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LISTA_15 - Lista 15 Clculo I-Aa 2007-1 29 Universidade...

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Lista 15 alculo I -A- 2007-1 29 Universidade Federal Fluminense EGM - Instituto de Matem´atica GMA - Departamento de Matem´atica Aplicada LISTA 15 - 2007-1 Esbo¸co de gr´aficos Nos exerc´ ıcios 1. a 8. esboce o gr´afico da fun¸c˜ ao f e dˆ e explicitamente o que se pede: dom´ ınio D de f ; paridade de f ; equa¸c˜ oes das ass´ ıntotas verticais e horizontais do gr´afico; intervalos de D em que f ´ e cont´ ınua; pontos de D em que a tangente ao gr´afico ´ e vertical; intervalos de D onde f ´ e crescente e onde f ´ e decrescente; extremos relativos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem; intervalos onde a concavidade do gr´afico ´ e para cima, onde ´ e para baixo e os seus pontos de inflex˜ao; extremos absolutos de f e os respectivos pontos de D onde ocorrem; imagem de f . 1. f ( x ) = x 3 - 2 x 2. f ( x ) = 16 - x 2 ( x - 2) 2 3. f ( x ) = ( x - 1) x 2 / 3 4. f ( x ) = 3 x + 1 x 2 - 2 x - 3 5. f ( x ) = 3 x 2 4 - 4 x + x 2 6. f ( x ) = - 1 - 1 x + 1 x 2 7. f ( x ) = x + sen x 8. f ( x ) = x - 5 arctan x 9. Seja f : R * -→ R duas vezes diferenci´avel e tal que f ( x ) 6 = 0 , x R * , f ( - 1) = - 2 e f (1) = 3; lim x 0 - f ( x ) = -∞ , lim x 0 + f ( x ) = 0, lim x →-∞ f ( x ) = -∞ , lim x →∞ f ( x ) = 0, f 00 ( x ) < 0 se { x 6 = 0 e x < 2 } , f 00 ( x ) = 0 se x = 2 , f 00 ( x ) > 0 se x > 2; o gr´afico de f 0 est´ a dado ao lado. Nestas condi¸c˜ oes, (a) prove que f ( x ) > 0 , x > 0 (b) prove que f ( x ) < 0 , x < 0 (c) esboce um poss´ ıvel gr´afico de f . Gr´afico de y = f 0 ( x ) y x –4 –2 0 2 4 –2 1 2 3 4 5 6 7 8 Esboce os gr´aficos dos exerc´ ıcios 10. a 16. 10. f ( x ) = x ln x 11. f ( x ) = e - 1 x 2 x 12. f ( x ) = e 1 x 13. f ( x ) = x 2 ln x 14. f ( x ) = e - x 2 15. f ( x ) = xe - x 16. f ( x ) = π x 3
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Lista 15 alculo I -A- 2007-1 30 RESPOSTAS 1. x y –10 10 20 –2 –1 1 2 3 4 D = ( -∞ , 0) (0 , ); nem par, nem ´ ımpar; cont´ ınua em D ; ass´ ıntota vertical: x = 0, n˜ao tem ass´ ıntota horizontal; n˜ao tem reta tangente vertical; crescente em ( - 1 , 0) (0 , ), decrescente em ( -∞ , - 1); ınimo relativo = f ( - 1) = 3, n˜ao tem m´aximo relativo; concavidade para cima em ( -∞ , 0) 3 2 , , para baixo em 0 , 3 2 , ponto de inflex˜ao = 3 2 , f 3 2 = 3 2 , 0 ; n˜ao tem m´ ınimo absoluto pois lim x 0 + f ( x ) = -∞
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