gma00108-lista-15 - GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA...

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Unformatted text preview: GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA GM LISTA DE EXERC ´ ICIOS C´ alculo I –A– Humberto Jos´ e Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 15 O teorema de Rolle e o teorema do valor m´ edio para derivadas [01] Diga se cada uma das senten¸ cas abaixo ´ e verdadeira ou falsa. Apresente uma demonstra¸ c˜ao caso ela seja verdadeira e um contra-exemplo caso ela seja falsa. (a) Seja f uma fun¸ c˜ao deriv´ avel em ( a, b ). Se f ( a ) = f ( b ), ent˜ ao existe c ∈ ( a, b ) tal que f ( c ) = 0. (b) Seja f uma fun¸ c˜ao cont´ ınua em [ a, b ]. Se f ( a ) = f ( b ), ent˜ ao existe c ∈ ( a, b ) tal que f ( c ) = 0. [02] Mostre que a equa¸ c˜ao x 3 + 3 x + 1 = 0 possui uma ´unica solu¸c˜ao real. [03] Mostre que a fun¸ c˜ao y = f ( x ) = 8 x 3 + 30 x 2 + 24 x + 10 possui uma ´unica raiz real no inter- valo ( − 3 , − 2). [04] Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c ∈ ( a, b ) tal que f ( b ) − f ( a ) b − a = f ( c ) . (a) y = f ( x ) = x 2 +2 x +1, com a = 0 e b = 1. (b) y = f ( x ) = x 2 / 3 , com a = 0 e b = 1. (c) y = f ( x ) = x + 1 /x , com a = 1 / 2 e b = 2. (c) y = f ( x ) = √ x + 1, com a = 1 e b = 3. [05] Seja f uma fun¸ c˜ao de classe C 1 . Use o teorema do valor m´ edio para mostrar que se f ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a, b ), ent˜ ao f ´ e constante no intervalo ( a, b ). [06] Verdadeiro ou falso? Se f ´ e uma fun¸c˜ao de classe C ∞ tal que f ( x ) = 0 para todo x ∈ D , ent˜ ao f ´ e constante em D . Justifique a sua resposta!...
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This note was uploaded on 10/30/2011 for the course ECON 101 taught by Professor Vários during the Spring '11 term at Universidade Federal do Rio de Janeiro.

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