Chap6 - 第6章 点的复合运动 6 点的复合运动...

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Unformatted text preview: 第6章 点的复合运动 6 点的复合运动 (Composite motion of a Point ) 第6章 点的复合运动 6 ■ 一点二系三运动 ■ 点的速度合成定理 ■ 点的加速度合成定理 ■ 讨论 ■ 一点二系三运动 ◇ 一点二系三运动 ◇ 运动方程关系 ◇ 一点二系三运动 动 点­­­­欲研究其运动的点 定 系­­­­固定在地球上的参考系 (此时认为地球固定不动) 动 系­­­­相对定系运动的参考系 绝对运动(absolute motion) ­­­动点对于定参考系的运动 相对运动(relative motion) ­­­动点对于动参考系的运动 牵连运动(convected motion) ­­­动参考系对于定参考系的运动 ◇ 一点二系三运动 ● 运动的相对性 : 物体对于不同的参考系, 运动 各不相同。 如果建立地心坐标系;来观察地球的运动,则地球绕 地轴作自转,此时固结于地球上的坐标系随地球一起 作定轴转动。 如果建立日心坐标系;来观察地球的运动,则地球在 自转的同时,还有绕太阳沿椭圆轨道的运动。 ● 绝对运动与相对运动都是指点的运动,它可能 作直线运动或曲线运动; 牵连运动则是指参考体的运动即刚体的运动, 它可能作平动、转动或其它较复杂的运动。 ◇ 一点二系三运动 绝对轨迹: 动点在绝对运动中的轨迹 v a ):动点在绝对运动中的速度 绝对加速度(absolute acceleration) ( a ):动点在绝对运动 a 绝对速度(absolute velocity) ( 相对轨迹: 动点在相对运动中的轨迹 中的加速度 相对速度(relative velocity) ( v ):动点在相对运动中的速度 r 相对加速度(relative acceleration) ( a ): 动点在相对运动中 r 的加速度 ◇ 一点二系三运动 牵连速度( v ) e 牵连加速度( a ) e ◇ 一点二系三运动 牵连速度(convected velocity) ( v ):某瞬时动系上 e 与动点相重合的那一点(称为牵连点)相对于定 系的速度 牵连加速度(convected acceleration) (a ):某瞬时 e 动系上与动点相重合的那一点(称为牵连点)相对 于定系的加速度 牵连点:①指动系上的点即刚体上的点 ②该瞬时与动点相重合 绝对运动 a 绝对轨迹 绝对速度 绝对加速度 动 点 相对运动r 相对轨迹 相对速度 相对加速度 牵连运动 e 定坐标系 动坐标系 每一时刻,动坐标上与动点重合的那一点的 速度定义为动点的牵连速度,记为Ve. 每一时刻,动坐标上与动点重合的那一点的 加速度定义为动点的牵连加速度,记为 a e 牢记! ◇ 一点二系三运动 三运动 大梁不动时 z¢ x¢ o¢ y¢ z y O x 动 点? 定参考系? 动参考系? 绝对运动? 相对运动? 牵连运 动? ◇ 一点二系三运动 动 点? 定参考系 ? 动参考系 ? 绝对运动 ? 相对运动 ? 牵连运动 ? ◇ 一点二系三运动 动 点? 定参考系 ? 动参考系 ? 绝对运动 ? 相对运动 ? 牵连运动 ? ◇ 一点二系三运动 动 点? 定参考系 ? 动参考系 ? 绝对运动 ? 相对运动 ? 牵连运动 ? ◇ 一点二系三运动 甲板上一人M沿船横向运动 动点: M(脚) 定系:固定于河岸 动系:固连于船 绝对运动:? 相对运动:? 牵连运动:? v a 牵连点:M′(脚印)(甲板上) 牵连 点:? 点:? v v 三者关系? r e ■ 点的速度合成定理 ◇ 速度合成定理 ◇ 应用举例 ◇ 讨 论 ◇ 速度合成定理 速度合成定理 z¢ o¢ 动点:小环(沿金属丝滑动) y¢ x¢ z 刚性金属丝 y O x 定系( oxyz ):固定于地面 小环 动系( o¢ ¢y ¢ ):固连于刚性金属丝 x ¢z ◇ 速度合成定理 速度合成定理 z¢ ☆ 动 系 的 运 动 z¢ o¢ o o¢ x¢ y¢ o¢ y¢ x¢ y¢ x¢ z ¢ x Ⅰ Ⅰ O x ¢ zz¢ y t 瞬时 z¢ z¢ ¢ y¢ o¢ x o¢ x¢ y z¢ y¢ x¢ o¢ Ⅱ Ⅱ t+ D t 瞬 时 y¢ ◇ 速度合成定理 速度合成定理 动点:小环(沿金属丝滑动) oxyz ):固定于地面 定系( x ¢ ¢ 动系( o¢ ¢y z ):固连于刚性金属丝 P¢ 绝对运动轨迹 z¢ ☆ 三 种 运 动 轨 迹 z x¢ y¢ o¢ Ⅱ Ⅰ Ⅰ P, P 1 y t 瞬时 O x Dr 相对运动轨迹 Dr ′ Dr 1 P¢ 1 t +⊿t 瞬时 t + 动系上与动点相重合 的点的绝对运动轨迹 ◇ 速度合成定理 速度合成定理 动点:小环(沿金属丝滑动) oxyz ):固定于地面 定系( ¢¢¢ 动系( o¢x y z ):固连于刚性金属丝 P¢ z¢ o¢ o¢ y¢ va x¢ v r P, P 1 v e Dr ¢ D r D r D r lim = lim + lim 1 D ®0 Dt t Dt 0 Dt ® Dt 0 Dt ® Dr ′ Dr 1 Dr =Dr ′ +Dr 1 P¢ 1 绝对速度 相对速度 v a v r 牵连速度 v e ◇ 速度合成定理 速度合成定理 动点:小环(沿金属丝滑动) oxyz ):固定于地面 定系( ¢¢¢ 动系( o¢x y z ):固连于刚性金属丝 va = v + v r e 速度合成定理 P¢ z¢ o¢ o¢ y¢ va x¢ v r P, P 1 v e Dr Dr ′ Dr 1 P¢ 1 (theorem for the composition of velocities) : 动点的绝对速度等于其 相对速度与牵连速度的 矢量和。 ◇ 速度合成定理 注意点: * 牵连运动是刚体(动系)的运动; 牵连速度是刚体上一 点(该瞬时与动点相重合的点)的速度。 *速度合成定理适用于任何形式的牵连运动,任意的相对运动。 * va = vr + 对角线为 v a *矢量 v e 为矢量式,符合平行四边形法则,其 v a .v r .v 满足“6­4=2”即可求两个未知量。 e ◇ 应用举例 例 题 1 题 已知:曲柄OA=r ,以等角 速度 w 0 绕O轴转动,通过滑 块A带动摇杆O B摆动 。 1 求:当O B与铅垂线夹角为 1 o 30 时,摇杆O B的角速度。 1 ◇ 应用举例 例 题 1 题 已知:曲柄OA=r ,等角速度w 0 w 求: o B 解:1、选择动点、动系、定系 1 1 动点:滑块A x ¢ ★ ★ y¢ 定系:固定于机架 动系:固连于O B杆 1 2、运动分析 2 绝对运动:绕O点的圆周运动 相对运动:沿滑杆的直线运动 牵连运动:绕O 轴的定轴转动 1 ◇ 应用举例 例 题 1 题 动点:滑块A 动系:固连于O B杆 1 B 绝对运动:绕O点的圆周运动 O 相对运动:沿滑杆的直线运动 牵连运动:绕O 轴的定轴转动 轴的定轴转动 1 x ¢ v a v r r v e ★ y¢ we y ¢ O 1 ● ● A 1 x ¢ B 3、速度分析及其求解 3 v a = v r + v e 方向 铅垂向上 沿O B ⊥O A 1 1 大小 rw0 ? ? 作速度图,由图中关系 得: 3 v = v sin60 o = r a rω 0 2 1 o ve = v cos60 = rω a 0 v 1 2 e w e = = w 0 ( ) ) O A 1 4 ◇ 应用举例 例 题 2 题 已知:凸轮的偏心距OC =e,凸轮半径 r = 3e ,并且 以等角速度 w 绕O轴转动, 图示瞬时,AC垂直于OC, o OC与水平线夹角 q =30 。 求:顶杆AB的速度。 w q ◇ 应用举例 例 题 2 题 已知:OC=e, r = 3e o 匀w , AC⊥OC, q =30 v AB 求: * * 动点:顶杆上与凸轮接触点A; 定系:固定于机架 C 动系: x ¢y ¢ 固连于凸轮。 2、运动分析 2 y¢ 绝对运动:铅垂直线运动; 相对运动:圆周运动; x ¢ w 解:1、选择动点、动系、定系 1 q 牵连运动:绕O轴的定轴 转动 ◇ 应用举例 例 题 2 题 动点:顶杆上A点 定系:固定于机架 绝对运动:铅垂直线运动 相对运动:圆周运动 牵连运动:绕O轴的定轴 转动 ● A ● 1 1 v a v e 3 、速度分析及其求解 * y¢ v r w 方向 铅垂 ⊥ CA ⊥OA向左 大小 y¢ x¢ w x ¢ q v a = v r + v e ? ? OA w 作速度图,由图中关系得: o = 2 3 e o w v = v tan30 = e a 3 4 3 v = 2 a = v e w r 3 2 3 e w v = v = AB = a 3 ◇ 应用举例 1、选择动点、动系、定系 1 、选择动点、动系、定系 要选择合适的动点、动系。 解 题 步 骤 2、运动分析 2 、运动分析 绝对运动与相对运动都是指点的运动,它可能作 直线运动或曲线运动; 牵连运动则是指参考体的运动即刚体的运动,它 可能作平动、转动或其它较复杂的运动。 3 、速度分析及其求解 牵连速度:某瞬时动系上与动点相重合的那一点 (称为牵连点)相对于定系的速度; 由 va = v + v 作平行四边形,其对角线为 v ; r e a v v v a r e 满足“6­4=2”方可求两个未知量。 ◇讨 例 1 中 动点:滑块A 动系:固连于O B杆 1 绝对运动:绕O点的圆周运动 相对运动:沿滑杆的直线运动 牵连运动:绕O 轴的定轴转动 1 y¢ B 论 动点: O B杆上的A点 1 动系:固连于OA杆 绝对运动:? 相对运动:? 动点、动系 牵连运动:? ?+ v v = v = x ¢ ● ● A a √ 大小 O 1 方向 ? r ? ? e √ √ ◇ 讨 论 选择合适的动点和动系: △ 动点和动系应分别选择在两个不同的 刚体上。 △ 对于需求绝对运动量或牵连运动量的 问题,动点和动系的选择应使相对运动的 轨迹简单、 直观。 ◇ 讨 论 已知:平底顶杆凸轮机构,偏心 距OC=e,凸轮半径 r = 3e , 并且 以等角速度 w 绕O轴转动, 图示 o 瞬时,OC与水平线夹角 q =30 。 求:平底顶杆的速度。 ? ? 动点、动系 wq 三种运动 ■ 点的加速度合成定理 加速度合成定理 (theorem for the composition of accelerations) ★ 牵连运动为平移时加速度合成定理 ★ 牵连运动为转动 时加速度合成定理 ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 ◆ 问题提出 ◆ 定理 ◆ 应用举例 ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 已知:如图所示,曲柄OA长0.4m,以 5 等角速度 w = 0. rad s 绕O轴逆时针转 向转动。由于曲柄的A端推动水平板B ,而使滑杆C沿铅直方向上升。 求:当曲柄与水平线间的夹角 q = 30° 时,滑杆C的速度。 ? 加速度 ◆ 问题提出 ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 加速度合成定理 ◆ 定理 va = v + v r e 上式绝对导数: dv d r d e v v a = + d t d t d t d a v = a a d t 因动系作平移 d e d o ¢ v v = = a ¢ = a o e d t d t ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 加速度合成定理 ◆ 定理 & ¢ & & v = x i ¢ + y ¢j ¢ + z ¢k ¢ r d r v = &&¢i ¢ + &&¢j ¢ + &&¢k ¢ x y z d t & ¢& & ¢j & & + x i ¢ + y & ¢ + z ¢k ¢ 因动系作平移 d i ¢ d j ¢ d k ¢ = = = 0 d t d t d t d r v & = & ¢i ¢ + &&¢j ¢ + &&¢k ¢ = a x y z r d t ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 加速度合成定理 ◆ 定理 dv d r d e v v a = + d t d t d t d a v = a a d t d r v d t d e d o ¢ v v = = a ¢ = a o e d t d t & = & ¢i ¢ + &&¢j ¢ + &&¢k ¢ = a x y z r aa =a +a r e 牵连运动为平动时,动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和—牵连运动为平 移时加速度合成定理 ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 ◆ 例 一 应用举例 已知 :凸轮在水平面 上向右作减速运动, 图所示。设凸轮半径 为R,图示瞬时的速 度和加速度分别为v 和a。 求: 杆AB在图示位 置时的加速度。 ★ 牵连运动为平移时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 解:1、选择动点、动系 1 动点:杆AB上的点A 动点: 动系:固连于凸轮 2、运动分析 2 绝对运动:直线 相对运动:凸轮轮廓曲线 牵连运动:平动 3、速度分析 3 、速度分析 v a = v r + v e 方向 铅垂向上 ⊥半径 沿水平 大小 ? ? ? v 作速度图,由图中关系得: v v e v = = r sin j sin j 4、加速度分析及其求解 4 、加速度分析及其求解 t n r a a = a + a + a e r 方向 沿铅垂 沿水平 ⊥半径 沿法线 大小 ? ? a ? ? v 2 r R 作加速度图 a t 的指向如图所示 假设a 和 r a 将加速度表达式投影到法线上,得 a a sin j = a cos j + a n e r 解得 1 æ v 2 ö v 2 ç a cos j + ÷ = a ctg j + a = a 2 ç sin j è R sin j ÷ R sin 3 j ø ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 问题提出 ◆ 几个重要结论 ◆ 定理 ◆ 应用举例 ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 问题提出 已知 图示直角曲杆OAB以等角速度w0 =0.5 rad/s绕O轴转动, 带动套在其上的小环M沿固定水平导轨运动,OA=0.1 m。 试求 在图示瞬时小环M的速度。 ? 加速度 ★ 牵连运动为定轴转动时 ◆ 加速度合成定理 几个重要结论 * 矢量的绝对导数与相对导数之间的关系 ~ d A d A = + ´ A ω d t d t * 定轴转动刚体上任意点的速度 v P =ω´ r P * 定轴转动刚体上任意点的加速度 d v P a P = =α´ r +ω´ v P P d t * 速度合成定理 v a = v e + v r dω α= d t ★ 牵连运动为定轴转动时 ◆ 定 加速度合成定理 理 动点P 绕Z轴作定轴转动,角速度为w 动系 o ¢x ¢y ¢z ¢ 定系 Oxyz z w k´ r k O x i r = r ¢ + r ¢ O ´ z P,P 1 ´ O r´ ´ i r ´ x O ´ j ´ y 其绝对导数为 ´ j y d r d r ¢ d r ¢ = O + d t d t d t z w k O x i ´ z P,P ´ 1 r ´ k O ´ ´ r j ´ i r ´ x O ´ j y ´ y d r d r ¢ d r ¢ = O + d t d t d t ~ r d d O¢ d ¢ r r = + + w ´ r ¢ d t d t d t v a v r d o¢ r + w ´ r ¢ = w ´ r ¢ + w ´ r ¢ = w ´ ( o ¢ + r ¢) = w ´ r r v o e d t d v a d v e d v r va = v + v 中 = + e r d t d t d t 求绝对导数: ? ?r d v e d d ω d = ( ´ r ) = ω ´ r +ω´ d d t t d t d t d v a = a a d t = ´ r ω´ v a α´ r ω´ (v e + v r ) α + = + = α ´ r +ω v ) + w ´ v = e + w ´ v ( ´ e a r r d v a d v e d v r 中 = + d t d t d t a a a e + ω ´ v r ~ d r d r v v a ω´ = +ω ´ v = r + v r r d t d t a a = a e + a r + 2 ´ v r ω a a = a e + a r + a C 其中 a C = 2 ´ v 称为科氏加速度。 ω r 牵连运动为定轴转动时,动点在某瞬时的绝对 加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与 科氏加速度的矢量和——牵连运动为定轴转动时加 速度合成定理 。 讨 论 1、牵连运动为平移时, ω= 0 由 a = a + a + a a e r C a a = a e + a r 2、 a C = 2 ´ v r 由右手法则确定方向 3、a 应用实例:河崖冲刷;铁轨摩损。 c ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 例 题 1 北 v r 已知:火车(P)沿子午线 自南向北以等速v 行驶。地 r 球半径为R。 j 求:火车在北纬 o 时的 绝对加速度。 解:1、选定系、动系、动点 动点-火车P z 北 ´ z ´ ´ ´ 动系-固连于地球O x y z 定系- Oxyz 2、分析运动 2 v r 绝对运动-空间曲线运动; ´ x x 相对运动-沿着子午线的 等速圆周运动; ´ y y 牵连运动-地球绕Oz轴 作定轴转动。 3、分析加速度 3 t a a = a n + a + a n + a t + a e e r r C 大小 方向 z ? ? √ √ √ 北 ´ z v r n a r ´ x a n e a C ´ y 0 √ √ √ √ 0 √ √ √ n 牵连加速度 a = R cos jw 2 e n a 矢量 垂直于Oz ´轴,方向 e ´ 指向Oz ; 相对加速度 a n = v 2 R r r 方向指向地心O; wv 科氏加速度 aC = 2 r sin j 方向沿过P点纬线的切向,指 向西。 æ v 2 ö v 2 x y r r + ç - cos j ¢- sin k ¢ ÷ j ÷ ç R j R è ø a a = a e + a r + a C = - w 2 cos j + 2 r sin j i ¢ wv R j ¢ ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 例 题 2 已知:曲柄OA=r ,以等角 速度 w 0 绕O轴转动,通过滑 块A带动摇杆O B摆动 。 1 求:当O B与铅垂线夹角为 1 o 30 时,摇杆O B的角速度、 1 角加速度a 。 例 题 2 已知:曲柄OA=r ,等角速度 w 0 求w O 1 B a 解:1、选择动点、动系、定系 1 、选择动点、动系、定系 动点:滑块A 动系:固连于O B 1 2、速度分析 2 、速度分析 v a = v r + v e 方向 铅垂向上 沿O B ⊥O A 1 1 大小 w e e r 0 w ? ? ? 3 v = v sin60 = rω r a 0 2 1 o ve = v cos60 o = a rω 0 2 1 v w O 1B = e = w 0 ( O A 4 1 ) ) 3、加速度分析 3 n a 大小 √ 方向 √ a = a + a + a + a e r C 加速度分析 a C a n a t n e √ √ t a a e r a n e a : 垂直于O B,指向左上 C 1 3 2 a C = 2 oA v = ω r r 0 w 4 ? √ ? √ a n : a n = r 2 w0 a a OA,指向O; √ √ √ ,沿着 a : 大小未知,沿着O B, r 1 指向B(假设); r 0 w 2 n a n : a = e e 8 ,沿着 O A,指向O ; 1 1 t a = ( 1 A a , ae : e O ) a 为未知,垂直于O A,指 1 向未知,假设指向左上; t 将加速度矢量表达式 n a n e t a = a + a + a + a e r C 向 t a 方向上投影: e 加速度分析 τ a a cos30 o = a + a e C 3 3 2 rw × = 2 a + r r 0 w 2 4 2 0 3 2 a= w 0 8 a C a t a e r a n a a n e ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 例 题 3 已知:凸轮的偏心距OC =e,凸轮半径 r = 3e ,并且 以等角速度 w 绕O轴转动, 图示瞬时,AC垂直于OC, o OC与水平线夹角 q =30 。 w q 求:顶杆的速度与加速度。 ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 解:1、选择动点、动系 1 动点:顶杆上与凸轮接触点A; C y 动系: x ¢ ¢ 固连于凸轮。 2、速度分析 2 、速度分析 v a = v r + v e 4 3 v = 2 a = v e w r 3 方向 铅垂 ⊥ CA ⊥OA向左 大小 ? OA w ? o = 2 3 e o w v = v tan30 = e a 3 2 3 w v = v = AB = a = 3 e ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 加速度合成定理 ◆ 3、加速度分析 3 、加速度分析 t a a = a n + a n + a + a e r r C 大小 ? a C a a t a r a n e a n r a : 沿着CA,指向左上 C a C = 2 r ωv 应用举例 √ √ ? √ 方向 √ √ √ √ √ a :大小未知,沿着AB, a 假设指向上方; a n : a n = w 2OA ,沿着 e e OA,指向O; a : a n =v 2 /AC,沿着AC, r r r 指向C; a t大小未知,垂直于 AC, r 指向未知,假设指向右上; ★ 牵连运动为定轴转动时 加速度合成定理 ◆ 应用举例 a n = OA 2 = 2e 2 w w e 16 3 2 a = e w 9 n r a C a a t a r a n e a n r 8 3 2 a C = e w 3 t a a = a n + a n + a + a e r r C 将 向a 方向投影 C n a a cos30 o = a - a r - a n cos30 o C e 2 2 3 8 3 16 3 2 2 a =- e w a a = ( - ) w - 3 w e e a 9 2 3 9 负号表示a 的实际方向与所假设的方向相反。 a ■ ● 讨 论 关于动点与动系的选择 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 选择合适的动点和动系: * 动点和动系应分别选择在 两个不同的刚体上。 * 动点和动系的选择应使相 对运动的轨迹简单、 直观。 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 常见的问题有如下题型: ▲ 两个独立运动的物体,研究两者的相对运动: 动点和动系分别属于两个物体 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲ 两个独立运动的物体,研究两者的相对 运动: 动点和动系分别属于两个物体 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲ 运动物体(载体)上有一动点作相对运动: 动点即取有相对运动的点,动系固结于载体上。 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲机构传动(1)主动件与从动件的连接处存在持续连接点 动点通常取在持续连接点 ? 动点:滑道上的A 点 1 动系:固连于曲柄 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲机构传动(1)主动件与从动件的连接处存在持续连接点 动点通常取在持续连接点 ? 动点:轮心c 动系:固连于顶杆 相对运动:圆周 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲机构传动:(2)主动件与从动件的连接点是时变点(即 随时间改变) 动点不必是连接点,取轮B点。 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲机构传动:(2)主动件与从动件的连接点是时变点(即 随时间改变) 分析速度时可用虚拟辅助环套住连接点,以环为动点,分别 在主动件和从动件上建立动系。 ■ 讨 论 ● 关于动点与动系的选择 ▲机构传动:(2)主动件与从动件的连接点是时变点(即 随时间改变) 动点不必是连接点,取轮心C点。 ...
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