Chap13 - 第十三章 虚位移原理 §13-1 约束...

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Unformatted text preview: 第十三章 虚位移原理 §13-1 约束 ∙虚位移∙虚功 1 约束及其分类 限制质点或质点系运动的条件称为约束, 限制条件的数学方程称为约束方程. (1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何 约束. 如 2 2 2 x + y = l + f ( x y z ) = 0 , , 2 2 2 2 x 2 + y A = r 2 A + A A 2 2 (x B - x A ) + ( y B - y A ) = l xB A B A 2 2 y B = 0 B 限制质点系运动情况的运动学条件称运动约束. v A - r = 0 w A & A j x - r & = 0 2 定常约束和非定常约束 约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称定常约束.. r 2 x + y = (l - v t ) 0 2 2 (3) 其它分类 约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分或有限 形式的约束称非完整约束,否则为完整约束. 约束方程是等式的,称双侧约束(或称固执约束), 约束方程为不等式的,称单侧约束(或称非固执单侧约 束)。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束; f , ( x , y , z , , x , y , z ) = 0 i = 1 2 L, s , , 1 1 1 L n n n n为质点系数 S 为约束方程数 2 虚位移 在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何 无限小的位移称为虚位移 . r 虚位移 d r , x d j 等 d , r 实位移 dr , dx, d 实位移 j 等 3 虚功 虚功 力在虚位移中作的功称虚功. . r r d W = F × d r = 4 理想约束 如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和 等于零,称这种约束为理想约束.. r r dW N = å d W Ni = å F × d r = 0 N Ni Ni i Ni i § 13-2 虚位移原理 设质点系处于平衡,有 设质点系处于平衡,有 r r r F + F = 0 i Ni i Ni r r r r F × d r + F × d r = 0 i i Ni i i i Ni i 即 r r r r å F i × d r i i + å F Ni × d r i = 0 i i Ni r r d i å F i i × r i = 0 或记为 或记为 å d W Fi Fi =0 此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理: 对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是: 作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和 等于零. 解析式为 å (F d x + F d y + F d z ) = 0 xi xi i i yi yi i i zi zi i i 例15-1 如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在 r r 水平面内的力偶( F , F ¢ ),其力矩 M = 2 Fl ,螺杆的导 , 程为h . . 求:机构平衡时加在被压物体上的力. 求:机构平衡时加在被压物体上的力. 解:给虚位移 解:给虚位移 å d W F F dj, s, d = - F d s + 2 Fl j = 0 d N N d j 与 d s 满足如下关系: 满足如下关系: F N h ö æ d W F = ç 2 Fl - N ÷d j = 0 å F è 2 ø p 故 因d j 是任意的 ,故 4p l F h N N F 2 Fl = 0 F = N = N h 2 p dj d s = 2p h 2 例15-2 图中所示结构,各杆自重不计,在G点作用一铅直 向上的力F, AC = CE = CD = CB = DG = GE = l , = 求:支座B的水平约束力. 的水平约束力. 解:解除B端水平约束,以力 FBx F Bx 代替,如图 (b) (b) d F = F dx B + F y G = 0 w F d G Bx B Bx x B = 2 cos , y G = 3 sin q l q l B G dx B = -2 sin dq , dy G = 3 cos l l qdq B G 带入虚功方程 F (- 2 sin qdq ) + F × 3 cos l l qdq = 0 Bx Bx 3 F = F cot q Bx Bx 2 如图在CG 间加一弹簧,刚度K,且已有伸长量 d 0 ,仍求 FBx . . 0 在弹簧处也代之以力,如 图(b),其中 图(b),其中 FC = F = k 0 d0 G C G dW F = 0 F F × dx B + F × dy C - F × dy G + F × dy G = 0 Bx B C C G G G Bx C G x B = 2 cos , y C = l sin q , y G = 3 sin q l q l B C G dx B = -2 sin qdq , dy C = l cos , dy G = 3 cos l qdq l qdq B C G F ( 2 sin q d q + k 0l cos d q - k 0 3 cos d q + F 3 cos q = 0 d0 q d 0 l l qd Bx - l Bx 解得 3 F Bx = F cot q - k 0 cot q d 0 Bx = 2 例13-3 图所示椭圆规机构中,连杆AB长为L,滑块A, B与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 与杆重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡. 求:主动力 FA 与 B 与F 之间的关系。 A B r r 解: (1) 给虚位移 d r , d r , 给虚位移 A B A B r r å F i × d r i = 0 i i FA d r - F d r = 0 A B B r r 由 d rB cos j = d r sin j ( d r , r 在 A ,B 连线上投影相等) 连线上投影相等) A A d B B A A B 代入虚功方程,有 代入虚功方程,有 FA cos j r B - F d r = 0 d B B B A B B 即 FA = F tan j B A B (2) 用解析法.建立 坐标系,由 å (F d xi xi xi xi + F yi yi + F d zi ) = 0 d yi yi zi zi zi 有 - FB d xB - F d yA = 0 有 A yA B xB A x B = l cos j , y A = l sin j B A d xB = -l sin j dj , d yA = l cos jdj xB yA 得 FA = F tan j B A B (3) 虚速度法 定义: 代入到 r r r d r r d r 为虚速度 A A B v A = , v B = B B A t d t r d r å F i × d r i = 0 中, 得 i i F v - F v = 0 B B A A 由速度投影定理,有 由速度投影定理,有 v B cos j = v A sin j , = A B 代入上式 得 FA = F tan j A = B B 例13-4 如图所示机构,不计各构件自重与各处摩 擦,求机构在图示位置平衡时,主动力偶矩M与主动力 F之间的关系. 解: 给虚位移 给虚位移 åd w F F d q ,, rc d = M q - F r = 0 d d c c 由图中关系有 d r e d ra = e a sin q h h q d d r = OB q = d dq , d r = d r = 2 e C a e C a sin q sin 2 q 代入虚功方程得 Fh M = 2 sin 2 q 用虚速度法: 用虚速度法: h h w v e = OB × w = w , v a = v C = 2 e a C sin q sin 2 q 代入到 Fh M - Fv = 0 中 亦得 M = 2 w , C C 2 sin q 用建立坐标,取变分的方法,有 M + F x C = 0 dq d C x C = h cot q + BC C h dq d x C = - 2 C sin 2 q 解得 Fh M = 2 sin 2 q 例13-5 求图所示无重组合梁支座A的约束力. 求: F A A 解:解除A处约束,代之 F ,给虚位移,如图(b) (b) A A d F = F A s A - F d s 1 + M j + F d s 2 = 0 W F d A 1 1 d A 2 2 1 2 d s A A 3 11 dj = , d s = 3 j = d s A , d s M = 11 = ds A d dj 1 M 1 A 8 8 8 A 4 4 11 11 d s2 = d s M = × d s A = d s A M 2 = 7 7 8 A 14 A 代入虚功方程,得 代入虚功方程,得 3 11 1 F A = F - F - M A 1 2 8 1 14 2 8 ...
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