Chap9 - 第 9 章...

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Unformatted text preview: 第 9 章 质点在惯性系与非惯性系中的动力学 质点在惯性系与非惯性系中的动力学 (Dynamics of a particle in Inertial and Non­inertial Reference System) 第9章 惯性系与非惯性系中的质点动力学 9 □ 惯性系中的质点动力学 □ 非惯性系中的质点动力学 □ 讨论 □ 质点在惯性系中的动力学 质点在惯性系中的动力学 * 动力学基本定律 * 质点在惯性系中的运动微分方程 质点在惯性系中的运动微分方程 * 质点动力学两类问题应用举例 质点动力学两类问题应用举例 * 动力学基本定律 第一定律——惯性定律:任何质点如不受力作用,则将保 持原来静止或等速直线运动状态。 物体保持其运动状况不变的固有属性,称为惯性。质量为 物体惯性的度量。 第二定律——在力的作用下物体所获得的加速度的大小与 作用力的大小成正比,与物体的质量成反比,方向与力的 方向相同。即 m = F a 第三定律——作用反作用定律:两物体之间的作用力和反 作用力大小相等,方向相反,并沿同一条直线分别作用在两 个物体上。 * 质点在惯性系中的运动微分方程 当物体受几个力作用时,右端应为这几个力的合力。 即 ma = å F 2 或 d r m 2 = åF dt * 质点在惯性系中的运动微分方程 ● 矢量形式 & = & & m r = å F i ( , r, r ) i t i i & m && = å F x ix ix i i ●直角坐标形式 & m & = å F y iy iy i i & m & = å F z iz iz m && = å F i τ s i τ i i i i & 2 s 2 i n ● 弧坐标形式 m r = å F i n 弧坐标形式 i i 0 = å F i b i b i i * 质点动力学两类问题应用举例 第一类问题:已知质点的运动, 求作用于质点的力; 第二类问题:已知作用于质点的力, 求质点的运动。 * 质点动力学两类问题应用举例 例 题 1 题 k m v 0 l 0 已知:弹簧-质量系统,物块的质量为m , 弹簧的刚度系数为k,物块自平衡位置的初始 k , 速度为 v0 。 。 求:物块的运动方程 求:物块的运动方程 k F O l 0 m x 解:这是已知力(弹簧力)求运 ( ) 动规律,故为第二类动力学问 x 题。 以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立 牛坐标系,将物块置于任意位置 x > 0 处。 牛坐标系,将物块置于任意位置 物块在 x 方向只受有弹簧力F=-k x i。根 物块在 F i 据直角坐标系中的质点运动微分方程 据直角坐标系中的质点运动微分方程 && m & +kx = 0 x i i k 2 2 2 2 & +w 0 x = 0 , w 0 = & x 0 0 m m& = å F x && ix ix & 0 x = A w 0 t + j ) , t = 0 , x = 0 t = 0, x = v 0 sin( 0 ; v 0 A = 0 ,j = 0 ; w 0 0 m x = v 0 sin 0 k k t m F l 0 0 k k d dst st O W x m l 0 W=mgi W x F=-k( x+d ) F x+ st d m v 0 O x x 讨 论: 论: 1)、物块垂直悬挂时,运动规律如何? 1 2)、物块垂直悬挂时,坐标原点选择 2 不同,对运动微分方程的影响。 不同,对运动微分方程的影响。 * 质点动力学两类问题应用举例 例 题 2 题 图示一单摆。设球的质量为m, 杆的质量不计,杆长为l。当杆 在铅垂位置时,球因受冲击,具 有水平初速 v 0 ,不计空气阻力 求球的运动和杆对球的约束力。 解:本题先由已知的主动力mg求质点的运动规律,再根据 求得的运动求未知约束力,故同时包含第一类问题和第二类 问题。 质点运动轨迹是圆弧,故用自然轴系研究 ds dv ü s = l , v = q = l & q m = -mg sin q ï dt ï dt ý 建立小球的运动分方程: v 2 m = F - mg cos ï q n ï r þ 讨论:(1)微幅摆动 当杆的摆角很小时 sin q » q 运动微分方程即成 & mlq& = - mg q && + g q = 0 或 q l w 通解为: q = A sin( 0 t + j ) v q = 0 sin w 0 t 积分常数由起始条件决定。 w 0 l 0 小球的运动方程为: = l = v sin w t s q 0 w 0 这表明小球沿圆弧作简谐运动,其周期为: T = 2 p w0 = 2 p l g 即微幅摆动的周期与摆动的初始条件无关 ,这种性质称为摆微幅摆动的等时性。 (2)大幅摆动或圆周运动(不作研究) 求约束反力: 2 v m 2 F = mg cos + m = mg cos + [ 0 + 2 gl (cos - 1 q q v q )] n l l 第一项是由重力的法向分量引起的,称为静约束力; 第二项是由质点的运动引起的,称为动约束力。 □ 非惯性系中的质点动力学 ★质点在非惯性系中的运动微分方程 ★ 牵连惯性力与科氏力实例 ★ 应用举例 ★ 质点在非惯性系中的运动微分方程 惯性参考系- O x y z 惯性参考系- s a z 非惯性参考系(noninertial reference ( ¢ ¢¢ system) - o ¢x y z - 绝对运动轨迹 s -质点P在 绝对运动轨迹 a P 惯性参考系中的运动轨迹 P z´ z ´ r y´ y s r O´ O x´ x O x 相对运动轨迹 s -质点P在 相对运动轨迹 r P 非惯性参考系中的运动轨迹 y 研究质点在非惯性参考系中 的运动需要先研究质点在惯性 参考系中的运动。 相对位矢r′ r ★ 质点在非惯性系中的运动微分方程 质点在非惯性系中的运动微分方程 先研究质点在惯性参考系中的运 动。 -相对位矢 动。 r′ 相对位矢 r s a z P z´ z ´ r y´ y O´ O x´ x O x s r F F -作用在质点上的力 对质点P应用牛顿第二定律 P 应用牛顿第二定律 m a a = F a a -质点的绝对加速度。 a y 根据加速度合成定理 根据加速度合成定理 a a = a e + a r + a C a e r C a -质点的绝对加速度 a -质点的牵连加速度 a 质点的绝对加速度 e 质点的牵连加速度 a -质点的相对加速度 a -质点的科氏加速度 r 质点的相对加速度 C ★ 质点在非惯性系中的运动微分方程 m a e + a r + a C ) = F ( e r C m a r = F + F Ie + F IC Ie IC r m a r = F - m a e - m a C r e C F Ie = - m a e Ie e FIC = - m a C = -2 ω´ v r m r IC C 非惯性系中质点的运动微分方程 2 d 2 ~ ¢¢ r m 2 = F + F ee + F I IC I IC 2 d t 结论:质点的质量与质点的相对加速度的乘积等于作用在 质点上的外力的合力与牵连惯性力以及科氏力的矢量和。 下面讨论几种特殊情形: (1)动参考系相对定参考系作平动,有 a = 0 C 则: ma r = F + F 则: Ie (2)动参考系相对定参考系作等速直线平动,有 a e = 0 a = 0 C 则: m a r = F 则: ——说明相对于惯性参考系作等速直线平动的参考 系也是惯性参考系。 (3)质点相对动参考系静止,有 a = 0 r 则: F + F = 0 Ie 则: v r = 0 ——此时称为相对静止状态 (4)质点相对动参考系作等速直线运动,有 Ie IC 则: F + F + F = 0 a r = 0 ——称为相对平衡状态 ★ 牵连惯性力与科氏力实例 飞行员的黑晕与红视现象 飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象 惯性参考系-地球 非惯性参考系-飞机 动点-血流质点 爬升时:a > 5g e 牵连惯性力向下,从心脏 流向头部的血流受阻,造成 大脑缺血,形成黑晕现象。 ★ 牵连惯性力与科氏力实例 飞行员的黑晕红视现象 飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象 惯性参考系-地球 非惯性参考系-飞机 动点-血流质点 俯冲时:a > 2g e 牵连惯性力向上,使血流 自下而上加速流动,造成 大脑充血,形成红视现象。 ★ 牵连惯性力与科氏力实例 由于地球 的自转引起的 水流科氏惯性 力。 ★ 牵连惯性力与科氏力实例 水流科氏 惯性力对右 岸的冲刷。 ★ 应用举例 例 题 3 题 开有矩形槽的大盘以等角速度? 绕O轴旋转。矩形槽内安置物块­ O 弹簧系统,物块P的质量为m, P m 弹簧的刚度系数为k 。初始状态 下,物块处于大盘圆心O ,这时 弹簧不变形。 k P O k w 求:1、物块的相对运动微分方 1 程; 程; 2、物块对槽壁的侧压力。 2 解:1、非惯性参考系- ox y ¢ ¢ 1 、非惯性参考系- ´ ´ y a IC 动点-物块P ´ ´ x 2、分析相对速度和各种加速 2 k P 度: -沿着x 正向 度: v 正向 O r r x r a n -由大盘转动引起 由大盘转动引起 e k a =2mw´ v 2 IC = m ´ r w 3、分析质点(( 物块)) 受力: 3 受力: F -弹簧力F=2k x F 2 r F -科氏力 IC v F -槽对物块的约束力 槽对物块的约束力 r N a n e F IC F F n Ie F N F n -法向牵连惯性力 F n = m 2 x w r 法向牵连惯性力 Ie Ie 4、建立质点(物块)的相对运动微分方 4 ( ) & r = - F + F = -2kx r + m 2 x r m & x w 2 r 程: 程:r Ie r Ie & m &rr = F - F y N IC N IC 2k 2 & rr + ( - w 2 ) x r = 0 & x r m & F N = 2 wx r N = m r 讨 论: * 当 w 22 < < 2 k k 2 m m 时牵连惯性力小于弹簧的弹性恢复力, 物块的相对运动为自由振动,其固有频率为 物块的相对运动为自由振动,其固有频率为 2m 2 w 0 = - w 2 0 k 物块x =0处的平衡位置为稳定平衡位置。 0 r *当 w 22 > > 2 k k 2 m m 牵连惯性力大于弹簧的弹性恢复力, 物块不能在x =0处附近作自由振动,物块在x =0处 0 0 r r 的平衡是不稳定的。 的平衡是不稳定的。 = *当 w 22 = 当 2 k k 2 m m 牵连惯性力等于弹簧的弹性恢复力 物块在x =0处为随遇的平衡位置。 r 0 ★ 应用举例 例 题 4 题 图示单摆,摆长为l, 小球质量为m,其悬 挂点O以加速度 a 向 0 上运动,求此时单摆 作微振动的周期。 解: 建立平动坐标系 ¢ ox y ¢ 小球受力:重力mg,绳子张力F ; T 还应加牵连惯性力 FIe = - ma 0 相对运动动力学方程为: ma r = F + mg + F T Ie 切线方向的运动微分方程为 m&& = - m g + a ) sin j s ( 0 作微振动时,有 sin j » j && 则 j + 周期为 s = l j g + a 0 j = 0 l T = 2 p l g + a 0 □ 讨 论 论 *关于傅科摆的相对运动轨迹 *关于傅科摆的相对运动轨迹 w0 * 关于傅科摆的相对运动轨迹 关于傅科摆的相对运动轨迹 惯性参考系-地心系 Oxhz 动参考系-O′x y z 无科氏力的运动轨迹 A 0 O ´ A 2 有科氏力的运动轨迹 A 0 A 1 A ´ 2 * 关于傅科摆的相对运动轨迹 例10­1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速 度 w 转动,OA=r,AB=l,当 l = r / l 比较小时,以O 为坐 标原点,滑块B 的运动方程可近似写为 æ l2 ö æ 2 l ö x = l ç1 - ÷ + r ç cos w t + cos 2 t ÷ w ç ÷ 4 ø è 4 ø è 如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试 p 求当 j = w t = 0和 时 , t 2 连杆AB所受的力. , , 。 常量 已知: w = 常量, OA = r AB = l m 设l = r l << 1 2 æ l 2 ö l æ ö ÷ + r ç cos w t + cos 2 t ÷ x = l ç 1 w 则 ç 4 ÷ 4 è ø è ø p 求: j = 0 , j = 时杆 AB 受力 F = ? 2 解:研究滑块 ma x = - F cos b x 2 && = -r 2 (cos w t + l cos 2 t ) w w 其中 a x = x x 时 x w , , 当 j = 0 , a x = -r (1 + l ) 且b = 0 2 2 F = mr 2 (1 + l ) w 2 得 p 当 j = 时 , a x = r 2 l w 2 当 x 2 有 有 2 2 2 2 2 2 且 cos b = l 2 - r 2 l 2 2 mr l = - F l - r l w 2 2 得 F = - mr 2 2 w 得 l 2 - r 2 这属于动力学第一类问题。 例10­2 质量为m的质点带有电荷e,以速度v 0 进入强 0 度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度 r r r 垂直,如图所示。质点在电场中受力 F = -eE 作用。已知 常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。 r r r 已知: m , v0 , E = Acos kt, v0 ^ E, 0 0 r r F = - eE , 不计重力 不计重力 求:质点的运动轨迹。 求:质点的运动轨迹。 r r r r r 已知: m , v0 , E = Acos kt, v0 ^ E, F = - eE , 不计重力 不计重力 0 0 求:质点的运动轨迹。 2 2 d y v y d 2 x d x v x d 2 y m 2 = m = 0 m 2 = m , = -eA cos kt = 2 2 d t d t d t d t 解: 时 v x = v 0 , v y = 0 , 由 t = 0 由 x 0 y 积分 ò v y v y 0 0 v x v x v ò d v = 0 v 0 v 0 x x t eA t d v y = d y ò0 cos kt d t m 0 d x 得 v x = =v 0 x 0 d t dy eA v y = =sin kt y = d t mk r r r r r 已知: m , v0 , E = Acos kt, v0 ^ E, F = - eE , 不计重力 不计重力 0 0 求:质点的运动轨迹。 由 t = 0时 x = y = 0 积分 , x x tt = ò d x = ò v d t , 0 0 0 0 0 0 t eA t d ò0 d y = - mk ò0 sin kt d t 0 0 y y 得运动方程 eA (cos kt - 1 ) x = v 0t y = x 0 , 2 2 mk 消去t, 得轨迹方程 eA é æ k ö ù ç y = 2 êcos x ÷ - 1 y ú 2 mk ë ç v 0 ÷ û è 0 ø 这是第二类基本问题。 例10­3 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的 小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O, o 并与铅直线成 q = 60o 角。如小球在水平面内作匀 速圆周运动,求小球的速度v与绳的张力。 o 1 , . m 已知: m = 0 . kg l = 0 3 , q = 60 o 匀速 求: v, F 0 1 . m 已知: m = 0 . kg , l = 0 3 , q = 60 0 匀速 求: v, F 2 v 2 解 : 研究小球, m = F sin q = l F cos q - mg = 0 = 其中 b = l sin q 解得 mg F = = 1 96 . N cos q 2 Fl sin 2 q v = = 2 1 . m s m 这是混合问题。 这是混合问题。 例10­4 粉碎机滚筒半径为R,绕通过中心的水 平轴匀速转动,筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。 为了使小球获得粉碎矿石的能量,铁球应在 q =q0 = 0 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。 。 已知:匀速转动。 q =q0 时小球掉下。 = 0 时小球掉下。 求:转速n. 已知:匀速转动。 q = q 0 时小球掉下。 = 0 求:转速n. 解:研究铁球 其中 v = 其中 2 v 2 m = F + mg cos q = N N R p n 30 R 当 q = q 0时, FN = 0 解得 , 0 N g n = 9 . cos q 0 = 549 0 R g 当 n ³ 9 49 时, 球不脱离筒壁。 . R ★ 刚体对轴转动惯量 刚体对轴转动惯量 2 i i J z = å m r 如果刚体的质量是连续分布的,则上式可写为积分形式 2 J z = ò r dm m 1.简单形状的均质刚体转动惯量的计算 (1)长为l,质量为m 的均质细长杆 (1) l m 2 1 2 J z = ò x dx = ml -l 2 l 12 l 2 J z = ò R 0 2 3 m 1 2 r dr = mR 2 2 R (2)半径为R,质量为m 的均质薄圆盘 (2) R 2. 惯性半径 (或回转半径) 在工程中,常将转动惯量表示为 J z = m z r 2 —— m为刚体的质量,r z 称为回转半径 回转半径的物理意义为: 若将物体的质量集中在以为半径 环上,则转动惯量不变 r z、Oz为对称轴的细圆 常见均质物体的转动惯量和回转半径 形状 细 直 杆 薄 壁 圆 筒 圆 柱 简图 转动惯量 m 2 J z = l 3 m J zC = l 2 12 惯性半径 J z = 1 2 mR 2 J x = J y m = (3 2 + l 2 ) R 12 l = 0 289 . l 2 3 r zC = r z = J z = mR 2 l 3 = 0 578 . l r z = R r z = 2 Rlh p R = 0 707 . R 2 r x = r y = 体 积 1 (3 R 2 + l 2 ) 12 pR 2 l 空 心 圆 柱 薄 壁 空 心 球 实 心 球 m 2 2 r z = 1 (R 2 + r 2 ) J z = (R + r ) 2 2 2 J z = mR 2 3 2 2 J z = mR 5 r z = r z = pl (R 2 - r 2 ) 2 R = 0 816 . R 3 3 p Rh 2 2 R = 0 632 . R 5 4 3 pR 3 圆 锥 体 J z = J x = J y = 圆 环 椭 圆 形 薄 板 3 2 mr 10 3 ( r m 4 2 + l 2 ) 80 3 ö æ J z = m R 2 + r 2 ÷ ç 4 ø è m 2 (a + b 2 ) 4 m J x = b 2 4 J z = J y = m 2 a 4 3 r = 0 548 . r 10 r z = r x = r y = p 3 r 2 l 3 2 2 (4 r + l ) 80 3 4 r z = R 2 + r 2 r z = 2p 2 r 2 R 1 2 a + b 2 2 b r x = 2 a r y = 2 pabh J x = 矩 形 薄 板 J z = m 2 (a + b 2 ) 12 J y = 立 方 体 m 2 2 (b + c ) 12 m 2 (a + c 2 ) 12 J y = J z = m 2 a 12 m 2 2 (a + b ) 12 J x = m 2 b 12 rx = rz = 1 2 2 (b + c ) 12 1 2 2 (a + b ) 12 ry = 1 2 2 (a + c ) 12 r z = abc 1 2 2 (a + b ) 12 r x = 0. b 289 r y = 0. a 289 abh 3.转动惯量的平行轴定理 定理:刚体对于任一轴的转动惯量等 于刚体对于通过质心、并与该轴平行 的轴的转动惯量,加上刚体的质量与 两轴间距离平方的乘积。即 2 J z¢ = J zC + md 注意点: (1)两轴互相平行 (2)其中一轴过质心; (3)过质心的轴的转动惯量最小。 ...
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