lec7_notes

lec7_notes - E £¥ '¡7£ FDA¦CB $ £ ' 9 8  7 £ 4...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: E £¥ '¡7£ FDA¦CB $ £ ' 9 8  7 £ 4 " ¥ ) ¡( ' ¦A@%!¤¦653210¤% &$" ©%#!©¨¦¤¢  ¡ £  £  ¡ § ¥ £ ¡ q ç ù î ÿç ù ç õô ö ï ñ í ù çêê ñ ÷ ì ìé h ç ì ë ñ ð ç ú ù ç ø ñ ç õ ð ìé ì ç õ ì ç ÷ ù ç ì ù ñ î ð ï î ï îéô ñ ù ç ô g3²@““Š…ˆlh@~iˆ#0w{‘@ug[email protected]n1{”0n[email protected]@Ÿié d$ d d ô ñ õô ô ë î ô ïé î ø ç æ ðô ç ˆnioˆYniˆnYAVUgUfŸ3¤í  e"  A!  7 [email protected]„¤h0nƒgg²œi†ié ó ïé ê î ì ¤ ú ö ç öé  î ù ø ì ì ç ë ó ê ñéôé ï ï ñ õôé è í ï îé ô ñ ù ç ôé ¤ ú ö ç ê î ì ç ú î ê ñ ï ñ ð ˆb“iYY“ˆ²ýˆ[email protected]@ì gbghCH — ²0ƒ©““bˆî 33¢„¦niYh{g““ô öé ù ó ç õô ï ÷ çê ú î ù ø ç õô í ìé ô ñ õ c ç é ì ù ë ð ç ù ìé ö ç ïéê ô ë î ç ù ë ö ç ð î ù ø ç õô ô ñ õô ù ñ çê ð ìé ô b ô ë î ö çé ù ù ñ ð ìé ï îé ô ñ ˆ[email protected]1{%h„iÆýoˆ#oˆhh†…w““ʈniˆh~@{j06aoˆbh²00gŠ{Cˆ²ýˆ#÷ `é ¦ î ù ø ø ñ ìé õ ¢U„¢%{u“ô g“@Ÿˆ~eh3¦iˆnVbæ ¡uiƒg@~n@3wY ˆbˆX“‘g““VhˆŸ3hˆ è î õ ù ç ô ñê ç ç ì êê ñ õ ì ç ì õô ó ï çê ô ï ç ù ç é ö ç  ñ õ ô ñ õô ì ù î ô ð ç çˆñ §1 ! …ˆñ  ! 3ughh%ÉgŠi¢¡„ƒhbˆT#““3ubüPH — fG0–b²0ƒ#ñ ù öï ç ì ë ñ ð ç ú çô ñ ÷é ¦ î ù ø ø ñ öù î è ç õô ç ì ë ç æ ç Fé ì ÿ î öé ù ó ï ˆî @[email protected]…ni–î [email protected] ˆh©WhÉgŠi¢U„¢ŸT{6£²0gòg#h3f…ø ÷ çê ú î ù ø ç õô ÿ ï îéô ëê î ì ç õ ÷ î ù ÿ V ö çô ñ ÷é ¦ î ù ø ø ñS ìé H öé ù ó ï î ì ì ç ð î ù 0( QA! 1 爜g3Ÿi#ni#g3Êh3ng¤ˆ²ýinie““‘ˆniŠ“ghŠ÷ §R! éô ñù çôé ç õô ù î ÿ ì ì ç ë ó ê ñéôé ïé ç õô ô ñ õô ì ï ñ ç H ç Fé ì ÿ î öé ù ó PIfG0–‡²0g%ñ ï ˆî @[email protected]…¤3¢†#eogî ui3Gý@3@{gö ˆh²Æo03[email protected]ý3hný0hˆŸ3hˆ ÷ çê ú î ù ø ê ç ö î ÷ ù ë ó ïé Féô ç ù ð ìé ÷ î ù ÿ ìôê ë ì ç ù ô ñ õô í ¤ê ç é ô ð ç ø ì ç ù í ù î ô ð ç ç ð ù î ÿ ö ï ñ í ì ï è î ï D ï ë ÿ î ù î ô ð ç  í ¦é ù ô ñ ÷ ç õô ç ô î ï ç hˆ3Š…ˆ1h“Yg„gEo%–bˆŸ3hˆCgB0ýˆ#Ani!Ÿˆ…3¢ö  $ „gñ A! í   3@ öï  çùç  @@ §1 $9"#312!83176v[email protected] } v Œ ”  …y x € € ¢g[email protected] } '¢~ˆh@‡Vuy & m €z  ” ‰ v z d v ’  v € x … v ‰ yy “%3n“†lz } h0nƒ¨g²œi†iVff¢ó ” ì ì ç ë ó ê ñéôé ïé ö î î  %#  $ "! 4 1 532! 0( #)! v xy € • € ƒƒ#  • m €z  ” ‰ v z ˆ € ‰ v y ‹ x ¡n¢~ˆh@‡¤g©††“um  … € ’  v ‹ v xz  ” ‰ v  m ” • …z ‰ ‰z y x   o“@%ƒg†~z gŠ{z {¢~‡“•¢q ì ì ç ð î ù ø ç éô ñ ù çôé ç õ h3h†…ʈýˆ@Éi1““ô ç ô ñ ù çê ç ð ð ñ îô ì ñ ç öé ç ÷ î ì ø îê ç  ç ö ö ï ñ ç ù ëô ð çê ô ì ñê ç õ ï ï ç ç ì ì ö î õô ç ÷ ç éô ñ ù ç ô Ÿˆ@~@h¢•ÉVˆhƒ²eŠg36h~3ˆ¡ƒò…ˆ%[email protected]~hˆ~e““ô ié @[email protected]œg3Ÿié [email protected] @²†¡[email protected]@Šigò~…ø œÆo÷ ë î ú ñ ìô ð ñ ÿ çê ø ÷é ì ç ÷ î è çé  ç ù êêé è ç è í ù ç  ç è î õ í ô ì ùé ¨ ì ï îé ì ï ç ÷é ö çê é ôê ë î ô ö ç ö ï ç ô ¦ ç ¤êé ö ñ ç ù ç ú ï ñ ð ö ç ô ï ç ì ç ù ø ì ñ ç öé ç õ ¢ ì ö î õô ç ÷ öé ù óé ôê ë ÷ ÿ î ì çê é ð ïé ù ÉV[email protected]!¥igƒh[email protected]„ʈ¢²“…£¡þf““3#e²0g‡ýÆoR–3~…ø 3…i0„ø ðé ì ñ ú ç õô ç ô ñ ù ô ì ëêêé î ô ÷ çê ú î ù ø ê ñ ï îé ì ï ç ÷é ö ç ï î ç õô í ïé ñ ó ñ ç ð ï î í ç ì ë êêé è ç ²0þhòni•Égýhu‡iiüÉû@[email protected][email protected][email protected]@u©iiYbbæ å p hf ’qige ä ã ß âà ß Þ Ý YD‘ráÕ¦lÜ d Ñ Ø× ÖÒ Q aÒ W Ó QÒ Ñ I ©3b†©A@ÕÔ3¨RPH ÛÚ rÊÙ Ð ¶ Ï Ï Ï Î ´ Í Ì À ž » ˜ › ˜ Ã Ã È š Á ´ Ç ¡º Å ž ˜ Ä ¡ à ¶ ¶ Á ™ › À ´ › ˜ ¼ › ¤ ¿ ¶ ƒ†f†o†¢†r††g†ËÊÉgoorÆR–†¤3u¤Â “Šg†g††Ÿgh¦gY¾ ¶ ½ ´ ¼ » »º ž ¹ ¶ ¶ µ ª ³¬ ® ±« © ° ¯¬ ® ­¬ ª © ¨ § ¦ ¤ ¡ › ¤ ž ¤¥ ¤ £ ¢ ž ˜  ¡ ™ ˜ ž  ›š ™ ˜ ˜ hf†‡–quD¸ ·¢´ fi†²ggV“r†‡i« ƒV‘¨fh¢h–[email protected]gƒg–Ÿgœgˆl—  ’ € ‰ ” v • v ‰ ˆ € ” v ‰ ” v xz  € ” m ” yyz  • •z • m €z Dhƒ††¤ƒ1fƒRƒ0¢!ƒq~–j{jn¢~ Ž ” x – v ‰ v ’  € €  m €z  ” €zy ‚ ‚ ” i • ‹ vy y € ‰ ‚ €z  ‚zyy v ‰ ” v mzy ‰ €ˆ … v ‚ €y v x v … yy v  ˆng†”†“ƒ!•¢~ˆ@{““g[email protected]“Š{[email protected] Ž‰ € ‚ €‰ ‚ v ‰ ”‰ €• … m ” Œ‰ ƒ„ƒ“ƒƒ¢r%nƒV¢€ } ‡z } ’ • †nm } “u““¨gj††“uR“Dgn¢~ € m Œ m x ˆ € ‰ v y ‹ x m v ’  €  y ” m €z ‹ vy y € ‰ ‚ ” ‰ mz xy € • ˆ € d zyz yz • • € ‚ v ’  • ‰ v „ ‚ †~nƒ“Šn~uƒ¤ge–‡~n~g†Rn[email protected]  • y x • v ‰ y ” €z  € ” ‰ ‚ ’  †~“rf2ƒ@{3ƒh“A~z } ‰ v ‚ ” ‚  • ‰ | … v ’ •zy y x ‚ w v t s q p  … m ” ‰ k i • ‰ ” v d ™ —  • ”y v ’  ‰ v x € … v ‚ €y v x v u @„gnRrn‡f“r{“““©¢ˆu†r#onghljhgfƒeƒ˜–¢#“[email protected]@w6t r p hf sqige d c a `XWUSQI AbY1VTRPH G ¢ ×ur qov v t} z y m v§ z Ö k¡s§–Ell's|œ8} Ç 2 4 6 8 Û Ù Øpp ªÚ3U¡p v2 (mode k=2) -0.8 -1 0 n=19 mode k 10 12 14 v15 (mode k=15) 16 18 20 -0.6 -0.4 J λ(R ) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 LOW MODES HIGH MODES Õ ž › š ¡Ÿœ—™ ÓÒÑÐÏ Ô5s'Î ÍÌ ËÌ †'x'Ë t r pi   j z }y ~ v q o r t r ‚y o z u r oy r q o o z q o É z } r ¥ ¦ } o s r s v ´ t v p 5–U•kw w{°ds§li|{uX3¡§B65uX5§•Ž§iRdU§œ¡sWl§ È “ ‡ r ” ™rt• €  r qo s z qo u ro} zx É z § r ~ u vuu r r qo x v }o s r s v ´ t v È “ ‡ r ” ™rt• ¡—¡53u3ÊXGy su6|5uŠ¡§ˆ†7ŽUUdŠ|§uU2s§d–Š§œ¡sWl§ ¡—¡53u3#p ® dp 5udx Ç v r qo Æ ž › š ¸Ÿœ—™ ÅÄ ÃÂÀÀ ¿ Ÿws˜Á¾ ¼½ —¼ f ‰ r tv ” ™ rt r ‘ yyv € wi ‡ rv ‰ r §§d3u#3P˜6†W†–3ut ® 'X§X¡A#dk– ® –P–§†…¡|uf£a5£3|†6xEqi ‡v y „ t r » r w e j piv t y „ y „ “vi “ „ t ƒ „ i ‡v „ r ‰v wv p ‡ t ” i  i t r ‰ t  ‡ ¹ f w r ” ™v ‡ p “ r i ‰v v iy ” j •  „ r ‰v y „ t i ‡ r “ r pi i “ „ • ‡v wv „ r ‰v wv kd…¨a£¡|§Xº¸¡5†WE3§a¸†kt ® …¥d˜ªˆ¡3|†AXu…5¡3°5i¡|Qªx–3†£xEp · p u r ´ z r q § r u z } s vy o n€ v } ~y u © r } u z ¶ UUW|Us36§–5|{usG°{§|fu§|v %² ³ µ } ~y u © u r } u z v § s v ~ r o s r } r u ´ r u r m s z § } s vy o § s nx q o v v ¡5{§|¡u3–¡°ªguœ¡uU§s¡§6—’|¡w5G§k55q’§–Elt e² ± r w ” „“r‘ „r ‰v ‰  ® gE–3§3°3|†•gg ¯­ Œ Œ Œ p „ † „ 8„ ª© d¦ ul6¡¡3Xg3“ ¨v ¬ ƒ p r pwr j trwt„ z s « u v u u r r q o u v r ‚€ v } ~€ n v § r ¥ pi   j w wv t  t t r q o ¦ } s vy o z u r oy ¥ rx z u r ox z ¤ £ u§¡#suqx GQxs|¡CA5¦ qXglkix6X§kr 5uEU5|{u–§UuG%Uq˜7¡§X#¡p ¢ ž › š ¡Ÿœ—™ f ‡v „ j rt yyvi w yyv € t t t r r pi • wi ‡ r ‡  ƒ j  “ pi   j w r j  w r “ ‡ —–l¡u'…k'˜6–uk˜sq66—5¡—–s7X3–qXg•3#•X¡i3v ” ‘ –’ “ ‘ †  Ž'g lŠ{G§ˆ} „ %IRfiG}  Œ ‹ ‰ €€y o ‡ † „ … „ ƒ r ‚€ v v o ~ r ~ r r s } s vy o z u r oy x v u r m t n s r q u’Udg¡sW|{uX3¡§BP–wUWIsE6suo ppp on U¡Cd5m f t ryy „ j w wv g f rf ¡G–lkixhRg†v e ‰ r tv ” ™ r t r t „ w ‡ vi „ t r iv t r € r • r w ” „ “ r ‘ ‰ ‡ „ ˆ ‡ vi „ t r iv t r ƒ ‚ t  € w w ry wv r t r p X3ud3u#u–˜s–†—–uaC¡2R¡EX333’X8sX†…X§aC¡s6uX2C3GCxIu¡sqi  ’ @ 87 5 CA964  © §3 © ‘    Ž ƒ¢¦ •‹n”€gS“ ” hwf Œ¡ ¡ n¢£¢ ÿÞÝ û |ï •ú ¡sq6õ û 3—¡—¡X(î û ˜sq¡ª§35‹Þ û IGü þ ˜Ý þ ˜Š2‰3k5ukÝ ú ¡3–á û ò Ý Þ Ý àß Ýò î Ý ôö Ý h ò Ý àß – ø ïÝ Ý – ßÝ á üüñ v Ý v ð Þ Ý à Þ öÝÞö ô îñ Þ ø œkEiù þ —X56—Xá ú {ü û —z#BX3u'ß û xR|ï lú ¡—¡53u3ªv û sqRõ û §œ—¡Ž2î û ò ðß á àß ï î Ý þ ö – á ùüü á Ý ö î Þñ Þ Ý û ùò îÝ ø÷Ýöõ ü Ý àß Ýò î Ý ôö Ý h Ý àß îñ î sqe©˜v û ï v û k°xdIX5¸3wXsu–QÜ ¡–§50i¡xXï û ˜xñ |û Eý uX—–á kºq˜v ü Þ Þñ àß ß á àß Ý Ý Þ üü á à Þ Ý ÿ ö á Ý – – á Þñ ß ð þ òá ï ö á ï î ß Þ àßñ î á àß ð ö Ý ô ü Ý ˆ ß Þ Ý û Xsq3œœî û ˜|á Ikï •ú ¡—¡53u3õ v û #58X—X5i¡sqß û 5ß î û dø þ ŽBXi†dQkXh ùò îÝ ø÷Ýö ü Ý àß ð ï î á à ö Ý à Ýà ß ð ùü ˆ òñ ø ÷ ù ö Ý ÞÝ û |ï lú gBd7sq6kaXñ ú BAÝ ú s3¡Pñ û d•3œfG¡uai—dCsq)Ž—–s7¡sqß û 5¨î … à ôñ à Ý àß Þ Ý ß á î ñü Ý ð Ý à ò Þ þ ò á ý ï Ý ‡ áü Ý ö † ö Ý ï î ø Ý àß ð ï î á à ö Ý à Ý àß ÿ¡|ï lú ¡—¡53u3R3sŽBE’sqQÝ –—ñ ú ¥¡Ý û °sî û …X§aÊWXá ú ud¡§§#ð ú kö û ô Xá ÞÝ û ù ò î Ý ø ÷ Ý ö õ ß Þ Ý à ôñ à Ý àß ß á î ñü ßÞ ñß á ö Ýßñ ù î Þ Ý öñ ø ÷ Ý ö àßñ ü æP gdç 9)ñ |û EªuX—Xaki5)–sq63¡i¨’|0‰ƒõ û ö û ¡|8ªù þ |ï •ú ö û k¡–3|36õ û Fã þ ò á ý ïö á ï î áß Þ Ý àß ß á àß Ý Ý Þ Ý Ü ÿ „ „ ‚ ßòáõ á Ýû ööÝ àòáÝ Ý ï ø ßñü |5…¥– ú ªsqlsql35X3uö û °3ud¡§§Isî û —–u¡Ý ˜õ û Ý •ú 5l5lÔv û uÊsiu–Is á Ý àß Ý àß Ý ò ø ï Ý ß ï Ýöñ ø ÷ Ý ö Þ ñß áö ßñ öþ ø î Ý àß Þ àÞ à –áöô Ý à 0 0 2 4 6 mode k 8 10 12 14 16 18 20 Number of iterations 100 200 300 400 ω=1 ω=2/3 500 600 n=19 € € P } m g m d w h} h | { f u m y g m g g f o h f w s u f g m d u f gk s r f g p o mk d h g f d 0fq€S‰l0ƒ~p##vz‰lgx€pg(#fvlft(‰lq20nljige™ — @ 87 5 ˜A964 ÿÞÝ û |ï •ú 5¡3u3–v û #sq6õ û 3—¡œ—X(î û ¡¸˜v û %v û kl#x6¡sqß glú Þ ùò îÝ ø÷Ýöõ ü Ý àß Ýò î Ý ôö Ý h ò îñ î ï ü Þ á Þñ ö Ý à û û û ú ï gû ££Ý –û 8ñ |û |dªö û I†X5bÝ Êû £3†k—b5ß k¡s¡¡lÝ Xû Þ œ‡AUŽEW†52ê è ð c ô á þ ß þ òáý õ ïñ á – þ ß Ýòñ ö – Ý à ð Ý Þ î Ý Þ î t ÿ P ’ è æ å D äã V úÞ Ý –û Cö û A3—k•Y—¡X(î û 8ß û CkÝ û ˆGü þ á k5diÝ Xû 3Ý þ ï û qÝ ú sq£“X‘ö û Xsqß õ Ý ò îñ Þ •Ý ôö Ý h ò îÞ ï” Ý ßÞ îø Þ ú ò àß Ý àß P ’ F õßáà Ý ß û î û Þ X°QeW€‰‡ç …Xaß û 2bð Uæ ED †'Wê è Ÿ¡æ ED —ƒQŠ€{&ê î û —–—î û °sqß üá Ý Ü ÿˆ† F îñ á þ Ý v è å äã ë ç è å ä㠄 ‚ í y ëx è ñßñ ï ò Ýà ûôá ß Ý Þ Ý v õt ÿ ö Ý à û û Þ ¡£2w†u¡5ß U•ú ¸ï gû °QÝ þ ¡|°T–3fñ |û |df|srpö û Ԗsq°Ži¡¡Þ û ¨Ü ß ò á õ îñ î á ò þ ò á ý ð P q F õ ß á àß Ý h ö Ý þ Ý óaeeea P gfgf0dç c a ææ b–å äã V †d6ê R Pã F R P ç æ F R Pã H æ SQ7TS`)ATEYe¢Xå äã V ê F ç æ å D äã V †s2AX2ŽEW†d6ê mode k -1 ω =1 -0.5 (UNSTABLE) U æ F R Pã H ¢ATSQ©Iå λ (Rω J) ω =1.1 0 ω =2/3 ω =1/2 äF ç åD 2GfEEä 0.5 1 B @ 87 5 CA964 3 1 )' $ § © "  © © § ¥ 20(&%¢#!¨¦¤ ¡ ¡ ¢£¢ ÿöÝ à ûû Þ á ¡5ß U•ú lRß û Cx˜ñ |û |dX5C–3G#xA2kï •ú î Þñ þ ò á ý ß á àß ö á Ýü ò Þñ ßñ ð Ý û ù ò î Ý ø ÷ Ý ö õ ß Þ Ý à ôñ à Ý àß Þñ ¡—¡53u3Š3sŽBEC5Cx%ó §kAX—X˜UŽå †|ê édUXå †ìWê éR–å †ÔXsq˜3¡C¨Ü Ý ò îñ Þ ð ï î á è æ äã í è ç è æ äã ë è ç æ äã â ß á àß Ý Ý Þ Ý D «C6B [email protected]Ün©lQ—fŸ© 56§4§  2 A© ¦ ¥ § § § 2 0 § ¦¥ 4§  31¦¥ ( '# $#     ß §  ¥ Ú ™ ¥ Ÿ © § ¥ Ú Ÿ £ )%!&%"!¨Þ n€i§ Þ šI¨¦g0¤b˜ Ó ® ¸­² ¯­ ¹² º ± ¹ À ±ÅÅ ¿ ¯ º­ ³ º ± Ê ± º ¹ ¿ ¸ ¯ ¿ ¸ ² ± ® ¡ Ê ¸ ¹ » ¹ ¸ ² ¯ ± · ¿ µ ®­ ¹ ¹ ± »º ® ¿ ¹² » ¸ º º ± ¯ ¸ ¹ °jƒ‹ƒi‹iiƒit9€E£Íliw‘gi€fi¤ŠžS6‰¢¿ ji¢jžijƒ¤9iig´j!SQEif6Ë ±³ °ÿ gìƒi0%g‰‹gþ€ƒ!€vi€f9û9iig´j!…jŠl#jiif6wl9#ilb9j(lu± ý Ó º À­ ¹ µ ® ± ± Ʋ ± È ® ¸­² ¿ Ê ¹ ¸ » ®­ µ ®­ ¹ ¹ ± »º ® ¿ ¹² ¹ ¸ » º ± ¹ É À ± ¯ ¸ ¹ Ë ± ¹­ É ä ± ¹ ÅÅ ¿ ³ º ü ú Ø ×Ö Õ €ûA96Ô ù øö ô ÷ö õ ô ó ò zY6Q(#‰AXñ ðï !qî Óº± ®¸ ǯ ®± Éä±¹» Ƹ gi°jg6g(iliu€tÅ ±´uj(9ƒe€lšžiìši(¤vI€w€i‰qg0~9v0Š0vvg6g(iliƒ¶#W´í(l0µ ³² ® ¿ ³² ± ² ¿ ¹ ¹ ± ² º ¿ » ³ ¯ É Ê ¿ ² ¿ Ç ¿ ¯ ± À ² ¯ ¿ » ®­ ¸ À º ± À ¸ Ê Ç ¯ ® ± É ä ± ¹ » ³ µ­ ³ ± ³² Ä ³ Ë ¿ ¹ ±jji0C´è€åigìiwj´¤#jui#‹Šiëfw(gE‰ƒ&eii€S叴éQ…iƒ‹i(6Ë · ¸ È ¿ ± ³² ® ¸ À ± º ¿ È ² ¿ ³² ² É ¸ º ® ¹ ɲ ² ê Ó ± Ê ± ³¯ º Å ± À­ ± ¬Î º º É ¿ Ì ± ³² »¸ º ±­² ¹ ± ˸¹ µ ®­ ³² ¸ ¸ Ê º ± ³² ± ®­ Ê ¹ ± ² ± À ® ¿ ¯ ± Æ Ä ç ç æ » ¸ ¹ ¸ ² ¯ ¿ » ¿ Ç È Ä Ò­ ¹² ¿ 9#9€fwix(9T69¤ižg0者‰¤j0‰uYTjžg0wåg¤0¶i!€vÊ Ý ´xYwi‰fwÊ ± ³² »¸ Ä ± À ¸ ³ ¯ ¿ ± » ¸ ± À ɲ­Å Ë Ê ¿ ± ³² ± ¯ É À ± ¹ ¸ ² À ± ¹­ É ä ± ¹ º ® ¸­ ² ¿ ¹ ± ²­ » ¸ ¹ ± È Ê É ® ± ³² ² ¿ µ ®­ Ð ¸ ¸Å ‰i~Yw‰(!9¶6Ejv´~(€il͞9#ilŠ(jƒ‹jlgž9ƒYŠgiv#2~´I€u9€ftÍÇ ã « (9€fwivfµ S£pigf« ¹ ± ³² ¸ ¸ Ê º À ¸ ¸ ™ —  ˜ « « 0 0 2 4 6 mode k 8 10 12 14 16 18 20 20 Number of iterations 40 60 80 100 120 140 160 180 200 n=19 Ù Ø ×Ö Õ CA96Ô â â á à ¥ © ¥ § Ü ™à ß Þ ± À ¸ Ê ¹ ¸ ¹ ¹ Ý Ú ™ Ÿ Ü › ¡ Ÿ © ¥ § ¡ Ÿ © › Û Ÿ © — Ú ¥ § ™ © Ÿ § 0fq€S‰l0ƒ~™ S‰fwpjlig± u€ƒg(#fvlft(‰lI(‰tjige– Ó Ò­ ¹² ¿ Ê ® ¸­ ² ¿ ¹ ± ²­ ± ³ ¶i!€v…jƒ‹jlge9Š´² » ¸ º ± ÉÅ ¿ · ® ± µ­ ± ± ³² ² ¿ µ ®­ Ð ¸ ¸Å Ç È Å ± À­ ± ¬ Î º º É ¿ Ì » ¸ º ±­ ² ¹ ± Ë ¸ ¹ Ë µ ®­ ³² ¸ ¸ Ê º ± ³² ² É ¸ È Q¤(Ñjj(g‰¶gv´qju9jftωƒ&ei€‘ÍYviƒ‹i(6Š9#9€fwiŠ´I#€i0¿ Ç ¿ º ® ¿ ¯ ± Æ ±Å ²²­Å º­ ± ¹ ± ³² Ä ± À­ ¯ ®­ ¸ ¯ ² ¸ ® ¸ À Á À ® ¿ ¾ ½ ¼ » ¸ º ¹ ¸ ² ¯ ± · ® ± µ­ ± ± ³² ± ¯ ®­ €gujiw‰~t‹!9¶ƒ£Š(9qi‰ƒ°9jiSj6ÉÂ~6€…¢bEQ¤ijžij(g‰¶gv´ƒi°92¬ «« gg« ª © Ÿ ¨ § ¥ ¥ ¦ — ¡ ¥ ¥ £ ™ ¢ Ÿ ¡ Ÿ œ — — › ™ ˜ — ig€vQ¦#0¤¢g#£g#žQl2€š‘Y– v2 (mode k=2) -1 0 2 4 mode k n=19 6 8 10 v15 (mode k=15) 12 14 16 18 20 -0.8 -0.6 -0.4 λ(RGS) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ­ • ” “’ ‘ 8–…q‡ µ Y R W Y T a Q Q ´F Q ³ ² Œ‡ ¢48k!ˆ™ ˜ 8¤"‹b…± Ö ½ “ “” ” ½ “””” “ w ˆ‘ ¼¦w !"”"!“ y “ ¼ c!""“ ½ ˆ‘ Ô Ó kÒ ‘ w Ñ Ô ‘ ¦w kÒ Ó Ñ Ð UË%È Õ ŽÇÊ Õ  ÇÏÎ ÍÉ Ì Ê Ç Ç Æ € ŽÐvk†"¬gŽËSŽÉvŽÈ!%Å “”””“ ‘ » RQ d Y H Q ºT š ÃĈ½ dg`ˆšGeÁ!¤P6BÀF`gF™``W ‘ ½ c!""ˆ’„ VSbbˆiX`m¤P ˜ ¹ FW ´ À Q R ¿ Q ¼ ¦w — k² · •¶ „  y ² ± ²¸ ° QF ¥TW ° Q Œ‡ — ~ s dh t s p q s p w l s  h l s } p h t p whu t p j o ž t p wu iih t d w p w ž fu w w l d ow u qs t p w t s S"gc4`r`&18ˆ14¯&€xvcrb4¦)kƒBhqq""uƒ|e…vSk%|U‡ƒ4‡4ˆ6f ® ~ p whu hp s q rxv`"Xw p whu th pu d s p s fu … ph p j  u d i dh p whu h l p w o ph ow u i h n p whu t p j o ž t p wu iih t d w p h p w xvcxkvkk`eXq¨qkb&kBwg€xvmkc!qUVBw ¬6&x%"‡b4)kƒBhqq""uƒ«ˆco u h fu s s d s Š n  p h f p s fu w s fu p © ~ fd s l s p ¨ s fu p w p whu t p j o h p … i h ph h p w s f Xq4"¢eu‡&6"6v¤Xq†ª6`crxiXq§§xv"‡b4mxk8¦rq&¥…k&¤6vu wu p whu h lh ¢ w p q q h  w w … h dh p whu t p j o  su th pu d s p s fu n ž fu w w l d dh p whu i w d s fu ‚£xvmqˆ"`r8¡!S mgŸxvcrb4i4‚"xk%kc`mXqVk…vSm4%†gzxvbsj&cm6vˆo œ › P Q ™F F e ˜ ˆBš!8¤`BT6`T ƒ— • • ” “’ ‘ 6–…q‡ ~sdj s 84"G4} w i h p h t p whu th pu d sp ow d l p w o p s fu w u h fu p su i s s d iih Š "Ždz4zxv"xk%kc`1gekccXq&†XqecƒBhˆ4"Œqq‹ˆs ™ ‚)qX"6v‰kc"†h ~u ph w q p s fu w t p s { s u y ow du p s p w q l w t s fu s } w  ow du p s p w q l w t s fu … ph „ hu wu d s t j  s p p whu t s r p Uˆ%X"‡&6†4m6vˆ4‚u 4€ y Uˆ%X"‡&6†4m6v¦q&!ƒ¨‚ek4X4`€&x%"4""qh t } p whu th pu d s  ~ p s} l j p p s { s p h d "zxvcxkvkkfi"c4mbX|"u"zmgh ‘ ¨x&6vVu%q"xshrVqkec˜kmbk¢qXges ™ y w u h fu n tuh t i q lh d p w o n s l j d d h ii h fd — –•“”””“‘ ‰ W ˜€Gc"!"ˆ’„ ˆY ‡ ƒ ‚ y „ ‚€ € 8¨†…ƒ 84y p whu t s r ph RF Q W e d Q a Y W I T R P I HF xv""!qigf6bScb`XVUSBQ6¤GE ô 1Ž ¢ õ û ú • “ ÿð ú ë • “ ú í ” ë ø ëû • “ ù ø ë‰ ë ú %6t[email protected]`7"‡I¨8¤`Ap6ˆBp`6”  Œ x† ‹ † e… †… ‘„ † Cg"„ ‹Š† † … à ˆÝ ‰ Þ á à ˆÜ ˆ ‡[email protected]‡7„ ‡  ý † „ øû “ • ý ë í ’ † … „ ø í ‚ ‘3m‘‘¤&@8i¬q`""8ƒû  y 0 ( 4 2 0 6  ! s $ ¦7)733At7#¦QH4 0 B  0 ~ $( ¥ $ § h § $ ! 4   4 i 0 4 § 0 P 4 0 § § B § w !   § W 4 2 0( ! ! § $ 0 4 !  $ $ §   ! s § ¥ €7UA}"#&bg%A¡‘|UAgUdz©d'g7f%7q‘E1&&%%lG7#)R {&g#Uz¨¦¤ y è ç æå ä I–…q‡ã r xvts r qpn dp ¨wudp dGom ki ljh y § 4! §  0 § 2! § W 0   ! § $ 4  4 2 0( W 4 ¥ §  0 § ¡f7#gUp)%7GAegf7%eS31g7Gd¦%™ ¢ ü ÷ øû í ì ë ÿ ú í ˜ ùû ˜ í ÿ ë þ í ý ü ø ë í ì ë ÿ ’ – ‚8¤¤¡bb"XI¤6f8cS)¦¤ˆ¡bb§7ë —‡ ¢ ü ÷ øû ‰‰ í ’ ì í • ø í í ú ” í ú í ý ø “ þ ü øû í ì ë ÿ ’ ë‰ ‰ ˆ ‚8¤¤˜t¡¦‘!3"`¡6i)¦&¡¤Bgbb37B‘tGø x‡ † è ç æå ä 7–…q‡ã …„Þ ƒ ƒ  [email protected] ×Ø ÙØ g…¤Ä× y §  0 § 2! § W 0   B 6 $ ( w( ¥ v § §  0 § ¥ i 0 4 ü ¡U3'%7GAx7t&Q1%@7#XU¨¦7r8÷ 07X%Igqu7tHXA¨pe"Aqr¤7q&[email protected]&d'bH1)73aU`&7XHA¨¥  $ § i  h B 6 $ 4 ! 4 § s s 4 Y 4 h ü 0  $ § i  h ¥ 2( ¥ §  0( $ c $  § § § W(  4 2 § 0 Y ! § W § W 4 0 4  $ §(  0 § 8 T § !  ¥ 2( ¥  0 4  ( 0 2( $ $ 4 ¥ ¥ ( ¥ B 0 ( 86  $ 4 2 0(  ( ! $ § !    § § § ¥ 7V%UG%#SH9ERG7QP GI9"HGFEDCA[email protected]©531)&'&%#" ©¨¦¤ ¢ ü ÷ ìû ú ù ø ë í ì ë ÿ õ î ó òð í ÿ ë þ í ý ü ìû ú ù ø ë ÷ ö õ ô ó òð ï î í ì ë £ˆ¦g8¦8ibb¦6z¨xi¡8"!‡¦g8¦8e&S£¨xñ¨bb‰ê -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1 -1 1 2nd Eigenvector (n=9) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 2nd Eigenvector (n=9) 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 -0.5 -0.5 0.5 0.5 1 1 2nd Eigenvector (n=19) 18th Eigenvector (n=19) é è ç æå ä 8–…q‡ã á àÝ ß ÞÝÜ â%!Xxx¨Û ÚØ ÙØ x…¤Ä× õ ± ÔÙ œÕښ ÚÙ “ Ýٕ š ÖÕ IRe3¨p¹qp%`¨e£˜ ³ ù ³ ³ ö¨ ³ ± ù a|¡GIƒ#G[email protected] ’™ ădep#7UIÄIƒ#%ƒe#Ø¡e× Þ ÔÓ ¦ œ Ú Ù” œ Ú š ݔ Ù Õ Ú” œ × Ù Õ – × š “ Ù Ú Ù” Õ •” × Õ œ š Ü Ú” Õ Ö Ü” š ™ —— ›Ô Û Ú – Ú Ù” Õ – Ü Ú Ù— Ù × “ ڔ ï × š— –  š Ö Õ š × š Ö š â” Ü š ™ œ œ š Ú š Õ š— “ Ý Ù • × ÙÔ œ › Gteppt¡’Uƒ¨lXGAqIƒ#Ap¨ptp#GbtEeƒAR¨eze¨eptpeQ€#g¨e%ƒ¨qI’IldÕ Gp ³ ³± ³± ù £ ¨ ¤ ¦² ±²ý ¯² û £ ¨ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¢  ¥² ý © ¥² ¨ ¥² ü § ² ü ü ¤ ¥² ü ±²ü ü ¯²ü ûü © £ ÷ © © ÷ © © ÷ ý © û  © ù± ¨ ³ e³ ³ Þ Ý× ÙÔ š ÖÕ œ – Ö Û Ú – × ÙÕ – × š “ #plR¨#QpG`¹AzIe7UIÙ Ü Ú” Õ Ö Ü” š ™ —— ›Ô – œ – Ù Õ Û š × × šÔ š × ‘—— – › œ › œ” × Ù Õ – × š “ Ù Ú Ù” Õ •” × Õ œ š × Ü Ú” Û Ú Ù “ œ š × × Ù • š Ö Gteppt¡’°ƒ¨lgjIb#qg#el#bƒƒAG#Gj}dIe7UI‘Iƒ#&[email protected]#¡e#p%R¨j  ¦² © £ ý £ ý © ¦² ÷ ³± ¨ ¦² ¤ ¥² © ÿ© ü ÷ ¨ ³ ± ú³ Þ £ ±²ý ¡ ù ³ù § ¨ ¡¡ ¥² üü ¨ ÷ ¡ ü ³± ¯² ¡ ü ¡ ü© ¤ ¦² © þ© ü ¡ ü û¡ ¡ ¡ ü ±²ü ÷ü ¡ ü ¡ ¯ ¡ ¡ ü ² ûüü © ûü ¡ ¢ ¡ ¢ œ I– Ú š Õ Õ” × ™ š ð Ú – • × Ù Õ – × š “ Ù Ú Ù” Õ – Ü Ú Ù— Ù × “ š Ö  ¦ œ Õ Ú” Ù “ ø ¨ ô œ – Ö ó ÷ ۔ × Ü š œ × – Ù • š Ö ¡##9ezf¹SIzIe7UI`pte73¨IƒIe¨f¨jd¡e3ƒIUXCojI¹SISƒeId#eIp%{G#Õ Û Ú – ˜ œ Õ Ú” Ù “ õ ¨ ô œ – Ö ó ۔ × Ü š Ú ò š Ö Õ Õ – Ö Õ ˜ œ š œ Ù “ × › “ Ú Ù” Õ – × Õ œ ›——” × ÙÔ ˜ × š ۔ œ Ú ¹A£¡e3tp¹`öFRIG©ÄƒeIq¨GX¨eR7Ge¹¡¡#pUe¨¨opte7#ØGƒtƒfIlUg@}عIÙ ñ ¦ š •” Õ • – × “ ڔ —— š ™ ï × Ù ™ Ù œ— I%}#%I¨St‚t¡’beIQ#}A– Ú – • ˜ š â Ù ð – Û š × š ۔ œ Ú Ù • œ š Ú Ù š Ö Õ š  ˜ œ š •” Ù Ö • × š— “ ݔ œ × š Ö Õ Ù ˜ × š ⠚ ™ Ù î ¦ œ Û Ù Ö Õ š I£pI7UAog#¡@}ØGp%R¡GIb¨eptƒ°¡¡%}IG{ƒ¨qt#{¨eA¦gI¡’7b[email protected]%qÝ Û” × Ü” ՗ › Ý × ÙÔ œÔ Ù Ù × “ š • Ú š Ü × š â Ú Ù • — – •” Õ š × Ù š Ö Õ š Ö Õ Ô Ù š Ý Ù œ œ š Õ – Ք—” • –Ô Õ – Ö Õ Õ × š “ Ù × }eIƒ#t¨gáIlDI3e¨uGp#¡IEI@A}##p¨eQ¨#¹AQXp؀g#Aettƒ%pwAG#d‘ #UIe¨“ – œ” œ” Ö  ¦ í ç å ì ë è å ë ê ä é èæ ç äæ å ä 㠚 Ö Õ š ⠖ Ö Ù Õ Û” – œ œ” Û Ù Ö Õ š Ý š Ö Õ ˜ ß Õ Ú – Õ œ Ú Ù • – × Ù D}‚}¨j€uH3dG7w°¨w¹'¡@[email protected]#€pHG[email protected]%q’G#g7w3IeØGIáIlÔ àº ³± · ³ ß ³ Þ x¨ ³ ± Þ ‘Ô œ” Õ – œ œ š •” × Õ – Ý Ú Ù” Õ – Ü Ú Ù— Ù × “ Û Ú – Ú Ù” Õ •” × Õ œ š × š Ö Õ Ô l؃e7ez¡%}e#7b|pte73¨IƒIe¨"GA"Iƒ#%ƒe#Ø¡ef¨#waÓ Î ÃÍÅ ÉÊ Ñ Ð Ë Ã Ï ÎÍ Ì Ë Ê É @[email protected]'£g7Æ @bÈ Á À ¿ ¾½ ¼ Ir‚13U» Ç ÆÅ Ã o&°Ä º ¶´ ¯ tµ I³ ± ² · ¸¹µ ´I³ ± ² g¯± µ I³ ± ² ´ µ´³ #± Ie² ¨ ¯ ƒ#± Ie² ¶µ ´ ³ ¨ ± ¯ ®­«¬¬¬«© ¨ °E3%¡pªw§ ¦ ž £Ÿ ¥¤ £ ¢¡ Ÿ ž š œ › š ™ ˜ ‘—— – •” “ ‘ ¦A'At7G)[email protected] Ç ­˜˜˜ 4žBU4“ ƙ ”“¡ 4™4d–¸ B˜ sd¢{vd$ÅU$~¢‹Y{4…Ä‹ž"« ©s8ę6sDU$$ “ ¦ ’ ±— ’ £ š ” § š ˜  ¶ «— š ¡ ´ £¨¨ § Ÿ § Ÿ ¡¨ ¶ ³ •— ˜ ± ” Á ÃG ° “• Q0d"p~PY~žDxž‰‰$b¨ « “ ’š £ ” —š § ± ”  ° “• [email protected]~P([email protected]$B˜ …žU4––0s–‘ « “ ’š £š § ’š “ ˜ ¡ ± À “ ’š « ¦ “¾˜“Ÿ´ “ 0.4 0.5 0.6 Á G 0.3 •— ˜ ± DU0ž ” 0.2  ˜ ¶ ˜“ ¦§ $B™k–Fš esU“ d$œB¬dn³ W Ÿ ™ ¡•˜ ¶ £ “ ¥e –„{{B# ‘ 2602) ‘ 0™&4% ‘ %” »ƒ‡ 3) 3‡ !º ‡ ˜ # 0.1 “ b) ' 0 ½ œe ˆB&4q–dœ~‰œ&P… # ‡##% 7” 3% »¼%# 3¹ -1 0.7 0.8 0.9 1 0.7 0.8 0.9 1 -0.5 0 0.5 1 Interpolation error 0 -1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 -0.5 0 grid h grid 2h 0.5 1 (n=19) ­ Ÿ “— ™ ” “ ¡ 4–D–¬–d4¸ B˜ •¤¢8–‹žFd$&¯’ D8TsŸ ž&U–•U“ d$œBxd‹²žFžB4~¶ ·$Dv$ˆ8žb$B™¦~Pš “ ¦ ’ ±— ’ ”— §š ”  ™ ™— ’ ª ˜˜˜“ Ÿ ™ ¡ • ˜š ”— ˜ š §˜“  ” —š § ± ” ¨  ˜ ¶ “ ’ £ • ” § ’ ˜ “ ’š  “ ’š ž™$~…–d‹$Q~Py(I³ W ”µ­ •— ˜ ± DU0²ž6…ˆœ"l–y$ &“ n¦DU$²$n¬…0dy¯ž2¢T£ n$~¬® ” ° “• « Ÿ“ « ™ ´ £ ³ •— ˜ ± ” £° “• « ª ¨ § Ÿ— š § ’ ­˜˜˜“ 4$BU4’¬¢–&d$œ&v„‹(0dyužb©pe¥$Dv4DUvU–B([email protected] 48¢ –žDx–™ 4œ‹Y–™ B‹$–4~†‘  ” Ÿ “ ™ ¡ •  ˜š ”— “ •  « ª ¨ § ¦ ” —š ™— ˜š Ÿ “˜ “ ’š £ “ Ÿ ¡ Ÿ— ” —š “ › ”— š “ ˜— • ”“’ Ž ‰‹‰™† Œ Šˆ ‡ ||| …~~h„ke~Iels~n{lˆw ƒ x ‚ y €  }|zyx r v V ut v¥s ‚ € r wt r W qyxv upV o E CA 4e DBI 9g ` nc e C T2&T E S RA  9 a` E C S iA F UjDB@ 9 a` 9 m` S RE CA TBe P&@ S i E CA j–e P&I 9 X ` W g hdV f S R E C S RA   9 TBe UTb&IQmlj–e C T2&TQakTBe [email protected] UjDBIQ9 ` S iE S RA   9 ` S RE C S iA  9 ` S i E C S iA   %# B0! q c IBE C T2@  SR S RA 9 a` S R CA IBE PI  e &‘ … I0‡ 9 a` 3%3‡ ˜ 4d0™’ˆ–•% —‡” 9 a` E C IbI  S RA “‘ &’  9 E P@  CA X V  V  g  G ‰ G  E P@ ¦9 CA   # ‡… ¦ˆP†„$! ƒ3 G fTBe UTb&@ S R E C S RA  9 i i i i i G X YW V c S R CA 4IBE PI ¥aE P@ ¦9 9 ` CA  i i ‚ € r wt r W 6yxv usV G X YW V c dE C IbI ¥aE P@ ¦9 S RA 9 ` CA  i V S RE CA  TBe [email protected] i ip E C S RA   F [email protected] i i i i i i i 9 E PI  CA ih G HF DB@ E CA 9 75 864020(&$"  3 % 1) ' % # !  “ é ¦ ¨ ¡(¦ P Qé  ëí n$ ¦¨ (¦ é– £ p¢ å äã ⠍‹‰™á 8 ¡ '(¦ %¨ ! ` # ¦ Q › 3 !  û ‘ ’s ëŸ ˆ2m3{v4&|73{Q~Dfé P ê ž í ê œ  ê P é 1 ) i g  7ø é ù ¦  gš  w ! û !  û 7ø ‹ ! Œ û dø ‘ ’v  7ø é ¦  “ ”w û ‘ ’v ø é ¦ ø   2g G ! B i— w2ê ‘ ’s ø Œ • „û û Œ é ! ¦ ê % !  ¦ 1 êd „ˆ(í ¦ ë &qP ‹ — 0é  2)  ¦ (&¨ ˜ î —ê 1) í [email protected]&3~2’$ c # ™ c 1 (í ¦¨ (¦ é– G ŽŽ y™‹ ‹  êd ˆ(í Š  †ê ‰ ˆ‡ … ‰„†„ æ ‹‰™á å äã ⠔ { R þ ÅU W qu–p’ t rW U q 3q “S{U V|dVS q f— U S… þ x2bÿ þ ²þ U q RqR sVR ’  Ut Vu” ò ! sò e E R vq r … r { 7Tþ S "“ ˆ ‰q ú ò R — ˆq iz‰†R þ ÅU R ! rò î þ “ € þ ˜ Qr US Fx ’ U g&þ … q þ R VR þ ˆ R $‡ ÿ 4þ ‡ ÿÿ ‹$ U ‚ –W S ˜ ƒ‚ l' þ X þ ˜ S Vþ — R €~ 7} eS R ¤ "… ` r U v rq vYW ñ¤ ” U s(ÿ “ … wƒ U V†þ US “ $… þ bÿ “S rq sYW ˜ Rq sTˆ R Rq sTˆ y©W ’t R R vq r R — W U þ … þ 4S þ U U ƒU wv U vU S U rW –hsYW X VvX rq RRq WR Vst R q X ’ tr u–W VR W ’ ˜ sq rR Vp˜  ÿ S þ k‘Tþ þ ƒU þ þÿ bž oþ Ûþ U ÿÿ f‹ž þ þ n Rqˆ sTqh–3‚ q t rW r X ™r ‚W –p˜ ’ XR € e &þ ”…þ 4S þ … Sþ… Sþ Vˆ†T"Tþ “ S ˜ r X WR ’ &X € € V£X ò e U v ÿ … e U US VVþ U ¢ ÿ sh£(4þ þ U e þ ²l” þ k Uÿ S †þ U U rvYW q tr usq &™— qR r rq vYW YVR XW R rq sYW R ’ ˆq ‰mr ‡ R î rq ˜q ’ q ñð IBï 6vYW e U v$“ ¢ j£þ ƒ þ U „S U U þ • ” ò ú U þ g… fò SS Tþ ÿ ž U ïî rq vYW W qR — i— r ’ W ˜ i— sq ˜ ’ R vq X ‚ gh–T&vTˆ t rW X R q r ˜ st W Q–W Wr †þ S „dU þ • ”þ “ $3"Tþ S U þ … ƒU ‘ þ bÿ þ þ Sþ… þ ƒ T0†k„þ R ˜—r ™v–W ’ ’ &X rq vYW X VvX RRq WRt V„q ˆ ‰q X‡ £X r sq WR ‚ vq y € VTX € 9 xò 4 ñ ðï T&lî 8 6 ` 9 „e ò ò ð &ï w î ê 1) í &3~20$ ò ! î 86ñ ð &TBï ¦¨ (¦ 8 &6 é ¦ '&©¦ %¨ ò ð Bï ` ú # $ò ¨ î ! "ò  ëê œ& ï î ò ò E 4 5ò î 86ñ ð &7T&ï ø "÷õó ö ô ï ò a ` b! ò U ` QE US VTþ XW YVR ¦¨ (¦ î ê 1) í &3~20$ I R HQ$ Pé ¦ '&©¦ %¨ é ! "ò    e ` ¦ ¡¨  é ¨ ©¦  £ê ò b! a ò ò ¤ ¢ ÿ þ ý 5£¡–ü ` þU Fv ò „e ! ` QE  ò G Hú ò î  ò î   e fò ` ! ò ¦ ¡¨  é ÿ tr usq `  ig hé ò 86ñ ð &7T&ï ú # $ò ò î Iò ë hQ0 Pé 9 9ò 9 ú dò ù û ˆò  ` p Aü q R  bü c êd 0¡í ¨ E Fê CB D2 1 @ Aü ¨¦ ©§ñ ¥£¡–ü ¤ ¢ ÿ þ ý  £ê ò ñ ðï IBî êí ë ì ë b4{–s~è êé çæ 0‹‰™á å äã â Ö à¢hkÝÛ©4@QYY©~Ô ßÖ Þ× Ü Ú Ù ÌÒ Ø × Ö Ð Ð Ì Õ ÓÒ Ð 4…ÑÏÍËÉ Î Ì Ê È ô 3Ï Ëªª¦´¨§ £&T3&™¯ ¶ ¨©² ¬Â ¨ ¯§ ¦ ² ¶© vY‘v(sf‘£ëQ–qfÃÎyshÃÍQvy‘Q–ó£&ÍvvQ†TyDóx©hATig$v£fÅ ¦ ¥² ¥ Ð ® ¨§ ¥² ­ ¦ ´ ® ­ ¨§² ¶© ¶¦¦È ¦Ó¬ ¥ ª¦­¨ « ¥ Щ ¥ ³¦ ¶ ¦ «¨ª ³¨¶ ²® s™fp£È Å­¦´ ®­¦§ v&Qs&&HԖsYdvëVVQVñT'xQgyDÇv(mQ–FfsYd£VvÊYV$£vy&ÍQ–g£ë± ò ¬© ² ¶ ¬ ² ª È ® ª ¶¦¦È ª¬¥ ¦­¨ « ³ ¨Â ¦ ¥² Å ¶ ¨©² ´ ¦ § § ¨ ´ ­© § Ð ¦ª§¬¨´ ¦ ¥² §¦² ê 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 Solution Error À ¸ º æ Þ åà ß ¹ ð» Q¡¹ s&3Þ $ÃH2(¹ Vy&à æ í º æ Þíßà ï àî ¹ 2§ß ¸ å æ µ£&–lÜ à í à ß ÞÝ ÚÚ fμ–u™Õ Ù Ø× Ö Ë ¦ Ð ¶ ¬ ¥ ´ ¦Â ² ²©Â y2hvf(d‘–Ôg&&TµTVxQFyDFsVTAs( ­¦§¦ 쮪 ª¬ ¥ ¦­¨ « §¨§§¦ ³¨ ¦¥¤ fiÎ|s™––ԣʣDxQ5y$"sVT°x©h"fÃ5fsYdsTë–Íh–hÃvyDV"hÃ5£ë± Ë ­ ¦ ² ¬ ¶© «©Â ¦ ¶¦¦È ª¬ ¥ ¦­¨ « §¨§§¦ ¥ Щ ¥ ¦ ¥² ª ¶ ¨©² ¬ § ¦ ²© Ð ¶© ¥² ¨ ¨ « ª ¦ ¦ § ¥² § ¦² ê 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1 1 0.5 0.5 1.5 1.5 Solution Error ç ¸ DFß º QÞ ßé è ßç ºæ ¸ ºæ Þåàß Q2(¹ v£Þ ¹ ä Al2§£&–lÜ ã â á à ß ÞÝ ÛÚ ’μ–u™Õ Ù Ø× Ö Ë ª ª ¦ ´ ¨ § ¯ ­© § Щ ²Â ® « ¦ ¥ £&T3&™„YV©‘Ôp"5fò ¥ Ð ® ¨§ ¥² yshÃÍvY‘pÔv£µfÆivvV£fÃl‰ÑvY‘pÔsx£fÔvQ¼V&psÐ ¶ ¨© ² ®Â ¨ ª ¦ ¥² ­ ¶ ¬ § ¨ § § ¦ ¦ ¥² ± ¨ ¶ ¨© ² ®Â ¨ Ó ¦ ¦ ¥² ³¨ ¥ª Ū¦§ ® ¦ ª § ¬ ¨ ´ ¦ ¥² £vy5fÃ¥s"23$Ñy©p"qiv¥7T$F™¶ ¶¨ ¦­¨ « ¥ Щ ¥ ¬ ­¶¬ ¥ª¦ « ¦ Ä ² Ò¦ ¶ ¦ ¥ ¤ Ë ¥ª¦ Ä 2i„fiDfV$« ¦ ¥² Q–HvyDjs($5i’vy7¼¡7Áv™sf¥ ¶¨ ¦­¨ « ³ ¨Â ¬ ª© À ¿ ¾ ½ Ï » º¹ ¸ Å ­ ¶ ¬ § ¦ ¥² ¨ ¦ ¥² £fÃv$Q–ÎÍfTD£s3$fÃÊv$23$mis(m£v™p£‰Çs(m'ivµuTD"i¶ ¶Ì Ë ¥ª ¦ « ¦ ª § ¬ ¨ ´ ¦ ¥² ¶¨ ¦­¨ « É ³ ¨Â ¨ª ²¨ ¶ ² ®ÈÆ ³ ¨Â ¬ ­ ¶¬ Å ¥ª¦ « ¦ Ä ¦ ¥² fÃ¥s23$jv¡$5¥&YpÁF™’sd¼¡z£dQ£™sfµvqw‘F7°y"$FFvV£Dfi¤ ¶¨ ¦­¨ « ³ ¨Â ¬ ª© ¥ ´© ¥ ³ À ¿ ¾ ½» º¹ ¸ · ª² ¶ ¦ ¶ ¨ ¯ « ¨ ´ ¨ ³² ±¨ ¯® ¦­¬ « ª© § ¨ § § ¦ ¦ ¥ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1 1 0.5 0.5 1.5 1.5 Solution Error 0.2 0.4 0.6 0.8 D 3D 0 1 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 1 0.8 1 0.8 1 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1 1 0.5 0.5 1.5 1.5 Solution Error E ¨ ÿC 8 @ 8 ý  6 $ ÿ4  $ " þ 0 ÿ þ" ¨ ¦ ¤ ¢ ÿ þý 3¡ABA€s7')Ãy'%!vf¡(©§¥£¡&–lü x ú ù ø÷ ö #μ–u™õ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.2 0.4 0.6 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 Solution Error $ " þ 8 ÿ  8 6" & ÿ  0  8 ÿ þý %!VF!3¡wv1£!3¡§¡&–lü u ú ù ø÷ ö #μ–u™õ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.2 0.4 0.6 1 1.5 1.5 0.5 0.5 u(x)-u h (x) u(x) 0 0 1 1 0.5 0.5 1.5 1.5 Solution Error  $ " þ 0 ÿ þ" ¨ ¦ s ¢ ÿ þý '%!vf¡(©t£¡&–lü r ú ù ø÷ ö μ–u™õ q X P p i X P g c P P e d W c P a ` H Y P X W U H RQ H P H 3ff'bf1h¡f!©¥bb#£A3FVTS5#IG 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 0.2 0.4 0.6 1 1.5 1.5 0.5 u(x) u(x)-u h (x) 0.5 0 0 1 1 0.5 0.5 1.5 1.5 Solution Error E D ÿC 8 @ 8 ý  6 $ ÿ4  $ " þ 0 ÿ þ" & $" þ     þ    ¨ ¦ ¤ ¢ ÿ þý F(¡BA9s7'¡Y5'321s!)(('%#!s§7©§¥£¡&–lü ûú fμ–u™õ ù ø÷ ö ÔÓ “ Õ!ÁÒ È æ 1ç è À ý Fü Ê Ç  Ž ’ ‘ ∠á à ß ‡ Þ ˆ} ¡1ï ó ò ñð Ó È ’ ’ ‘ … ‰ ‡ ߈ †ˆ ˆ å † !ÁÒ !)#û¥v1%#27!Sˆ ä Á ãÉ Á È Á šv)21† À 7¥2)‘ “ ÁÀ 'f#¿ Á fÀ õ Á úù !•1ÁÒ ™É !ç èçÔ Ó È è À Ý ø ©Ý Ó È †Œ‘ŠŠ 1ÁÒ tA)!1Ž Ö Á ÷Á Ù Á !À ¿ “ Ü fÀ Í Û rÚxfÀ × Ö Ü è!çԕÓ1Ò È Á Ç ö5Á Ê Ú Á!À õ Á !À Í Á ó ò ñ ð ï Ž † Ž ‰ î ‹ˆ Š ‰ † ’ ‘ ’ Š ß Ž ˆ} )h1(Bº2!3v)1!3AŒ “ !1Õ!ÁÒ È èçÔ Ó æ tÁÒ v1F#3º32!S#2„1%ˆ (Á ãt²£š3tF%!† È ’ ’ ‘ … ‰ ‡ ߈ †ˆ ˆ å † ä Ê É Á È Á Ç  Ž ’ ‘ âˆ Ô Ù× Û Ü Á Ê 'ÁÒ È Á ØÖ Õ1ÁÈ Ú Ô ÓÒ ‘ ’‡ 12iô í ì ëé wkfêÝ á à ߇ Þ 7bv¡‘ ÂÝ ‘‡ Œ Ñ Œ ‘ %¡BAy# Ð z u ƒ ‡† ƒ w— ’ … ’ † ” ƒ … e ƒ — “ ‰ ‘ ƒ j e ” ƒ ‘ ’ nA'ˆtTSb¡–nf¡yf‚¥f1B¥f!F1j ˜ nb¡… ƒ u‰ ƒ#gf¡#wIb•nb¡('ˆšsr¡31h)F%Ïfx΍f#Ì!£n¥‰ Á ˍ££yA%¡3!j ˜ ‡† ƒ ‘ “ ƒ ‡ ” “ ‰ ƒ u ‰ … ƒ ‡† –— † ‘ ‰ ¡ ƒ Ÿ ’ ’— Á À Í É Á À ¿ Á À Ç ” “ Ê É Á È Á Ç … u ƒ— — ’ ƒ ‡† † ‰ ‡† ™ “˜ Ƙ— ‰ ƒ j u ’ j p … ƒ u ’ ‘ j ƒ q … “ ‰ ƒ ‡ ” z ‡ … ƒ u ƒ … j ‰ ’ ‘ ƒ ‡† “˜ Á À ¿ j ’ p ƒ w— ’ #gt¥#gžˆA%Sbf1Åb1fylnbfV¡il#b‚#IÄ#1lnVAf¥)fÃ#g™ˆÂf#•bAbsb¡… ’ † q ’ ‡ p ’ “ ’˜ † … ƒ e ½ ƒ ‡† ” ƒ w— ’ … ƒ j “ e … ƒ w ‰ ƒ— ƒ w ’ — ‰ ” ƒ † “ ƒ … ƒ f¾¥#t ›borfA'¡w#gšfbsb¡A1'BnAT¥!2•bbf3V!–'¡¡l!j ˜ n¡#fA„ol¥wiyw#I” ƒ u ƒ ‡‘ … ”˜ j ™ ’ q† ƒ ‡ ¼   ~} | #‚€ˆd{ »¹ ¸ · ¶ µ º²V3h´ ¯ ®§ ¬ ª „Ak­«A„¡9f„¤ ©¥ ¨§ ¦¥ ³± ²° £ ¢ z3fTSbb'ˆ1bibIborb–Be ˜ bf§9xBbnb5#gtfIbIborlb’ ˜ 1j ˜ SA–bnˆ¡1j 3˜ ˆAf— ” ƒ w— ’ w “˜ Ÿ j ’ q — ‰ “ ’˜ † ‰ † u ’ ‘ p’ † “ e ’ u ‰ ƒ ‡† ’† — ‰ “ ’˜† j ’ –— ƒ † ‰ u˜ ¡ ’ ˜ ‰ ™ “˜ ƒ …T5d1lnIkt'ˆžˆ#¥oy¥1¡fˆ( n¡!nB'n#ghBˆgžbf•I‚'1lnit#g† ‰ m ‡… ƒ u ƒ “ h ƒ ‡† “˜ … “ ’˜† ‰j ƒ†˜ p’ j ƒ — u e “ ƒ ‡† p’ Ÿ “˜ ‡† “ ‰ ‘ ƒ “ œ z ‡ … ƒ u ƒ “ h ƒ ‡ “ ’ … “ ’˜† ‰ j ƒ†˜ p ’ j ƒ — u e “ ƒ ‡† … e … j ƒ w “ q ’ ‡ … …˜ — ƒ w ƒ— ƒ ‘ “ ƒ ™j ƒ w “ ’ ‘ ƒ ‡ ” z ƒ j e ” ƒ ‘ ’ b#¥oy¥1¡fˆn•AfnB'w#glf¡T›9b'1nvi¡T¡%w!IAdy¡Txbfš#I™F1Bbff)!j ˜ ”˜ j ™˜ †— e u ƒ ‡† ™ “˜ … e ” ƒ “˜ ‰ † — ’ ƒ ‘ “ ƒ ™ j ƒ w “ ’ ‘ j ƒ † … ‰ p ‡ ‘ e u ƒ ‡† … ƒ † ‰ j † … e——˜ ƒ j e ™ h …˜ ‡ ol¥SrsB('ˆwdˆlwfˆb–¡3(!IAdy¡Txbf¡flbAyf't#gl–b!ylsˆˆ1B¥•ivI” # Iterations 14 0 5 10 15 20 25 12 10 8 10 log ||r|| 6 4 L 2 Weighted Jacobi, ω=2/3 2level multigrid: ν1=2, ν2=2 2 0 2 4 ‹ˆ Š ‰ ‘‡ ‰ ˆ ’ “ ’  ‘ Œ  ‘ ‰ Š ‘   Ž Œ ‹ˆ Š ‰ˆ‡ † … 2!3523#21k¡B§¡'¡1)33¡v!32%!B„„ ƒ   ~} | x‚€ˆd{ z ” ƒ ™ j ƒ w “ ’ ‘ † … ’ u— ‰ …˜ “ ’˜ † e— ’ … ƒ ‡† m … ƒ— ‘ – ‘ ’ q 3fdy¡Txbfvlbs¥tvVborBs¥A#gifA%A3¡wir† –— “ ’ j ƒ † p ‰ m† ‰ ‡† ” “ ‰ m ƒ— ‘ – ‘ † … j h ƒ ‡† ’ † … e ’ ™ ’— ‰ “ ‰ …˜ ƒ— ‘ – ‘ ” “ ’ ‘ ƒ … ƒ ‡† † ‰ ‡† ƒ ƒ … ƒ S'b¡ffio¥#gn¥l2A3¡lfki#g(fybd!%bIbv%¡3¡•¥!f¡5'ˆb'ˆ5f¡5„‚ Ç X˜ Æ S ÿ 9 5H 4R § ¶ E V S 5 –Õ©P6j–0Ci6¾64 Å f B V p ¤ 4 ÿ¤ I B ¢ d V V ¢R 4 † „ ¢ 5 V H „ar™f6I [email protected]`3fX(ÀgP06r€ 8x¡gµ8Äs  e s e 6f$8¡g£60fFfdF¿8£UÃF¡6y"¤ €B 5 V D ¤ V 5 ¢ V b 1 ÿ¤H B V R 4 ÿ¤ ) ˜ n8&f¦P¾rPGˆ8X£0“™0QV £`6cf&–‘´vF¥3Gˆ¡gÃ6UQ`F “(ÂY´l T8QÀGcP™–CV 4 B ¤H € 5H ÿ¤ V V 1 ¢ n ¤ ¢ § b 5 4 n B § p V B d 1 E 5 ÿ¤ 5 V ¢ b 5 § b Á p V ER 4 I 1 E 1H ¤ § ÿ¤ ¤ ÿ¤ ¢ † „ ¢R 4 I B ¤ 5H ¼ » ½ ¼ » ¢ 4 ÿ b H B € ¤ ¢ 5 · ÿ þ „ ¢ b H B € º € 5H ¢ E ) ¢ R D S D n ¡gµ64 ˆ7¥F7U¾F¿660F“ˆP¾Uv8q6¡•y0e0f`q˜ Ihf6y08clrP0˜¥0jFFo$m ¤ R § 1 V D ¹ ¸ B ¤ p 4 5 VH¤ E b B R E bH ¢ B ÿ¤ ¢ 9 V ÿ ¢ B E € · ÿ þ „ b b 5 5 ¤ p V ¢H 5 VH¤ 4 ¦fj–28¥c(qF“¥oU8y™FD 6¥&`64 8y¥f&[email protected]@&G8…e¡I(¥¥¥`Uf¦¥´q—‡6y"6¦¤ n 5 1H B § ¶ 1 V ¢ ¢ B ¤ 1 4B 4 § pV 5 VH¤ 4 5H d 1 V D 1 E 1H¤ § V ÿ¤ 5H 1 B ¤ b V¤ B b B V 5 ˆf£P0f f&£6Fµ¥F“F£6&8¡w´d6y"6–Pf£6¥³GcP™–CY¡g‘`Pc0f¦Fc“qf(&6U0² 12 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 ω 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 11 10 log10||r||L 9 2 8 ν1=1 ν2=1 ν =2 ν =1 1 2 ν =1 ν =2 1 2 ν1=2 ν2=2 7 6 ± ¯¥¦¥ ’ ˆ ’ ª ˆX’ ˜¦ ’ ¢ ’ 8¥8w® ’° ª ¬ Œ ƒ ‚ € ­©$Pr` «¦¥ ª  © ¨¢ C8¡ˆ¡ž `’ &  §s ƒ“ #˜ s '—— (™A6f–“ g a–” • ••“ ¦ ¥ ž ¤ £ ¢¡ ž œ › ’ 8ˆ([email protected]  Œ ƒ ‚ € G©$Pr` ’ ‘  (j(Ž ts ts y`ygr ~}} z v| { z y x w v yy¡(yaGkgQ$u †s ts —`ygr x} ‹ z Š ˆ ™…hy [email protected] † … „ ƒ ‚ € ¡©$Pr` „ ¢ bH B € B E V p B V p 9 VR d b ¤ 4 B ¤ ¢ ERRH ¢H R S D n [email protected]¥“8&™0TPP—tj6Fo$m e gf ¢H ÿ „ 5 VH ¤ ER V ¢ € 5H ¤R E ¢ B ÿ¤ 5 9 V b ¤ 4 € 5 VR V B § b 5 4 ¢ 5 VH ¤ 4 B ¤H € 5H ÿ¤ V V 1 —Gþ `6y"GT8flrP"TG00C£¡gkw8‡“8(6j8&`3`6x¡8y™8&F“PirPGˆ8X£0¢  hpe V b SR 5 V RRH 9 9 ¤ 5H § ÿ DH ÿ 9 ¤ 4 ) ÿ ¢ 1 ¤ ¢ ¢ B 4 V D ÿ¤ ÿ D 4 B 9 RH 5 E E 5H ¤ 5 V D RRH [email protected] ‡fyÕ28‘r1f3q00F¥6a¥v ˆh!(CC£AwP"¤ G3 ˆP™ˆ6¥–PPw9  •  %  ” ¢¥0¥a&`˜—GIPa¦f–0' ¥ ¨ ¥ i ‘¥ y C ’ ƒs  ˆus  G¨  2qQT8Fc“¤  ¡‘aQˆP‰PPw9 ¢ D V B § ¢H ÿ þ „„ D¤ )  ’% ’ ’ i IR V ¢ V ’  W V I 5H RRH 9    5H ÿ¤H † „ ! s ‚ ¨ ¢ ¢ E € R 4H ¤ 5H 5 4 ÿ¤H 9   % s   ¨   i IR V ¢ V ¤ 9 V 5 ¤ E d )  ACˆcPGˆP‡£…ƒq¡w¥f 86y"PH P6xgPwvC`ut¥¡rCqpQT8FY¦h6`gGfec B E b D V B § ÿ¤ W V 5H SR IH ¢ B E D B 9 ¤ 4 ÿ¤ 5 4 1 ) '  % # !        ¨ § ¤ ¢ ÿ &G6¥¥a&`Y¡g£(X6I [email protected] 6¥320(¥ &$" ¥¥¡©¦¦¥£¡Iþ  ‘F Í Ì ÊÉ ¨©$PËr`È ˆ †„ ƒ ‚  € ‰‡…br%3y xwbu v  F 8 ¢ A 8 ÿ æ 2 0 ( ô éê ý ïó ï î ¢ ì ë ü #ï é ç óí HG0 C tBs0 @ q`8r 46 7XPPæ0&8qA–pjï–28¨Qt—ꁔè6gi  $hgà f—êxCyñGg$0Q¥EQ è ”èPç06rô [email protected] [email protected][email protected]&f(yÿ0¡6¥‘&6bf¡&0£ü e é è é è î çêíñ ê ü éóí ì ì óïòí ç ïñ æï è ÿ æ ¢ÿïóï éê æíñ ïó êï èêï ä ï ê ó í ñ ç æ ïé ñ ` ý ê ÿ ï ÿé ò í ó ë ¢ êç æé ë ÿé ó ô õí ó ï R ü æ ï èç õ í æ ï ÿ æ ëï ÿ æé êé ê æ íéç ó ïç F¥6a¥wˆfyFu!¥3C(yX8&`ˆYyˆP6í @y08˜´‘f¥¥Gý ‘¡”2o–ç F–fï [email protected] õ í ó ï R ü ý æ ï èç ç èç ê ï ò í ó ë ó ý íé ò è ï R ÿ ï ò ó ï ê R í êé èç ûìì é ç æ ï ê ê U  è ê ï ü ç ê ï ê ó í o‡F¥"Gˆ‡¡”6 P‡066&–7G6ya65¥¥X¥Q0FF0%U—GPùTP8W™ˆfF¥–V5&0£00F¥8T¥ñ ï èç û R ÿ ï æé ü ó ï ç ï ÿ êé ï ç ó ï ñ æ ï ô ó ï ò æ í ñ ï èç ç èç ç ñ õ èç ê ï ç ó ç ê ýììé ï ó ý ô § êé è ¡”ùfS¥`Pc0F“Fd—U¦6QU¥–fr™FQˆ6¥d¡”85”tF!ï P‡0¦6Q"0TPP‡&GgP—–I 4 0 2 4 6 # Iterations 8 10 12 14 16 18 20 3.5 3 2 2 log10||r||L 2.5 1.5 4 levels 5 levels 6 levels 7 levels 1 0.5 0 Í Í Ì ËÊ É ¡©$Pr`È ä ã Ø Ó á Ó Ø Ô × Ð Ö Ó á × Øà Øß Ó Ò Óß ÝÜ Ô Õ Ù Ð Ñ ÐÜ Û Ñ ÚÙ × Ø × Ó Ö Ñ Ó Õ Ô Ó Ò Ñ Ð ˆ&X3q&¥8(Fc&™ÞXXjÞCe8U(jC0Ö ¡”7µ(qfˆFCF(–Ï F 0 C HGED8 ¢B3'9–676 531)rPæ0d&6'U&%¥“F¥¡f$l6"!C–fr™ôFQˆ6¥iï PèUF“06!¡”èç A 0 @ 8 ÿ æ 4 2 0 ( ô éê ý ïó ï   ÿïçñï ë#ï ê ¢ïñ æï óï ò æ íñ ç óïçê õ ï ó ï ÿé æ í ñ ï î ê ÿé ó ô ïó í ü ï èç ç èç ï ï ê ï    ©   © õí è ê ï ü ï æ § æ ç ê æ í ñ ô æé ëï Fy0ê 6¥[email protected]&6£‘¡”e6 Pq¥F2l£ov&f3q–q¨ç 6¦0¡8C3¥P`¦Cï ¤ ¢ ü éó í ì éó ì ý ü ç õí ê ìñ ûñú ø ÷ ö ó íõ ïñ æï óï æ íñ ï ç î í èê ï î ç ì ë é ç æ £GPèPç08(ô 8¡yÿ0þô™éTçGcYï Pèq´0jïFFo$ù(8fw¥`F("ôf6ò 8Ct¡”èð8¡&‘AA8jí`A—ꁔèU0å # Iterations 10 1 2 9 3 4 5 6 7 8 9 10 2 levels 3 levels 4 levels 5 levels 6 levels 8 7 10 log ||r|| 6 5 L2 4 3 2 1 0 Î Í Ì ËÊ É ¡©$Pr`È ä ãØÓ á `oacÓ Ñ ‘c&™ÞXXjÞCe8U(jC0Ö ¡”7µ(qfˆFCF(–Ï â Ó á × Øà Øß Ó Ò Óß ÝÜ Ô Õ Ù Ð Ñ ÐÜ Û Ñ ÚÙ × Ø × Ó Ö Ñ Ó Õ Ô Ó Ò Ñ Ð Ó­ ¬ ª© 5®‰–«H¨ ü aû sfÀ “— € q˜ k  € qm˜r— k m hg “j— f “ ‘DTg –•‘"¡WÀp¿ÄdqÓBWjDQ‘a%Ä £‡”!Y‘Wur pP— –•P|fq æYY!$aQd¡WgxqTlëdq‘Q!‘|f— –••BDYXWgxq"p!T–~}H–~p–˜B‘$$•B5h•–“¦Y£‘Çppp…Q!d!HÄ ff—j g˜ e ~ “ m “—˜j q À “ “  gr m ~ “ m €˜ gh q Ä q q ç—˜ “  g q ‚ æf €—“f ™f k m˜— ~— • f q ‚ Ä km s “j— qÀ À—f  —r “g ~ ~mj —˜ “j k q “ q ~— qÄ f—˜ À—jg˜ e — $j prh•–“¦)H–~ÃqY— í Ùxk‘YQ–˜D)Y‘¨YEDó$¥$Bx‘Yl—£|f¨h•S–~S‘p–v!QBDYYT$E5h•“ æpµ—!%lm–kDDDbDd{|f{YpYaQäDWgdqDalëdq!$!‘|fD"— –•{”æ o¦ì qiSWgxqalëxq‘Q‘!|f"5h•úQYh kr qmvm “g ~ q ff—jg˜ e ~ “m “—˜j qÀ “ ˜g î í m hg ~ “m “—˜j qÀ — “ €g˜ — € gj “ g ~ f—g À æ ø ö õ ô æ €—“f ™f ~ “ ç— ˜  g å sf € kr g˜ e q˜ Ä —f˜ mgj — "Y}D'pa„éù÷b£q!¦pppÂWgxqm !YóBD'Whò‘£‘l—‘QdrWÀpˆ‘YTYS5h•“ — ~ — À g“ À˜ m ‚˜ g “ • q m “f q q æ Ä “—f q “ ~å s ð — qf hg q˜ Ä ~— q Ä m ~ î í Wñ%r¦®QDp!h Ba¿ÄQx˜p"|fo–“EH–~dqx“‘‘¥|f¨h•‹pˆ£Tlëp¡‡®WÀpS!D–v}ïDg o¦ì m Ä q “—˜j qÀ hg k f—˜ — “ fm ‚ q “m € ˜ g “ m “ À— € ffm —v • — ‚ 旘— è s˜— kg rH–~‘lëdq!$!‘|fD"‡bÓBp!Q5h•qD)¿êpd˜D¥£BDE5h•ä$¥BpYp¡DDm £é!Q‘£{‘‘DÃvD‘f ~ “ ç— k m˜— ~— Ä m f m k ~—“ e q— “ hg —f  mj—r q˜ k  eg e À—f m—˜j q Ä q m Ä —˜ DWgdqDm ‘$£DQ‘‘%£{DtDWmdq“ ‘¦Dg –˜‘5h•o‡q‘¨DYY$„x™–“plmBY5o$‘D$$!d–~¡¨–~q –~DHE$Dm fÀ “— € q˜ k  € qm˜r— k m æ˜ k  “˜ m e ~å s—˜ “j k q “ hg egjf — “ À ~g ™—r —˜ DTg –•‘"„WÀp¿ÄdqÓBq¡WjDQ‘a%Ä EYDlmB‘Wjxqp5ä!{T$Bx‘Yl—q|fB–•q‡¡— $Y‘q5h•)dD‘$¥$Dm • q • ‚ À ~ m •j˜ m—f—˜ — “j m hg “j— f — “ —˜ m • q • ‚ f q eg“ — € gf —˜ m — v gr m — • YWj¨tˆdDÁ$$DY‘pQäD–vxq‘ä‡P!Y‘Wur Y¡5h•äQDãYWj¨t¡!WjYÇ}"‘¡$D)pY)5dt ½T$¼%Q²$Tº%Ƒ5$)Ql²Æ…aB¡QsD¹ á Ô Ö ¹ ·¼ × ¹ ¼º »²¹ » ³ â ¸·º Ù ¹² ⠽༹º »² ºØ ´º¶¼º ß ´ $T5Qx!‘$‘%¨¹ Þ Ô ½ ³¼ ³ ¸ ± Ý ³·¼ ܺ …µÙ$µ¶Ql²5qx|ØY5Tµ¶¸ Õ Ô ½TÖ ¹µQ· HTpp5|ÙQ%µØ5%Q$QµÖ³ ´ Õ Ô ´ ³² ± ÛºÚÖ ³¼ ¶ ³ × ¹¼²¹ Ò “ Ñ É Ï  – “ Î Í Ì  Ê –  Æ!ˆ‹ÐbÆ){P)Å˦£É Š È sT¥!— $‘¥WÀp¿ÄdqÓB‰–kBY•5h•)h•–“¦}Y— i|f¿qEDYYm — € •jf q˜ k  € k h — “ q ‚ À • k e €gjj |fq£|fBt¥¦!™}YÇ~!¥‘l—kE–€qr‘—Y$ƓDd{fpm EY!— dDWmdq–“q –~}TaH£'–•–“¦}H–~dpD¦po‡„YWÀq q • s“— À—“ — € e ~ —r g ~ • ff  Ä k q À g g Ä m q ‚ Ä q“˜ m“f hg m— — • s q k € À— g q m— q € — “ hg — ~g À—f  ~g —v • — ‚ ˜mh g 5dtÅ%WÀp˜¿ÄdqÓB–~qÁYDÃvkDDv –~9fD$%WÀqÂ~–m"r5h•9i'dDÁ$‘¨X¿™k DSDDm ˆ9D!}d¾ ½½½ ¼º »²º ¶ ¹² ¸· ³ ¶ ³²² ± ‘To‘5$!%Q…µ¸El²"5µ´Qi5f° ¯5­®¬‰–«ªH©¨ §¥¥ ¡ ¤ ¢ ¡ Ÿ ž  ‡i¦di5£z‰b”œ i”™ ›š – — – ” “ ‘   Ž Œ‰ Š ‰‰ ‡ ˜E)•}’!f£‘cpˆ‡ ‹‘ˆˆ† … sf— •f— € —f˜ mgj “ ~ g ƒ˜ g ‚ — “ hg •  € —“ m˜ !!5Q!"q‘YDaY£— –•'D„QD£5h•o‡r$j P¦DQd“ y ~—j ~ gj g“ q f kj ™jy w hg — “j— r g — • t s k qff e g k m —˜ m f kj ™j hg f e™“ ˜ “ !YY}¦{|f{pl—‘‘izx‡¥D–vdq!Y‘Wu"5d)Tl—‘WrpYpg o‘nf$D!l—‘!£iqp— $dP!— –•”’ ‡ H† ý ' u ¨  r tUsd$GqB@p&hfdc$C$`E5BX #  F# %  ¤ ig I e 3# b  ¨ a 3 ¤ ) Y) ý f )„„ „ ƒ I  !F¨ 2¨ ¤ €€…‚T‚Ux€x4`y6x ¤ iw þ £ 2! W$V$U 2¨'2 Iv% !# "d ÿ ¢ ) S) P I ' F F#  ) A) 8 TDBRQ$HG[email protected] ¦¤¢ þ þþ Y Q !þ 0 ' 32  §  4©  1 þþ 5 ) '%# !  (&$"  ÿ þþ xYdý   ¡£©£¥¥£¡    §  ¨ § ¦ ¤ ¢ ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/08/2011 for the course AERO 16.872 taught by Professor Danielhastings during the Fall '03 term at MIT.

Ask a homework question - tutors are online