Chap8 - 第8章 刚体定点运动 8 与刚体一般运动

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Unformatted text preview: 第8章 刚体定点运动 8 与刚体一般运动 与刚体一般运动 (Motion of Rigid­Body with a Fixed Point and General Motion of Rigid­Body) 第8章 刚体定点运动 8 与刚体一般运动 ■ ■ ■ ■ 刚体绕定点运动 刚体绕相交轴转动时 的角速度合成定理 刚体一般运动 讨论 ■ 刚体绕定点运动 ★ 工程实例 ★ 运动方程 ★ 欧拉定理 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 ★ 刚体上各点的速度.加速度 ★ 工程实例 刚体运动 时,若其上 有一点始终 保持不动, 这种运动称 为刚体定点 运动。 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 工程实例 ★ 运动方程 z *结体参考系 原点-刚体上固定不动的点O z 定参考系- oxhz x x y 动参考系- O xyz固结于刚体, 动参考系- O xyz O 称为结体参考系 ★ 运动方程 *结体参考系 原点-刚体上固定不动的点O; O xhz 定参考系- o z z 动参考系- O xyz,固结于 动参考系- O xyz 刚体,称为结体参考系。 , 设初始瞬时定参考系与动参考系 对应的坐标轴相互重合,则在 t 瞬 对应的坐标轴相互重合,则在 时,动参考系O xyz相对于定参 O xyz xhz 考系 o 的方位,即可表示刚体 的有限转动方位。 z y y x O O x x ★ 运动方程 运动方程 (Eulerian angle) * 欧拉角 ★ 运动方程 运动方程 * 欧拉角 xh 坐标面与 ON-节线:o 坐标面与 ON Oxy坐标面的交线; Oxy y -进动角(angle of precession): (angle of precession) ON与 Ox 轴的夹角; ON ; q -章动角(angle of nutation) : nutation O 与Oz轴的夹角; z Oz ; j -自转角(angle of rotation) : : ON与Ox轴的夹角; ON Ox ; y q j -三者相互独立。 ★ 运动方程 *欧拉角 z z z x x z z O y x y O N,x y y y ★ 运动方程 *欧拉角 z z z z z y y y q y q y x y N,x O x y N,x O ★ 运动方程 z z y q q y N,x O y z z z x * 欧拉角 q j q q y x y O j N,x x N q y y ★ 运动方程 运动方程 刚体作定点运动时,三个 欧拉角一般都随着时间的变 化而变化: y = y ( ) t q = q ( ) t 运动方程 j = j ( ) t y ( ), ( ), ( ) 确定了 t 瞬 t q t j t 确定了 时定点运动刚体在空间的位 置。 置。 ★ 欧拉定理 达朗贝尔-欧拉有限位移定理 达朗贝尔-欧拉有限位移定理 (d'Alernbert ­ Euler displacement theorem) ( 刚体定点运动的任何有限位移, 都可以由绕通过定点的某一轴的一 次转动实现。 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *瞬时转轴 假设从 t 到 t+Dt 的 Dt 时间间隔内定点 假设从 到 t + C* O OC C 运动刚体绕通过定点O的OC轴转过Db, 当 这时转动角速度为w ¢ ; Dt ® 0时 ,转 w w¢ 动轴则由OC轴 ® OC *轴。 OC*轴称为t OC 轴。 OC* 瞬时的瞬时转轴或瞬轴。这时的角速度 O w 就是定点运动刚体在 t 瞬时的角速度。 就是定点运动刚体在 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 瞬时转动轴.角(加)速度 *瞬时转轴 C* C w O w¢ 瞬时转轴通过定点,但在不同的瞬时, 瞬时转轴在空间的方位以及刚体上的位 置各不相同。 定点运动刚体在每一瞬时的真实运动, 就是绕每一瞬时的瞬轴转动;定点运动 刚体的运动过程,就是刚体绕一系列瞬 轴的转动过程。 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角速度 角速度 角速度 k k´ n Dβ d β & Dβ ω=lim = =β ω¢ = D ®0 Dt t d t Dt Dβ ω=lim =ωy +ωq +ωj D ®0 Dt t = wy k + w q n w j k ¢ + Dy wy = lim = & y D ®0 Dt t Dq & w q = lim = q D ®0 Dt t Dj w j = lim = & j D ®0 Dt t -进动角速度 -章动角速度 -自转角速度 -自转角速度 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角速度 Dy Dq & w = lim Dj = & j wy = lim = & w q = lim = y q j D ®0 Dt t D ®0 Dt t D ®0 Dt t 定点运动刚体瞬时角速度在 结体参考系各轴上的投影 结体参考系各轴上的投影 k k´ n & w x = y sin qsin j + q&cos j & w y = y sin qcos j - q&sin j & & w z = y cos q + j ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角速度 欧拉运动学方程 & w x = y sin qsin j + q&cos j & w y = ysin qcos j - q&sin j & & w z = y cos q + j k k´ n w x sin j + w y cos j & y = sin j q& = w x cos j - w y sin j & j = ( x sin j + w y cos j )cot q + w z w ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 * 角加速度 角加速度 定点运动刚体角速度矢量 w 对时间的导数a 称为定点运动刚体的角加速度. . 根据变矢量的导数定义 ~ d ω d ω α = = + ω ´ω e d t d t ~ dω -相对导数, d t w 相对于动系的变化率; ωe -动系的转动角速度。 动系的转动角速度。 定点运动刚体角速度矢量 一般情形下不共线。 w与角加速度矢量 a ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角加速度 角加速度矢量的方向 角加速度矢量的方向 d r = v d t v r v v v v v v v r r O d ω = α d t a a a a a a w w O ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角加速度 角加速度矢量的方向 d ω = α d t a a a aa a w w O 定点运动刚体在不同瞬时的 角速度矢量形成轨迹,不同瞬 时角加速度矢量沿着这一轨迹 的切线方向。 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 *角加速度 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 例 题 1 题 高度为h、底半径为r的 h r 圆锥体,以顶点O为定点 O 在水平面上作纯滚动。若 已知锥底圆心C处的v 为 C C 常数。求:圆锥体的角速 度和角加速度. ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 z y x 解:圆锥体绕定点O作 O 定点运动。 xhz 定系 o 动系O x y z 绝对运动-定点运动 牵连运动- O x y z绕 z 轴 牵连运动- O x y z w 作定轴转动: 1 = w e 相对运动- 圆锥体绕 O z 绕 w 轴作定轴转动: 2 = w r 轴作定轴转动: ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 纯滚动 纯滚动 z a y OC*上各点速度为0 OC * w x OC*为瞬轴,w OC * 2 2 v C v C r 2 + h 2 C C w= = v C =常数 = = C AC r b cos rh ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 瞬时转动轴.角(加)速度 z a y w x wy = w e wy = w e = 常数 w = 0 q q= -b π 2 wj = w r = 常数 w = w e + w r = wy + wj wj = w r 规则进动 规则进动 (regular precession) ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 对于规则进动, w 相对于动系为常矢量, ~ d ω d ω α= = + ω´ω e e d t d t d ω d ~ ω α = = e ´ω ω e = 0 d t t d t ωe = y ωy e d ω α= = y ´ω ωy d t ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 瞬时转动轴.角(加)速度 w we v v r v = w ´ r a w a = w e ´ w ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 w = w e + w r = wy + wj α= e ´ω =ωe ´ ( e +ωr ) =ωe ´ωr ωe ωe r e e r 2 2 r 2 + h 2 2 2 2 α=ωe ´ω = w 2 tan = b v C = e C 3 rh 3 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 速 度 度 d r D r D β v = = lim = lim ´ r = ω r ´ D ®0 Dt t Dt ®0 Dt d t C* o 90 P h P r w v O 速度的大小由下式确定 速度的大小由下式确定 v ω r w , r ) = ω h = sin( h为P点到轴的垂直距离 h P 点到瞬轴的垂直距离 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 瞬时转动轴.角(加)速度 加速度 加速度 d v d ω d r a = = ´ r + ω ´ = α ´ r + ω ´ ( ´ r ) ω d t d t d t C* o 90 P h P r a N w a v a R O a=a R + a N ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 加速度 加速度 C* h´ h a N P o 90 a r v aR O a=a +a a R + N = a =a×r —— 转动加速度 转动加速度 a R = a =ω × (ω × r ) ——向轴加速度 向轴加速度 × ( × —— N = a =αrsin (α ,r)=ω h΄ ( , )= h α r ω R = r a = ω vsin (ω ,v)=ω h΄ ω v ( , )= 2 h ω v ω N a 的方向垂直于α 和r所组成的平面, r R 指向α的转动方向; 的转动方向; a 同时垂直于 v 和 瞬轴,恒指向瞬轴。 同时垂直于 N ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 C z 例 题 2 题 O B w1 O´ O A 半径为r的圆盘绕 z 轴作纯滚动,角速度为 w1 r 轴作纯滚动,角速度为 =常数;OO´轴的长度为 l 。求:A、B、C 三点 = OO 轴的长度为 A B 的速度和加速度。 ★ 瞬时转动轴.角(加)速度 z C w 2 x x B z w1 h O´ O O z A A C* y y xhz 解:1、分析圆盘的运动:定系 o ;动系xyz;圆盘绕O点 1 xyz ; O 作定点运动 圆盘作纯滚动,与地面接触点A速度为0,A点为除定点 A 0 A 以外的另一个固定点。因此,通过OA的直线O C*即为瞬 OA C* 轴。 … … … ■ 刚体绕相交轴转动时 的角速度合成定理 的角速度合成定理 C* w w1 w 2 O 刚体在同一瞬时绕二相交轴的转动 可以合成为绕瞬轴的瞬时转动;二相 交轴的交点即为定点,合成后绕瞬轴 , 的角速度等于分别绕二相交轴转动角 速度的矢量和,合矢量的所在位置即 , 为瞬轴位置。 为瞬轴位置。 w = w1 + w 2 其中 w 和 w 2可以分别为牵连角速 1 度 w 或相对角速度 w r 。 。 e ■ 刚体绕相交轴转动时 的角速度合成定理 ■刚体一般运动 ◇ 刚体一般运动的分解 ◇ 自由度、广义坐标与运动方程 ■ 刚体一般运动 ◇ 一般运动的分解 刚体的一般运动,可以分解为跟随任选基点 的平移和相对于基点的定点转动。 的平移和相对于基点的定点转动。 z x´ O´ x O x¢ O x 基点: O´点 基点: O 定系: O x y z 定系: x 平移系:o¢ ¢h ¢z ¢ z ¢ z´ z y´ y y 结体系: O x y z ´ 结体系: ´ ´ ´ 绝对运动- 一般运动 ´ 牵连运动- 基点O 的平移 ´ 相对运动- 绕O 点的定点 运动 ■ 刚体一般运动 ◇自由度、广义坐标与运动方程 空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度: 空间不受任何约束、一般运动刚体的自由度: 广义坐标为: N=3+3=6 N 3 3 q =(x ´ , y ´ , z ´ , y ,q , j ) =( O O , O ) 运动方程为: 运动方程为: x O' = f 1 ( ) , y O ' = f 2 ( ) , z O ' = f 3 ( ) t t O ' 1 t O ' O ' 2 3 y = f 4 ( ) , q = f 2 ( ) , j = f 3 ( ) t t t 4 2 3 ■ 讨 论 ◇刚体定点运动的性质 * 刚体定点运动,在每一瞬时都存在一通过 定点的瞬轴,刚体的瞬时运动,就是绕瞬 轴以瞬时角速度w 作瞬时转动。 * 刚体绕定点的连续运动,就是绕连续变化 的瞬轴,以连续变化的瞬时角速度作连续 转动。 ■ 讨 论 ◇ 刚体定点运动的 瞬时轴与瞬时轴锥面 刚体连续作定点运动的过程中,连续变化的 瞬轴在定参考系中所形成的轨迹面,称为定瞬 轴锥面。 刚体连续作定点运的过程中,连续变化的 瞬轴在动参考系中所形成的轨迹面,称为动瞬 轴锥面。 ■ 讨 论 ◇刚体定点运动的 瞬时轴与瞬时轴锥面 ■ 讨 论 ◇ 刚体定点运动的 瞬时轴与瞬时轴锥面 ■ 讨 论 ◇ 关于角速度的矢量性 矢量的三个特征 矢量的三个特征 1、具有大小和方向; 1 、具有大小和方向; 2、满足平行四边形法则或加法交换率; 2 、满足平行四边形法则或加法交换率; 3、与坐标系的选择无关。 3 刚体的有限转动是矢量吗? 角速度是矢量吗? ■ 讨 论 ◇ 刚体平面运动与 定点运动的比较 * 动系的比较 * 瞬心与瞬轴的比较 * 平面图形的角速度与瞬时角速度的比较 * 刚体绕平行轴转动时的角速度合成定理与 绕相交轴转动时的角速度合成定理的比较 * 刚体上各点的速度、加速度的比较 * 什么情形下平面运动可以看作是定点运动 的特例 ...
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This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

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