运动方程 * 密切面与自然轴系 * 速度 * 加速度 ★ 自然(弧坐标)法 *弧坐标与运动方程 如果点沿着已知的轨迹运动, 则点的运动方程,可用点在已知轨迹 上所走过的弧长随时间变化的规律描 述—弧坐标(arc coordinate of a directed curve) 弧坐标要素: 1、有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点); 2、有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向); 3、有相应的坐标系(自然轴系)。 ★ 自然(弧坐标)法 * 密切面与自然轴系 密切面 当P´点无限接近于 P点时,过这 两点的切线所组成的平面,称为P 点的密切面(osculating plane) 。 limα¢ =α lim ¢ P ¢ P P ® P ® ★ 自然(弧坐标)法 *密切面与自然轴系 由密切面得到的几点结论 ● 空间曲线上的任意点都存在密切面,而且 是唯一的。 ● 空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段 弧长,可以看作是位于密切面内的平面曲线。 ● 曲线在密切面内的弯曲程度,称为曲线的 曲率,用 1 / r 表示。 ● 曲线在垂直于密切面的平面内的曲率,称 为第二曲率。 ★ 自然(弧坐标)法 *密切面与自然轴系 自然轴系 自然轴系P-TNB (trihedral axes of a space Curve) B(副法线) P-空间曲线上的动点; N(主法线) s + T- 过动点P的密切面内 的切线,其正向指向 弧坐标正向; b n s ­ T(切线) P t N- 密切面内垂直于切线 的直线,其正向指向 曲率中心; B- 过动点P垂直于切线 和主法线的直线,其 正向由B=T%N确定。 自然轴系的基矢量(单位矢量) ★ 自然(弧坐标)法 * 密切面与自然轴系 自然轴系 自然轴系的特点 跟随动点在轨 迹上作空间曲线 运动。 ★ 自然(弧坐标)法 *速 度 d r d r d s v = = × 其中 d t d d s t d r D r = lim = 1 D ® 0 t d s D t ® 0 D s d r 的方向与P点的切线方向一致 d s d r = τ 所以 d s d s & τ 而 = s v = τ d t v = vττ ★ 自然(弧坐标)法 *速 度 d s & v = = s τ d t 点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时 间的一阶导数。 ● 若 s > 0 ,则 & + v > 0 ,即点沿着s 的方向运动; τ τ - 反之点沿着s 的方向运动; ● v = vττ 中 vt 和 t 分别表示速度的大小与 方向。 ★ 自然(弧坐标)法 *加速度 根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式 & a = v , v = vττ & & τ=? a = v τ+ v τ = &τ τ & d τ d τ d j d s & & τ = = × × d t d j d s d t ? 1 & s = v τ ρ ★ 自然(弧坐标)法 *加 速 度 d τ D τ = lim D j ® 0 D j D j ® 0 d j Dw t P Dt t´ Dj 2 sin τ 2 = lim D j ® 0 D j ® 0 Dj t ´ n 当Dw®0时, t 和t ´以及 Dt 同处 于P点的密切面内,这时, Dt 的极 限方向垂直于t ,亦即n方向。 d τ d = n d j Dj sin 2 = 1 = lim D j ® 0 Dj ® 0 Dj 2 ★ 自然(弧坐标)法 *加 速 度 a = v τ+ v τ & = &τ τ & & τ=? d τ d τ d j d s v t & τ = = × × = n r d t d j d s d t 1 s = v d τ & τ = ? n d j ρ 2 d t v v τ a= n = τ + d t r ★ 自然(弧坐标)法 *加 速 度 2 2 τ τ d tt v v a= n = τ+ d t r ▲ 弧坐标中的加速度表示 ▲ 在自然轴系投影形式 a = atτ+ a n n a b b n + b d v t a t = t = && -切向加速度 (tangential acceleration) : s t d t 表示速度矢量大小的变化率; 2 2 t t v -法向加速度(normal acceleration) : r 表示速度矢量方向的变化率; a b = 0 -表明加速度 a在副法线方向没有分量; b a n = n = a = a + a n t * 速度矢量v和加速度矢量a都位于密切面内。 ★ 应用举例 例 1 椭圆规机构 ω=j ω & =常数 , OA = AB = AC = l , BP = d 求:P点的运动方程、速度、加速度。 解: 1、建立固定参考系Oxy; 2、将所考察的点置于坐标系中的一般位置; 3、根据已知的约束条件列写点的运动方程。 P点的运动方程: x = (2 - d )cos = (2 - d )cos l j l j y = d j = d j sin sin 从中消去t得到P点的轨迹方程 2 2 2 2 æ x ö æ y ö ç ÷ + ç ÷ = 1 l è 2 - d ø è d ø P点的速度: & v x = x = -ω l - d )sin ωt (2 x & v y = y = ωd cos ω t y P点的加速度: 2 a x = && = -ω 2 (2 l - d) cosω t x & x 2 a y = && = -ω 2 dsinω t y y ★ 应用举例 几点讨论 1、 建立运动方程时,一定要将 所考察的点置于坐标系中的一般 位置: 对于直线坐标,位于坐标轴的 正向; 对于直角坐标系,位于坐标系 的第一象限。 2、关于P点运动的性质:何时 作加速运动?何时作减速运动? ★ 应用举例 例2 半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动(称为 纯滚动),设轮子转角 j = wt ( w 为常值),如 图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一 点M的运动方程,并求该点的速度、切向加速度及 法向加速度 ★ 应用举例 解:取 j = 0 时点M与直线轨道 的接触点O为原点,建立直角坐标 系Oxy(图示)。当轮子转过 j 时,轮子与直线轨道的接触点为 C。由于是纯滚动,有 ︵ OC = MC = r j x = OC - O M sin j = r ( t - sin wt ) w ü 1 则 M点的运动方程为: y = O C - O M cos j = r ( - cos wt ) ý 1 1 1 þ M点的运动轨迹是摆线 (或称旋轮线) 2 M点的速度 & v x = x = r ( - cos wt ) w 1 ü ý & v y = y = r sin wt w þ 2 v = v x + v y = r 2 2 wt w ­ cos wt = 2 wsin r 2 , (0 £ wt £ 2 ) p ★ 应用举例 & a x = & = r 2 sin t ü x w w ï 2 2 a = a x + a y = r 2 w ý 2 a y = && = r cos t ï y w wþ 取M的起始点O 作为弧坐标原点,将速度v 积分,即得用弧坐标表示的运动方程: t wt wt ö æ s = ò 2r sin dt = 4 ç1 - cos ÷, (0 £ wt £ 2 ) w r p 0 2 2 ø è w × t w × t 2 2 2 2 & = r cos at = v w a n = a - a = r sin w t 2 2 当 t = 2p / w 时 j = 2p ,点M运动到与地面相接触的位 置。此时点M的速度为零,这表明沿地面作纯滚动的轮子与 地面接触点的速度为零,但加速度却不为零。 a x = 0 a y = r 2 即接触点得加速度方向向上 , w ■ 刚的简单运动 ☆平 移 ☆ 定轴转动 ☆平 移 ◇ 工程实例 ◇ 定义、特点 ◇ 应用举题 ◇ 工程实例 ◇ 工程实例 ◇ 定义、特点 定义:刚体在运动过程中,其上任一条直线始终 与其初始位置保持平行,这种运动称为平动。 特 ● 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹; ● 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度 和加速度; 点 ● 刚体平移时的运动分析可以简化为其上任 意一点(一般取为质心)的运动分析; ◇ 例 3 应用举题 已知:O A= O B =l; 1 1 O A杆的角速度 w 和角 1 加速度 a 。 求:C点的运动轨 迹、速度和加速度。 ◇ 例 3 应用举题 解:板运动过程中,其上任意直 线始终平行于它的初始位置。 因此,板作平移。 1、运动轨迹 C点的运动轨迹与A、B两点的 运动轨迹形状相同,即以O点为 圆心l为半径的圆弧线。 2、速 度 v = v = v = wl C A B 3、加速度 a = a = ( tt ) 2 + ( n ) 2 = ( tt ) 2 + ( n ) 2 n n a A 2 a A 2 a C 2 a C 2 C A C C A A C A 2 4 = ( l ) 2 + ( 2 l ) 2 = l a 2 + w 4 = a 2 w 2 2 ☆ 定轴转动 ◇ 刚体转动方程 a ◇w 、 及其矢量表示 ◇ 刚体上点的 v a 及其矢积表示 、 ◇ 泊松公式 ◇ 轮系传动 ◇ 刚体转动方程 实 例 ◇ 刚体转动方程 定 义:刚体在运动过程中,其 上有且只有一条直线始终固定不动 时,称刚体绕定轴转动,该固定直 线称为轴线或转轴 。 特 点:刚体定轴转动时,刚体 内任一点均作圆周运动,圆心在轴 线上,圆周所在平面垂直转轴,半 径为点到转轴的距离。 ◇ 刚体转动方程 ● 自由度、广义坐标(generalized coordinate) : N = 1, q = j ● 刚体转动方程 j = f ( ) = j ( ) t t ◇ a w 、 及其矢量表示 ● d j & =j 角速度: w = dt ● 角加速度: 2 d w d j && a = = 2 = j dt dt ◇ a w 、 及其矢量表示 ● 角速度矢量 dj ω= k d t ● 角加速度矢量 2 d ω d 2 j α= = k = 2 2 d t d t 当 w × a > 0 时,说明两者同向,作加速转动。 当 w × a < 0时,说明两者反向,作减速转动。 ◇ 刚体上点的 v P a t P P a P P h a n P v 、 及其矢积表示 a 及其矢积表示 刚体上点(P): v P = w × R P s = R j P t a P dv = = R a P dt 2 v 2 a = = = R w P r R P t t a P a tan q = n = 2 = P n a P w 2 P n P t 2 n 2 P a = (a ) + ( ) a P P 2 = R a + w P 4 v 2 t n P a = a t + a n P P ◇ 刚体上点的 v 、 及其矢积表示 a 定轴转动刚体上的点(P) v P = ω ´ r P d v P d d r P ω P a P = = ´ r P +ω ´ P P P d t d t d t = ´ r P +ω ( ´ r P ) α P ´ ω P t a P = α ´ r P n P a = ω ´ v P = τ n a P = a P + a P ◇ 轮系传动 齿轮传动 齿轮传动特点 ①两轮接触点的速度大小、 方向相同。 ②两轮接触点的切向加速度 大小、方向相同。 v B = R w 2 v A = R w 2 1 1 R1w = R w 2 v A = v 1 2 B w R z 2 i12 = 1 = 2 = —传动比 w 2 R z 1 1 外 啮 合 内 啮 合 ◇ 轮系传动 皮 带 轮 和 链 轮 传 动 特点: ①皮带不可伸长(理想化) ②设皮带与轮之间无相对滑动 a ③皮带(链条)上各点 v ,t相同 ■ 讨 论 ◇ 描述点运动的三种方法比较 ● 矢量法-结果简明,具有概括性,且与坐标选择 无关。对于实际问题需将矢量及其导 数表示成标量及其导数的形式。 ● 直角坐标法-实际问题中一种广泛应用的方法。 ● 弧坐标法-应用于运动轨迹已知的情形,其最大特 点是将速度矢量大小的变化率和方向变 化率区分开来,使得数学表达式的含义 更加清晰。 ■ 讨 论 ◇ 速度、加速度的标量表示与矢量表 示的重要区别 v = v τ τ 速度大小 速度方向 2 τ d vt v a = vτ + v τ = τ+ n = &τ τ & d t r a = a + a n t 速度大小的变化率 速度方向的变化率 ■ 讨 论 ◇ 速度、加速度的标量表示与矢量表 示的重要区别 点沿着一螺旋线自 外向内运动。点所走 过的弧长与时间的一 次方成正比。请判断 点的运动性质: (A) 越跑越快; (B) 越跑越慢; (C) 加速度越来越大; (D) 加速度越来越小。 ■ 讨 论 ◇ 运动方程的极坐标形式 在极坐标(q , w )中, (e q ,e w )为极坐标基 矢量。运动方程可以表 示为 q (t) q (t)=f (t) 1 w(t) w (t)=f (t) 2 v =? P a =? P ew O e q P q 本章作业 6­4 6­6 6­13 6­14 7­4 7­12 7­14 7­16 ...
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This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

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