1주��

1주ê°�ì�� - 제1주 강의 안드로메다...

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 제1주 강의 안드로메다 은하 위의 사진에 보인 타원 모양의 밝은 부분은 우리로부터 290만 광년 떨어진 곳에 위치한 안드로메다라는 이름의 은하입니다. 은하는 태양과 같은 별들이 수천억 개가 모여 있는 것으로 흔히 갤럭시라고도 합니다. 사진 전체에 흩어져 있는 작은 점들은 우리가 속한 은하인 은하계에 포함된 별들입니다. 안드로메다 은하는 우리가 속한 은 하인 은하계에서 가장 가까운 은하 중의 하나일 뿐 아니라 은하계와 아주 비슷하게 생긴 은하라고 알려져 있습니다. 우리는 우리가 속한 은하계를 한꺼번에 볼 수는 없 습니다. 대신 학자들은 안드로메다 은하를 관찰하면서 우리 은하수계 대한 정보를 유 추하여 알아내기도 합니다. 은하 하나에 수천억 개의 별들이 포함되어 있는데 우주에는 그런 은하가 또 무수 히 많이 존재합니다. 그래서 우주의 성질에 대해 이야기할 때는 은하는 마치 점처럼 취급됩니다. 우주란 이렇게 광대합니다. 그리고 우주에서 우리 지구는 아주 미미한 존재입니다. 그렇지만 오늘날 지구에 살고 있는 우리 인간은 우주 전체에 대해서 어 느 정도 이해하고 있다고 믿고 있습니다. 비록 인간이 아직 태양계 바깥으로 나갈 엄 두도 내지 못하고 있지만 우주 전체가 어떤 모습인지, 우주가 어떻게 만들어졌는지, 그리고 우주가 앞으로 어떻게 될 것인지 등 우주를 지배하는 자연법칙에 관해 알게 되었다는 이야기입니다. 인간은 우주 전체를 지배하는 자연법칙 뿐 아니라 아주 작은 세계에서 벌어지는 자연현상에 대한 법칙도 잘 알고 있습니다. 18세기에 돌턴이 원자설을 제안하였을 1 제1주 강의 때 원자가 존재한다는 사람들과 원자가 설사 존재한다고 하더라도 결코 관찰할 수가 없다면 그것은 존재한다고 볼 수 없다는 사람들 사이에 격렬한 논쟁이 벌어졌다고 합니다. 과학과 기술이 무척 발달된 오늘날에도 역시 원자를 직접 볼 수는 없습니다. 그렇지만 오늘날 우리 인간은 원자보다 훨씬 더 작은 존재들에 의한 현상을 설명하 는 자연법칙을 알게 되었습니다. 물리는 이와 같은 자연법칙들 중에서 가장 기본이 되는 원리에 대해 공부하는 분 야입니다. 그리고 물리의 발달과 함께 우리 인간은 우리 주위에서 벌어지는 자연현상 뿐 아니라 너무 커서 망원경이나 또는 그 무엇으로도 직접 관찰하는 것이 불가능한 우주 전체를 망라하는 아주 큰 세계에서 일어나는 현상이 어떤 원리의 지배를 받는 지 잘 이해하고 있고, 너무 자가서 현미경이나 또는 그 무엇으로도 관찰이 가능하지 않은 원자보다 훨씬 더 작은 아주 작은 세계에서 일어나는 현상에 대해서도 잘 이해 하게 된 것입니다. 그런데 인간이 자연법칙을 원래부터 잘 알고 있었던 것은 아닙니다. 불과 수백년 전까지만 하다라도 인간은 자연법칙에 대해 제대로 알지 못하고 있었습니다. 그리고 단지 몇 사람의 천재가 자연법칙을 우연히 알아낸 것은 더더구나 아닙니다. 인간이 물리의 기본법칙을 본격적으로 이해하기 시작한 것은 17세기 영국의 뉴턴부터입니 다. 그래서 나는 뉴턴이 물리학을 시작했다고 말합니다. 그러면 뉴턴이 물리학을 시작하기 전에 인간은 자연법칙에 대해 어떤 생각을 가지 고 있었겠습니까? 나는 1장에서 그런 이야기를 하면서 물리공부를 시작하려고 합니 다. 자연현상을 지배하는 법칙에는 어떤 것들이 있을까 하는 점을 가장 먼저 궁금해 한 사람들은 지금으로부터 근 2,500년 전 고대 그리스 시대의 여러 학자들이었습니 다. 그리고 중세를 거치는 오랜 기 동안 뉴턴의 물리학이 나올 수 있도록 준비되었 습니다. 고대 그리스 시대로부터 뉴턴에 이르기까지의 이야기가 한편의 흥미로운 드 라마와 같습니다. 그리고 나는 물리를 공부하는 첫 시간이면 항상 이 이야기를 하기 좋아합니다. 1장에서는 그 이야기와 함께 물리학이란 무엇을 연구하는 학문 분야인 지를 소개하고자 합니다. 뉴턴이 물리학을 시작하였다고 말하는 이유 중에서 하나는 뉴턴이 처음으로 자연 법칙을 수식으로 표현하였습니다. 그런데 자연현상을 수식으로 표현된 법칙으로 설 명하려면, 자연현상을 물리량으로 대표한 다음에 그 물리량들 사이의 관계를 수식으 로 표현하게 됩니다. 여기서 물리량이란 자연현상을 숫자로 대표하는 양을 말합니다. 2 제1주 강의 그리고 물리량을 다루기 위해서는 두 가지가 매우 중요합니다. 하나는 측정된 물리량 을 나타내는 단위를 정해주는 것이고 다른 하나는 물체의 운동을 숫자로 표현하기 위한 좌표계를 정해주는 일입니다. 2장에서는 물리량과 물리량의 측정 그리고 측정 된 물리량을 대표하는 단위에 대해 공부합니다. 그리고 3장에서는 좌표계에 대해 공 부합니다. 좌표계라고 하면 모두들 그냥 처음부터 잘 알고 있다고 생각할지도 모릅니 다. 그리고 좌표계에 대해 배울 것이 무엇이 있겠느냐고 의아하게 생각할지도 모릅니 다. 그러나 좌표계에 대해 잘 이해하는 것이 물리를 시작하는데 든든한 기초가 됩니 다. 3 1. 물리학이란? ∙ 자연현상의 법칙에 대해 탐구하는 자연과학은 물리학, 화학, 생물학, 공학 등 여 러 가지 분야로 나뉜다. 이 중에서 물리학은 무엇을 연구하는 학문 분야이며 자 연과학의 다른 분야와 어떻게 구별되는가? ∙ 물리학은 흔히 자연현상에 대한 기본법칙이라고 말한다. 인간은 그러한 기본법 칙을 어떻게 깨닫게 되었을까? ∙ 자연은 우리 주위에서 흔히 관찰되는 현상뿐 아니라 도저히 직접 측정할 수 없 는 매우 큰 세계와 매우 작은 세계의 현상도 포함되어 있다. 우리 인간은 그러한 세계에 속한 현상을 지배하는 자연법칙도 모두 알게 되었다고 한다. 어떻게 그런 일이 가능하게 되었을까? 자연과학에 포함되는 여러 분야 중에서 물리학은 자연법칙 중에서 특히 가장 기본 이 되는 법칙을 다루는 과목이다. 그렇다면 물리학에 나오는 기본법칙의 수는 몇 개 나 될까? 기본법칙이라면 그 수가 그리 많지는 않을 것 같기도 하고, 고등학교에서 물리를 배우면서 수많은 법칙을 외우느라 고생하였던 것을 생각하면 그 수가 굉장히 많을 것이라고 생각될 수도 있다. 자연에 존재하는 기본법칙은 단 한 개다. 그 단 한 개의 기본법칙이 바로 운동법칙 이다. 여러분이 고등학교 때 라고 외운 뉴턴의 운동방정식이 바로 운동법칙 이다. 그리고 이 법칙이 바로 자연의 모든 현상을 설명하는 기본법칙이다. 이 식은 질량 으로 대표되는 물체에 힘 가 작용할 때 이 물체가 어떤 운동을 할 것인가를 결정해주는 법칙이다. 나는 뉴턴이 이 운동법칙을 발견하면서 물리학이 시작되었다 고 주장한다. 여러분은 물리학에 법칙이 단 한 개만 나온다는 나의 주장에 반신반의할지도 모른 다. 교수가 하는 말을 믿지 않기도 그런데 물리에 법칙이 하나만 나온다니 너무 황당 하게 생각될지도 모른다. 물리학에 법칙이 단 한 개만 나온다는 말의 의미는 앞으로 차차 설명하기로 하고 먼저 뉴턴이 어떻게 자연의 기본법칙인 운동법칙을 발견하게 4 1. 물리학이란? 되었는지 그 역사적 배경을 한번 살보자. 현대에 사는 우리는 막연하게나마 과학이 매우 발달한 오늘날에는 우리 인간이 자 연법칙에 대해 아주 잘 알고 있다고 믿는다. 그렇다고 그렇게 믿게 되기까지 우리들 각자가 직접 확인해보고 그렇게 믿기보다는 사람들이 모두 그렇다고 말하니까 그렇 게 믿게 되었다고 보아야 할 것이다. 그리고 교수인 내가 보증하지만, 실제로 오늘날 물리학자들은 이제 인간이 원자보다 더 작은 세계에서 시작하여 우주 전체의 모습에 대한 아주 큰 세계에 이르기까지 자연현상에 대해 거의 다 이해하게 되었다고 생각 한다. 그러나 물론 물리학자들이 앞으로 새로 알아내어야 할 것들이 너무 많다는 사 실도 역시 잘 알고 있다. 그런데 300년 전이나 500년 전, 또는 1,000년 전이나 2,000년 전 등 먼 옛날에 도 사람들은 자기 시대 사람들이 자연이 돌아가는 이치를 제대로 알고 있다고 믿었 던 것 같다. 물론 자기 시대 사람들 하나하나가 모두 알고 있기 보다는 그 시대에 관 계된 학자나 전문가가 알고 있으리라고 믿었다는 의미이다. 그리고 또한 그 시대 사 람들은 자신들이 진리를 스스로 깨달아서 그러한 이치를 알고 있다고 믿는 것이 아 니고 그 동안 사람들이 믿어왔던 것들을 전해 듣고 그런 생각을 의심하지 않고 계속 믿게 되는 것이다. 그뿐 아니라 그런 방법으로 믿게 된 것을 사람들은 정말이지 절대 로 의심할 수가 없다. 그렇지만 혹시라도 그렇게 믿었던 진리가 옳지 않다는 확실한 증거가 나타난다면 그때는 사정이 달라진다. 사람들은 비로소 그 동안 진리라고 믿었 던 것이 그렇지 않음을 깨닫고 생각을 바꾸게 된다. 인간의 역사에서 자연을 지배하 는 진리가 무엇인지에 대해 두세 번 크게 생각을 바꾼 시기가 있었다. 우리의 아주 오랜 조상들은 인간보다 훨씬 더 능력이 뛰어난 존재인 신에 의해 자 연현상이 조절된다고 믿었다. 그러한 시대를 신화시대라 한다. 신화시대 사람들은 신 이 자연을 자유자재로 변화시킬 수 있다고 믿었다. 그러므로 자연현상을 지배하는 자 연법칙을 따로 생각할 필요가 없었다. 그리고 각종 자연현상에는 그것을 주관하는 신 이 따로 정해져 있었다. 신전에서 신에게 간절히 요청하면 신은 인간의 청을 들어서 자연현상을 조절해 주기도 하였다. 신화시대에는 신이 비오는 것을 조절하거나 농사 가 풍작이거나 흉작인 것을 주관하는 것은 물론이고 심지어 신이 마음만 먹는다면 아침에 태양이 서쪽에서 뜨게 할 수도 있을 것으로 믿었다. 지금으로부터 약 2,500년 전 고대 그리스에서는 자연현상을 면밀히 관찰하는 학 자들이 출현하였다. 그리고 그들은 자연현상 중에서 신들도 어떻게 할 수 없는 어떤 5 제1주 강의 규칙아래서 질서정연하게 일어나는 현상이 존재한다는 사실을 깨달았다. 그래서 당 시 학자들은 그러한 규칙을 찾아내는데 온갖 정열을 다 바쳤다. 그 결과로 고대 그리 스 철학자들은 자연이 천상세계와 지상세계로 구분되며, 이 두 세계의 자연현상을 지 배하는 규칙이 서로 다르다는 결론에 도달하였다. 그리스 시대 학자들은 자연현상의 규칙을 찾아내기 위해서 복잡한 현상들을 제외 하고 우선 물체를 가만히 놓아두었을 때 자연스럽게 일어나는 현상만을 대상으로 삼 았다. 자연스럽게 일어나는 현상이란 오늘날 용어로 설명하면 힘을 받지 않는 물체의 운동이다. 자연스럽게 일어나는 현상에 대해 그들이 찾아낸 규칙은 다음과 같다. 천 상세계에 속한 물체는 가만히 놓아두었을 때 원운동을 영원히 계속한다. 지상세계에 속한 물체는 가만히 놓아두었을 때 결국 정지한다. 그런데 이런 규칙이 보통 사람들도 고개를 끄덕일 수 있도록 설득력을 가지려면 그 규칙이 성립해야 될 그럴듯한 이유가 제시되어야 한다. 그리스 철학자들은 천상세 계란 신이 속한 세계이며 신이 속한 세계의 물체는 완전하고 완전한 운동을 해야 한 다고 추론하였다. 원운동은 시작과 끝이 없이 영원히 계속되며 아름다운 대칭성을 지 닌 완벽하게 완전한 운동이다. 그러므로 천상세계에 속한 물체가 원운동을 하는 것은 아주 장연하게 보였다. 한편, 지상세계는 인간이 속한 세계이며, 인간의 특징은 인생 의 마지막에 고향으로 돌아가 휴식한다는 것이다. 그리고 마지막으로 휴식하는 운동 이 바로 정지이다. 그러므로 지상세계에 속한 물체가 결국 정지하게 되는 것도 아주 당연하게 보였다. 신화시대 사람들은 자연현상을 지배하는 법칙을 찾기 위해 자연을 관찰하겠다는 생각도 갖지 못하고 단지 신에게만 모든 것을 맡겼다. 고대 그리스 시대에 들어서서 비로소 사람들은, 자연현상의 규칙을 찾아내기 위해 자연 자체를 조심스럽게 관찰하 는 방법을 택하였다는데서 신화시대에 비하여 커다란 진전을 보였다. 그러나 그들의 사고에서 신을 제외시키지는 못하였다. 실제로 천상세계에는 신들이 살기 때문에 천 상세계에 속한 물체가 완전한 원운동을 하여야 한다는 것은 아주 오랜 기간 동안 학 자들의 사고를 지배한 확고한 믿음이 되었다. 고대 그리스 시대에 제안된 이러한 자연법칙은 중세를 지나 15세기까지 근 2,000 년 동안 사람들의, 특별히 서양 사람들의, 사고를 지배하였다. 그렇지만 고대 그리스 시대를 특징지었던 자연현상에 대한 관심은 로마의 세계정복으로 더 이상 계속되지 못하였다. 로마인들은 실용적인 면에 치중하였고 자연현상이 어떻게 일어나는지에 6 1. 물리학이란? 대한 호기심 따위는 별로 가지고 있지 않았다. 그래서 자연현상을 관찰하고 자연이 돌아가는 이치를 탐구하는 노력이 로마시대에는 더 이상 계속되지 않았다. 경제의 발달은 항상 사회생활 뿐 아니라 인간의 사고에도 큰 영향을 미쳤다. 기원 전 5세기 경 그리스의 에게 해를 중심으로 한 해상무역이 왕성해짐에 따라 고대 그 리스의 경제가 발달하였고 그와 함께 고대 그리스의 자연철학이 출현되었다면, 15세 기에 들어서면서 지중해를 중심으로 발달한 활발한 해상무역과 지리상의 발견 그리 고 산업혁명 등에 의해 그 지방의 경제가 한 단계 더 발달하게 되었고, 이번의 경제 발달도 역시 인간의 사고에 커다란 변화를 가지고 왔다. 고대 그리스 시대에는 사람이 살아가는데 필요한 노동을 노예들이 도맡아 해주었 기 때문에 학문에 관심을 쏟는 상류계급이 나오게 되었다. 그런데 중세가 끝나갈 무 렵인 15∼6세기에 서양에서는 산업혁명과 함께 석탄을 이용하는 증기기관이 출현하 여 사람이 할 일을 기계가 대신하게 되었다. 그래서 이제는 상류계급 뿐 아니라 보통 사람들도 학문에 관심을 가질 여유가 생기기 시작하였다. 그뿐 아니라, 고대 그리스 학자들은 자연법칙을 처음부터 새로 알아내어야만 되었으나, 15세기의 학자들은 당 시에 이미 진리라고 믿고 있던 천상의 법칙과 지상의 법칙이 과연 그럴듯한지를 확 인해보아야겠다는 좀 더 구체적인 목표를 갖고 있었다. 사람들이 모두 진리라고 믿고 있는 것을 의심하기란 쉽지 않다. 그렇게 하기 위해 서는 명백한 증거가 있어야만 한다. 특히 중세 유럽의 정신세계를 교회가 지배하 서, 로마가 기독교를 국교로 받아들일 당시 사람들이 이미 진리라고 믿고 있었던 고 대 그리스 시대의 자연에 대한 견해가 자연스럽게 모든 사람들이 믿는 진리로 바뀌 었고, 그로부터 오랜 세월이 지나면서 그것은 마치 교회에서 가르치는 교리와 마찬가 지로 행세하게 되었다. 그래서 자연의 법칙에 대해 누군가가 종래의 견해와 다른 새 로운 의견을 내놓으면 그 사람은 교회에 반대하라는 사탄의 사주를 받은 것으로 지 탄받고 죽은 뒤에 결코 다시 부활할 수 없도록 화형에 처해지기도 하였다. 그러나 명백한 증거가 존재하는 경우에는 사정이 달라질 수 있다. 15세기에 이르 러 당시에 알고 있던 천상세계의 물체에 대한 법칙과 지상세계의 물체에 대한 법칙 이 명백하게 틀렸다는 구체적인 증거를 포착한 사람들이 나오게 되었다. 그 사람들이 바로 뉴턴이 새로 시작한 물리학이 출현할 수 있도록 준비한 사람들이다. 천상세계에 속한 물체에 적용되는 자연법칙에 대한 의심은 오늘날 행성이라고 알 7 제1주 강의 려진 별의 움직임에서부터 비롯되었다. 모든 별들은 하늘에서 원운동을 하는 것처럼 보인다. 하루 밤만 관찰하면 항성뿐만 아니라 행성도 물론 완전한 원을 그리며 밤하 늘을 가로질러 회전한다. 그런데 행성을 일 년 동안 매일 관찰하면서 다른 별들과의 상대적 위치를 비교하면 항성들과는 달리 행성들은 항성들 사이를 비집고 다니면서 마치 이 항성 저 항성을 방문하며 움직이는 것처럼 보이기도 하고 심지어 앞으로 가 다 방향을 돌려 뒤로 가는 것처럼 보이기도 한다. 몇 개 안되는 행성들의 그러한 운동이 옛날 사람들에게는 무 척 별나게 보였다. 그래서 그림 1.1에 보인 폴란드의 신부였던 코페르니쿠스는 행성들이 지구의 주위를 원운동하기보다는 지 구와 함께 태양 주위를 원운동한다고 보는 것이 수학적으로 훨 씬 더 그럴듯하다는 지동설을 제안하였다. 코페르니쿠스에게 가 장 중요한 것은 당시 다른 학자들과 마찬가지로 천상세계에 속 한 물체가 완벽한 원운동을 해야 한다는 점이었는데, 겉보기 관 찰 결과로는 행성들이 원운동을 하지 않는 것처럼 보여서 마음 그림 1.1 니콜라스 코페르니쿠스 (폴란드,1473-1543) 이 편치 않았다. 코페르니쿠스는 천상세계에 속한 물체가 원운 동을 하여야 한다는 법칙은 절대로 위배될 수 없다고 확신하였기 때문에 지동설을 제안하였다. 다시 말하면, 지동설을 제안한 이유는, 흔히 이야기되듯이 우주의 중심 이 지구가 아니라 태양이라고 주장하기 위해서가 아니라, 행성들이 완벽한 원운동을 한다는 점을 설명하기 위해서이었다. 행성들이 원운동을 하지 않고 이상하게 움직이는 것처럼 보인다는 사실은 고대 그 리스 시대에도 이미 알려져 있었다. 고대 그리스 학자들은 행성들의 이러한 운동을 설명하기 위하여 그림 1.2에 보인 주전원(周轉圓)이라는 개념을 도입 하였다. 행성의 주전원 운동이란 행 성이 지구를 중심으로 원을 그리며 도는 점을 중심으로 다시 원을 그리 며 회전하는 운동을 말한다. 그들은 행성이 지구 주위의 완전한 원 궤도 를 따라 회전하는 점 주위를 다시 완전한 원운동을 하며 회전한다고 설명한 것이다. 천상세계에 속한 물 그림 1.2 행성들의 주전원 운동 8 1. 물리학이란? 체는 반드시 완전한 원운동을 하여야만 되었기 때문에 이상하게 보이는 행성들의 겉 보기 운동이 실제로는 완전한 원운동만으로 이루어진다고 설명하기 위하여 주전원이 도입되었던 것이다. 그런데 문제는 단 한 의 주전원 도입으로는 관찰된 행성들의 운동을 제대로 설 명할 수 없다는 점이다. 원을 도는 중심이 원을 돌며, 그 중심이 또 원을 돌며, 그 중 심이 또 원을 도는 등 여러 겹의 주전원을 도입한 뒤에야 비로소 행성들의 운동을 비 슷하게나마 설명할 수가 있었다. 폴란드에서 부유한 상인의 아들로 태어난 코페르니 쿠스는 교회법을 연구한 법학자이자 신부였지만 개인적으로 태양과 달 그리고 행성 들을 연구한 뒤 지구가 우주의 중심에 정지해 있고 천체들이 모두 지구 주위를 회전 한다는 천동설이 옳지 않다는 확신을 갖게 되었다. 그러나 코페르니쿠스도 당시 천상 세계에 속한 물체는 완전한 원운동을 하여야 한다는 생각을 절대로 버리지는 못하였 다. 지동설을 제안하면서 그는 단순히 만일 태양이 행성들의 중심에 놓여있고 지구가 자전하면서 태양의 둘레를 다른 행성들과 함께 원운동한다고 가정하면 주전원들 중 에서 대부분은 필요하지 않게 되고 천체의 운동이 태양을 중심으로 한 아름다운 대 칭성을 보이리라고 생각하였다. 그림 1.3에 보인 덴마크에서 출생한 브라헤는 르네상스 이후 당시의 신지식인들에게 널리 퍼진 유행을 쫓아 과학 분야에 속 하는 그리스 고전문헌의 연구에 몰두하였다. 브라헤는 우연히 일식을 보게 된 후 천문학에 관심이 깊어져 별들을 관찰하기 시 작하였다. 그때는 아직 망원경이 나오지 않아서 맨 눈에 의해 천 체들을 관측하였는데, 그는 특히 코페르니쿠스의 지동설에 동의 할 수가 없어서 지동설이 옳지 않음을 증명하려면 별들의 움직 그림 1.3 티코 브라헤 (덴마크,1546-1601) 임을 정확히 관찰하는 것이 필수적이라고 믿었다. 그는 사람의 맨 눈이 이룰 수 있는 최대한의 정확도를 갖는 측정을 달성하였 을 뿐 아니라, 수십 년에 걸쳐서 방대한 양의 관찰기록을 남긴 것으로 유명하다. 그러나 유감스럽게도 브라헤는 자신이 측정한 자료를 직접 분 석하여 코페르니쿠스의 지동설을 반박할만한 수학적 능력을 가 지고 있지 않았다. 그래서 브라헤는 당시 천재 수학자라는 명성 을 얻고 있던 그림 1.4에 보인 독일의 젊은 천문학자 케플러를 9 그림 1.4 요하네스 케플러 (독일, 1571-1630) 제1주 강의 초청하여 함께 일하자고 제안하였다. 마침 코페르니쿠스의 지동설에 매력을 느끼고 있던 케플러는 그 학설을 수학적으로 증명하려면 브라헤의 자료가 꼭 필요하다는 점 을 깨닫고 있었기에 그 제안을 기꺼이 받아들였다. 그들 둘의 공동연구는 브라헤가 곧 사망하는 바람에 3년밖에 계속되지 못하였지만, 케플러는 자신의 자료를 이용하 여 지구 중심 이론을 증명해 달라는 유언과 함께 브라헤의 귀중한 자료를 고스란히 물려받을 수 있었다. 방대한 자료를 앞에 둔 케플러는 20여년에 걸친 행성의 궤도에 관한 그의 기념비 적인 작업에 착수하였다. 그러나 기대와는 달리 지구가 행성들과 함께 태양 주위를 회전한다고 가정하여도 주전원의 수를 크게 줄일 수가 없음을 알게 될 뿐이었다. 그 런데 한번은 케플러가 연습으로 행성들의 운동에 원궤도 대신 타원궤도를 맞추어 보 았다. 여기서 연습이라고 한 것은, 행성들의 궤도가 원궤도가 아니리라고는 케플러도 역시 도저히 상상할 수 없었을 것이기 때문이다. 그런데 이것이 웬일인가? 주전원을 전혀 이용하지 않고서도 브라헤가 측정한 모든 행성들의 운동이 하나도 빠짐없이 너 무도 깨끗하고 아름답게 설명되는 것이 아닌가? 원궤도 대산 타원궤도를 이용하면 이렇게 산뜻하게 측정된 자료를 모두 설명할 수 있다는 것은 행성들이 태양 주위로 타원궤도를 따라 회전한다는 사실을 뚜렷하게 보여준 것이나 마찬가지이었다. 그리 고 이것은 당시 사람들에게 너무도 깊게 뿌리박힌 선입관 즉 천상세계에 속한 물체 는 완전한 원궤도를 따라 회전하여야 하다는 법칙이 깨지는 놀라운 순간이었다. 케플 러의 분석으로부터 행성들이 왜 타원을 그리며 도는지 그 이유를 댈 수는 없었다. 그 럼에도 불구하고 아무튼 케플러의 결과로부터 행성들이 움직이는 궤도는 타원이라는 것은 너무도 분명하였다. 코페르니쿠스가 지동설을 발표하였을 때 사람들은 누구도 그것을 믿지 않았다. 사 람들은 지상에서 실제로 완전히 정지해 있다고 느끼고 있었기 때문에 지구가 회전한 다는 설명과 지상에서 사람들의 실제 느낌이 도저히 조화를 이룰 수가 없었다. 그러 나 이와는 대조적으로, 케플러가 지구를 포함하여 모든 행성들이 태양 주위를 원궤도 가 아니라 타원궤도를 따라 회전한다고 발표하였을 때 그것을 의심하는 사람은 없었 다. 그러나 이번에는 더 중요한 문제가 대두되었다. 행성들이 왜 태양 주위를 타원궤 도를 따라 회전하는지 그 이유를 알 수가 없었던 것이다. 그래서 케플러의 발견이 알 려진 후 코페르니쿠스 때부터 제기된 문제가 해결되었다고 생각하기 보다는 이렇게 새로운 그리고 더 근본적인 문제에 대한 답을 찾아내야 하는 과제가 제기되었다고 보는 것이 더 옳다. 10 1. 물리학이란? 그림 1.5에 보인 이태리 출신의 갈릴레이는 케플러와 동일한 시대에 산 사람이었지만 두 과학자는 서로 거의 연락이 없었으 며 공통점도 별로 없었다. 그러나 그들 둘은 뉴턴이 시작한 물리 학의 기반을 쌓는데 가장 크게 이바지한 사람들이다. 그래서 나 는 코페르니쿠스와 브라헤 그리고 케플러와 갈릴레이 등 네 사 람을 뉴턴의 물리학이 출현하기 까지 준비한 사람들로 꼽는다. 갈릴레이는 당시에 믿고 있던 천상세계에 속한 물체에 대한 자 연법칙이 옳지 못하다는 구체적인 증거를 직접 보았으며 또한 지상세계에 속한 물체에 대한 자연법칙도 옳지 못함을 실험에 그림 1.5 갈릴레오 갈릴레이 (이태리,1564-1642) 의해 직접 밝혀준 인물이다. 갈릴레이는 굴러가는 구를 관찰하여 지상세계에 속한 물 체의 운동에 대한 여러 가지 수학적 추론을 만들었다. 그래서 지상세계에 속한 물체 는 내버려두면 결국 정지한다는 법칙이 옳지 않음을 실험으로 직접 증명하였다. 이와 같이 오랫동안 믿어왔던 자연현상의 법칙에 대해 근본적인 의문이 16세기와 17세기에 걸쳐서 제기되었다. 사람들이 그렇게도 굳게 믿었던 법칙이 틀렸다는 구체 적인고도 확실한 증거는 태양계에 속한 행성들의 운동에서부터 제기되었다. 그리고 행성들의 움직임을 직접 관찰한 브라헤의 자료를 이용하여 케플러는 신의 세계인 천 상세계에 속한 물체는 완전한 원운동을 하여야 한다는 법칙이 성립하지 않음을 웅변 적으로 보여주었다. 행성들은 지구가 아니라 태양 주위를, 원궤도가 아니라 타원궤도 를 따라 움직이는 것이 분명하였다. 또한 갈릴레이가 행한 실험들을 통하여, 지상세 계에 속한 물체도 고향에서 쉬려고 결국 정지하는 것이 아니라 가만히 놓아두면 영 원히 똑같은 빠르기로 움직인다고 보는 것이 훨씬 더 그럴듯함을 알게 되었다. 그러나 왜 천상세계에 속한 물체인 행성은 타원궤도를 그리 며 움직이고 지상세계에 속한 물체는 영원히 똑같은 빠르기로 움직이는지 그 이유를 도저히 알 수 없었다. 즉 자연현상에 대 한 새로운 법칙이 아직 제시되지는 않았던 것이다. 이렇게 해 서 뉴턴이 등장할 준비가 마무리되었다. 그리고 뉴턴이 이 모 든 문제를 단번에 해결할 방안을 제시하게 된다. 사람들도 코 페르니쿠스의 시대와는 달랐다. 그들은 새로운 법칙이 나오기 를 고대하고 있었다. 그림 1.6에 보인, 우리에게는 핼리혜성으로 잘 알려진, 영국 11 그림 1.6 에드먼드 핼리 (영국, 1656-1742) 제1주 강의 의 과학자 핼리와, 그림 1.7에 보인 수학자이자 유명한 건 축가였던 르엔 등은 태양과 행성들 사이에 무슨 일이 벌어 지는지를 알 수가 없었다. 그래서 르엔은 상당히 큰 금액의 현상금을 내걸고 이 문제를 풀 수 있는 사람을 찾았다. 전해 내려오는 이야기에 의하면, 1684년에 핼리는 그림 1.8에 보인, 외부와 접촉을 활발히 하지 않고 있던, 뉴턴을 방문하여 만일 행성이 태양으로부터 거리의 제곱에 반비례 그림 1.7 크리스토퍼 르엔 (영국, 1632-1723) 하는 힘을 받는다면 행성의 운동 경로가 어떤 모양이겠느냐 고 물었다. 뉴턴은 별로 생각해보지도 않고 즉시 그 경로는 타원이라고 대답하였다. 핼리는 기쁘지만 한편 놀랍기도 하 여서 뉴턴에게 그것을 어떻게 아느냐고 물었다. 뉴턴은 퉁 명스럽게 자기가 그것을 계산해 보았노라고 대답하였다. 이 렇게 간단한 몇 마디로 뉴턴은 물리학이라는 학문을 처음으 로 시작하는 문제를 풀었음을 공표한 것이다. 그것이 바로 케플러가 발견한 행성들이 왜 타원궤도를 회전하는지를 설 명해주는 이유이었다. 당시에 그런 문제를 풀 수 있는 물리적 통찰력과 수학적 그림 1.8 아이작 뉴턴 (영국, 1642-1727) 능력을 겸비한 사람은 아마도 뉴턴뿐이었다. 얼마 뒤 뉴턴 은 그 문제에 대한 풀이를 담은 노트를 핼리에게 보내주었다. 그 시대에 이 노트를 이해할 수 있는 사람이 단지 몇 사람밖에는 없었겠지만 다행스럽게도 핼리가 그것을 이해할 수 있었던 사람 중에 하나이었다. 핼리는 뉴턴의 연구가 지닌 엄청난 중요성 을 인식하고 곧 뉴턴이 알아낸 것들을 책으로 발표하라고 뉴턴을 조르기 시작하였다. 그렇게 하여, 핼리의 산파 역할을 통해, 뉴턴의 불후의 걸작인 자연 철학의 수학적 원리들이라는 제목의 책이 세상에 나오게 되었다. 이 책을 간단히 프린키피아라고도 부른다. 이 저서에서 뉴턴은 만유인력 법칙과 운동법칙을 자세히 설명하였다. 뉴턴의 운동법칙은 세상의 모든 물체가 따라 움직이는 원리이다. 새로 알게 된 자 연법칙인 뉴턴의 운동법칙에 의하면 세상을 천상세계와 지상세계로 구분하여 자연법 칙을 각기 따로 정할 필요가 없다. 천상세계에 속한 물체이건 지상세계에 속한 물체 이건 모두 똑같은 원리에 의해 움직이는 것이다. 신의 세계에 속한 물체이기 때문에 완전한 원운동을 하는 것도 아니었고 인간 세계에 속한 물체이기 때문에 결국 정지 12 1. 물리학이란? 하게 되는 것도 아니었다. 단순히 물체가 힘을 받으면 단위 시간이 흘러가는 동안 이 힘을 물체의 질량으로 나눈 만큼 속도가 변하는 방법으로 물체가 운동하는 모습이 결정되는 것이다. 그리고 만일 물체가 힘을 받지 않는다면 물체의 속도가 결코 바뀌 지 않는다. 이렇게 해서 새로 등장하게 된 자연법칙인 뉴턴의 운동법칙은 전과는 다른 특징을 가지고 있었다. 새로운 운동법칙은 자연법칙을 종전처럼 정성적인 말로 묘사한 것이 아니라 수식을 이용하여 정량적으로 표현하였다. 수식으로 표현된 자연법칙은 그 의 미가 분명하여 어떤 사람이라도 모두 똑같 방법으로 그 법칙을 적용할 수가 있다. 또한 자연법칙을 적용한 결과가 숫자로 나오는데, 이 숫자를 자연현상을 관찰한 결과 인 숫자와 비교하면 적용한 자연법칙이 얼마나 정확히 동작하는지를 분명하게 확인 할 수 있게 되었다. 이것은 종전과 비교하면 정말이지 놀라운 변화이었다. 나는 자연법칙을 정량적인 수식으로 표현한 뉴턴으로부터 제대로 된 물리학이 시 작하였다고 말한다. 나는 그 이전 자연현상에 대해 단지 정성적으로 언급한 것들을 물리학이라고 말할 수는 없다고 생각한다. 뉴턴의 물리학은 하나의 간단한 법칙이 모 든 자연현상에 한결같이 적용되는 보편적인 법칙이다. 또한 수식으로 표현된 법칙을 어떤 특별한 능력을 가진 선택된 사람이 아니라 일반사람들 누구든지 적용하여 그 결과를 확인할 수 있는 민주적인 법칙이다. 누구나 적용할 수 있고 그 결과를 정량적 으로 비교하여 더 옳은 법칙으로 수정할 수 있다는 점 때문에, 나는 물리학이 처음 제안되고 나서 삼백 년도 채 안 되는 짧은 기간 동안에 매우 빠른 속도로 눈부시게 발전할 수 있었다고 생각한다. 여러분은 고등학교에서 뉴턴이 만유인력 법칙과 운동법칙을 발견하였다고 배운 것 을 기억하는가? 그래서 혹시 어떤 학생은 아! 물리학에 나오는 많은 법칙들 중에서 뉴턴이 발견한 법칙은 두 가지로구나 정도로 생각할지도 모른다. 그렇지 않다. 이 두 법칙이 바로 물리학을 시작하게 만든 반석이며 뉴턴이 짜놓은 거시세계의 기본법칙 이다. 그리고 다른 이름으로 물리학에 나오는 많은 법칙들은 새로운 법칙이라기보다 는 이 두 법칙을 구체적인 대상에 적용한 결과인 경우가 대부분이다. 이제 우리가 앞 으로 물리학을 배우면서 그러한 내용을 계속 확인하게 될 것이다. 뉴턴에 의해 물리학이 지금의 물리학처럼 수식을 이용한 학문으로 시작한 이후 300년 동안 학자들은 우리 주위의 세상에서 관찰되는 갖가지 자연현상에 물리학을 적용하면서 너무나 잘 들어맞는 것에 놀라워하였고 이제 자연현상 중에서 인간이 모 13 제1주 강의 르는 비밀은 없다고 생각하기에 이르렀다. 그런 때가 바로 세기가 바뀌는 19세기말 이었다. 그런데 19세기말부터 한두 가지씩 당시의 물리학으로 잘 설명이 되지 않는 현상들이 관찰되기 시작하였다. 그때까지도 사람들은 원자나 분자에 대해 구체적으 로 알지 못하였다. 단지 추상적으로 물질의 성질을 갖는 가장 작은 단위를 원자라고 생각하였을 뿐이다. 물리학에 의해서 인간이 자연현상에 대해 모두 이해하게 되었다 고 믿었던 19세기말까지도 원자만큼은 원래 더 이상 쪼갤 수 없는 존재이기도 하거 니와 만일 그 내부 세계에 있다고 하더라도 그것은 신이 인간에게 알도록 허락하지 않을 것이라는 생각이 지배적이었다. 그런데 놀랍게도 그림 1.9에 보인 러더퍼드라는 영국 과학 자가 당시에 알려지기 시작한 방사선의 한 종류인 알파선을 금을 얇게 편 얇은 막에 충돌시켜 원자 내부는 아무 것도 없 는 텅 빈 공간이고 원자 질량의 99.99% 이상이 원자 중심부 의 극히 작은 부피에 모두 모여 있음을 발견하였다. 이것이 바로 원자핵입니다. 비유로 말하면 잠실 운동장이 원자의 크 기라면 원자핵의 크기는 운동장에 놓인 모래 한 알의 크기와 같다. 원자핵을 제외하면 원자 내부가 거의 비어있었다. 그리고 더욱 놀라운 일은 원자 내부와 관련된 현상에 대해 그림 1.9 어니스트 러더퍼드 (영국, 1871-1937) 1907년 노벨 화학상 수상 측정된 결과에는 뉴턴의 운동법칙이 용되지 않는다는 것이 었다. 러더퍼드가 원자핵을 발견한 뒤에 여러 실험을 통하여 사람들은 당시 알고 있 던 물리학을 원자 내부세계에서 관찰되는 현상에 적용하니 잘 맞아 떨어지지 않는다 는 것을 알게 되었다. 뉴턴 역학이 성립하는 우리 주위의 세계와 그렇지 않은 원자 내부세계를 구분하기 위해 전자(前者)를 거시세계(巨視世界)라 부르고 후자(後者) 를 미시세계(微視世界)라 부른다. 뉴턴 역학이 성립하지 않는 세계가 있다는 것은 당 시로는 충격적인 일이 아닐 수 없었다. 지상세계와 천상세계를 지배하는 자연법칙이 다르다고 믿고 있다가 뉴턴에 의해서 이들 두 세계도 동일한 자연법칙의 지배를 받 는다는 것을 깨달았던 것이 불과 300년 전의 일이었기 때문이다. 그때 지상과 천상 두 세계가 모두 동일한 자연법칙의 지배를 받는다는 사실에 사람들이 얼마나 감격하 였는지 여러분도 아직 생생하게 기억할 것이다. 앞에서 설명된 것처럼, 거시세계의 자연법칙을 찾아낸 뉴턴이 나오기 전까지 코페 르니쿠스, 브라헤, 케플러, 갈릴레이 등의 준비 작업이 필요하였다. 코페르니쿠스가 14 1. 물리학이란? 지동설을 제안하고 브라헤가 행성의 운동을 오랫동안 관찰하여 기록으로 남겼고 그 기 기록을 바탕으로 케플러가 행성 운동에 관한 케플러 법칙을 찾아내었다. 케플러 법칙은 자연법칙이라기보다는 자연현상이 일어나고 있는 것을 그대로 기술하는 경험 법칙이다. 그리고 뉴턴의 운동법칙에 의해 케플러 법칙과 같은 경험 법칙이 왜 성립 하였는지 속 시원하게 알 수 있었다. 마찬가지로, 미시세계의 자연법칙을 알아내기까 지도 오랜 준비기간이 필요하였다. 그뿐 아니라, 거시세계의 자연법칙을 알아낼 때는 실제로 뉴턴 한 사람에 의해 모든 것이 단번에 해결되었는데 미시세계의 자연법칙을 알아낼 때는 그렇게 쉽지가 않았다. 굉장히 많은 사람들이 함께 고민에 고민을 거듭 한 뒤에 겨우 미시세계 자연법칙의 윤곽이 드러났다. 거시세계에서 그렇게 완벽하게 성립하는 물리학의 법칙들이 미시세계에서는 성립 하지 않는 증거들이 사실은 사람들이 자연의 진리를 모두 다 알았다고 쾌재를 부르 며 자신감에 차 있을 때 나왔다는 점이 더 흥미롭다. 그래서 학자들은 거시세계의 자 연법칙이 미시세계에서는 성립하지 않는다는 증거를 앞에 놓고 두 진영으로 나뉘었 다. 비록 당장은 설명이 되지 않더라도 당시 물리학이 완전한 이론임에 틀림없으므로 앉아서 여유를 가지고 계산하면 다 설명될 방도가 있을 것이라고 믿는 대부분의 학 자들이 한 진영이다. 그러나 다른 진영은, 주로 젊고 창의력이 뛰어난 몇 학자들이 속한 진영이지만, 그런 증거들이 당시 물리학의 어떤 부분에 근본적인 결함이 있음을 알려준다고 생각하였다. 시간이 흐를수록 결국 두 번째 진영이 옳았고 미시세계에서 자연현상이 돌아가는 이치는 당시의 물리학으로는 도저히 상상할 수도 없는 것임을 깨닫게 되었다. 그리고 그 미시세계의 자연법칙을 알아낸 우리 인간이 마침내 그 결 과를 이용하여 오늘날의 첨단 과학기술 문명을 이룩하게 된 것이다. 뉴턴역학은 우리에게 F = ma 로 익숙한 뉴턴의 운동 방정식을 자연의 동작원리인 자연법법칙으로 이용한다. 이 뉴턴 방정식이 거시세계의 자연현상 모두를 설명하는 기본법칙이다. 이에 대하여, 미시세계의 자연 현상을 설 명하는 이론체계를 양자역학이라고 부른다. 그리고 이 양자역학에서 가장 유명한 공식이 쉬레딩거 방정식이다. 쉬레딩 방정식이 거시세계에서 뉴턴 방정식에 해당하 는 운동방정식인 것이다. 그림 1.10에 보인 쉬레딩거는 오스트리아 출신의 물리학자로 양자역학의 이론체계를 수립하는데 크게 기여한 사람 중에서 한 명이다. 15 그림 1.10 어윈 쉬레딩거 (오스트리아, 1887-1961) 1933년 노벨 물리학상 수상 제1주 강의 미시세계와 연관된 것 이외에도 19세기말 이후 관찰된 현 상들 중에서 당시 물리학으로 도저히 이해될 수 없는 측정결 과가 또 있었다. 바로 빛의 속도가 일정하다는 실험 결과가 그것이다. 빛의 속도가 일정하다는 이야기는 간단한 내용이 아니다. 당시에 알고 있던 물리학으로는 도저히 이해되지 않 는 결과이었다. 이 문제에 대해 논리적으로 올바른 해답을 추구하는 과정에서 그림 1.11에 보인 아인슈타인은 상대성 이론에 도달하였다. 아인슈타인의 상대성이론은 1905년에 발표된 특수 상대 그림 1.11 알버트 아인슈타인 (독일, 1879-1955) 1921년 노벨 물리학상 수상 성이론과 1916년에 발표된 일반 상대성이론으로 구성된다. 특수 상대성이론에서는 상대방에 대하여 서로 등속도 운동하는 두 기준계에서 물체 의 운동을 관찰하면 두 기준계에서 그 물체에 대한 자연법칙이 어떻게 다르게 표현 되는가에 대한 것을 다루고, 일반 상대성이론에서는 이것을 상대방에 대하여 서로 가 속도 운동하는 두 기준계로까지 확장한 것이다. 특수 상대성이론에 의하여 인간은 오 랫동안 공간과 시간에 대해 잘못된 개념을 가지고 있었음을 깨닫게 되었다. 뉴턴 역 학에서는 공간과 시간을 서로 아무런 관계도 없는 절대공간과 절대시간으로 이해하 고 있었으나 아인슈타인은 빛의 속력이 일정하다는 실험 사실을 근거로 공간과 시간 이 본질적으로 동일한 존재라는 결론에 도달하였다. 그리고 아인슈타인은 특수 상대 성이론에서 시간 지연과 길이 수축이라는 처음에는 도저히 이해할 수 없는 현상을 예언하기도 하였는데 오늘날 입자 가속기와 같은 실험실에서는 시간 지연과 길이 수 축이 일상사(日常事)가 되어 일어나고 있다. 20세기에 들어와 종전의 물리학을 수정한 양자역학과 상대성이론을 함께 현대물 리학이라고 부른다. 그리고 현대물리학에 대하여 19세기까지 이론체계가 완성된 뉴 턴 역학과 맥스웰의 전자기학을 함께 고전물리학이라고 부르기도 한다. 그래서 현대 물리학은 상대론과 양자론으로 구성된다고 말할 수 있다. 그런데 상대론은 공간과 시 간의 개념을 수정한 이론이라면 양자론은 거시세계와 구별되는 미시세계에 대한 자 연법칙에 관한 이론이다. 그래서 미시세계의 자연법칙인 양자역학이 진리이고 거시 세계에서 성공적으로 적용된 뉴턴 역학은 진리가 아니라 단순히 양자역학의 근사이 론이라고 생각하기보다는, 미시세계를 기술하는 언어는 거시세계를 기술하는 언어와 근본적으로 다르다고 보는 것이 옳다. 16 1. 물리학이란? 그러나 특수 상대성이론과 뉴턴 역학 사이의 관계는 다르다. 뉴턴 역학은 절대 공 간과 절대 시간의 개념을 가정하고 시작하는데 공간과 시간에 대해서는 특수 상대성 이론이 옳다. 그래서 뉴턴 역학이 엄밀하게는 틀린 이론이다. 그렇지만 뉴턴 역학이 주로 적용되는 현상에서는 상대성 이론의 효과가 전혀 나타나지 않을 정도로 미미하 기 때문에 뉴턴 역학으로 얻는 결과나 특수 상대성이론을 제대로 적용하여 얻는 결 과나 똑같다. 그렇지만 속도가 광속에 근접하는 현상에서는 특수 상대성이론을 제대 로 적용하여 얻는 결과와 뉴턴 역학으 얻는 결과 사이에는 큰 차이가 난다. 그때 뉴턴 역학의 결과는 틀리고 상대성 이론을 제대로 적용한 결과만 옳다. 그런 의미에 서 뉴턴 역학은 비상대론적 근사이론이라고도 말하기도 한다. 특수 상대성이론을 완성한 후 아인슈타인은 두 관찰자가 서로에 대해 일반적인 운 동, 즉 가속운동을 하는 경우로 상대론을 확장하였다. 특수 상대성이론에서와 마찬가 지로 일반 상대성이론의 경우에도 역시 아인슈타인은 엄격하게 논리에 의존하였다. 양자역학은 관찰된 실험 사실을 설명할 수 있도록 이론을 다듬고 다듬어 완성되었다 면 아인슈타인은 논리적으로 모든 것이 들어맞도록 이론을 짜 맞추어 나갔다는 의미 이다. 그렇게 특수 상대성이론을 일반화 시킨 이론이 일반 상대성이론인데 일반 상대 성이론을 유도하는 과정에서 아인슈타인은 가속 운동에 의한 효과와 중력 효과가 서 로 구별될 수 없도록 동등하여야 한다는 결론에 도달하였다. 그래서 아인슈타인의 일 반 상대성이론을 중력이론이라고 말하기도 한다. 일반 상대성이론은 그렇게 하여 뉴 턴의 만유인력법칙과 운동법칙을 대체하는 이론으로 대두되게 된다. 그뿐 아니라 일 반 상대성이론은 우주의 창조와 진화과정을 설명하는 우주론의 모체가 된다. 17 2. 물리량 및 단위 ∙ 물리에서 자연법칙은 자연현상을 대표하는 물리량들 사이의 관계식으로 주어진 다. 물리량은 어떻게 정해질까? ∙ 물리량의 크기는 숫자로 대표된다. 이때 물리량을 대표하는 유효숫자란 무엇이 며 유효숫자를 표시하는 방법에는 어떤 것이 있는가? ∙ 물리량은 단위와 함께 나타낸다. 단위계란 무엇이며 단위계에는 어떤 종류가 있 는가? ∙ 물리량을 차원으로 대표할 수도 있다. 물리량을 차원으로 대표하면 어떤 점이 좋은가? 그리고 차원해석이란 무엇을 하는 방법인가? 자연현상이 일어나는 이치를 설명하는 자연법칙을 수식의 형태로 표현한 것이 바 로 뉴턴에 의해 시작된 물리학의 특징이라고 하였다. 자연법칙을 수식으로 표현한다 는 말은 자연현상을 묘사하는데 이용되는 물리량들을 수식으로 연결한다는 의미이 다. 그래서 자연법칙을 수식으로 표현하기 위해서는 먼저 자연현상을 묘사할 물리량 을 정해야 한다. 물리량이란 자연현상 중에서 특정한 현상을 수로 대표할 수 있도록 정의된 양을 말한다. 어떤 것이 물리량인지 잘 모르겠으면 그것이 수에 의해 대표되 는지 아닌지를 확인해보면 가장 알기 쉽다. 여기서 수에 의해 대표된다고 하는 말은 어떤 물리량을 비교할 때 그 물리량이 대표하는 수를 이용한다는 의미이다. 뉴턴의 운동방정식 를 보자. 이 식은 좌변의 힘이라는 물리량이 우변의 질량과 가속 도라는 물리량을 곱한 것과 같다고 말한다. 이때 같다는 의미는 좌변의 힘을 대표하 는 숫자와 우변의 질량과 가속도를 대표하는 두 숫자의 곱이 같다는 뜻이다. 물리량 중에는 힘, 질량, 속도, 가속도 등과 같이 고등학교 때부터 많이 들어보아서 친숙하고 그 의미를 직관적으로 이해할 수 있다고 생각되는 것도 있고 각운동량, 에 너지, 토크, 관성모멘트 등과 같이 무엇을 의미하는지 바로 알 수 없게 생각되는 것 도 있다. 그런데 여러분은 물리 책이나 다른 과학 분야에 수많이 나오는 물리량들은 누구에 의해 왜 어떻게 만들어지는 것인지 궁금하지 않은가? 18 2. 물리량 및 단위 예를 들어서 설명해 보자. 여러분이 고등학교 시절에는 질량이 인 물체가 힘 를 받을 때 물체의 가속도 를 구하기 위 뉴턴의 운동방정식 를 이용하였 다. 그러나 물체가 이동하고 있더라도 물체가 받는 힘 가 변하지 않고 일정할 때만 뉴턴의 운동방정식이 그런 방법으로 이용된다. 힘 가 일정하면 물체는 가속도 도 일정한 등가속도 운동을 하게 된다. 등가속도 운동에서는 물체의 가속도만 알면 물체 의 운동을 모두 알았다고 말할 수 있다. 그러나 물체가 운동하는 동안 물체에 작용하는 힘이 일정하지 않고 바뀔 때는 뉴 턴의 운동방정식을 푸는 문제가 간단하지 않다. 위에서처럼 단순히 힘을 질량으로 나 누어 가속도를 구하는 방법으로 해결되지 않는다. 뉴턴의 운동방정식을 미분 방정식 으로 표현하고 그것을 풀어야 한다. 그런데 만일 물체에 작용하는 힘이 보존력이라는 조건을 만족한다면 문제가 쉽게 해결될 수가 있다. 그리고 사실 마찰력만 제외하고 문제에 나오는 거의 모든 힘은 보존력이다. 물체가 보존력을 받는 경우에는 일과 운 동에너지 그리고 퍼텐셜 에너지라는 새로운 물리량을 도입하면 문제를 쉽게 풀 수 있다. 위의 예에서 설명한 내용을 다시 정리해보자. 물체의 운동을 기술하기 위해서 사 용되는 법칙은 뉴턴의 운동방정식이다. 물체에 작용하는 힘이 일정한 경우에는 뉴턴 의 운동방정식으로부터 가속도만 구하면 문제가 다 해결된 것이나 마찬가지이다. 그 런데 물체에 작용하는 힘이 일정하지 않은 경우에도 적용되는 법칙은 똑같은 뉴턴의 운동방정식이지만 이것을 푸는 방법이 쉽지 않다. 그런 경우에는 일과 에너지라는 물 리량을 도입하면 문제를 해결하는 것이 다시 간단해진다. 이처럼 풀려는 대상이 되는 문제가 복잡해지면 물리학자들은 새로운 물리량을 도입하여 그 문제를 쉽게 해결하 는 방안을 찾아내고는 한다. 새로운 물리량을 도입한다는 말은 물리량을 새로 만든다 는 의미이다. 새로운 물리량을 도입하면 문제를 간단히 해결할 수 있거나 또는 적용 하는 자연법칙이 새로운 물리량에 의해서 간단하게 표현되는 것이다. 앞으로 공부를 해가면서 그러한 예를 계속하여 만나게 될 것이다. 그리고 물리를 공부하면서 어떤 새로운 물리량이 어떤 과정을 거쳐서 어떻게 정의되는지를 알게 된다면 물리량들 사 이의 관계가 명확하게 이해되면서 너무 많은 물리량이 나와서 물리 공부가 어렵다는 생각은 하지 않게 될지도 모른다. 물리량은 숫자로 대표된다. 물리량을 대표하는 숫자는 측정에 의해서 얻는다. 요즈 음은 실험에서 사용되는 측정계기들이 결과를 숫자로 표시하는 디지털 제품이 많다. 19 제1주 강의 그래서 어떤 경우에는 물리량을 대표하는 크기가 매우 커서 과 같이 많은 숫자로 표시되거나 또는 크기가 매우 작아서 과 같이 소수점 아래 로 많은 숫자로 표시되기도 할 것이다. 얼핏 생각하면 이 숫자들을 모두 다 기록하여 야 매우 관계된 물리량을 매우 정확하게 나타내는 것으로 생각될 수도 있지만 꼭 그 렇지는 않다. 처음 한 두 개의 숫자를 제외하고 나머지는 실제로 별 의미가 없는 경 우가 대부분이다. 물리량을 대표하는 숫자 중에서 의 미를 지난 숫자를 유효숫자라고 한다. 예를 들어, 그림 2.1에 보인 것과 같이 미터자를 이용하여 긴 막대의 길이를 측정하는 경우를 보자. 막대의 길이가 까지는 정확히 알 수 있지만 그 다음 자리는 어림잡아 정해야 한다. 그림 2.1 길이 측정 이 경우에 막대의 길이가 라 고 정했다고 하자. 그러면 마지막 숫자가, 비록 정확하지는 않다고 하더라도 막대의 길이에 대해 어느 정도의 정보를 지니고 있다는 의미에서, 유효숫자에 포함된다. 그 런데 이번에는 이 막대의 길이를 3으로 나누어 보자. 그러면 그 결과는 13.88333.. 과 같이 수많은 숫자를 얻는다. 이런 경우에 많은 숫자들 중에서 유효숫자를 어떻게 정할까? 측정값들을 가지고 곱하거나 나누고 또는 더하거나 빼는 연산을 한 결과에 대해 유효숫자를 정하는 데는 몇 가지 규칙이 있다. 먼저 두 측정값을 곱하거나 나눈 결과 의 유효숫자는 처음 두 측정값 중에서 작은 유효숫자를 가진 양의 유효숫자와 같아 야 한다. 더하기와 빼기의 결과에 대한 유효숫자를 결정하는 방법은 곱하기와 나누기 의 경우와 좀 다르다. 우선 더하거나 빼는 두 측정값에서 유효숫자의 자릿수가 어디 어디인지 확인한다. 그러면 더하기나 빼기를 한 결과의 유효숫자 중 가장 작은 수의 자릿수가 처음 두 측정값의 유효숫자 중 가장 작은 수의 자릿수가 큰 것의 자릿수와 같아야 한다. 숫자로 표시된 측정값에 0이 포함되어 있을 경우 어떤 숫자가 유효숫자인지 결정 하는데 혼동을 일으킬 수도 있다. 그래서 다음과 같은 규칙을 기억해두면 편리하다. 첫째, 숫자의 처음에 놓인 0은 유효숫자가 아니다. 예를 들어 0.013이라는 측정값에 20 2. 물리량 및 단위 서는 1과 3만 유효숫자이다. 둘째, 숫자의 중간에 놓인 0은 항상 유효숫자이다. 셋 째, 숫자의 끝에 놓인 0은 그 숫자가 정수인지 소수인지에 따라 달라진다. 소수라면 끝에 놓인 0은 항상 유효숫자이나 정수인 경우에는 유효숫자일수도 있고 아닐 수도 있다. 그 경우에는 숫자만 보아서는 정수의 끝에 연속해서 놓인 0 중에서 어느 것까 지 유효숫자인지 알 도리가 없다. 측정값의 유효숫자를 분명히 나타내기 위해서 과학표기법이 이용된다. 과학표기법 이란 측정값을 1과 10사이의 수와 10의 멱수의 곱으로 표시하는 것이다. 예를 들어, 5,320,000라는 측정값이 있다고 하자. 이것을 과학표기법으로는 × 라고 쓸 수도 있고 × 이라고 쓸 수도 있으며 × 이라고 쓸 수도 있다. 세 가지 표기가 모두 똑같은 숫자를 나타내지만 첫 번째 것은 유효숫자가 5, 3, 2 등 세 개임을 나타내고 마지막 것은 유효숫자가 5, 3, 2, 0, 0 등 다섯 개임을 나타낸다. 예제 1 직사각형 모양의 밭이 있다. 영수가 밭의 가로 길이를 측정하니 이고 순희가 밭의 세로를 측정하니 이었다. 이 밭의 둘레와 넓이는 얼마인 가? 결과를 과학표기법으로 표시하라. 밭의 둘레는 × 와 같이 계산하면 된다. 그런데 영수가 측정 한 가로의 길이는 소수점 아래 두 자리까지 유효숫자이고 순희가 측정한 세로의 길 이는 소수점 아래 한 자리까지 유효숫자이므로 계산한 결과는 소수점 아래 한 자리 까지만 유효숫자가 되어 밭의 둘레는 이다. 또한 밭의 둘레를 과학표기법으로 표시하면 × 가 된다. 한편 밭의 넓이는 × 와 같이 계산하면 된다. 그런데 가로의 길이에서 유효숫자는 네 개이고 세로의 길이에서 유효숫자는 두 개뿐이므로 곱한 결과에서는 유효숫자가 두 개이어야 한다. 따라서 밭 의 넓이를 과학표기법으로 표시하면 × 이다. ◆ 물리에서는 물리량을 숫자로 나타낼 때 항상 단위와 함께 쓴다. 또한 물리량 사이 의 관계를 나타낸 자연법칙을 계산할 때도 단위와 함께 계산하여야 한다. 물리를 쉽 게 터득하는 방법 중의 하나가 단위를 잘 이해하는 것이다. 동일한 물리량에 대한 단 위가 딱 한 가지만 있는 것이 아니다. 예를 들어, 길이의 단위로는 도 있고 도 21 제1주 강의 있으며 미국이나 영국에서 주로 이용되는 도 있다. 이러한 단위들은 단위계로 분류 된다. 실생활에서 그리고 고등학교나 대학 교 과정에서 가장 널리 이용되는 단위계가 표 2.1 국제단위계의 기본단위 물리량 단위 이름 기호 길이 미터 질량 킬로그램 시간 초 국제단위계라고 알려진 단위계이다. 이 단 전류 암페어 위계를 실용단위계라고도 하고, 길이로는 온도 켈빈 미터, 질량으로는 킬로그램, 시간으로는 초 물질의 양 몰 를 단위로 사용하므로 MKS단위계라고도 밝기 칸델라 한다. 한편 길이로는 센티미터, 질량으로는 그램, 시간으로는 초를 사용하는 단위계를 cgs단위계라고 부른다. 국제단위계에서는 표 2.1에 열거한 일곱 가지 기본 물리량에 대한 단위를 기본단위로 채택한다. 기본 물리량을 제외한 다른 물리량을 유도 물리량이라 하는데, 유도 물리량의 단위는 기본 단위끼리의 조합으로 표현되며 유도단위라고 한다. 유도단위가 너무 복잡하게 표현 되면 간단한 하나의 기호로 따로 표현하기도 한다. 국제단위계에서는 유도단위를 부 르는 명칭으로 그 유도단위가 대표하는 물리량에 크게 기여한 사람의 이름을 사용하 는 경우가 많다. 예를 들어 힘의 단위가 국제단위로는 인데 이것을 간단히 (뉴턴)이라고 부른다. 다시 말하면 이다. 물리에 나오는 법칙을 계산하는데 어떤 단위계를 이용하느냐에 따라 그 법칙에 포 함된 비례상수의 값이 결정된다. 그러므로 물리 문제를 풀 때 물리량을 동일한 한 가 지 단위계로 나타내는 것이 매우 중요하다. 예를 들어 뉴턴의 운동방정식 를 보자. 이 법칙을 말로 풀어서 설명하면 가속도 로 움직이는 질량이 인 물체가 받 는 힘 는 물체의 질량과 가속도의 곱에 비례한다고 말할 수 있다. 그리고 이 식 는 이때 비례상수가 1임을 이야기해 준다. 그런데 이 비례상수는 힘과 질량 그리고 가속도의 단위를 모두 동일한 단위계에 속한 단위로 표현할 때만 1이다. 그러 니까 를 이용하여 질량이 인 물체가 가속도 으로 움직일 때 받는 힘을 계산한다고 하자. 그러면 힘은 × 이 나오는데 이때 힘의 크기가 1이라고 말하려면 힘의 단위로 질량과 가속도를 나타낸 단위와 동일한 단위 계에 속한 MKS단위인 을 이용하여야 한다. 만일 힘을 cgs단위인 으로 표시 한다면 뉴턴의 운동방정식은 가 아니라 가 된다. 다시 말하면 비 례상수가 1이 아니라 이어야 하는 것이다. 그렇지만 힘과 질량 그리고 가속도의 단위를 모두 cgs단위계에 속한 것으로 사용한다면 그 비례상수는 다시 1이 된다. 22 2. 물리량 및 단위 법칙의 비례상수가 단위계에 따라 바뀌는 경우도 있다. 예를 들어 두 점전하 과 사이에 작용하는 전기력에 대한 쿨롱 법칙을 보자. 두 전하가 거리 만큼 떨어져 있다면 두 전하에 작용하는 전기력 는 두 전하의 곱 에 비례하고 두 전하 사이 의 거리의 제곱인 에 반비례한다. 그래서 쿨롱 칙을 식으로 쓰면 (2.1) 이 되고 이 식에서 는 비례상수이다. 그런데 고등학교 교과서에는 이 쿨롱 법칙이 (2.2) 라고 나온 경우가 많다. 이것은 이 식에 나오는 힘과 전하 그리고 거리의 단위로 국 제단위계에 속한 단위를 사용할 때 옳은 표현이다. 그래서 이 식의 비례상수 값은 × (2.3) 이므로 만일 전하가 인 두 점전하 사이의 거리가 라면 (2.2)식 은 이들 두 점전하 사이에 작용하는 힘이 × 임을 알려준다. 그런데 쿨 롱 법칙에 나오는 힘과 전하 그리고 거리의 단위로 cgs단위계에 속한 단위를 사용한 다면 쿨롱 법칙인 (2.1)식은 (2.4) 로 된다. 다시 말하면 비례상수가 로 식의 형태가 매우 간단해 짐을 알 수 있다. 쿨롱 법칙으로 (2.4)식을 이용하려면 반드시 전하의 단위로는 그리고 거리 의 단위로는 를 이용하여야 한다. 그래서 만일 전하가 인 두 점전하 사이의 거리가 라면 (2.4)식에 의해 이들 두 점전하 사이에 작용하 는 힘이 임을 알 수 있다. 이렇듯이 물리 법칙을 표현한 식의 모양이 사 용된 단위계에 따라 달라질 수 있음을 명심하여야 한다. 그러나 이공계 대학교 수준 에서는 보통 국제단위계 하나만을 이용하므로 자신이 사용한 단위가 국제단위계에 23 제1주 강의 속한 것임을 확인해보기만 하면 식의 모양에 대해서는 크게 걱정을 하지 않아도 좋 다. 그런데 혹시 호기심이 많은 학생들을 위해서 물리학자들이 많이 이용하는 다른 단 위계에는 무엇이 있는지 알아보자. 상대성이론과 양자역학에 나오는 식 중에는 진공 중에서 빛의 속도를 나타내는 라는 상수와 플랑크 상수라고 알려진 를 로 나눈 라는 상수가 자주 나와서 식이 복잡해진다. 예를 들어, 아인슈타인의 유명 한 질량-에너지 공식은 이고 보어의 수소 원자모형에서 수소 원자의 보어 반지름은 으로 주어진다. 이 예들 뿐 아니라 와 가 복잡하게 포함된 공식들도 많이 있다. 그래서 물리학자들은 (2.5) 이 되는 단위계를 이용하기도 한다. 이 단위계를 자연단위계라 부른다. 자연단위계를 이용하면 아인슈타인의 질량-에너지 공식은 간단히 이 되고 보어 반지름은 간단히 이 된다. 물리량을 한 가지 단위계에 속한 단위로 표 현할 때 그 크기가 너무 크거나 너무 작아서 표 2.2 10의 멱수를 나타내는 명칭과 표시기호 물리량을 표시하는 숫자가 너무 크거나 너무 크기 명칭 기호 작을 수도 있다. 이때는 과학표기법에서 10의 엑사(exa) 멱수에 해당하는 부분에 특별한 명칭을 부여 페타(peta) 하여 단위에 함께 표시하면 아주 편리하다. 테라(tera) 표 2.2에 10의 각 멱수에 해당하는 명칭과 표 기가(giga) 시기호가 나와 있다. 우리가 잘 아는 것처럼 메가(mega) 길이의 단위인 와 는 표 2.2에 나온 것 킬로(kilo) 처럼 각각 의 배와 배를 나타내는 데시(deci) 센티(centi) 밀리(milli) 단위이고 우리가 라디오 방송국의 주파수를 이야기할 때 흔히 사용하는 는 메가헤르 츠라고 읽고 를 의미한다. 그리고 요 즈음 항간에 유행하는 나노기술이라는 용어 는 크기가 정도의 세계를 다루 는 기술을 의미한다. 그리고 표 2.2에서 알 나노(nano) 피코(pico) 펨토(femto) 아토(atto) 24 마이크로(micro) 2. 물리량 및 단위 수 있듯이 10의 멱수로 단위를 구분할 때 앞뒤 멱수가 터울로 되어 있음을 알 수 있다. 그래서 예를 들어 우리나라 MBC 방송국의 주파수인 × 를 말할 때는 라고 한다. 예제 2 고속도로에는 속도제한 표시가 걸려있는데 대부분의 국가에서는 속도제한 이 시속 또는 시속 등 국제단위계를 이용하여 표시되어 있지만 미국과 영국에서는 영미단위계를 이용하여 속도제한이 시속 또는 시속 등으로 표시되어 있다. 미국의 속도제한인 시속 은 국제단위계로 시속 몇 에 해당하는가? 또 이 속력을 로 나타내면 얼마인가? 은 에 해당한다. 그러므로 × ≈ 이 되어 시속 은 시속 에 해당함을 알 수 있다. 그러므로 미국 고속도로 의 속도제한은 우리나라의 속도제한에 비하여 훨씬 더 작다. 또 이 속력을 로 나 타내려면 단위를 식 중에 포함시켜서 × ≈ 와 같이 계산하면 된다. ◆ 물리량은 단위를 이용하여 나타낸다고 하였는데, 단위는 다시 차원으로 분석하면 편리하다. 물리량의 차원 또는 단위의 차원이라고 말할 때 차원은 1차원 공간, 2차원 공간, 3차원 공간 등으로 구분할 때 이용되는 공간의 차원과는 다른 의미이로 이용된 다. 예를 들어, 길이에 사용되는 단위로는 뿐 아니라 나 , , , 광년 등 아주 많다. 이때 이들 단위는 모두 길이의 차원을 나타낸다고 말한다. 물리량을 차원으로 분석할 때 이용되는 것은 표 2.1에 열거한 기본물리량들이다. 물체가 움직 인 거리나 속도, 가속도, 운동량, 에너지, 각운동량, 힘 등과 같이 물체의 운동과 관계 된 물리량의 단위는 모두 표 2.1의 처음 세 가지 물리량인 길이, 질량, 시간의 단위의 25 제1주 강의 곱으로 표시될 수가 있다. 그래서 역학에 나오는 물리량은 길이, 질량, 시간 등 세 차 원으로 분석될 수 있다고 말한다. 물리량을 차원으로 분석할 때는 각 차원을 간단히 문자로 표시하기도 하는데 꺾인 괄호 [ ]를 차원을 표시하는 기호로 이용하며, 보통 은 질량 차원을, 은 길이 차원을, 그리고 는 시간 차원을 나타낼 때 이용 된다. 그러면 예를 들어 속도 , 힘 (2.6) 과 같이 쓰는데 여기서 처음 식은 속도의 차원은 길이의 차원을 시간의 차원으로 나 눈 것과 같다는 의미이고 두 번째 식은 힘의 차원이 질량의 차원과 길이의 차원을 곱 한 결과를 시간 차원의 제곱으로 나눈 것과 같다는 의미이다. 물리량의 차원이 무엇인지 잘 알면 문제를 다 풀지 않고서도 그 과정이 잘 진행되 고 있는지 미리 알 수 있고 마지막 결과가 그럴듯한지 간단히 확인할 수도 있다. 차 을 이용하기 위해 꼭 알아야 할 것은 차원이 다른 물리량을 더하거나 뺄 수 없고 서로 다른 여러 항의 합으로 구성된 식이 있을 때 그 식에 나오는 항들의 차원은 반 드시 모두 다 같아야만 한다는 점이다. 예를 들어 와 를 더할 수는 있지만 와 은 절대로 더할 수가 없다. 다른 예로, 우리는 등가속도 직선운동에서 가 속도 로 움직이는 물체가 처음 위치와 속도가 와 일 때 출발하여 시간 뒤의 위치 를 구하는 식은 (2.7) 임을 잘 알고 있다. 바로 확인되는 것처럼, 이 식에서 각 항의 차원이 모두 같다. 그 래서 비록 차원만 가지고는 우변의 첫 항인 가속도 항의 계수가 1/2이고 그 다음 두 항의 계수는 1임을 알 수는 없다고 하더라도, 차원을 맞추기 위하여 우변 첫째 항은 에 비례하여야 하며 두 번째 항은 에 비례하여야만 한다는 것을 알 수 있다. 물리량의 차원에 대해 잘 이해하고 있다면 어떤 문제는 차원만 가지고도 해결될 수가 있다. 그런 예로 기타 줄을 튕기는 경우를 생각해보자. 기타 줄을 튕기면 정해 진 진동수의 음이 나온다. 만일 음의 높이가 맞지 않으면 기타 줄을 더 팽팽하게 잡 아당기거나 더 느슨하게 풀어주면 된다. 다시 말하면 기타 줄을 튕길 때 진동수는 기 26 2. 물리량 및 단위 타 줄의 장력에 의존하여 정해진다. 그러면 이제 장력을 원래보다 10% 더 증가시키 면 기타 줄에서 나오는 음의 진동수는 몇 %나 커질까라는 문제를 차원만 가지고 풀 어보자. 기타 줄의 진동수 와 기타 줄의 장력 사이에는 라는 관계가 있 다고 하자. 여기서 우변은 장력 의 함수라는 의미이다. 그런데 진동수의 차원은 이고 장력의 차원은 힘의 차원과 같으므로 이다. 그래서 장력에 무엇을 곱하여 차원이 진동수의 차원과 같도록 만들려면 장력을 질량과 길이로 나눈 다음에 제곱근을 취하여야 한다. 즉 (2.8) 이 된다. 여기서 는 비례상수인데 (2.7)식에서와 마찬가지로 차원만 가지고 비례상 수까지 알아낼 수는 없다. 그렇지만 이 문제에서는 (2.8)식의 비례상수 를 모르더 라도 해결될 수 있다. 장력이 에서 ′ 으로 바뀔 때 진동수도 에서 ′ 으로 바뀐 다고 하자. 장력이 10% 증가한다면 ′ 이므로, 두 진동수 사이의 비는 (2.8) 식으로부터 ′ ′ ≈ (2.9) 가 된다. 따라서 이 경우에 진동수는 5% 증가함을 알 수 있다. 이런 방법으로 문제를 해결하는 것을 차원해석이라고 부른다. 예제 3 그림 2.2에 보인 것과 같이 길이가 인 줄에 매달린 질 량이 인 추가 연직 평면 내에서만 진동할 때 이것을 단진자 라고 한다. 단진자가 진동하는 진폭이 너무 크지 않다면 단진 자의 주기 는 진폭에 관계없이 진자의 길이와 중력가속도 에만 의존한다는 것을 갈릴레이가 처음으로 알아내었다. 그래 서 이것을 갈릴레이가 발견한 진자의 등시성이라고 한다. 차 원해석을 이용하여 단진자의 주기를 구하라. 그림 2.2 단진자 단진자의 주기 와 길이 , 질량 , 그리고 중력가속도 사이에 인 관계가 성립한다고 하자. 사실은 단진자의 주기가 추의 질량에는 전혀 의존하지 않지 27 제1주 강의 만 혹시 알 수 없으므로 질량도 포함시켰다. 여기서 는 차원해석을 통해서 구 할 멱수이다. 이제 주기와 길이, 질량 그리고 중력가속도의 차원이 주기 길이 질량 중력가속도 임을 이용하여 를 바꾸어 쓰면 가 되고, 이 식의 좌변과 우변을 비교하면 등을 얻는다. 그리고 이 세 식을 풀면 우리가 구하는 는 , , 가 된다. 그러므로 단진자의 주기 는 이고 여기서 는 비례상수로 차원해석만으로는 비례상수까지 구할 수는 없다. ◆ 28 3. 좌표계 ∙ 물체의 운동을 수식에 의해 기술하기 위해서는 맨 먼저 그 물체의 운동을 기술 할 좌표계를 정해주어야 한다. 좌표계는 어떻게 정할까? ∙ 오른손 좌표계와 왼손 좌표계라는 말을 들어 보았는가? 그 두 가지는 어떻게 구 별될까? ∙ 공간은 1차원 공간, 2차원 공간, 3차원 공간 등으로 구분된다. 이들을 구분하는 조건은 무엇인가? 4차원 공간은 어떻게 정의되나? 오늘날 과학 특히 물리학은 자연현상이 돌아가는 이 치를 수식을 이용하여 기술한다. 자연현상 중에서 물리 에서 관심을 갖는 가장 중요한 문제가 물체의 운동이 다. 그런데 물체의 운동을 정량적으로 설명하려면, 다 시 말하면 숫자를 가지고 설명하려면, 좌표계를 정해주 어야 한다. 물체의 운동을 묘사하기 위하여 손가락으로 물체를 가리키며 물체가 여기서 저기로 빠르게 움직이 다가 천천히 움직인다는 식으로 설명하면 물체의 운동 에 수식으로 표현된 자연법칙인 운동법칙을 적용할 방 그림 3.1 지표면에 위도와 경도로 표시한 좌표계 도가 없다. 물체의 위치를 숫자로 표시하는 것을 사실 우리는 흔 히 경험한다. 예를 들어, 바다에서 배가 조난당했다면 그 배가 위치한 지점의 위도와 경도로 주어지는 두 숫자만 타전하면 그 배가 조난당한 위치가 어디인지 정확히 알 수 있다. 지구 표면에서 위도와 경도는 그림 3.1과 같이 미리 정해져 있기 때문에 그 런 일이 가능하다. 또는 비행기가 운항중이라면 그 비행기의 현재 위치를 보고하기 위해 위도, 경도 그리고 고도 등 세 개의 숫자만 말하면 된다. 이와 같이 물체가 운동 하는 모습을 묘사하는 가장 좋은 방법은 물체의 위치에 숫자를 대응시키는 것이다. 그렇게 하기 위해 우리는 좌표계를 이용한다. 이 장에서는 좌표계가 무엇인지 그리고 29 제1주 강의 좌표계를 어떻게 정하며 어떻게 이용하는지 등에 대해서 살펴보자. 기차를 타고 가며 보면 서울을 기점으로 몇 km인지를 알려주는 팻말이 간간이 박 혀있다. 그래서 어떤 기차가 서울에서 몇 km를 지나는지 만 말해주면 그 때 기차의 위치를 정확히 알 수 있다. 기차처럼 철로와 같은 선 위에서만 운동할 때 이 운동을 1차원운동이라고 하는데, 1차원운동에서는 운동하는 물체의 위치가 단지 한 개의 숫 자만 가지고 잘못될 걱정이 전혀 없이 딱 정해진다. 그래서 한 개의 좌표로 기술할 수 있는 물체의 운동을 1차원운동이라고 정의한다. 다시 말하면, 물체가 꼭 직선이 아니더라도 미리 정해진 선 위에서만 운동하도록 제한되어 있으면 1차원운동이라고 말할 수 있다. 그러면 이제 한 개의 좌표로 기술되는 1차원운동을 묘사하기 위한 좌표계를 어떻 게 정할지 알아보자 . 물체는 선을 따라 움직이는데 이 운동을 묘사하기 위해 바로 물체가 움직이는 선을 따라 좌표계를 정해주면 된다. 좌표계를 정한다는 것은 다음 두 가지를 결정한다는 것과 같은 의미이다. 첫째, 물체가 운동하는 선 위의 적당한 점을 기준점으로 정한다. 기준점이란 위치를 대표한 숫자가 0이라고 하기로 정한 점 으로 원점이라고도 한다. 다시 말하면, 1차원운동을 기술하기 위한 좌표계를 정하기 위해 가장 먼저 할 일은 물체가 움직이는 선 위의 적당한 위치를 원점으로 지정하는 것이다. 좌표계의 원점이 놓인 위치는 우리 마음대로 정할 수 있다. 마음대로 정할 수 있으면 될 수 있는 한 편리하게 정하는 것이 좋다. 어떻게 정하면 편리할지는 각 자 생각해보아야 할 것이다. 둘째, 좌표축을 그리고 이 축의 +방향을 정한다. 1차원 운동의 경우에는 물체가 움직이는 선이 바로 좌표축이다. 이 좌표축에서 물체가 움직 이는 방향은 두 가지만 가능하다. 그래서 원점을 중심으로 어떤 쪽을 +방향으로 할 것인가를 정한다. 두 방향 중 어느 방향을 +방향으로 정할지도 우리 마음대로 정할 수 있다. 물체의 운동을 묘사하는데 기준이 되는 위치인 원점은 그림 3.2에 보인 것처럼 숫 자 0으로 대표된다. 그리고 원점 주위의 다른 위치도 역시 숫자로 대표된다. 이처럼 물체의 위치를 대표하는 숫자를 좌표라고 한다. 그리고 원점에서 +방향 쪽으로 놓인 위치는 0보다 큰 실수인 좌표로 대표되며 원점 원점에서 -방향 쪽으로 놓인 위치는 0보다 작은 실수인 좌표로 대표한다. 그리고 좌표 -2 -1 0 +x +1 계의 원점은 물체가 움직이는 선 위의 아무 그림 3.2 1차원 좌표계 30 +2 3. 좌표계 위치나 정하여도 좋으며 그래서 될 수 있는 한 편리한 점을 고르는 것이 유리하다고 하였다. 원점의 위치로는 물체가 운동하는 부분의 가운데쯤에서 고르는 것이 편리하 리라고 예상할 수 있다. 만일 물체에서 너무 먼 점을 원점으로 고른다면 좌표로 대표 되는 숫자가 너무 커질 것이다. 좌표축의 +방향도 마음대로 정할 수 있고 그래서 편 리한 방향을 고르면 되는데 선이 세로로 놓여 있으면 보통 오른쪽 그리고 선이 가로 로 놓여 있으면 보통 위쪽을 +방향으로 정한다. 1차원 좌표계를 이용하여 물체의 운동을 기술하면 물체의 운동에 관해 무엇을 어 떻게 설명할 수 있는지 알아보자. 어떤 시간 t 1 일 때 좌표가 x 1 인 위치에 있던 물체 가 잠시 지난 시간 t 2 일 때 좌표가 x 2 인 위치로 옮겨갔다고 하자. 그러면 나중 좌표 에서 처음 좌표를 뺀 (3.1) Δx = x 2 - x 1 값은 이 물체의 운동에 대해 다음과 같은 정보를 알려준다. 나중에 또 설명하겠지만 (3.1)식으로 주어지는 를 시간간격 (3.2) Δt = t 2 - t 1 동안 물체가 이동한 변위라고 부른다. 변위의 절대값인 는 시간간격 가 흐른 동안 물체가 이동한 거리이다. 변위 Δx 의 부호, 즉 변위가 0보다 더 큰지 또는 더 작은지는 물체가 이동한 방향을 알려준다. 이것이 0보다 크면 물체는 +방향으로 그 리고 0보다 작으면 물체는 -방향으로 이동한 것이다. 변위 Δx 를 경과한 시간 Δt 로 나눈 값은 이 시간간격 Δt 동안에 물체의 속도와 같다. 그리고 변위의 절대값 즉 물체가 이동한 거리 를 경과한 시간간격 Δt 로 나눈 것은 물체의 속력과 같다. 이와 같이 물체가 움직이는 빠르기를 표현하는 속도 와 속력이 물리에서는 구별되어 이용된다. 속도는 움직이는 방향까지를 말해주며 속 력은 속도의 절대값 즉 빠르기만을 말해준다. 그래서 1차원 운동하는 물체의 속도는 0보다 클 수도 또는 0보다 작을 수도 있는데 속력은 항상 0보다 큰 숫자로 표현된다. 물체가 면 위에서만 국한되어 움직이는 운동, 또는 같은 의미이지만, 두 개의 좌표 로 기술되는 운동을 2차원운동이라고 한다. 물체가 꼭 평면 위에서 운동하여야 2차 원운동이 되는 것은 아니다. 또는 면 위에 국한되어 움직이는 것처럼 보이더라도 단 31 제1주 강의 +y +y (2,2) (3,2) 원점 +x 원점 +x 그림 3.3 2차원 좌표계 지 한 개의 좌표만으로 운동을 모두 기술할 수 있으면 2차원운동이라기보다는 1차원 운동이라고 하는 편이 더 옳다. 앞에서 1차원운동의 예로 기차의 운동을 들었다. 2차 원운동의 예로는 무엇이 있을까? 개미의 운동을 2차원운동이라고 할 수 있을까 아니 면 할 수 없을까? 면 위에서 움직이는 2차원운동을 하는 물체의 위치를 숫자로 대표하려면 1차원 운 동의 경우와 마찬가지로 좌표계를 정해 주어야 한다. 그런데 2차원운동의 경우에는 좌표계를 정하기가 조금 복잡하다. 1차원운동인 선 위의 운동에서는 1개의 좌표로 물체의 위치가 정해졌는데 2차원 운동인 면 위의 운동에서는 한 개의 좌표로는 물체 의 위치를 결정할 수가 없고 두 개의 좌표가 필요하기 때문이다. 2차원 좌표계는 다 음과 같이 정한다. 첫째, 물체가 운동하는 면 위에서 기준으로 삼기에 적당한 위치를 골라 기준점인 원점으로 삼는다. 1차원의 경우와 같이 면 위의 아무 위치나 골라도 되지만 아무렇게나 골라도 좋다면 편리한 위치를 정하는 것이 좋다. 둘째, 그림 3.3 에 보인 것처럼, 앞에서 정한 원점에서 교차하는 두 선을 그린다. 이 선들을 좌표축 이라고 부른다. 면 위에서는 두 개의 좌표축을 그릴 수 있다. 이들을 그림 3.3의 왼쪽 그림에 보인 것처럼 두 직선이 비스듬히 만나게 그려도 좋지만 오른쪽 그림에 보인 것처럼 서로 직교하는 두 직선을 그리면 훨씬 더 편리하다. 이렇게 좌표축이 직교하 도록 그린 좌표계를 직교좌표계라고 부른다. 1차원운동을 기술하는 선 위에서는 1개 의 좌표축만 그리면 되므로 물체가 운동하는 선이 바로 좌표축이 되었던 것을 기억 하자. 그런데 2차원운동에서는 두 개의 좌표축을 정해야 함으로 이들을 구별하도록 이름을 붙인다. 보통 좌우로 그린 좌표축을 x 축, 상하로 그린 좌표축을 y 축이라고 한다. 물론 이들 좌표축을 꼭 상하와 좌우로 그려야 하는 것은 아니다. 마음대로 그 릴 수 있는데, 그렇다면 될 수 있는 한 편리하게 그리는 것이 좋을 것이다. 셋째, 그 32 3. 좌표계 림 3.3에 보인 것과 같이 x 축과 y 축의 +방향을 정한다. 이 +방향도 마음대로 정할 수 있다. 그리고 1차원 운동에서와 마찬가지로 원점에서 +방향 쪽 좌표는 0보다 큰 실수로 대표하고 -방향 쪽 좌표는 0보다 작은 실수로 대표한다. 이와 같이 2차원 운동을 기술하기 위한 좌표계를 정하려면 원점의 위치와 두 좌표 축 그리고 각 좌표축의 +방향을 정하면 된다. 그래서 그림 3.3에 보인 것과 같이 물 체의 위치에서 각 축에 평행하게 그은 선이 만나는 점의 숫자로 대표되는 x 좌표와 y 좌표 두 숫자가 주어지면 면 위에서 두 숫자에 대응하는 위치는 딱 한 개만 존재한 다. 선 위에서 움직이는 1차원 운동을 기술하기 위한 좌표계에서는 한 개의 좌표로 물 체의 위치를 정하며, 면 위에서 움직이는 2차원 운동을 기술하기 위한 좌표계에서는 두 개의 좌표로 물체의 위치를 정하는 것을 보았다. 선 위나 면 위로 제한되지 않고 공간의 어느 곳에서나 자유롭게 움직이는 물체의 운동을 3차원운동이라고 하는데, 3 차원 운동을 기술하기 위해서는 세 의 좌표가 필요하다. 역으로 세 개의 좌표로 기 술되는 운동을 3차원운동이라고 정의하여도 좋다. 그러면 1차원과 2차원 때의 경우 를 어떻게 확장하면 3차원 운동을 기술하는데 필요한 좌표계를 정할 수 있을지 각자 잠시 생각하여보자. 물체가 공간에서 아무런 제한 없이 움직이는 3차원운동에 이용될 좌표계는 다음 과 같이 정한다. 첫째, 공간에서 기준으로 삼을 적당한 위치를 골라 원점으로 정한다. +z 원점이란 세 좌표 모두가 숫자 0으로 대표 되는 점이다. 둘째, 그림 3.4에 보인 것처 럼 원점에서 교차하는 서로 직교하는 세 직 (2,3,5) 선을 그려 좌표축을 정한다. 꼭 서로 직교 하는 세 직선을 그려야만 하는 것은 아니 다. 다만 그렇게 하면 가장 편리하다. 그리 고 한 점에서 교차하고 서로 직교하는 직선 을 면 위에서는 두 개보다 더 많이 그릴 수 +y 없고 공간에서는 세 개보다 더 많이 그릴 수는 없다는 점을 잘 인식하자. 이들 세 좌 표축을 차례로 x 축, y 축, 그리고 z 축 이 33 +x 그림 3.4 3차원 좌표계 제1주 강의 라고 부르자. 셋째, 각 축의 +방향을 정한다. 그림 3.4에는 내가 정한 각 축의 +방향 을 표시하였다. 이와 같이 원점의 위치를 정하고 세 개의 좌표축을 그리고 각 좌표축 의 +방향을 정하면 3차원 운동을 기술할 좌표계를 결정한 셈이다. 이제 세 개의 좌 표 값으로 공간의 한 위치를 명확하게 정할 수 있게 되었다. 그림 3.4에 보인 점은 세 좌표 값이 ( x = 2, y = 3, z = 5) 인 위치이다. 1차원 운동에서 시작하여 2차원, 3차원 운동에 적용될 좌표계를 차례로 정해보니 까 참 재미있지 않은가? 차원이 하나씩 커질수록 좌표축을 하나씩 더 보태기만 하면 된다. 좌표축을 정하는 방법이 어떤 차원의 운동에서나 모두 제일 먼저 원점의 위치 를 정하고 좌표축을 그리고 각 좌표축의 +방향을 정하면 된다. 이런 것이 재미있게 생각되는 사람은 물리가 적성에 맞는 사람이다. 이런 것에 재미를 다 느끼다니 라고 생각하는 사람은 실력이 좀 높은 사람이다. 하지만 이렇게 간단한 이치들을 진지하게 받아들이고 언뜻 알아차리기 어려운 곳까지 일반화시킨 사람들이 있어서 물리가 놀 랄 만큼 풍성하게 되고 그렇게 빠르게 발달하게 되었다는 점을 명심하자. 그런데 3차원의 경우에 좌표축의 +방향을 정하기는 1 차원과 2차원의 경우와 좀 다르다. 1차원과 2차원의 경우 에는 어떤 쪽을 +방향으로 정하든 달라지는 것이 전혀 없 다. 그래서 좌표축의 +방향을 마음대로 정해도 좋았다. 예 를 들어 그림 3.5에 그려놓은 1차원 좌표계를 보자. 그림 에서 지수가 보기에는 오른쪽 방향을 +방향으로 정하였지 만 그 반대편에 있는 영수가 보기에는 왼쪽 방향을 +방향 으로 정하였다. 똑같은 방향이 누가 보느냐에 따라 오른쪽 그림 3.5 1차원 좌표계의 좌표축 방향 정하기. 도 되고 왼쪽도 된다. 따라서 1차원 좌표계의 +방향은 오른쪽으로 정한다거나 왼쪽 으로 정한다고 하는 말이 아무런 의미도 없다. 3차원 운동을 기술하는 3차원 좌표계의 경우에도 처음 두 좌표축의 +방향은 마음 대로 정해도 좋다. 그러나 처음에 정한 두 좌표축의 +방향에 대하여 세 번째 좌표축 의 +방향을 정할 때는 마음대로 할 수가 없다. 이 세 번째 좌표축의 방향을 정하는 방법에는 두 가지가 존재할 텐데, 그 두 가지 방법은 서로 구별된다. 그래서 두 가지 방법 중에서 어느 하나를 마음대로 골라서 사용해서는 안 되는 것이다. 그림 3.6에 보인 것과 같이 x 좌표축과 y 좌표축의 +방향을 먼저 정하였다고 하자. 그러면 축 방향을 정하는 방법에는 두 가지가 존재하는데, 그림 3.6의 위쪽 좌표 34 3. 좌표계 계는 + x 축 방향으로부터 + y 축 방향으로 오른나사 를 돌릴 때 나사가 진행하는 방향으로 + z 축 방향을 정한 것이고, 아래쪽 좌표계는 그 반대방향으로 정한 것이다. 위쪽 그림처럼 정한 3차원 좌표계를 오른손 좌 표계라 부르고 아래쪽 그림처럼 정한 3차원 좌표계를 왼손 좌표계라고 부른다. 왼손 좌표계는 + x 축 방향으 로부터 + y 축 방향으로 왼나사를 돌릴 때 나사가 진 행하는 방향으로 + z 축 방향을 정한 것이다. 왼나사란 보통 나사처럼 돌리면 박히지 않고 빠지도록 홈이 파진 나사를 말한다. 오른손 좌표계에서는 방향에서 방향으로 오 른나사를 돌릴 때 오른나사가 방향으로 진행할 뿐 아니라 방향에서 방향으로 오른나사를 돌릴 때 에도 오른나사는 방향으로 진행하고, 방향에서 그림 3.6 오른손 좌표계와 왼손 좌표계 방향으로 오른나사를 돌릴 때에도 오른나사는 방향으로 진행한다. 또한 왼손 좌표계에서는 방향에서 방향으로 왼나사를 돌릴 때 왼나사가 방향으로 진행할 뿐 아니라 방향에서 방향으로 왼나사를 돌릴 때에도 왼나사는 방 향으로 진행하고, 방향에서 방향으로 왼나사를 돌릴 때에도 왼나사는 방 향으로 진행한다. 오른손 좌표계는 어떤 방향에서 어떻게 바라보더라도 결코 왼손 좌표계처럼 보이 지 않는다. 그런데 그림 3.6에 그려진 오른손 좌표계 아래에 거울을 놓고 거울에 비 춰진 좌표계를 보면 왼손 좌표계로 보인다. 그래서 오른손 좌표계와 왼손 좌표계는 서로 거울에 비친 영상의 관계를 갖는다. 3차원운동을 기술할 좌표계는 이렇게 두 가 지로 그릴 수 있다. 그러면 오른손 좌표계와 왼손 좌표계 중 어느 것을 사용할까? 아 무 것이나 편리한데로 골라서 사용할 수 있을까? 또는 어느 것을 사용하거나 별 상관 이 없을까? 편리한데로 골라서 사용할 수도 없고, 어느 것을 사용하거나 상관이 없는 것도 아니다. 우리가 속해있는 우주의 자연현상을 기술하는 데는 꼭 오른손 좌표계를 사용하여야 한다. 왼손 좌표계를 사용하면 물리 법칙이 제대로 표현되지 않는다. 그 래서 3차원 좌표계를 그릴 때는 오른손 좌표계가 되도록 좌표축의 +방향을 정하는 것이 매우 중요하다. 35 제1주 강의 예제 1 아래 그림들은 3차원 좌표계의 좌표축을 여러 가지 방법으로 정한 것이다. 이 좌표계들을 오른손 좌표계와 왼손 좌표계로 구분하라 a c b d e g f h 오른손 좌표계와 왼손 좌표계를 구별하는 방법은 간단하다. 오른나사를 방향 에서 방향으로 나사를 돌릴 때 나사의 진행방향이 방향과 같으면 오른손 좌 표계이고 방향과 같으면 왼손 좌표계이다. 그래서 위의 좌표계들 중에서 a, d, f, g는 오른손 좌표계이고 나머지는 왼손 좌표계이다. 여러분들도 직접 확인해 보기 바 란다. ◆ 지금까지 공부한 1차원운동, 2차원운동, 그리고 3차원운동을 기술할 좌표계를 정 한 것을 정리하면 흥미로운 결과를 얻는다. 선 위에서 움직이는 1차원운동은 한 개의 좌표축에서 한 개의 좌표로 묘사된다. 면 위에서 움직이는 2차원운동은 두 개의 좌표 축에서 두 개의 좌표로 묘사된다. 공간에서 움직이는 3차원운동은 세 개 좌표축에 서 세 개의 좌표로 묘사된다. 위의 내용으로 미루어 차원을 나타내는 수와 운동을 묘사하는 좌표의 수가 서로 일치함을 알 수 있다. 그래서 0차원 운동이라든지 4차원 운동도 똑같은 방법으로 묘 사할 수 있지 않을 것인가 생각해보는 것도 재미있을 것 같다. 0차원 운동은 0개의 좌표로 운동을 묘사하고 4차원 운동은 네 개의 좌표로 운동을 기술한다고 말하면 맞 을까? 맞는다. 수학적으로는 일반적인 n 차원운동이란 n 개의 좌표로 기술되는 운동 36 3. 좌표계 표 3.1 공간과 좌표계 차원 공간 좌표축 좌표 0 점 좌표축을 그릴 필요가 없다. 좌표를 사용할 필요 없다. 1 선 주어진 선이 한 개의 좌표축이다. 한 개의 좌표를 사용한다. 2 면 두 개의 좌표축을 그릴 수 있다. 두 개의 좌표를 사용한다. 3 공간 세 개의 좌표축을 그릴 수 있다. 세 개의 좌표를 사용한다. 4 시공간? 좌표축 네 개를 어떻게 그릴까? 네 개의 좌표를 사용한다. 이라고 정의될 수 있으며 n 개의 좌표로 위치가 결정되는 공간을 n 차원 공간이라고 말할 수 있다. 이제 그렇게 요약한 것을 0차원 운동에서 4차원 운동까지 확장하여 정리한 표 3.1 을 보자. 이 표에서 0차원 운동을 기술하는 공간이 점이라고 한 것은 그럴듯해 보인 다. 그런데 4차원 운동을 기술하는 공간은 무엇일까? 4차원은 시공간을 뜻한다는 말 을 많이 들었다. 그것은 무엇을 의미할까? 그리고 선 위에서 위치를 정하는 데는 한 개의 좌표축을, 면 위에서는 두 개의 좌표축을, 공간에서는 세 개의 좌표축을 그릴 수 있었는데, 좌표축 네 개를 어떻게 그릴까? 이제 이미 알고 있는 사실을 일반화하 여 확장시키는 방법으로, 직접 관찰하기 어려운 내용에 대해 논리적인 판단을 내리는 방법을 연습해보자. 그림 3.7에 보인 것처럼 0차 원 공간인 점을 끌고 가보자. 점이 끌려가며 그리는 흔적은 그림 3.7 차원을 높여 가보자. 선이 되는데, 선은 1차원 공간 이다. 이번에도 역시 그림 3.7 의 가운데 보인 것처럼 1차원 공간인 선을 끌고 가보자. 선이 끌려가며 그리는 흔적 은 면이 되는데, 면은 2차원 공간이다. 마지막으로 그림 3.7의 가장 오른쪽에 보인 37 제1주 강의 것처럼, 2차원 공간인 면을 끌고 가보자. 면이 끌려가며 그리는 흔적은 3차원 공간이 된다. 이제 우리는 일반화에 의해 4차원 공간에 대한 정의를 내릴 수가 있을지도 모 르겠다고 예상된다. 아하, 어떤 차원을 끌고 가면 끌려가면서 그리는 흔적이 하나 더 높은 차원이 된다고 할 수 있을 것 같다. 이제 4차원이 무엇인지 보기 위하여 3차원 인 공간을 끌고 가보기만 하면 될 것 같다. 그렇지만 원하는 데로 되지 않는다. 공간 의 경우에는 끌려가며 그리는 흔적도 역시 공간이다. 무엇 때문에 마지막에만 잘 안 되는 것일까? 이번에는 그림 3.8에 보인 것처럼 1 차원 공간인 선을 끌고 가되 선과 수직 그림 3.8 선과 면을 평행한 방향으로 끌고 간다. 인 방향이 아니라 선에 평행한 방향으 로 끌고 가보자. 그 흔적은 면이 아니 라 역시 선이다. 그리고 2차원 공간인 면을 면에 수직인 방향이 아니라 면에 평행인 방향으로 끌고 가보자 그 흔적도 역시 3차원 공간이 아니라 그저 면일 뿐이다. 이제 확실히 알 수 있을 것 같다. 끌려 간 흔적이 한 차원 더 높은 공간으로 만들기 위해서 는 무조건 끌고 가면 되는 것이 아니고 끌고 가는 방향이 중요하다. 상위에 놓인 종 이를 상위에서 이리저리 옆으로 옮겨놓아도 그 흔적은 면일 뿐이다. 종이를 상에서 위로 올려야 그 흔적이 공간이 된. 이제 공간을 아무리 끌고 다녀도 그 흔적이 공 간밖에는 안 되는 이유를 알겠다. 공간에 수직인 방향으로 공간을 끌고 가지 않으면 3차원보다 더 높은 차원을 만들 수가 없다. 그런데 문제는, 공간에 수직인 방향으로 공간을 끌고 갈 방향을 알 수 없다는 것이다. 그렇다고 여기서 포기할 수는 없다. 이 제 다른 방법을 시도해 보자. 그림 3.9에 보인 것처럼 3차원 공간인 공간을 둘로 나 누는 경계가 무엇인지 보자. 그것은 2차원 공간인 면이다. 그러면 2차원 공간인 면을 그림 3.9 차원을 알기 위한 다른 방법 둘로 나누는 경계는 무엇인가? 그림 3.9의 중간에 보인 것처럼, 1차원 공간인 선이다. 마지막으로 1차원 공간인 선을 둘로 나누 는 경계는 무엇인가? 그림 3.9의 오른쪽에 보였듯이, 그것은 바로 0차원 공간인 점 이다. 그래서 어떤 차원을 둘로 나누는 경계는 그보다 하나 더 낮은 차원이 된다고 말해도 좋을 것 같다. 그렇다면 3차원인 공간이 둘로 나누게 만든 어떤 존재가 바로 4차원 공간이라고 말할 수 있지 않을까? 38 3. 좌표계 그런데 3차원 공간이 둘로 나누는 경계가 되는 것이 무엇일까? 지금의 공간은 조 금 전 공간과 조금 후 공간의 경계가 된다고 보면 어떨까? 아주 그럴듯한 생각 같다. 그래서 4차원 운동을 기술하기 위해 그릴 네 번째 좌표축은 시간을 따라 그리면 될 것 같다. 이 좌표축을 시간 좌표축이라고 부르면 그럴듯할 것 같다. 그래서 세 개의 공간 좌표축과 한 개의 시간 좌표축으로 이루어진 세계를 4차원 공간이라고 부르면 좋을 것 같다. 아인슈타인의 특수 상대성이론에서는 공간축과 시간축이 본질적으로 동일하다고 생각한다. 그리고 3차원 공간을 그냥 공간이라고 부르는데 대하여 시간 과 공간으로 이루어진 4차원 공간을 세계라고 부른다. 39 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

Ask a homework question - tutors are online