Chap7 - 第7章 刚体的平面运动 7 刚体的平面运动(Planar Motion of a Rigid­Body 第7章 刚体的平面运动 7 ■

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 第7章 刚体的平面运动 7 刚体的平面运动 (Planar Motion of a Rigid­Body ) 第7章 刚体的平面运动 7 ■ 刚体的平面运动方程 ■ 平面图形上各点的速度 ■ 平面图形上各点的加速度 ■ 讨论 ■ 运动学综合应用举例 ■ 刚体的平面运动方程 ★ 工程实例 ★ 刚体平面运动方程 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 刚体平面运动方程 定义:刚体在运动过程中其上任意一点到某固定 平面的距离始终保持不变—刚体作平面运动。 在刚体上作平行于固 定平面的平面,这样 的平面与刚体轮廓的 交线所构成的图形- 平面图形 (section) S。 S ★ 刚体平面运动方程 在刚体上作一直线 A A ^ a 1 并交平面图形 S于A点 平面图形 S 1 2 在刚体平面运动过程中,A1 A 作平动 平面 2 平面图形 S上的点与直线上 平面图形 S 各点的运动完全相同。 平面图形 S上各点运动可以代 平面图形 S 表刚体内所有点的运动。 刚体平面运动可简化平面图 形 在自身平面内运动。 ★ 刚体平面运动方程 平面图形在其平面上的位置由平面 图形上的任意线段AB位置确定。 AB 确定线段AB或平面图形在Oxy 确定线段 参考系中的位置,需要3个独立变 3 量(x , y , )。其中x , y 确定点 j ( A A , ) A A 确定点 A在平面内的位置; j 确定直线 A 确定直线 AB在平面内的位置。 AB 广义坐标 j q=(x , y , ) q= A A , ) ( 平面运动刚体的自由度 N=3 N ★ 刚体平面运动方程 3个独立变量随时间变化 3 的函数,即为刚体平面运动 方程: x A = f 1 ( ) 1 t A y A = f 2 ( ) t A 2 j = f 3 ( ) t 3 ★ 刚体平面运动方程 x A = f 1 ( ) 1 t A y A = f 2 ( ) t A 2 j = f 3 ( ) t 3 讨 论: 若 x =const,y =const,则AB绕A转动 若 A =const A =const AB A 若j = const ,则AB平移 AB 平移 平面图形运动分解 为平移和转动 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法 ● 选择基点(base point) -在平面图形上任取一点; ● 在基点上建立平移系(特殊的动系)-在平面图形运动 ( ) 的过程中,平移系只发生平移; ● 平面图形的平面运动 (绝对运动 )可以分解为跟 ( ) 随平移系的平移 (牵连运动 ),以及平面图形相对 ( ) 于平移系的转动(相 对运动 )。 ( ) ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置有关。 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 转动角速度与基点的位置无关 与基点的位置无关 Dj1 Dj 2 d j 1 = lim 2 = Dt ® 0 Dt Dt ® 0 Dt Dt ® 0 d t w= lim = t ®0 D 即 dj w= = d t 称为平面图形的角速度 因为平移系(动系)相对 ( ) 定参考系没有方位的变 化,平面图形的角速度既 是平面图形相对于平移系 的相对角速度,也是平面 图形相对于定参考系的绝 对角速度。 ★ 刚体平面运动分解为平移和转动 基点速度与平面图形的角速度是 描述刚体平面运动的特征量 对于分解为平移和转动的情形,平面图形上 任选基点A的速度v ,以及平面图形的角速度 A A w ,是描述刚体平面运动的特征量。 v A 描述图 ,是描述刚体平面运动的特征量。 形跟随基点的平移;w 描述相对于基点平移系 的转动。 ■ 平面图形上各点的速度 ★ 基点法(method of base point) ★ 速投影法(method of projections of the velocity) of the velocity ★ 速度瞬心法(method of instantaneous Center of velocity) Center of velocity ★ 基点法 平面图形-S 平面图形 ´ y ´ ´ 平移系-Ax y 基点-A 基点 平面图形的角速度- w 平面图形的角速度 基点速度- v 基点速度- A y S B w A O 定系-Oxy ´ x v A x 平面图形的平面运动 (绝对 ( 运动 )可以分解为跟随平移 ) 系的平 移 (牵连运动 ),以 ( ) 及平面图形相对于平移系 的转动 (相 对运动 ) ( 平面图形上任一点的运动也是两种运动合成 ★ 基点法 基点法 速度合成定理- v = v + v 速度合成定理- a e r ´ y v = v v = v v = v a B e A r BA y v BA S w A O v = v + v B A BA v B B r¢ B v A v A x ´ x 定轴转动时的速度公式- 定轴转动时的速度公式 v = w ´ r , 在平移系中为: 在平移系中为: ¢ vBA = w ´ r B 平面图形上任意点的速度,等于基点的速度, 与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。 ★ 基点法 例 题 1 题 已知:曲柄-滑块机构中, 曲柄OA=r,以等角速度 w 0 绕 OA r 绕 O轴转动,连杆AB=l。在图示情 O 轴转动 AB l 形下连杆与曲柄垂直。 形下连杆与曲柄垂直。 B w 0 O A j0 求:1、滑块的速度v ; 1 B 2、连杆AB的角速度 w AB 2 AB 的角速度 ★ 基点法 v A 解:1、运动分析 1 、运动分析 OA定轴转动,AB平面运 OA AB 动,B块平动 B v B v BA B 2、AB杆,选择A为基点,研究B点 2 AB A B v = v + v B A BA v A w 0 O A j 0 方向 √ √ √ 大小 ? √ ? w0 其中 v = r 其中 A 画速度图,由图得到: r 0 w 0 v A A 滑块B v B = = B cosj 0 cos 0 j 0 的速度: 的速度: 0 ★ 基点法 例 题 2 题 已知:半径为R的圆轮在 地面上沿直线轨道作纯滚 动,轮心O的速度v 0 求:(1)轮子的角速度 和图示瞬时轮缘上A、B 两点的速度。 ★ 基点法 v A vBO v O 解: 轮子作纯滚,轮子上与 : 地面接触点C相对地面 C 无滑动即 v = 0 无滑动即 C v B 以O为基点,研究C点 v CO v O v C = v O + v CO = 0 vCO = v O v B = v + v BO O v A = v + v AO O w = v R CO v B = 2v O v A = 2v O ★ 基点法 上题中轮子沿圆形轨道作纯滚动,又如何? 解题步骤: 步骤: 1、运动分析 1 、运动分析 2、选合适基点,由速度合成定理(基点法)求解 2 ★ 速度投影法 速度投影法 v v BA B B S B b v A w 0 a a A v A v A v = v + v B A BA 等式两侧沿AB方向投影: AB [ B ] AB = [ A ] AB + [ BA ] AB v v v 因为v ⊥AB , [v ] = 0 BA AB BA AB [ B ] AB = [ A ] AB v v 或 v A cosa = v B cos = B b A 速度投影定理(theorem of projections of the velocity) : 平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。 平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。 物理意义为:刚体上任意两点的距离恒定不变。因此,速度投影定理不 仅适用于刚体作平面运动,也适用于刚体作任何运动。 ★ 速度投影法 速度投影法 在例题1中 1 v A 解:应用速度投影定理 :应用速度投影定理 v A cosa = v B cos b A B v B v BA v = r 0 , a = 0 b = j 0 w , A B v A = v B cos 0 j0 A B rω 0 0 v B = B cos j 0 0 v A w 0 O A j 0 w AB AB v BA rw 0 BA = = 0 tanj 0 0 l l ★ 速度瞬心法 ● 瞬时速度中心 ● 速度瞬心法 ● 速度瞬心位 置的确定 ★ 速度瞬心法 ● 瞬时速度中心 ´ y P 过A点作v 的垂直线PA,P A PA A A上各点的速度由两部分组成: A v A S w A 平面图形S,基点A,基点 S A 速度v ,平面图形角速度 w 。 A , ´ x v A 跟随基点平移的速度v - A 牵连速度,各点相同; 相对于平移系的速度v - PA 相对速度 ,自A点起线性分 A 布。 ★ 速度瞬心法 ● 瞬时速度中心 ´ y v * A C S w A P C* v A ´ x v A 在直线PA上存在一点C *, PA C 这一点的相对速度v C * A 与牵连 C * 速度v 矢量大小相等、方向相 A 反。因此C *点的绝对速度v C * C C =0。 C *点称为瞬时速度中心 0 C 。 瞬时速度中心 (instantaneous Center of velocity) ,简称为速度瞬心。 v A AC = A w * * 在每一瞬时,平面图形上都唯一存在一个速度为零的点, 该点称为瞬时速度中心,或称速度瞬心(简称瞬心) ★ 速度瞬心法 ● 瞬时速度中心 速度瞬心的特点 速度瞬心的特点 ´ y v * A C S w A P C* v A ´ x v A 1、瞬时性-不同的瞬时,有 1 不同的速度瞬心; 不同的速度瞬心; 2、唯一性-某一瞬时只有一 2 个速度瞬心; 个速度瞬心; 3、瞬时转动特性-平面图形 3 在某一瞬时的运动都可以视为绕 这一瞬时的速度瞬心作瞬时转动. ★ 速度瞬心法 r * B C S B v B r * A A C w C* r * C C v C C v A ● 速度瞬心法 已知:瞬时角速度 w ,速 度瞬心C * (v C *=0 ) 0 C C 以C *为基点 C 图形上各点的速度为(如A、 C 、B) ( A B v A = v * + v AC * = v AC * C vC = v * + v * = v * C CC CC v B = v * + v BC * = v BC * C v = v C * = w ´ r = B C * B C * B 平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心 (瞬时)转动的速度——速度瞬心法 —— ★ 速度瞬心法 速度瞬心法 速度瞬心位置确定 ● 速度瞬心位置确定 v A v B o 90 A o 90 B * C 第一种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的方向,这两点的速度矢 量方向互不平行。 第二种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的大小与方向,而且二矢 量互相平行,并且都垂直于两 点的连线。 你从这种情形可以得到什么结论? S A v A o 90 B o 90 * C v B ★ 速度瞬心法 ● 速度瞬心位置确定 速度瞬心位置确定 第三种情形 S A o v B 90 o 90 v A B 已知平面图形上两点的速度 矢量的大小与方向,而且二矢 量互相平行、方向相反,但二 者都垂直于两点的连线。 * 这种情形下速度瞬心 C 在哪里 ? S A 第四种情形 第四种情形 已知平面图形上两点的速度 矢量的大小与方向,而且二矢 量互相平行、方向相同,但二 者都不垂直于两点的连线。 B o 90 o 90 v B v A 瞬时平动 平动 * 这种情形下速度瞬心 C 在哪里 ? (instantaneous translation) (instantaneous translation) ★ 速度瞬心法 ●速度瞬心位置确定 ? 速度瞬心 ★ 速度瞬心法 速度瞬心法 例 题 3 题 A w 0 o 45 O 已知:四连杆机构中 :四连杆机构中 D o 90 o 90 B 3 O1 B = l , AB = l , AD = DB 1 2 OA以w0 绕O轴转动。 OA O 轴转动。 O 1 求:1、B和D点的速度; 1 B D 点的速度; 2、AB杆的角速度。 2 AB ★ 速度瞬心法 速度瞬心法 解:机构作平面运动,OA A B * 和O B都作定轴转动,A、B二 * 1 B C 点的速度v 和v 的方向都可以 A B 确定。作二者的垂线,相交于 确定。作二者的垂线,相交于 * C ,此即AB杆速度瞬心。 AB w AB v A A w 0 o 45 O v B D o 90 o 90 B O 1 图中的几何关系: 图中的几何关系: 3 * OA = 2l , AB = BC * = l , = 2 3 2 3 5 * * * * AC = l , DC = l 2 4 v A = OA × w 0 = 2l 0 w 0 A 0 ★ 速度瞬心法 速度瞬心法 * * C w AB v A A v D D v A 2 A w AB = = w 0 AB * * 3 0 AC B v A v B = BC w AB = A * = l 0 w0 B AB * AC O 1 5 v D = DC w AB = l 0 w 0 D AB 2 * * v B B o 90 * * w 0 o 45 O o 90 ★ 速度瞬心法 解:圆轮与地面接触点A,由于没 A 有相对滑动,因而在这一瞬时,A点 A * 的速度v =0。A点即为速度瞬心C 。 A 0 A 假设这一瞬时的角速度为 w 。 在例2中 2 C B D O v O A * w * C 由v = R 得到 w O v A = 0 , A v O w = O R v B = 2 0 v 0 B v C = 2 0 , v D = 2 0 v 0 v 0 C D ★ 速度瞬心法 ■ 平面图形上各点的加速度 B 点的绝对 运动轨迹 运动轨迹 ´ y B S a w ´ x A a A A 点的绝对 运动轨迹 运动轨迹 已知平面图形上一点(A)的加速 (A) 度a 、图形的角速度w 与角加速 A 度a,确定平面图形上任意点B 的加速度: 1、选加速度已知的点为基点; 1 、选加速度已知的点为基点; 2、建立平移系;(以后省略不画) 2 ( 3、应用牵连运动为平移的加速度合成定理: a =a +a 3 、应用牵连运动为平移的加速度合成定理: a = e + r a = a , a = a ,a = a = A a = B , e r = BA ■ 平面图形上各点的加速度 平面图形上各点的加速度 B 点的绝对 运动轨迹 运动轨迹 ´ y B S at BA B a w ´ x A a A a A + wa A A 点的绝对 运动轨迹 运动轨迹 a A B a a BA B a BA B n a BA A a B = a a = a e + a r B a e r a A τ n τ n = a A + a BA = a A + a BA + a BA A BA A BA BA = a A +α´ r AB +ω´ v BA BA = A AB A a A = a A +α´ r AB +ω´ ( ´ r AB ) AB ω AB A ■ 平面图形上各点的加速度 平面图形上各点的加速度 at BA a B = a A + a BA B a w A n a BA a A 或 或 τ BA n BA a B = a A + a + a = a A 平面图形上任意一点的加速度等 于基点的加速度与该点随图形绕基 点转动的切向加速度和法向加速度 的矢量和。 ■ 平面图形上各点的加速度 平面图形上各点的加速度 例 题 4 题 A o 90 w0 o 30 O B 已知 :曲柄-滑块机构,OA=r,AB=l,曲柄 OA r AB l 以等角速度 w 0 绕O轴旋转。 O 求: 图示瞬时,滑块B的加速度a 和连杆AB的 B AB B 角加速度a AB ■ 平面图形上各点的加速度 v A A 解:1、确定连杆的 1 角速度 角速度 o 90 w0 o 30 O v B v A 以A为基点, v A = r 0 A 为基点, A = w 0 B v BA v B = v A + v BA 由速度图得: 速度图得: v BA = v A tan30 o = r 0 tan30 o w w 0 v r o BA w AB = = w 0 tan30 = l l 3 ■ 平面图形上各点的加速度 2、加速度分析 2 、加速度分析 A o 90 n a BA n A w 0 a O t at BA a o 30 B a B a tt = a AB l BA BA AB n a A n 2 n a A = r 02 w0 以A为基点 A A 点 n n A A τ τ BA BA a B = a + a + a B 方向 √ √ 大小 ? √ √ √ ?2 √ 2 l 0 w 0 a = AB w = = 9 2 2 l w n n BA BA 2 2 AB AB 2 3 2 l 0 w0 2 , a B = l 0 w 0 等式两边沿AB方向投影: a B cos30 =a = AB : B B 9 3 27 2 τ τ 2 t o t a BA = ( r l ) 0 w 0 t 方向投影: a B sin o =a - a AB t 30 BA 沿a BA A a B sin A AB 27 t t o o a AB = AB n n BA BA n n AB AB a BA 8 3 2 2 BA = w 0 0 l 27 ■ 平面图形上各点的加速度 例 题 5 题 B a O O v O A 已知:半径为R的圆轮 R 在直线轨道上作纯滚 动。轮心速度为v 、加 O 速度为a 。 O 求:轮缘上A、B二 A B 点的速度和加速度。 ■ 平面图形上各点的加速度 平面图形上各点的加速度 解:1、速度分析 1 ´ y a O w0 v O O n a AO at AO A ´ x a O a A a O v O w O = O 因轮子纯滚 O &O v O a R O & O a O = w O = = O O R R 2、加速度分析: 2 、加速度分析: n n a A = a O + a tt + a AO AO A O AO AO 方向 ? √ 大小 ? √ a tt = R O = a O a O O AO AO 2 2 v O n 2 n 2 a AO = R O = O w O AO R √ √ √ √ 2 2 O O v a A = j A R ■ 平面图形上各点的加速度 平面图形上各点的加速度 ´ y a O w0 at BO B a O n a BO O v O n n a B = a O + a tt + a BO BO B O BO BO B点: B ´ x a O 轮子纯滚,速度瞬心 轮子纯滚,速度瞬心 方向 ? √ 大小 ? √ √ √ √ √ a tt = R O = a O a O O BO BO 2 2 v O n 2 n 2 a BO = R O = O w O BO R 2 2 v O a B = ( O + O ) i + a O j a O O B R 2 其v = 0, a = a = w 0 R n ■ 平面图形上各点的加速度 例 题 6 题 已知半径为r的小圆柱沿半径为R的大圆弧槽作纯滚动式的 往复摆动,如图所示,小圆柱中心A点沿其轨迹以O 为原 1 点按 s A = b sin w 0 t 的规律运动。 试求当 w 0 t = p 3 时, (1)A点的速度、加速度; (2)图示圆柱两边缘 点B和D点的速度; (3)B点和D点的加速度。 ■ 平面图形上各点的加速度 解:(1)求刚体上A点的位置、速度 及加速度。 s A = b sinw 0 t b 0 w & v A = s A t = b 0 cos 0 t = w w t t 2 3 & a τ = & A t = -b 0 2 sin 0 t t = s w w A 2 v A 2 b o t w 2 2 2 b 2 w 0 b 2 w 0 n a A = n = cos 2 w 0 t n = n r A R - r 4 R - r ) ( (2)求v 和v 。小圆柱与圆弧槽作纯滚 B D 动,其接触点D为圆柱的瞬时速度中心, 故圆柱角速度为 v A b w A = = w 0 (顺时针) r 2r ■ 平面图形上各点的加速度 v D = 0 v B = 2 w A t = b 0 t r w (3)求a 和a B D n a A t a v B 根据无滑动滚动可得 d A d æ v A ö a t w aA = = ç ÷ = A (逆时 dt dt è r ø r t BA a A n a BA t a D t n B t DA n BA 针) a B = a A + a BA + a b 2 ( R - 2 ) 2 r 2 a B = - 3b 0 t w w 0 n r 4 R - r ) ( a B = a B + a n a D = a A + a + a DA b 2 R 2 a D = w 0 n r 4( R - r ) ■讨 论 ★ 刚体平面运动分解 为转动和转动 ★ 刚体绕平行轴转动时 的角速度合成定理 ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 刚体的平面运动分解转动与转动 ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 转动和转动 y y y ´ y ´ ´´ C j a j j A ´ B ´ B B ´ x ´ ´ C x x ´ C BC先跟随平移系平移,再相对平移系转动 BC 跟随平移系平移,再相对平移系转动 ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 转动和转动 y y ´ y y ´ ´´ C y ´ y 2 ´ 2 ´ C j r ´ B B ´ x ´´ 2 x 2 ja ´ x j e x ´ x x A B ´ C BC先跟随转动系转动,再相对转动系转动 BC ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 转动和转动 j e > 0, j r > 0 j a = j e + j r ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 转动和转动 j e > 0, j r < 0 j a = j e - j r ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 ★ 刚体平面运动分解为 转动和转动 刚体B跟随转动系转 j e B 过 ; ; 再相对于转动系反向转 ' x 过 j r ,而且有 而且有 y ' y j r A j e = -j r 于是 je x B j a = j e + j r = 0 这表明刚体B作平移。 B 这样两种转动的组合称为转动偶 (rotation couple) ★ 刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理 角速度合成定理 y y´ y O´ O O y w 0¢ wC C* x´ x * y´ y w 0¢ O´ O O x x´ x wC * z´ C* z z 平 面 瞬心 角速度代数量 立体 瞬轴 角速度矢量 x ★ 刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理 角速度合成定理 y y´ y w 0¢ O´ O O z z´ C* z 刚体绕两平行轴转动时, 刚体的绝对角速度矢量等于 转动系的牵连角速度矢量与 x´ x w C * 刚体相对于转动系的相对角 x 速度的矢量和。 速度的矢量和。 ω a = ω e + ω r a = e r ★ 刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理 角速度合成定理 例 题 7 题 已知:行星轮在固定的大齿轮上作纯滚 动,曲柄OA以等角速度 w 0 绕O轴转动. OA O 求:行星轮的绝对角速度。 :行星轮的绝对角速度。 r R 0 w O ★ 刚体绕平行轴转动时的 角速度合成定理 角速度合成定理 y 1 ´ x 2 ´ A ja y 2 ´ w 0 j 0 O x 1 ´ j r P´ P A y 1 ´ 解:建立平移系A x ´ y ´、 1 1 转动系O x ´ y ´。 2 2 。 当转动系转过 j 0 时,行星 轮上的P点运动到P´点,这 P P 时行星轮相对于转动系转过 j r 行星轮相对于定系转过 j a 。 。 j a = j r + j e x 1 ´ 其中 e = j 0 j 得到 rr = w 根据Rj 0 = r r j R R w e = w 0 r e r 0 w aa = w e + w r = = e r R + r w 0 0 r ■ 运动学综合应用举例 例题8 如图所示平面机构,杆AC 在导轨中以匀速v平动,通过铰 链A带动杆AB沿导套O运动,导 套O可绕O轴转动。导套O与杆 AC距离为l。图示瞬时杆AB与 杆AC夹角为 j = 60° 求:此瞬时杆AB的角速度及角 加速度 ■ 运动学综合应用举例 方法1: 动点:A ,动系:固结在导套O上 牵连运动为绕O的转动 ■ 运动学综合应用举例 方法2: 以点O为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 x A = l ctg j v l & j = sin 2 j & vj v 2 2 && j = sin 2 = 2 sin j sin 2 j j l l 若欲求图示瞬时杆AB上与套筒 O点相重合之O’点的轨迹曲率半 径,则应如何求解? ■ 运动学综合应用举例 例题9 9 如图所示的平面机构,AB长为 l,滑块A可沿摇杆OC的长槽滑 w 动。摇杆OC以匀角速度 绕O轴 转 动 , 滑 v = wl 匀 速 块 B 以 B 沿水平导轨滑动。图示瞬时OC 铅 直 , AB 与 水 平 线 OB 夹 角为 30°。 求:此瞬时AB杆的角速度及角 加速度。 ■ 运动学综合应用举例 运动学综合应用举例 1.分析速度 v B + v AB = v e + v r 2.分析加速度 t n AB a A = a B + a AB + a t n e a a = a e + a + a r + a C 本章作业 本章作业 9­3 9­5 9­6 9­7 9 3 9 5 9 6 9 ­ ­ ­ ­ 9­10 9­12 9­13 9­17 9 10 9 12 9 13 9 ­ ­ ­ ­ 9­19 9­20 9­22 9­28 9 19 9 20 9 22 9 ­ ­ ­ ­ 9­33 9­36 9 33 9 36 ­ ­ ...
View Full Document

This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

Ask a homework question - tutors are online