Chap11 - 第十一章 动能定理 §11-1 力的功

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Unformatted text preview: 第十一章 动能定理 §11-1 力的功 常力在直线运动中的功 r r W = F cos q × s = F × s cos 功是代数量 单位 J(焦耳) 1 J = 1 N·m N·m 变力在曲线运动中的功 元功 元功 即 δw = F cos ×× s q r r r δw = F × d r r 力 F 在 M 1 ~ M 2 路程上的功为 路程上的功为 1 2 r r M2 M 2 M M 2 W12 = ò M112 δw = ò M 1 F ∙d r 12 M M 1 r r r r 记 F = F i + F j + F k 记 x y z x y z r r r r r d r = d x i + d y j + d z k 则 则 M 2 W12 = ò M 1 2 ( Fxxd x + F yy d y + Fz d z ) + z M 1 12 M 1、重力的功 F = F y = 0 0 x y x F y = -mg y z 2 z 2 z1 z1 W = ò - mg z = mg ( z - z 2 ) d 12 1 2 12 1 质点系 质点系 SW S 12 12 = m i g ( z i i 1 - z i i 2 ) i 1 2 由 mzC = Sm i z i i i C = 得 得 S W12 = mg ( z C 1 - z C 2 ) S 12 C 1 C 2 重力的功只与始、末位置有关,与路径无关。 重力的功只与始、末位置有关,与路径无关。 2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m) ) r r r F = - k ( r - l0 ) r e 弹性力 弹性力的功为 弹性力的功为 r r 1 W12 = ò F × d r 12 A A 1 1 n A A 2 2 A A 2 2 =ò A A 1 1 r r r -k (r - l0 )er × d r 0 r r r r r r 1 r r r 1 2 d(r × r ) = d(r 2 ) = d r 因 er × dr = × dr = 因 r r 2r 2 r 得 得 r W = ò r 2 - k ( - l 0 ) r r 0 d = r 12 12 12 r 1 k 2 2 2 2 即 W = (d 1 - d 2 ) 12 12 1 2 2 式中 d 1 = r1 - l 0 , d 2 = r - l 0 式中 1 0 2 2 0 1 2 弹性力的功也与路径无关 3. 定轴转动刚物体上作用力的功 定轴转动刚物体上作用力的功 r r δw = F × dr = Fttds = Ft Rd j t 由 由 M zz = F R = t t = z j 得 d w = M z d 得 r r 从角 j 转动到角 j 2过程中力 F 的功为 为 1 2 1 j1 j1 W12 = ò M z d 12 ò z j j j2 2 若 M z = 常量 M z 常量 则 W 12 12 = M z ( 2 - j1 ) j 2 1 z 4. 平面运动刚体上力系的功 平面运动刚体上力系的功 r r r 由 vii = vC + viC 两端乘dt,有 有 C iC 两端乘d ,有 r r r r drii = drC + d iC riC C r r 作用在 M 点的力 F 的元功为 Mi i i i r r r r r r n r 2 r n δwii = F ii×drii = Fii × drC + Fii × driC å ( X i - X ) 2 C iC i r r r i =1 i =1 r 其中 Fii × driC = Fii cos q × M iC × dj = M C ( Fi )d j 其中 iC iC C i 力系全部力的元功之和为 力系全部力的元功之和为 d w = å d w i i r r r = å Fii × drC + å M C ( Fi )d j C C i r r = Fii¢× drC + M C d j C C r ¢ 其中: R 为力系主失, M C 为力系对质心的主矩. FR C 当质心由 C ~ C 2 ,转角由 j1 ~ j 2 时,力系的功为 1 2 1 2 时,力系的功为 1 C 2 C 2 W12 = ò 12 C C 1 1 r r r j2 2 ¢ C FR × drC + ò M C d j R C j j1 1 即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作 功的代数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功 之和. 说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3、计算力系的主矢、主矩时,可以不包含不作功的力。 §11-2 质点和质点系的动能 质点和质点系的动能 1、质点的动能 1、质点的动能 1 T = m 2 u 2 = 2 单位:J(焦耳) 2、质点系的动能 1 2 2 T = å m ui = i i 2 i (1)平移刚体的动能 1 2 1 2 1 2 2 T = å m i v = v C å m i i C i i i 2 2 1 2 2 即 T = mv = C 2 C (2)定轴转动刚体的动能 (2)定轴转动刚体的动能 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 T = å m v = å m w r = w å m r 2 i i i i i i i i i i i i 2 2 2 1 2 即 T = J z w = z 2 即 2 (3)平面运动刚体的动能 速度瞬心为P 1 1 2 2 2 2 2 T = J pw = ( J C + md ) 2 w = p C 2 2 1 2 1 2 T = mv 2 + J C w 2 = 得 C C C 2 2 即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和. 上面结论也适用于刚体的任意运动. 上面结论也适用于刚体的任意运动. §11-3 动能定理 1、质点的动能定理 1、质点的动能定理 r r r , d u r 两端点乘 r 将 m u dt = d , r = F d t r r r r r 得 mu × du = F × d r r r 1 2 r r r 2 mu × du = d( mu ), F × dr = d w, 由于 2 1 2 d mu 2 ) = dw ( 因此 因此 2 上式称为质点动能定理的微分形式,即质点动能的增 量等于作用在质点上力的元功。 积分之,有 1 1 2 2 mu 2 - m 1 = W u 12 2 2 称质点动能定理的积分形式:在质点运动的某个过 程中,质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功. 2、质点系的动能定理 1 2 2 u 由 d ( mi i ) = d w 由 i i i i 2 1 2 d ( mi u i 2 ) = å d w i 求和 å i i i 2 得 d T = å d w d i i 称质点系动能定理的微分形式:质点系动能的增量, 等于作用于质点系全部力所作的元功的和. 积分之,有 T - T = å w 2 1 i 称质点系动能定理的积分形式:质点系在某一段运动过 程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部 力在这段过程中所作功的和. 3、理想约束 光滑固定面固定铰支座、光滑铰链、柔索类等约束 的约束力作功等于零. 称约束力作功等于零的约束为理想约束. 对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可. 内力作功之和不一定等于零. 内力作功之和不一定等于零. 例11­1 已知:m, h, k, 其它质量不计. 求: 求: d max max 解: T = 0 T = 0 , 2 , 1 1 2 k 2 0 - 0 = mg ( + d max ) - d 2 max h max max 2 d max max mg 1 2 2 = + m 2 g 2 + 2 kmgh k k 例11-2 已知:轮O 的R 1 、m 1 ,质量分布在轮缘上; 均 1 1 质轮C 的R 2 、m 2 纯滚动, 初始静止 ;θ ,M 为常力偶。 2 2 求:轮心C 走过路程S时的速度和加速度 解: 轮C与轮O共同作为一个质点系 解: W = M - m 2 gSin ∙ j q S 12 2 12 T = 0 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 T2 = (m R ) 1 + m 2 2 + ( m 2 R ) 2 w 1 u 2 w 2 1 1 2 2 2 2 = 1 1 2 2 2 2 2 uC C w1 = 1 R 1 1 , 2 = w 2 uC C R 2 2 W12 = T - T 1 12 = 2 2 1 M - m g Sin ∙ = j q S 2 2 S j = R 1 1 uC C 2 2 4 ( m + 3 2 ) (a 2 1 m (a) 1 2 ( - m 2 gR Sin ) M q S 2 1 1 u C = 2 C R ( m + 3 2 ) m 2 1 2 1 1 1 式(a)是函数关系式, 两端对t求导,得 1 uC (2 1 + 3 2 ) C C = M C - m 2 g Sin ∙ C m1 m 2 u C a C q u C 2 2 R 1 1 2 ( - m 2 g R Sin ) M q 2 1 1 a C = C ( m + 3 2 ) R 2 1 m 2 1 1 1 例11-3 冲击试验机m=18kg, l=840mm, 杆重不计, 在 j 1 = 70 ° 时静止释放,冲断试件后摆至 1 求:冲断试件需用的能量 j 2 = 29 ° 2 解: 解: T = 0 T = 0 , 2 1 1 2 0 - 0 = mgl ( - cos j 1) mgl 1 1 mgl ( - cos j 2 ) - W 1 2 k k 得冲断试件需要的能量为 W = 78. J 92 k = k 例11­4 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右 11 ­ : R,m,F = , , O 例11­4 已知:均质圆盘R,m,F=常量,且很大,使O向右 运动, f, 初静止。 f 运动, f, 求:O走过S路程时ω、α : O S 求:O走过S路程时ω、α 解: 圆盘速度瞬心为C , , T = 0 u 0 = wR 1 1 0 2 2 1 1 mR 2 3 2 2 T2 = m 0 + ( u 0 ) 2 = m 0 2 w u 0 2 2 = 2 2 2 4 r r r FT 、P、F 均不作功. 、 N 均不作功. T N 2 åW = FS - 2 mgfs 3 2 2 FS - 2mgfs = m 0 u 0 (a ) (a 4 s u 0 = 2 ( F - 2 mgf ) 0 3 m W å = T - T 2 2 1 1 将式(a)两端对t求导,并利用 将式(a)两端对t求导,并利用 2 ( F - 2 mgf ) 得 a0 = 0 = 3 m u0 0 a 0 w = , = 0 , a r r 注意: 注意: 1、摩擦力Fd 的功 W ¹ F S S是力在空间的位移,不是 d ¹ d , d 受力作用点的位移. 受力作用点的位移. 2、亦可将力系向点O 简化,即 S W å = ( F - F T - F d ) S + ( F T R - F d R ) R T d T d = FS - 2 F S d d = FS - 2 fs mg 不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算: S åW = ( F - Fdd )S - Fdd R × R = FS - 2 Fd S å d 例11-5:已知: r , m1 均质;杆m均质,O O =l , M=常量,纯 1 1 2 滚动,处于水平面内,初始静止. 滚动,处于水平面内,初始静止. 求: O O 转过φ角的ω、α 角的ω、α 1 2 O ,O 1 2 解: 研究整个系统 解: 研究整个系统 T = 0 , 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 ml 2 1 2 2 1 m r 2 T2 = ( ) + m u 01 + ( w ) 2 w 2 = 1 2 2 3 2 1 01 2 2 1 m 3 1 2 2 m 2 2 = ( + 1 ) w l = 2 3 2 ( 01 = wl , 1 = u 01 w 1 u 01 wl 01 r 1 1 = r 1 1 ) W = M j T - T = å W 2 1 2 1 1 m 3 1 2 2 m 2 2 Mj = ( + 1 ) w l 2 3 2 12 j M w = ( m + 9 1 ) 2 2 m l 2 1 (a (a) 式(a)对任何φ均成立,是函数关系,求导得 6 M a = ( m + 9 1 ) 2 2 m l 2 1 注意:轮Ⅰ、Ⅱ接触点C不是 理想约束,其摩擦力Fs尽管在空间 是移动的,但作用于速度瞬心,故不 作功. 例11-6:均质杆OB=AB=l, m在铅垂面内;M=常 量,初始静止,不计摩擦. 求:当A运动到O点时, 解: u A = ? A l 1 å W = M q - 2 mg ( - cos q ) 2 T = 0 1 1 3 u C = w AB C ¢C = l AB w AB C AB 2 u B u B B w AB = , w OB = B AB l OB l w AB = w OB AB = OB u A = w AB ∙2 l A AB 1 2 2 T2 = T AB + T = m C u C AB OB 2 OB 2 4 2 2 1 1 2 2 2 2 2 w AB + J C w AB + J 0 w OB = ml 2 AB + C AB 2 2 0 OB 3 åW = T - T å 2 2 1 1 1 3 [M q - mgl ( - cos q ) ] w AB = 1 AB 2 m l u A = w AB ∙2 l A AB §11-4 功率、功率方程、机械效率 功率、功率方程、机械效率 1、功率:单位时间力所作的功称功率 d W P = = d t r r r 由 d W = F × d ,得 r ,得 r d r r r r r P=F× = F × v = Ft v t d t 即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积. 作用在转动刚体上的力的功率为 d W d j P = = M z = M z w z z d t d t d 单位W(瓦特),1W=1J/S 2、功率方程 n n n dT n dW 2 = å 2 = å P i i d i =1 d t i =1 t i =1 i =1 称功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作 用于质点系的所有力的功率的代数和. d T = P - P - P 无用 输入 有用 无用 输入 有用 d t d T 或 P输入 = P有用 + P + 或 无用 输入 有用 无用 d t 3、机械效率 有效功率 有效功率 dT P = P + 有效 有用 有效 有用 d t 机械效率 P有效 有效 h= P 输入 输入 多级转动系统 多级转动系统 h = h1, h 2 L n = 1, 2 h n 例11-7 已知: 已知: P输入 = 5.4kw , P = P ´ 30 % 无用 输入 无用 输入 输入 d = 100mm n = 42 / min , r 求:切削力F的最大值 ¢ 若 n = 112 r / min ,求F的最大值。 ,求F的最大值。 解: 解: P = P - P = 3. kw 78 无用 有用 输入 无用 有用 输入 d pn 60 P有用 = F = F ∙ = u P 有用 有用 = 2 30 pdn 有用 60(sec)( . kw ) 3 78 F = = 17 19 . kN p ( . m 42 / min) 0 1 )( r 当 n ¢ = 112 r / min 当 60 (sec)( 3 78 kw ) . 时 F = = 6 45 kN . p ( . m )( r / min) 0 1 112 例11­8 已知 :m . l0 .k . R . J 0 求:系统的运动微分方程。 解: S = R j 1 æ d s ö T = m ç ÷ 2 è d t ø 2 2 2 2 1 æ d j ö + J ç ÷ 2 è d t ø 2 2 1 æ J ö æ d s ö = ç m + ÷ 2 ÷ ç 2 2 è R ø è d t ø d s d s p 重力 = mg , p 弹性力 = - ks 重力 弹性力 d t d t d T = p重 力 + p 弹性 力 弹 性 力 重力 d t 2 J ö d s d 2 s d s d s æ m + 2 ÷ = mg - ks ç 2 R 2 ø d t d t 2 d t d t è J æ ç m + 2 R 2 è ö ÷ ø d 2 s d 2 = mg - ks 2 2 d t 令d 0为弹簧静伸长,即mg=k d0, 0 0 以平衡位置为原点 以平衡位置为原点 S = d 0 + x , 0 2 J ö d 2 x æ ç m + 2 ÷ 2 = mg - k d 0 - kx = - kx 0 R 2 ø d t 2 è J æ m + 2 ç R 2 è 2 ö d 2 x + kx = 0 ÷ 2 2 ø d t §11-5 势力场.势能.机械能守恒定律 1.势力场 力场 r r F = F ( x, y, z ) 势力场:场力的功只与力作用点的始、末位置有关, 与路径无关. 2.势能 2.势能 V = = M 0 0 M 0 M 0 r r F × d r ò ò (F M M M 0 M 0 M M x x d x + F yy d y + F z d z ) z 称势能零点 (1)重力场中心势能 Z 0 Z 0 V = ò -mg d = mg ( z - z 0 ) z 0 Z Z (2)弹性力场的势能 (2)弹性力场的势能 r r 0 0 V =ò r r r r k 2 2 2 F × d = ( d 2 - d 0 ) r 0 2 d 0 = 0为零势能点, 则 0 k 2 V = d 2 = 2 (3)万有引力场中的势能 (3)万有引力场中的势能 A0 A0 V =ò A A r r A A fm1m r r 0 0 2 F × dR = ò - 12 2 er × d r r 2 A A r r r 由于er × dr = d 有 r r æ 1 1 ö fm1m 2 1 2 V =ò 2 2 ò r 2 d r = fm11m 2 ç r1 - r ÷ r r è 1 ø r r 1 1 r = ¥ r1 1 取零势能点在无穷远 fm m 2 1 V = - 1 2 r 质点 重力场 M i 0 M i 0 V = åò M M i i r r r F × d i ri V = å m g ( z i - z i 0 ) = mg ( z C - z C 0 ) i i i 0 C C 0 i 例如 已知:均质杆l, m 弹簧强度 k, AB水平时平衡,弹 簧变形 d 0 簧变形 0 由 r å M A ( F ) = 0 得 A mg d 0 = 0 2 k 取弹簧自然位置O为零势能点: 2 2 2 2 1 jl 1 2 2 m g 2 2 V ¢ = k (d 0 + jl ) - mg = k 2 l 2 + j 0 2 2 2 8 k 取杆平衡位置为零势能点: 取杆平衡位置为零势能点: 1 2 2 2 V = k d - d 0 2 - mgh 0 2 1 jl 2 2 2 2 2 2 2 2 = k d 0 + 2 0 jl + j l - d 0 - mg d 0 0 0 2 2 ( ( ) ) 1 2 2 即 V = k 2 2 = j l 2 质点系在势力场中运动,有势力功为 质点系在势力场中运动,有势力功为 W12 = V - V 2 2 12 = 1 1 3. 机械能守恒定律 由 T2 - T = W 由 12 2 - 1 1 12 及 及 W12 = V - V 2 2 12 = 1 1 得 T1 + V = T + V 2 2 1 + 1 1 2 2 即:质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒.此 类系统称保守系统 例 已知:重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下 6 降,钢索 k=3.35× 10 6 N/m . 求: 轮D突然卡住时钢索的最大张力. 解: 解: 卡住前 mg d st = , st k F = k st = mg = 2. kN d st 45 卡住时: 卡住时: V 1 = 0 V 1 k 2 2 2 V 2 = d max - d st 2 - mg (d max - d st ) 2 max st max st 2 1 2 T1 = m 2 , T = 0 u 2 1 2 2 ( ) 由 有 T1 + V = T + V 2 有 2 2 1 + 1 1 2 1 2 k 2 2 2 2 mu + 0 = 0 + d mxa - d st 2 2 2 mxa st - mg (d max - d st ) max st ( 2 2 即 d max - 2 d st d max max st max 得 æ d max = d st ç 1 ± max st ç 1 è F max max ) 2 æ 2 u 2 ö 2 + ç d st d st ÷ = 0 ç st g st ÷ è ø 2 u 2 ö ÷ g d st ÷ st ø æ = k d st = k d st ç 1 + st st ç è 2 æ u 2 ö k ö ÷ = mg ç 1 + u ÷ = 16 . kN 9 ç ÷ g d st ÷ g m ø è st ø 例 已知:m, , k水平位置平衡 OD=CD=b J O O 0 w =? 求:初速 w 0 时, =? 解: 取水平位置为零势能位置 解: 取水平位置为零势能位置 1 k 1 2 2 2 2 2 2 J 0 w + (b ) = J 0 w 0 j 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 2 2 w = w - kb 2 j 2 / J 0 = 0 *4. 势力场的其它性质: 势力场的其它性质: (1) ¶V ¶V ¶V F x = , F y = , F z = x y z ¶x ¶y ¶z (2)势能相等的点构成等势面 (3)有势力方向垂直于等势能面,指向势能减小的 方向 §11-6 普遍定理的综合应用 动量、动量矩 矢量,有大小方向 内力不能使之改变 只有外力能使之改变 约束力是外力时对之有影响。不与 能量相互转化,应用时不考虑能量 的转化与损失。 当外力主矢为零时,系统动量 守 恒 当外力对定点O或质心的主矩为零 O 时系统对定点或者质心的动量矩守 恒。 动量定理描述质心的运动变化 动量矩定理描述绕质心或绕定点的 运动变化。 动能 非负的标量,与方向无关 内力作功时可以改变动能 只有作功能改变动能 理想约束不影响动能 可进行动能转化 应用时完全从功与能的观点出发 在保守系中,机械能守恒 动能定理描述质心运动及相对质 心运动中动能的变化。 例:已知 均质园轮 m, r, R ,纯滚动 求:轮心C的运动微分方程 解: 1 1 3 2 2 2 2 2 2 T = m C + J C w = m C , u C u C = 2 2 C 4 重力的功率 s r r r æ d r ö P = mg ×u = mg × ç t ÷ t è d ø d r r s = m g ×t d t d s = m ( - g sin q ) d t d s = - sin q mg d t dT d = p d t d C u C 3 d s m × 2u C = - mg sin q C 4 dt d t 2 d C d 2 s ds u C s 很小) = 2 , = uC , q = ,sin q » q (q 很小) C 2 dt dt d t R-r - 2 d 2 s 2 gs s + = 0 2 2 ( d t 3 R - r ) 本题也可用机械能守恒定律求解. 本题也可用机械能守恒定律求解. 3 2 2 V = mg (R - r )(1 - cos ) , T = m C q u C = 4 d (V + T ) = 0 d t 2 d 2 s 2 + g sin q = 0 得 2 2 d t 3 例:已知两均质轮m ,R ; 物块m ,k,纯滚动,于弹簧原 长处无初速释放. 求:重物下降h时 ,v、a及滚轮与地面的摩擦力. . 解: T = 0 1 1 1 1 1 1 æ 1 2 2 2 2 2 2 ö 2 2 2 2 T2 = m u + × mR w + ç m u + mR 2 2 ÷ w 2 = 2 2 2 2 è 2 ø 3 2 = m u 2 2 å 1 2 2 2 W = mgh k (2 h ) = mgh - 2 kh 2 2 å W = T - T å 2 2 u= 1 1 3 mgh - 2 kh = m 2 (a) u 2 (a) - 2 2 2 2 (mg - 2 kh ) h 3 m 将式(a)对t 求导 du d h 3mu = ( mg - 4 ) - kh dt d t g 4 kh 得 a = 得 3 3 m d æ 1 2 u ö d ç mR 2 × ÷ = (F - F )R s s d è 2 t R ø 1 mg 4 F = F + ma = + kh S = S 2 6 3 其中 F = 2 kh = 例:已知 l, m 求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力. 求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力. 解: uC C 2uC C w = = CP l cos q T = 0 成 q 角时 , 1 1 1 2 1 1 æ 1 ö 2 2 2 2 2 T2 = m C + J C w = m 1 + uC = u C ç 2 C 2 ÷ C 2 2 2 è 3 cos 2 q ø l 1 æ 1 ö 2 2 mg (1 - sin q ) = m 1 + ç ÷uC 2 2 2 è 3 cos 2 q ø C q = 0 时 时 1 3 g u C = 3 , w = gl C 2 l mg - F N = ma C - N C ( a ) ) 2 l ml 2 F = J C a = a ( b) N N C 2 12 由 由 r r r tt r n r n aC = a A + aCA + aCA C A CA CA r r t r r n t aC、 CA 铅直 a A、a n 水平 其中: C a CA A、 CA CA l a C = a = a C = 2 t t CA CA (c) (c) 由( a ),( b ),( c ) 得 得 mg F = N N 4 例:已知 轮I :r, m11; 轮III :r,m33; 轮II :R=2r, m22;压力 角(即齿轮间作用力与图中两圆切线间的夹角)为20度, 物块:mA;摩擦力不计. A 求:O1 O2处的约束力. 1 2处的约束力. 1 1 1 2 2 2 2 2 2 解: T = J O 1 w 1 + ( J O 2 + J O 3 ) 2 + m A u A w 2 解: O 3 2 O 1 1 2 O 2 2 A A 其中 其中 w w 2 = 2 2 w1 r 1 1 2 u A = w 2 r = , J O 1 = m r 2 , A 1 2 O 1 2 2 1 1 1 2 2 2 J O 2 = m 2 R , J O 3 = m r 2 2 3 O 2 = O 3 3 2 2 å dw = M dj - m d h A A 其中 1 d = r j h d 2 dT = å d w d t r 1 a1 a1 a A = , 2 = 1 a 2 A 利用 利用 2 2 2(2 - m A gr ) M A a A = A (2 m A + 4 m 1 + 4 m 2 + m 3 ) r 1 3 A 2 研究 I 轮 轮 ¢ J O1a1 = M - P r t O1 1 t 1 2 M - m r 2 a 1 1 1 1 M - m ra A 2 1 1 A ¢ P = = t t r r 压力角为 o o 20 o ¢ = tan 20 o × P = 0 364 t ¢ ¢ . P Pn t n t t ¢ F 11 x + P = 0 O n O n M - m ra A 1 A 1 F 11 x = 0 364 . O O r ¢ 1 F 11 y + P - m g = 0 O t O t 1 M - m ra A 1 A 1 F 11 y = m g = 1 O O 1 r 研究物块A F ¢ - m A g = m A a A T A A A T ¢ F = m A a + m A g T A 1 A T 1 研究II轮 研究II轮 F 22x - P = 0 O x n O n M - m ra A 1 A 1 F 22x = 0 364 = . O x O r FO 22y - P - (m 2 + m ) - F = 0 t 2 3 g T O y t 3 T M F 22 y = (m 2 + m + m A )g + + (m A - m ) A 0 2 3 A A 1 a 0 3 1 A r 例:已知,m,R, k, CA=2R为弹簧原长,M为常力偶. 求:圆心C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力 T = 0 1 1 解: 1 1 æ 1 2 3 2 2 2 2 ö 2 2 2 T = J Ow = ç mR + mR ÷ = mR 2 2 w 2 = 2 O 2 2 è 2 ø 4 2 2 k ì é 2 2 - 2 R ü ù W =M - mg × 2 + í 0 j R å ê ú ý ë û þ 2 î ( ) = Mp - 2 Rmg - 0 343 2 . kR 2 T - T = å w 2 1 2 1 4 w = M - 2 Rmg - 0 343 2 p . kR 2 3 2 mR 2 2 2 ( ) o o Ja = M - FR cos 45 3 2 1 2 mR a = M - k 2 2 R - 2 R R × 2 2 ( ( ) ) 2 M - 0 586 2 . kR 2 a= 2 3 2 mR a Cx = - R , a Cy = - R a Cy w Cx = 2 2 o ma Cx = F + F cos 45 o Cx Ox Ox o o ma Cy = F - mg - F cos 45 Cy = Oy Oy 得 得 FOx = -0 586 + ma . kR Ox Ox Ox 2 =M - 0 196 . kR = 3 R FOy = mg + 0 586 + ma . kR Cy Oy Cy M = 3. mg + 1 043 - 4 189 667 . kR . R 例: 均质杆AB,l, m,初始铅直静止,摩擦 求:1.B端未脱离墙时,摆至θ角位 置时的 2. B端脱离瞬间的θ1 1 w 2 3. 杆着地时的vC及 2 C w ,a ,FBx ,FBy Bx By 2 2 解:(1) 解:(1) l 1 ml 2 mg (1 - cos ) = × q w 2 2 2 3 3g (1 - cos q ) w = l l a = a = 2 3 g a = sin q 2 l l 2 n n a C = w 2 C = 2 t t C C ( t t n q F = ma = m a C cosq - a n sin Bx Cx C cos C Bx Cx C 3 _ = _ mg sin (3 cos - 2 ) q q ) 4 ) FBy - mg = ma Cy Cy By - ( ) 3 = mg - mg (3 sin q + 2 cos - 2 q ) 4 t t C C n n C C F = mg + m - a sin q - a cos q By By 2 2 ( 2 )脱离瞬间时 )脱离瞬间时 F = 0 Bx Bx 2 = q 1 = arccos 3 1 3 g g (1 - cos q ) = w 1 = 1 l l ( 3 )脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时 )脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时 l 1 v = w1 = gl C C 1 2 2 1 v = v cos 1 = q1 gl Cx C Cx C 3 杆着地时, AC水平 杆着地时, AC水平 r r r r v = v = w × l vC = vB + vCB Cy CB Cy CB C B CB 2 由铅直——水平全过程 T = 0 1 1 W = T - T = 2 1 2 1 l 1 2 1 2 2 2 2 mg = (mv + v Cy ) + J C w 2 = Cx Cy Cx C 2 2 2 式中 式中 2 1 w l w l 2 v Cx = gl , v Cy = , J C = Cx Cy 3 2 C 12 8 g w = 3 l 1 8 g v Cy = Cy 2 3 l 1 v C = v + v = 7 gl C = 3 2 2 Cx Cx 2 2 Cy Cy ...
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This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

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