gma00108-lista-17 - LISTA DE EXERC ICIOS DEPARTAMENTO DE...

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GMA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA GM LISTA DE EXERC ´ ICIOS alculo I –A– Humberto Jos´ e Bortolossi http://www.professores.uF.br/hjbortol/ 17 Crescimento e decrescimento de fun¸ c˜oes, m´ aximos e m´ ınimos globais, m´ aximos e ınimos locais, o teorema de Weierstrass, a regra de Fermat e problemas de otimiza¸c˜ ao [01] Para cada caso abaixo, determine os intervalos onde a fun¸ ao ´ e crescente e os intervalos onde a fun¸c˜ ao ´ e decrescente. (a) f ( x )= x + 3 x 2 , (b) g ( t )= 3 t 2 +4 t 1+ t 2 , (c) F ( u )= u 2 u +1 2( u 1) . [02] A fun¸c˜ ao y = f ( x )= x 3 3 x 2 possui extremos globais no conjunto A =[ 1 , 3]? Em caso aFrmativo, calcule estes extremos. [03] A fun¸c˜ ao y = f ( x )=2cos( x )+sen(2 x ) possui extremos globais no conjunto A =[0 , 4 π ]? Em caso aFrmativo, calcule estes extremos. [04] A fun¸c˜ ao y = f ( x )= x 5 / 5 x 3 / 3 + 2 possui extremos globais no conjunto A =[ 2 , 2]? Em caso aFrmativo, calcule estes extremos. [05] (Um outro teorema de globalidade) Seja f uma fun¸c˜ ao de classe C 1 e A um intervalo aberto (n˜ ao necessariamente limitado). Suponha que f possua um ´unico ponto cr´ ıtico p em A que ´ e ınimo local. Mostre que p ´ em´ ınimo global de f em A . Analogamente, se f possui um ´unico ponto cr´ ıtico p em A que ´ em´ aximo local, ent˜ ao p ´ em´aximo global de f em A . [06] Mostre que f ( x )=ln( x ) /x tem m´aximo absoluto em x = e .C on c lu aqu e π e <e π .D i c a :u s eo exerc´ ıcio [05]. [07] Mostre que x +1 /x 2paratodo x> 0. Dica: use o exerc´ ıcio [05]. [08] Verdadeiro ou falso? Se A ´ e um conjunto fechado e limitado e f ´ e uma fun¸c˜ ao descont´ ınua em A , ent˜ ao f ao possui extremos globais em A . JustiFque a sua resposta! [09] Verdadeiro ou falso? Seja f : R R uma fun¸c˜ ao cont´ ınua. Se A ao ´ e um conjunto fechado, ent˜ ao f ao possui extremos globais em A . JustiFque a sua resposta! [10] Mostre que se p A ´ epon todem ´ ınimo global de f em A ,en ao p ´ epon todem´ aximo global de f em A . Analogamente, se p ´ epon todem´
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This note was uploaded on 10/30/2011 for the course ECON 101 taught by Professor Vários during the Spring '11 term at Universidade Federal do Rio de Janeiro.

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