Chap14 - 第14章 分析动力学基础 14...

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Unformatted text preview: 第14章 分析动力学基础 14 分析动力学基础 (Elements of Analytical Dynamics ) 第14章 分析动力学基础 14 ■ 引 言 ■ 动力学普遍方程 ■ 拉格朗日方程 ■ 讨 论 ■ 引 言 经典动力学发展的两个方面: *拓宽研究领域 牛顿运动定律 由单个自由质点 受约束质点和质点系。 欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流。 矢量动力学又称为牛顿-欧拉动力学 *寻求新的表达形式 将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 建立 分析力学的新体系。该体系组成之一即拉格朗日力学 ■ 动力学普遍方程 ★ 动力学普遍方程 ★ 应用举例 ★ 动力学普遍方程 考察由n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔 n 原理,有 Fi + F N i - m a i = 0 ( = 1 2 , × × , n i , × ) 原理,有 i i i i + N i 约束力 主动力 惯性力 δ i r i 令系统有任意一组虚位移 令系统有任意一组虚位移 i i i i 利用理想约束条件 利用理想约束条件 得到 得到 - m i a i ) ×δ i = 0 r i i i å ( F + F å 系统的总虚功为 系统的总虚功为 ( = 1 2 , × × , n i = , × ) N i i N å F ×δ i = 0 r i N i i N ( = 1 2 , × × , n i , × ) ( = 1 2 , × × , n i , × ) i i r å ( F - m a ) ×δ = 0 å i i i i i i i i ( = 1 2 , × × , n i , × ) i i ——动力学普遍方程( 达朗贝尔-拉格朗日方程) —— 任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与 惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 达朗贝 尔-拉格朗日原理(d'Alembert – Lagrange principle) 。 ( ★ 动力学普遍方程 r × å ( F - m a ) ×δ = 0 ( i = 1 , 2 , × ×, n ) å Fi = (F , F , F ), a i = (&&i , &&i , &&i ), δ r = (δ i , δ i , δ i ) x y z i x y z i ix i i ix iy iy iz iz i i i i i i 动力学普遍方程 i i i i i i i i i i 动力学普遍方程的直角坐标形式 直角坐标形式 & & & x å ( F - m && ) ×δ x + ( F - m &y ) ×δ y + ( F - m &z ) ×δ z = 0 ix ix i i i i i i iy iy i i i i i i iz iz i i 动力学普遍方程: i = 1 2 , × × , n , × 适用于具有理想约束或双面约束的系统; 适用于具有定常(或非定常)约束的系统; 适用于具有完整(或非完整)约束的系统; 适用于具有有势力(或无势力)的系统。 i i i i i i ★ 应用举例 * 达朗贝尔-拉格朗日方程主要应用于求解动力学 第二类问题,即:已知主动力求系统的运动规律。 * 应用达朗贝尔-拉格朗日方程求解系统运动规律 时,重要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力。 * 应用达朗贝尔-拉格朗日方程时,需要正确分析主 动力和惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功。 * 由于达朗贝尔-拉格朗日方程中不包含约束力,因 此,不需要解除约束,也不需要将系统拆开。 ★ 应用举例 例 题 1 题 1 x 1 O 1 离心调速器 l a a l l w A l B l C 已知: 已知: m -球A、B 的质量; A 的质量; 1 m -重锤C 的质量; 的质量; 2 l-杆件的长度; l w- O y 轴的旋转角速度。 1 1 求: w- a 的关系。 y 1 解:不考虑摩擦力,这一系统的约束为理想约束;系 统具有一个自由度。 取广义坐标 q=a 取广义坐标 q = 1、分析运动、确定惯性力 1 球A、B绕 y轴等速转动;重锤静止不动。 A B y 绕 x O 1 da dr A A F A IA I l a a l l A w B dr C m g l 1 m g 2 y dr 2、给系统有一虚位移 d a。A、B、C 2 A B B B F B 三处的虚位移分别为dr 、dr 、 dr IB I A B C C l m g 1 C = I sin 2 球A、B的惯性力为 F A F B =ml aw 2 A B 的惯性力为 I A I B I 3、应用达朗贝尔-拉格朗日方程 3 、应用达朗贝尔-拉格朗日方程 FIIA × x A + F B ×δx B + m g ×δy A F A δ A I B 1 I B 1 A + m g ×δy B + m 2 g ×δy C = 0 1 2 C 1 B x O 1 根据几何关系,有 da dr A A l a a l l A F A IA I l m g 1 C F B IB I m g 2 g x A =l a sin A y A =l a cos A δ A= cos δ x A=l a a δy A = - l aδ sin a A x B - l a = sin B y B =l a cos B δx B = - l aδ cos a B δy B = - l aδ sin a B y C 2 cos = l a C w B dr C m g l 1 dr B B δy C - 2 sin δ = l a a C y FIIA × x A + F B ×δx B + m g ×δy A + m g ×δy B + m 2 g ×δy C = 0 F A δ A I B B 1 1 2 C I 1 A 1 B 2 m l aw 2 l aδ - 2 1 gl aδ - 2 2 gl aδ = 0 m1 sin 2 cos a m sin a m 2 sin a 1 1 ( m 1 + m 2 ) g 2 w = 1 = m 1 l a 1 cos 2 2 ★ 应用举例 例 题 2 题 y 质量为m 的三棱柱ABC 1 通过滚轮搁置在光滑的水平 面上。质量为m 、半径为R 2 的均质圆轮沿三棱柱的斜面 三棱柱的斜面 AB无滑动地滚下。 AB D A C 2 C 1 O C a B B x 求:1、三棱柱后退的加 1 速度a ; ; 1 2、圆轮质心C 相对 2 2 于三棱柱加速度a 。 。 r M I2 y F I 2 r A D C 2 a e a a F 2 I 2 e C F I1 1 O C a 1 m g 2 m g 1 M I2 I2 y A dx x O C F I 2 r C 1 a r r B B a 三棱柱作平移,加速度为 a 。 加速度为 1 。 圆轮作平面运动,质心的牵连 加速度为a = a ;质心的相对加 e 1 速度为a ;圆轮的角加速度为a 。 a2 。 r x 2、施加惯性力 2 、施加惯性力 FI2e = m 2 a FI1 = m a 2 1 1 1 I2e 1 I1 1 1 dj 2 D FI2r = m a r M I2r = J 2 2 J 2 = 1 m 2 r 2 α 2 r I2r 2 I2r 2 2 2 2 C 2 F I1 m g 2 m g 1 解:1、分析运动 1 a a 3、确定虚位移 3 、确定虚位移 F I 2 e 2 考察三棱柱和圆盘组成的系统, δ 系统具有两个自由度 δ x, j B B x 4、应用达朗贝尔-拉格朗日方程 4 、应用达朗贝尔-拉格朗日方程 令 δ x = 0 δ j ¹ 0 , m 2 g a × R j + F 2 e cos × R j - F 2 r × R j- 2 a 2 × R j = 0 δ a δ δ J 2 2 δ 2 sin I 2 I 2 r I e I M I2 I2 y A dx x O C 1 3 sin × + ( 1cos - a r ) = 0 a a 1 a r g 2 令 δ x ¹ 0 δ j = 0 , d j - ( FII1 + F 2 e ) x + F 2 r cos δ x = 0 a I 2 e δ I 2 r 1 I I D F I 2 r C 2 ( 1 + m 2 ) 1 m 2 a 1 1 m a cos 求解联立方程,得: ar = r F I 2 e C F I1 1 m g 2 a a B B x a = 1 1 m g 1 m 2 g a 2 sin2 3( 1 + m 2 ) 2 2 cos 2 a m - m 2 2 2 1 2 g a ( 1 + m 2 ) sin m 2 1 a r = r 3( 1 + m 2 ) 2 2 cos 2 a m - m 2 2 2 1 ■ 拉格朗日方程 ★ 拉格朗日关系式 ★ 拉格朗日方程 ★ 拉格朗日方程的有势力形式 ★ 拉格朗日方程的应用 ★ 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 考察由n个质点组成的系统,系统具有s个理想的、且为 n s 完整的约束,系统的广义坐标数为 N=3n­s 。第i个质点的 完整的约束,系统的广义坐标数为 N 3 ­ = n i 位矢为 位矢为 ri = r ( , q , q 2 , × × , q N ) i = 1 2 , × × , n × , , × i t 1 i i 1 2 N , N N ¶ r ¶ r i i & & j r = i + å i q j i i ¶t j =1 ¶q j j =1 j & j q j = d j q j d t -广义速度 ¶ r ¶ r i i i 和 i 仅为时间和广义坐标的 函数, ¶t ¶q j j & j 与广义速度 q j 无关 ¶ &i ¶r r & i i = i -第一个拉格朗日关系 式(消点) & j ¶q j ¶q j j ★ 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 N ¶ r N ¶ r i i &i & j r = i + å i q j i ¶t j =1 ¶q j j =1 j 对任意一个广义坐标q 求偏导数 求偏导数 a 2 2 N N &i ¶ r ¶ 2 r ¶ 2 r i i i i i & = +å q j ¶q a ¶q a ¶t j =1 ¶q a ¶q j j j =1 a a a j 2 2 N N ¶ 2 r ¶ æ d r ö ¶ 2 r i i i i i & j +å q j ç i ÷ = ¶q a è d ø ¶q a ¶t j =1 ¶q a ¶q j t a a j =1 a j 如果将位矢对任意一个广义坐标q 求偏导数,再对时间求 a 导数,则得到 2 2 导数,则得到 2 2 N N 比较上两式: ¶ æ d ri ö ç i ÷ ¶q j è d ø t j ¶ r d æ ¶ r ö ¶ r i i i i i i ç ÷= & j +å q j d ç ¶q a ÷ ¶q a ¶t j =1 ¶q a ¶q j t è a ø j =1 a a j = = d æ ¶ r ö d ç i ÷ i ——第二个拉格朗日关系式 —— d ç ¶q j ÷ t è j ø 位矢 r 对q 的偏导数与位矢r 对时间 t的全导数运算可 位矢 i j 对时间 t i 以互换(微分记号互换) ( ) ★ 拉格朗日关系式 拉格朗日关系式 由达朗贝尔-拉格朗日方程 由达朗贝尔-拉格朗日方程 r å ( F - m a ) ×δ = 0 å i i i i i i i i ( = 1 2 , × × , n i , × ) i i ri = r ( , q 1 , q 2 , × × , q N ) i = 1 2 , × ×, n × , , × i t 1 i i 2 N ¶ r ¶ r ¶ r ¶ r i i i i i i i δ i = δt + r δq 1 + δq 2 + × × × + i δq N , t = 0 δ 1 2 i N ¶t ¶q 1 ¶q 2 ¶q N 1 2 N N N ¶ r i δ i = å i δq j , i = 1 2 , × × , n r i , × j j = 1 ¶q j 1 j = j n N N n N ¶ r N ¶ r i i × å ( Fi i × å ¶q - m i i a i i × å ¶q i i ) ×δ q j j = 0 ( j = 1 , 2 , × ×, N ) i =1 j =1 j =1 j j i =1 j = 1 j =1 j j n n n é n ¶ r ¶ r ù i i Fi × i + å ( m i a i ) × i ú ×δ j = 0 , ( j = 1 2 , × × , N ) - i i q j , × êå i å i =1 ¶q i =1 ¶q j ú j =1 ê i =1 j =1 ë i = 1 j j j û N N 广义主动力F j Qj Q 广义惯性力F j Ij I n n é nn ¶ r ¶ r ù i i × å êå Fi i × ¶q + å ( -m i i a i i ) × ¶q i i ú ×δ q j j = 0 , ( j = 1 , 2 , × ×, N ) j =1 ê i =1 i =1 j j ú j =1 ë i =1 i = 1 j j û N N 广义惯性力F j 广义主动力F j Ij I Qj Q n n n n n n n ¶r d & ¶r r &i i ¶ r d n d ¶ r i i i i i i & &i F j = -å m i a i × = å m i × = - ( m i r × ) + å m i r × ( i ) å i i i ¶q i =1 i i d t ¶q i I j i i i I d i =1 t i =1 ¶q j i =1 d ¶q j t i =1 j j i =1 i =1 i =1 j j j j n n n 2 2 n n &i &i ¶ r ¶ r d n d ¶ n m i v 2 ¶ n m i v 2 i i i i i i i i & = - ( m i r × å i && ¶q ) + å m i i r i i × ( ¶q ) = - d t ¶q ( å 2 ) + ¶q ( å 2 ) i i & j d i =1 t i =1 & j i =1 i =1 & j i =1 j i =1 j j j i =1 j i =1 n d ¶T ¶T 1 n 1 2 2 FI j = - ( ) + 引入动能函数 T = å m i v i i i I j 2 i =1 d ¶q j ¶q j t & j i =1 j N é N d ¶T ¶T ù —— å ê F Qj j - d t ( ¶q ) + ¶q ú ×δ q j j = 0 ——达朗贝尔-拉格朗日 Q & j j = 1 ê 1 j ú j = ë j j û 方程的广义坐标形式 对于只具有完整约束的系统,由于dq 的独立性, j dq (j=1,2,…,N) 得到 j= … N j ( 1,2, , 得到 此即拉格朗日方程,或称为第二类拉格 d ¶T ¶T ( ) - =F j 朗日方程[Lagrange equation(of the Q d ¶q j ¶q j t & second kind)] 。 ★ 拉格朗日方程的有势力形式 如果作用在系统上的主动力都是有势力,根据有势力的广义 主动力 主动力 ¶ V d ¶T ¶T ¶V FQ j =- ( ) - = - Q j ¶ q j d ¶q j t & ¶q j ¶q j j ¶V V V ( , q , q 2 , × × , q N ) = t 1 × = 0 , ( j = 1 2 , × × , N ) , × & ¶q j d ¶T ¶V ¶T ¶V ( - ) - ( - ) = 0 & & d ¶q j ¶q j t & ¶q j ¶q j 引入拉格朗日函数 拉格朗日函数 L=T-V L T 得到主动力为有势力的拉格朗日方程 d ¶L ¶L ( ) - =0 & d ¶q j t & ¶q j ★ 拉格朗日方程的应用 对于只具有完整约束、自由度为N的系统,可以得到 N 由N个拉格朗日方程组成的方程组。 N 应用拉格朗日方程,一般应遵循以下步骤: ○ 首先,要判断约束性质是否完整、主动力是否有势, 决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。 ○ 其次,要确定系统的自由度,选择合适的广义坐标。 ○ 按照所选择的广义坐标,写出系统的动能、势能或广 义力。 ○ 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。 ★ 拉格朗日方程的应用 例 题 3 题 3 l 0 k x A q C 质量为m、长度为l的均质杆AB m l O 可以绕A端的铰链在平面内转动。 A 端的铰链在平面内转动。 A端的小圆轮与刚度系数为k的弹 A k 簧相连,并可在滑槽内上下滑动。 弹簧的原长为l 。 0 求:系统的运动微分方程 :系统的运动微分方程 x B k l 0 解:1、系统的约束为完整约束,主动 1 力为有势力。 力为有势力。 O O 2、系统具有两个自由度,广义坐标 2 A 选择为q=(x, q), x坐标的原点取在弹簧原 q ( , ) x = x 长的下方。 。 3、计算系统的动能:不计弹簧的 3 q C 质量,系统的动能即为AB杆的动能 AB 杆的动能 1 1 & 2 2 2 T = mv C + J C q 2 x = C 2 2 C l l B & C = x - q&sin q & x C = x + cos q x C C 速度v 的确定 2 2 C l l & C = q&cos q y C = sin q y C C = 2 2 1 é l 1 1 2 2 ù 2 & - q&sin q ) 2 + ( q&cos q ) 2 ú + J C q& 2 T = m ê ( x = C 2 ë 2 2 û 2 1 2 2 2 2 &l q + 1 l 2 q& 2 ) & & = m ( x - x q sin 2 3 x l 0 k x A O O 系统的势能由弹簧势能与重力势能所 组成,以O点为共同的势能零点: O 点为共同的势能零点: 1 2 l 2 V = kx - mg ( x + cos q ) = 2 2 拉格朗日函数 拉格朗日函数 1 2 2 2 2 &l sin q + 1 l 2 q& 2 ) & & L = T - V = m ( x ­ x q 2 3 1 2 l - kx 2 + mg ( x + cos q ) x 2 2 q C B 4、应用拉格朗日方程运动微分方程 4 、应用拉格朗日方程运动微分方程 d ¶L ¶L ( ) - =0 & d ¶q j t & ¶q j 广义坐标 q j , j = 1 2 q = x q 2 = q , 1 , 2 j 1 &1 & , & 2 & q = x q 2 = q 1 L = T - V 1 2 2 2 2 &l sin q + 1 l 2 q& 2 ) - 1 kx 22 + mg ( x + l cos q ) & & = m ( x ­ x q = 2 2 2 3 ¶ L 1 & ¶L & = m x ­ m q l sin q = - kx + mgx - & ¶ x 2 ¶ x d ¶ L 1 && 1 & 2 ( ) = m && ­ m q l sin q - m q 2 l cos q x & d t ¶ x 2 2 ¶ L 1 1 & = - m x q&l cos q ­ mgl sin q ¶ q 2 2 ¶ L 1 1 ¶ 2 2 & = ml q ­ ml x sin q & 3 2 ¶ q 2 d ¶ L ml 2 && 1 1 &&sin q - m x q&l cos q & ( ) = q ­ ml x d t ¶ q& 3 2 2 1 2 &&sin q - 1 ml q& 2 cos q + kx - mg = 0 & m & - ml q x 2 2 l && 1 1 &&sin q + g sin q = 0 q - x 3 2 2 ★ 拉格朗日方程的应用 例 题 4 题 O 均质杆OA,重量为W,长度为l OA W 绕O作定轴转动。重量同为W的滑 O W 块B套在OA杆上,可在OB杆上滑 B OA OB 动。刚度系数为k、不计质量的弹 k 簧,两端分别与A、B相连。 A B 弹簧未变形时,OB=r 。 OB 0 r 0 B k A 求:系统的运动微分方程(摩擦 ( 忽略不计) 解:1、系统的约束为完整约束,且主动力有势。 1 、系统的约束为完整约束,且主动力有势。 2、系统的自由度N=2。取广义坐标 q=(r, q)。 2 N 2 取广义坐标 q ( , ) = r 。 O r 0 0 r r q B 3、确定系统的动能和势能: 3 、确定系统的动能和势能: 1 W 2 1 1 W 2 & 2 2 & 2 2 2 2 & T = ( r + r q ) + ( l 2 ) 2 q 2 g 2 3 g 零势能取弹簧原长及水平线。 零势能取弹簧原长及水平线。 B' l 1 2 V = - Wr cos q - W cos q + k ( r - r 0 ) 2 0 W F 2 2 k 1 W 2 1 1 W 2 & 2 2 2 F & 2 + r 2 q& 2 ) + ( L = T - V = ( r l 2 ) 2 q = W 2 g 2 3 g A l 1 2 + Wr cos q + W cos q - k ( r - r 0 ) 2 0 2 2 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。 W 2 ( && - r q& 2 ) - W cos q + k ( r - r 0 ) = 0 r & 0 g W 2 1 2 & 2 W l & ( r 2 + l 2 ) & + q r r q& + Wr sin q + W sin q = 0 g 3 g 2 ★ 拉格朗日方程的应用 例 题 5 题 图示系统中,物块A与球B看成两个质点,质量分 别为 m1 与m , 用质量不计的长为 l 的杆相连。水 2 平面光滑,求系统的运动微分方程。 解:系统受理想约束,主动力(重力)有势。系统有二自 , 由度,选 x j 为广义坐标。 1 1 1 1 & 2 + m v 2 = m x 2 + m ( x 2 + l 2 j 2 + 2 jx cos j ) T = m x & & & l & & 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 & & & = ( m + m ) x + m l j + m l &x cos j 1 2 2 2 j 2 2 V = -m gl cos j 2 代入拉氏方程 系统运动微分方程 d ¶ T ¶T ¶V ( ) =& dt ¶x ¶x ¶x d ¶ T ¶T ¶V ( ) =& dt ¶j ¶j ¶j && && ( 1 + m ) x + m l cos j × j - m l & 2 sin j = 0 m 2 2 2 j & m l cos × && + m l 2 j - m l &j sin j + m gl sin j = 0 j x 2 && 2 2 x 2 讨 论 ■ ※ 第一类拉格朗日方程,即达朗贝尔-拉格朗 日方程,又称为动力学普遍方程。 日方程,又称为动力学普遍方程。 r å ( F - m a ) ×δ = 0 å i i i i i i i i ( = 1 2 , × × , n i , × ) i i 动力学普遍方程: 适用于具有理想束或双面约束的系统; 适用于具有定常(或非定常)约束的系统; 适用于具有完整(或非完整)约束的系统; 适用于具有有势力(或无势力)的系统。 ■ 讨 论 ※ 第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主 : 动力等少数几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只 能用于具有完整约束的系统。 基本形式 d ¶T ¶T FQ j = ( ) - d ¶q j t & ¶q j ( j=1,2,…,N ) j =1,2, , … 主动力有势形式 d ¶L ¶L ( ) - =0 d ¶q j ¶q j t & ( j=1,2,…,N ) j =1,2, , … 主动力包含有势力和非有势力形式 主动力包含有势力和非有势力形式 d ¶L ¶L ( ) - =F j Q d ¶q j ¶q j t & ( j=1,2,…,N ) j =1,2, , … 本章作业 ...
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This document was uploaded on 10/31/2011 for the course ME 204 at Tsinghua University.

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