LISTA_14 - Lista 14 C´ alculo I -A- 2007-1 25 Universidade...

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Unformatted text preview: Lista 14 C´ alculo I -A- 2007-1 25 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matem´atica GMA - Departamento de Matem´atica Aplicada LISTA 14 - 2007-1 Crescimento e decrescimento de fun¸c˜ oes M´ aximos e m´ ınimos relativos M´aximos e m´ ınimos absolutos 1. Aproxime f ( x ) = e x em a = 0 com um polinˆomio de Taylor de grau trˆ es e com um polinˆomio de grau quatro. A seguir, calcule os valores destas aproxima¸c˜ oes em x = 0 . 2 e x = 1 . 0 e compare com os valores corretos. 2. Use o polinˆomio de Taylor de ordem dois de f ( x ) = x 3 / 2 no ponto a = 4 para obter uma aproxima¸c˜ ao de (4 . 2) 3 / 2 . 3. Calcule os polinˆomios de Taylor de ordem um, dois e trˆ es da fun¸c˜ oes y = f ( x ) = √ x + 1 em a = 0 e da fun¸c˜ ao y = g ( x ) = ln( x ) em x = 1. A seguir, calcule os valores destas aproxima¸c˜ oes em x = 0 . 2 e x = 1 . 0 e compare com os valores corretos. 4. Seja f ( x ) = arctan x . (a) Determine o polinˆomio de Taylor de grau 7 de f ( x ) em torno de x = 0; (b) Usando (a), calcule arctan(0 , 3) e estime o erro;. (c) Determine o polinˆomio de Taylor de grau 14 de g ( x ) = arctan x 2 em torno de x = 0. (Sugestˆao: use o polinˆomio de Taylor de f ( x ) = arctan x .) 5. Prove que se f ´ e uma fun¸c˜ ao par, ent˜ ao o polinˆomio de Taylor de grau n em torno de x = 0 cont´ em apenas potˆ encias pares de x . (Sugest˜ao: prove que f par = ⇒ f ´ ımpar = ⇒ f 00 par = ⇒ f 000 ´ ımpar ⇒ · · · = ⇒ f (2 k ) par = ⇒ f (2 k +1) ´ ımpar.) Nos exerc´ ıcios 6. a 8. dˆ e os intervalos em que a fun¸c˜ ao ´ e crescente e em que ´ e decrescente. 6. f ( x ) = x + 3 x 2 7. g ( t ) = 3 t 2 + 4 t 1 + t 2 8. F ( u ) = u 2- u + 1 2( u- 1) 9. Seja f uma fun¸c˜ ao tal que f (0) = 0 e f ( x ) = x 2 1 + x 2 , ∀ x ∈ R . Mostre que 0 < f ( x ) < x, ∀ x > 0. 10. Mostre que sen x < x, ∀ x > 0. (Sugest˜ ao: para x ≥ π/ 2, use propriedades da trigonometria, para 0 < x < π/ 2, use derivada) 11. Prove a desigualdade cos x > 1- x 2 2 , x 6 = 0. (Sugest˜ ao: prove para x > 0 e depois use o fato de que as fun¸c˜ oes de ambos os lados s˜ao pares) 12. Prove, para x > 0, a desigualdade x- x 3 6 < sen x . 13. Mostre que: (a) e x > x, ∀ x ∈ R (b) e x > x 2 2 , ∀ x ≥ Nos exerc´ ıcios 14. a 16. localize os pontos onde ocorrem os extremos absolutos das fun¸c˜ oes nos intervalos dados. 14. f ( x ) = x 3- 3 x 2 , x ∈ [- 1 , 3] 15. f ( x ) = 2cos x + sen2 x, x ∈ [0 , 4 π ] 16. f ( x ) = x 5 5- x 3 3 + 2 , x ∈ [- 2 , 2] 17. Mostre que f ( x ) = ln x x tem m´aximo absoluto em x = e . Conclua que π e < e π . Lista 14 C´ alculo I -A- 2007-1 26 18. Ache a inclina¸c˜ ao m´axima da curva y = x 3- 3 x + 3 no intervalo £- 3 2 , 5 2 / ....
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