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Unformatted text preview: 제2주 강의 미국 오레곤주에 위치한 은 폭포 주립공원의 폭포 지난주에 우리는 물리학이란 무엇을 공부하는 분야인지, 그리고 인간은 어떻게 자 연의 진리를 깨우치기 시작하게 되었는지에 대한 이야기로부터 물리학 강의를 시작 하였습니다. 자연법칙에 대한 인간의 관심은 고대 그리스 시대로부터 시작되었습니 다. 그때 학자들이 자연현상을 면밀하게 관찰한 뒤 자연은 천상세계와 지상세계로 구 분되며 그 두 세계에서의 자연법칙은 어떤 것인지 알아냈다고 생각하였습니다. 그리 고 그러한 생각은 2,000년을 넘게 의심받지 않고 계속되었습니다. 중세가 끝나갈 무렵 비로소 코페르니쿠스가 지동설이라는 획기적인 생각을 제안하 였습니다. 그러나 그의 제안이 사실은 당시 믿고 있던 천상세계의 법칙을 행성들이 지키지 않는 것처럼 보였기 때문에 행성들도 역시 완전한 원운동을 하도록 하기 위 하여 나온 것임을 잊지 말아야 합니다. 코페르니쿠스의 지동설이 옳은지 아닌지를 밝 히기 위해서는 실제 실험 자료가 중요하다는 것을 깨달은 브라헤가 근 30년에 걸친 행성의 관찰이 이루어졌습니다. 비록 브라헤는 코페르니쿠스의 지동설이 옳지 않음 을 입증하겠다는 의도로 그러한 관찰을 시작하였지만 그의 관찰 자료가 얼마나 중요 한지는 아무리 강조하여도 지나치지 않습니다. 브라헤의 관찰 자료가 있었기에 케플 러의 발견이 가능했으며 그 관찰 자료가 있었기에 행성들이 태양 주위를 타원궤도를 따라 회전한다는 주장을 사람들이 믿을 수 있었던 것입니다. 케플러의 발견은 사람들이 당시까지 확고한 진리라고 믿었던 자연법칙들이 사실은 옳지 않다는 명백한 증거가 되었습니다. 그리고 사람들은 그렇다면 올바른 진리는 무 41 제2주 강의 엇인지 너무 알고 싶었습니다. 이때 뉴턴이 등장하여 그의 만유인력 법칙과 운동법칙 을 소개하였습니다. 우리는 지난주 강의에서 이렇게 인간이 자연의 올바른 법칙을 알 게 되기까지의 과정을 공부하였습니다. 뉴턴에 의해 시작된 물리학은 두 가지 특징을 가지고 있습니다. 한 가지는 단 하나 의 자연법칙이 천상세계와 지상세계 모두에서 성립한다는 것입니다. 천상세계와 지 상세계에 서로 다른 자연법칙이 적용된다고 믿었던 사람들에게 이것은 정말 놀랍고 도 멋있는 일이었습니다. 다른 한 가지는 자연법칙이 수식으로 표현된다는 사실입니 다. 수식으로 표현된 자연법칙은 놀라운 결과를 가져왔습니다. 무엇보다도 자연법칙 에서 예언하는 것과 실제로 일어난 자연현상을 비교해볼 수 있다는 것입니다. 그리고 그렇게 해본 결과 뉴턴에 의해 시작된 물리학은 놀랄 만큼 정확하게 자연현상을 설 명한다는 사실을 확인할 수 있었습니다. 그뿐 아니라 수식으로 표현된 자연법칙은 누 구나 이해할 수 있었고 누가 이해하든지 모두 다 똑같은 방법으로 이해되었습니다. 물리학의 바로 이러한 성질들 때문에 과학이 2∼300년이라는 짧은 기간 동안에 그 렇게도 빨리 발전될 수가 있었던 것입니다. 지난주에 우리는 또한 자연법칙을 수식으로 표현하는 것은 물리량에 의해 가능해 진다는 것을 알았습니다. 자연현상을 수(數)에 의해 대표하는 것이 물리량이고 자연 법칙은 물리량들 사이의 관계식으로 표현되기 때문입니다. 그리고 그러한 물리량은 단위와 함께 표시된다는 것도 배웠습니다. 그뿐 아니라 단위만 잘 이해하더라도 웬만 한 문제는 차원해석에 의해서 어느 정도 해결된다는 것도 알았습니다. 마지막으로 지난주에 우리는 자연현상을 물리량으로 대표하기 위해서는, 특별히 물체의 운동을 대표하기 위해서는, 좌표계를 정해주어야 한다는 것을 알았습니다. 좌 표계를 정한다는 것은 원점의 위치를 정하고 좌표축과 좌표축의 +방향을 정한다는 것을 말하는데, 좌표계는 사용하는 사람 마음대로 정하는 것이라는 사실도 알았습니 다. 그렇지만 3차원 좌표계는 오른손 좌표계와 왼손 좌표계 두 가지로 정할 수 있지 만 꼭 오른손 좌표계로 정해야 한다는 사실도 알았습니다. 이번 주에는 물리량에 적용되는 성질인 벡터와 스칼라에 대해 공부합니다. 어떤 물리량이거나 스칼라이거나 또는 벡터이거나 두 가지 중에 하나에 해당합니다. 여러 분은 고등학교에서 크기만 가진 양을 스칼라양이라 하고 크기와 방향을 가진 양을 벡터양이라 한다고 배운 것을 기억할지 모릅니다. 그래서 벡터란 방향과 연관된 것이 라고 생각하고 그 뒤에는 벡터와 스칼라에 대해 더 이상 관심을 안 가졌을지도 모릅 42 제2주 강의 니다. 그런데 왠지 모르지만 여러분은 대학물리나 역학 또는 전자기학 등 물리에 관 계된 과목을 공부할 때마다 첫 번째 장은 꼭 벡터와 스칼라에 관한 내용을 다루고 있 다는 점을 눈치 채고 있을지도 모릅니다. 그렇습니다. 책마다 벡터와 스칼라를 제일 먼저 다루는 것은 벡터와 스칼라가 매우 중요하기 때문입니다. 단지 방향을 가지고 있느냐 가지고 있지 않느냐가 물리량을 벡터와 스칼라로 나누는 중요한 이유는 아닐 것이라는 이야기입니다. 물리에서 자연법칙은 물리량들 사이의 관계식으로 표현됩니다. 그런데 물리량들을 가지고 수학적인 연산을 하는데 물리량을 두 가지로 나눌 수 있습니다. 그 중 하나가 스칼라양이고 다른 하나가 벡터양입니다. 예를 들어, 두 물리량을 더하는데 스칼라양 을 더하는 방법과 벡터양을 더하는 방법이 다릅니다. 그리고 스칼라양과 벡터양은 서 로 더할 수도 없습니다. 또한 스칼라양에 속한 물리량은 어떤 것이건 모두 똑같은 방 법으로 더하고 벡터양에 속한 물리량은 어떤 것이건 역시 모두 똑같은 방법으로 더 합니다. 그래서 물리량으로 자연법칙을 만들자면 제일 먼저 그 물리량이 스칼라양인 지 벡터양인지를 알아야 합니다. 바로 그것이 우리가 물리에 속한 과목을 배울 때는 벡터와 스칼라를 제일 먼저 다루는 이유입니다. 이번 주 강의의 첫 번째 장인 4장에서는 벡터와 스칼라가 어떻게 구분되는지를 설 명합니다. 그리고 두 번째 장인 5장에서는 벡터와 스칼라의 연산에 대해 자세히 배웁 니다. 또한 마지막 장인 6장에서는 벡터 미분 연산자에 대해 배웁니다. 스칼라 물리 량의 도함수를 취하면 벡터양이 되도록 만드는 연산자를 벡터 미분 연산자라고 합니 다. 물리에서는 미분과 적분이 중요한 역할을 합니다. 이때 벡터 미분 연산자를 제대 로 이해하는 것도 매우 중요합니다. 43 4. 벡터와 스칼라 ∙ 고등학교에서는 크기만 갖는 양은 스칼라이고 크기와 방향을 갖는 양은 벡터라 고 배웠다. 스칼라와 벡터가 단순히 방향이 있느냐 또는 없느냐를 구별하기 위해 도입된 것은 아니다. 물리를 배울 때는 꼭 제일먼저 스칼라와 벡터를 공부하는 이유는 무엇일까? ∙ 스칼라의 연산과 벡터의 연산이 동일하지 않다. 그래서 물리량을 다룰 때는 그 물리량이 벡터인지 아니면 스칼라인지 먼저 아는 것이 중요하다. 스칼라의 덧셈 과 벡터의 덧셈 사이에는 어떤 차이가 있는가? ∙ 스칼라끼리의 곱셈에는 한 가지 밖에 없지만 벡터끼리의 곱셈은 결과 스칼라 인지 또는 벡터인지 아니면 텐서인지에 따라 세 가지로 구분된다. 벡터의 곱셈은 어떻게 정의될까? 자연법칙은 자연현상을 대표하는 물리량들 사이의 수식으로 주어진다. 그런데 물 리량에는 두 가지 종류가 존재하고 이 두 가지 물리량은 서로 계산하는 방법이, 즉 더하는 방법이나 곱하는 방법이 다르다. 이것을 수학에서는 연산방법이 다르다고 말 한다. 이 두 가지 물리량 중 하나가 스칼라양이고 다른 하나가 벡터양이다. 그리고 어떤 물리량이 스칼라양인지 또는 벡터양인지 알지 못하면 어떤 연산방법을 적용하 여야 할지 알 수가 없다. 고등학교나 대학교 물리 교과서 맨 앞부분에서는 언제나 스 칼라와 벡터에 대해 공부하는 이유가 바로 이 때문이다. 고등학교에서 스칼라는 크기만 갖고 벡터는 크기와 방향을 갖는 양이라고 배운다. 그래서 얼핏 생각하기에 물리량이 방향을 가지고 있는지 아닌지 구별하기 위해서 벡 터를 도입한다고 이해하기가 쉽다. 그것이 아주 틀린 이야기는 아니지만 방향을 갖는 지 갖지 않는지를 알기 위해서, 또는 방향을 갖느냐 아니냐가 중요하기 때문에 물리 량을 스칼라와 벡터로 나누는 것은 아니다. 한 번 더 강조하지만, 스칼라양과 벡터양 은 연산하는 방법이 다르기 때문에 물리량을 스칼라양과 벡터양으로 구분하지 않으 면 안 된다. 44 4. 벡터와 스칼라 물리량은 자연현상의 특정한 성질을 수(數)로 대표한다. 그런데 물리량이 꼭 단 한 개의 수만으로 대표되는 것은 아니다. 물리량에 따라 한 개의 수로 대표되기도 하 고 한 개보다 더 많은 수에 의해 대표되기도 한다. 그래서 물리량을 대표하는 수가 몇 개인지에 따라 물리량을 분류할 수 있다. 우리 주위의 공간은 3차원 공간임을 배 웠다. 3차원 공간의 자연현상을 기술할 때 3 0 = 1 개의 수로 대표되는 물리량을 스칼 라라고 부르고 3 1 = 3 개의 수로 대표되는 물리량을 벡터라고 부르면 단순히 크기를 갖는 양을 스칼라, 크기와 방향을 갖는 양을 벡터라고 구분하는 것보다 훨씬 더 고상 하게 구분하는 셈이 된다. 그런데 벡터가 항상 3개의 수로만 대표되는 것이 아니다. 2차원 공간의 자연현상 을 기술할 때 스칼라인 물리량은 2 0 = 1 개의 수로 대표되고 벡터인 물리량은 2 1 = 2 개의 수로 대표된다. 지금까지 설명한 내용을 좀 더 일반적으로 만들면 다음 과 같이 말할 수 있다. n 차원 공간에 속한 자연현상을 설명할 때 n 0 = 1 개의 수로 대표되는 물리량이 n 차원 공간의 스칼라이고, n 1 = n 개의 수로 대표되는 물리량이 n 차원 공간의 벡터이다. 그래서 선 위에서만 움직이는 1차원 운동에서 스칼라와 벡 터는 모두 1 개의 수로 대표되며, 시공간과 같은 4차원 공간에서 묘사되는 4차원 스 칼라인 물리량은 1개 그리고 4차원 벡터인 물리량은 4개의 수로 대표된다. 그러면 이제 1개 또는 3개의 수로 대표되는 물리량이라는 말이 무슨 뜻인지 알아 보자. 또 그 말이 고등학교에서 배운 스칼라는 크기만 갖고 벡터는 크기와 방향을 갖 는 물리량이라고 배운 것과 어떤 관계가 있는지 알아보자. 예를 들어, 뜨거운 커피 두 잔이 있다고 하자. 한 잔의 커피의 온도는 이고 다 른 잔의 커피의 온도도 라면 우리는 두 잔 모두에 들어있는 커피의 뜨거운 정도 가 같음을 알 수 있다. 그래서 온도라는 물리량은 온도의 크기 즉 한 개의 수만으로 결정되고 그 한 개의 수로 온도가 같은지 아닌지를 비교할 수 있다. 그래서 하나의 수만으로 대표되는 온도는 스칼라양이다. 그런데 이번는 동네에서 불량배를 만나 오른손으로 의 뻔치를 불량배의 턱에 날리고 왼손으로 다시 의 뻔치를 또 불량배의 턱에 날렸다고 하자. 그러면 내 오른손과 왼손이 불량배의 턱에 가한 힘은 동일한 힘일까? 단순히 가한 힘의 크기만 같다고 같은 힘이라고 말할 수가 없다. 오 른손 펀치를 날리고 난 뒤에는 불량배의 왼쪽 어금니가 두 개 부러졌고 왼손 펀치를 날리고 난 뒤에는 불량배의 오른쪽 어금니가 두 개 부러졌다면 두 힘을 작용한 결과 가 같지 않으므로 두 힘이 같은 힘이라고 할 수 없다. 그래서 두 힘이 같은지 아닌지 45 제2주 강의 를 알기 위해서는 힘의 크기만으로는 충분하지 않으며, 힘이란 크기와 방향을 알아야 결정되는 벡터양이다. 앞에서 우리는 벡터를 두 가지로 정의하였다. 하나는 벡터는 크기와 방향을 갖는 양이라고 하였고 다른 하나는 벡터는 세 개의 수로 대표되는 양이라 하였다. 그래서 이 두 가지 정의가 동일한 의미를 가지려면 크기는 한 개의 수라고 할 수 있으므로 방향을 수로 나타내는 방법이 있어야 할 것 같다. 만일 방향을 두 개의 수로 나타낼 수 있다면, 크기와 방향으로 대표한다는 것은 크기를 대표하는 수 하나와 방향을 대 표하는 수 두 개 등 모두 세 개의 수로 대표하는 것과 마찬가지라고 생각되기 때문이 다. 우리는 벡터를 표시할 때 흔히 화살표를 이용한다. 화살표의 화살 방향이 벡터의 방향과 같게 하고 화살표의 길이는 벡터의 크기에 비례하게 그리면 벡터의 크기와 방향을 모두 표시하여 주는 셈이기 때문이다. 2차원의 경우에 그림 4.1에 보인 것과 같이 힘을 화살 표로 표시하자. 좌표계의 원점으로부터 화살표가 시작하 도록 그린다. 그러면 화살표의 길이 와 축에서 화살 표까지의 각 로 주어지는 두 수를 가지고 이 화살표를 대표할 수 있다. 이 말은 와 만 알려주면 누구나 이 화 살표를 그릴수가 있다는 의미이다. 그리고 2차원에서는 벡터의 방향이 한 개의 수로 주어짐을 알 수 있다. 그림 4.1 2차원 벡터를 표시하는 방법 이번에는 벡터를 대표하는 다른 방법을 알아보자. 그림 4.1에서 화살표의 끝으로부터 축에 그린 수선이 축과 만나는 점까지의 크기를 이 벡터의 축 방향 성분이라고 부르고 보통 라고 쓰며 똑같은 방법으로 축에 그린 수선이 축과 만다는 점까지의 크기를 축 방향의 성분이라고 부르고 라고 쓴다. 2차원에서는 이 두 성분을 알면 화살표의 끝점을 찍을 수 있다. 그래서 원점에서 시 작하여 화살표의 끝까지 벡터를 그릴 수 있다. 이와 같이 앞에서 벡터의 크기 와 방 향을 가리키는 각 등 두 수뿐 아니라, 벡터의 두 축의 성분으로 주어지는 와 라는 두 수를 가지고도 벡터를 대표할 수 있다. 첫 번째 경우처럼 벡터를 대표하면 극좌표계를 이용한다고 말하고, 두 번째 경우처럼 벡터를 대표하면 직교좌표계를 이 용한다고 말한다. 이 두 가지 방법 중에서 어느 것이나 한 가지를 마음대로 사용해도 좋다. 즉 주어진 문제에 가장 알맞은 방법을 택하면 된다는 뜻이다. 그리고 한 가지 방법에 의해 대표되는 수를 알면 다음 관계식 46 4. 벡터와 스칼라 극 → 직교 : , (4.1) 직교 → 극 : , 에 의해서 다른 방법에 의해 대표되는 수를 구할 수도 있다. 이와 같이 크기와 방향을 갖는 물리량이 벡터라는 의는 2차원의 경우에 두 수에 의해 대표되는 물리량이라는 정의와 같은 의미를 갖는다. 이 두 수는 물리량의 크기 를 나타내는 수와 방향을 나타내는 수로 취할 수도 있고 또는 그 물리량을 직교 좌표 계로 표현했을 때 각 좌표축의 성분을 나타내는 두 수로 취할 수도 있다. 이제 3차원의 경우를 보자. 3차원에서 벡터 는 세 개의 수로 대표되는 양이라고 하였다. 벡 터란 크기와 방향을 갖는 양이라고 말하는 것과 세 개의 수로 대표되는 물리량이라고 말하는 것 이 서로 어떻게 연관될까? 그림 4.2에 3차원 공 간에 속한 벡터를 원점에서 시작하는 화살표로 그려놓았다. 3차원 공간에서 벡터의 방향을 정 F 해주려면 그림 4.2에 표시한 것과 같이 두 각 와 가 필요하다. 여기서 는 벡터가 축과 이루는 각이고 는 벡터를 평면에 투영한 선 이 축과 이루는 각이다. 그래서 벡터의 크기 와 방향을 정해주는 두 각 와 등 세 수가 벡터를 대표한다. 이와 같이 벡터의 크기와 두 그림 4.2 3차원 벡터 표시법 각으로 주어지는 세 수를 가지고 벡터를 대표하 면 구면좌표계를 이용한다고 말한다. 물론 2차원에서와 마찬가지로, 직교좌표계를 이용하여 벡터를 대표할 수도 있다. 이때에는 2차원의 축 방향의 성분 와 축 방향의 성분 에 축 방향의 성분 만 추가하여 3개의 수로 대표된다. 이 세 성분 은 그림 4.2에 표시되어 있다. 2차원의 경우와 마찬가지로, 위에서 설명한 직교좌표계를 이용한 방법과 구면좌표 계를 이용한 방법 등 두 가지 방법 중에서 어느 한 가지 방법에 의해 대표되는 수를 알면 다음 관계식 47 제2주 강의 구면 → 직교: , , 직교 → 구면: , , (4.2) 에 의해 다른 방법에 의해 대표되는 수를 구할 수 있다. 이와 같이, 크기와 방향을 갖 는 물리량이라는 벡터의 정의는 3차원의 경우에 세 수에 의해 대표되는 물리량이라 는 정의와 같은 의미를 갖는다. 이 세 수는 구면 좌표계를 이용하면 물리량의 크기를 나타내는 수와 방향을 나타내는 두 수 등 모두 세 수로 취할 수도 있고 또는 직교 좌 표계에 표현했을 때 각 좌표축의 성분을 나타내는 세 수로 취할 수도 있다. 벡터는 크기와 방향을 갖는 양이라는 정의와 차원에서 벡터는 개의 수로 대표되는 양이라는 정의가 같은 의미임을 2차원과 3차원에서 보았다. 그러면 이번에 는 1차원의 경우에는 어떤지 살펴보자. 1차원에서는 스칼라도 개의 수로 대표 되고 벡터도 역시 개의 수로 대표된다. 그런데 어떻게 한 개의 수로 크기와 방 향을 모두 표시할 수 있는가? 답은 간단하다. 1차원 벡터의 경우에는 벡터의 방향을 표시하기 위해 또 다른 수가 필요 없다. 단지 한 개의 수로만 대표하면 되는데 그 수 의 부호 즉 그 수가 0보다 더 큰지 아니면 0보다 더 작은지가 벡터의 방향을 나타낸 다. 그래서 0보다 큰 수는 1차원을 대표하는 좌표축의 +방향을 향하는 벡터라면 0 보다 작은 수는 그 반대 방향을 향하는 벡터이다. 예를 들어 좌표축의 오른쪽을 그 축의 +방향으로 정했을 때, 의 속도로 달린다는 말은 오른쪽으로 의 빠르기를 가지고 달린다는 의미라면 속도로 달린다는 말은 +방향의 반 대 방향인 왼쪽으로 의 빠르기를 가지고 달린다는 의미이다. 물리량을 스칼라와 벡터로 구분하는 가장 중요한 이유는 이 두 가지 양의 연산법 칙이 다르기 때문이라고 하였다. 여기서 연산법칙이라고 하면 덧셈법칙과 곱셈법칙 을 들 수 있다. 뺄셈법칙은 음수를 취하여 더하는 덧셈법칙과 같고 나눗셈법칙은 역 수를 취하여 곱하는 곱셈법칙과 같으므로 따로 생각할 필요가 없다. 그런데 우리는 스칼라의 덧셈법칙은 아주 잘 알고 있다. 스칼라의 덧셈법칙은 초등학교 1학년부터 배운 숫자의 덧셈법칙과 똑같다. 즉 3+5=8 이고 3+(-5)= -2 와 같은 더하기가 바로 스칼라의 덧셈법칙이다. 그러면 벡터의 덧셈법칙은 무엇일까? 전형적인 벡터 또는 우리가 직관적으로 그 연산법칙을 터득할 수 있는 벡터로 변위라는 벡터가 있다. 이 변위의 덧셈법칙은 변 48 4. 벡터와 스칼라 위의 정의에 의해 바로 주어진다. 그래서 변위를 이용하면 벡터의 덧셈법칙이 무엇인 지 직관적으로 이해할 수 있다. 변위란 그림 4.3에 보인 것과 같이, 물체가 한 위 마지막 위치 치에서 다른 위치로 이동하였을 때, 이동한 경로에는 관계없이 처음 위치에서 마지막 위치까지 그린 벡터 이동 경로 를 말한다. 변위의 크기는 처음 위치에서 마지막 위 치까지의 직선거리와 같고 변위의 방향은 처음 위치 처음 위치 에서 마지막 위치를 향하는 방향과 같다. 그림 4.3 변위의 정의 이제 그림 4.4에 보인 것과 같이 물체가 위치 (가)에서 출발하여 위치 (나)를 거쳐 위치 (다)에 나 도달하였다고 하자. 이때 (가)에서 (나)까지의 변위 를 벡터 A 라고 부르고 (나)에서 (다)까지의 변위 를 벡터 B 라고 부르자. 그러면 변위의 정의에 의해 서 바로 이 두 벡터를 더한 벡터는 처음 위치 (가)에 서 마지막 위치 (다)까지를 가리키는 변위인 벡터 가 C 라면 그럴듯하다고 생각할 수 있다. 그림 4.4에 보인 것과 같은 변위의 덧셈법칙은 변 그림 4.4 변위의 덧셈 위에만 성립하는 것이 아니라 어떤 다른 벡터에서도 모두 다 성립한다. 그래서 벡터의 덧셈법칙은 벡터를 화살표로 표시하면 그림 4.4에 보인 것과 같이 간단히 나타낼 수 있다. 그런데 스칼라의 덧셈법칙은 더하는 스칼라 의 크기를 그대로 더해 주는데 반하여 벡터의 덧셈법칙은 그렇지가 않다. 예를 들어, 그림 4.4에서 벡터 A 의 크기가 3이고 벡터 B 의 크기가 1이라면, 그림 4.4에서 명 백한 것처럼 두 벡터를 더한 결과인 벡터 C 의 크기는 4가 아니고 그 보다 더 작다. 이 크기는 벡터 A 의 방향과 벡터 B 의 방향이 상대적으로 어떻게 향하고 있느냐에 따라 달라진다. 만일 벡터 A 의 방향과 벡터 B 의 방향이 동일하다면 벡터 C 의 크 기는 최대값인 4가 될 것이고, 만일 두 벡터가 서로 반대방향을 향한다면 벡터 C 의 크기는 최소값인 2가 될 것이다. 물리량을 벡터와 스칼라로 구분하였을 때 얻는 가장 큰 이점은 그 물리량이 벡터 양임을 알면 바로 위에서 알아본 변위의 덧셈법칙과 동일한 덧셈법칙을 적용할 수 있다는 것이다. 예를 들어 힘이 벡터임을 알고 있다고 하자. 그러면 각각 3명과 4명 49 다 제2주 강의 의 사람이 그림 4.5의 왼쪽에 보인 것처럼 자동차를 끌 때 자동차가 움직이는 모습이나 오른쪽에 보인 것 처럼 5명이 사람이 자동차를 끌 때 자동차가 움직이는 모습이 똑 같다고 결론지을 수 있다. 벡터란 크기와 방향을 갖는 물리량이라고 정의하거 그림 4.5 벡터인 힘의 덧셈 나 또는 원에서 개의 수로 대표되는 물리량이라 고 두 가지로 정의할 수 있으며 이 두 가지가 같은 의미임을 알았다. 그런데 나는 두 번째 정의를 훨씬 더 좋아한다. 그것은 두 번째 정의가 벡터를 일반적인 벡터로 확장 하기에 더 알맞기 때문이다. 예를 들어, 크기와 방향을 갖는 양이라는 정의로는 3차 원보다 더 높은 차원의 벡터로 일반화시킬 수가 없지만 개의 수로 대표되는 물리량 이라는 정의를 사용하면 5차원 또는 100차원 벡터를 정의하기가 아주 식은 죽 먹기 처럼 쉽기 때문이다. 그러면 이제 세 개의 수로 대표되는 물리량이라는 정의를 사용하였을 때 벡터의 덧셈법칙은 어떻게 될지 알아보자. 우리는 스칼라의 덧셈법칙을 잘 알고 있다. 스칼 라는 단 한 개의 수로 대표되므로 두 스칼라의 덧셈 즉 두 수를 더하여 한 수를 만드 는 방법은 초등학교 때 배운 방법으로 명백하다. 그러면 두 벡터의 덧셈은 어떻게 하 면 될까? 앞에서 변위를 이용하여 화살표로 표시한 벡터에 대한 덧셈법칙을 알아보 았지만, 이제 세 개의 수로 대표되는 두 벡터를 더하여 만들어지는 벡터를 대표하는 세 수를 구하는 것이 우리의 목표이다. 이제 두 벡터를 대표하는 세 수가 각각 와 라고 하자. 그리고 이 세 수로 대표되는 벡터를 그리고 라고 표시한다고 하자. 이 문제에 대 한 답을 어렵지 않게 구할 수 있을 것 같다. 세 수의 모임과 다른 세 수의 모임을 더 하는데 순서대로 처음 벡터의 첫 번째 수와 두 번째 벡터의 첫 번째 수를 더하여 한 수를 만들어 첫 번째 수로 삼고, 처음 벡터의 두 번째 수와 두 번째 벡터의 두 번째 수를 더하여 두 번째 수로 삼고, 처음 벡터의 세 번째 수와 두 번째 벡터의 세 번째 수를 더하여 세 번째 수로 삼아 만들어지는 벡터로 두 벡터를 더한 벡터를 대표하면 그럴듯하지 않겠는가? 이것을 이와 같이 말로 하니까 아주 복잡하게 들리지만 이 내 용을 식으로 다음과 같이 50 (4.3) 4. 벡터와 스칼라 라고 쓰면 아주 간단하게 표현됨을 알 수 있다. 그런데 여기서 벡터를 대표한 세 수 는 직교좌표계를 이용하였을 때의 세 수이다. 크기를 대표하는 수 하나와 방향을 대 표하는 수 두 개와 같은 구면좌표계에서의 세 수로 대표한 경우에는 (4.3)식과 같은 덧셈법칙이 성립하지 않는다는 점을 주의하여야 한다. 우리는 벡터의 덧셈법칙으로 그림 4.4 로 주어진 것과 같이 화살표로 표현한 덧셈법칙과 그리고 (4.3)식으로 주어진 것과 같이 세 수로 표현한 덧셈법칙 두 b2 가지를 갖게 되었다. 이제 이렇게 두 가 C c2 = a2 +b2 지로 표현된 덧셈법칙이 과연 동일한 내 a2 용인지 궁금하지 않을 수 없다. 이것을 확인하기 위하여 그림 4.6을 보자. 2차 원의 경우에 그림 4.4으로 주어진 화살 B A a1 b1 c1 = a1 +b1 그림 4.6 두 벡터의 덧셈 표의 덧셈을 직교좌표계에서 나타낸 것 이다. 그림에서 명백한 것처럼, 두 가지 방법이 똑같은 내용임을 확인할 수 있다. 이제 곱셈법칙을 살펴보자. 덧셈의 경우에는 스칼라는 스칼라와만 더할 수 있고 벡터는 벡터와만 더할 수 있다. 스칼라와 벡터는 더할 수가 없다. 그런데 곱셈의 경 우에는 스칼라와 스칼라를 곱할 수 있고 벡터와 벡터를 곱할 수 있으며 스칼라와 벡 터도 역시 곱할 수 있다. 우리는 스칼라의 곱셈법칙 즉 스칼라끼리의 곱셈은 어떻게 하는지 알고 있다. 그리고 스칼라끼리 곱하는 기호는 여러 가지를 똑같은 의미로 사용하고 있다. 다시 말하면 두 스칼라 a 와 b 를 곱하는데 ab 와 a⋅b 그리고 a × b 와 같은 세 종류의 기호를 사용하며 모두 똑같은 의미를 나타낸다. 그러나 이제 벡터와 벡터를 곱할 때 는 여러 가지 곱하는 방법이 있으므로 곱하기에 사용되는 세 가지 기호(아무 것도 안 쓰기, 점, 가위표)도 서로 다른 의미로 사용되어야 한다. 그러므로 스칼라와 스칼라 의 곱셈에서도 앞으로는 ab 와 같이만 (아무 것도 안 쓰기) 표현하기로 하자. 스칼라와 벡터를 곱하려면 어떻게 하는 것이 좋을까? 한 개의 수로 대표되는 양인 스칼라를 세 개의 수로 대표되는 양인 벡터에 곱하는 것이다. 따라서 스칼라를 대표 51 제2주 강의 하는 한 수를 벡터를 대표하는 세 수에 모두에 곱하는 것이 가장 민주적일 것으로 생 각된다. 이것을 식으로 표현하면 스칼라 와 벡터 를 곱한 결과는 (4.4) 가 된다. 이와 같은 스칼라와 벡터의 곱셈법칙은 민주적일 뿐 아니라 화살표로 표시 한 벡터로 나타내었을 때 화살표의 길이를 곱한 스칼라 배만큼 바꾸어 준다는 의미 이다. 다시 말하면 어떤 벡터에 스칼라 2를 곱하면 그 벡터의 크기가 두 배로 된다는 뜻이며 그런 결과는 직관적으로 생각하기에도 참 그럴듯하다. 여기서 스칼라와 벡터 를 곱할 때도 곱하기 기호로는 (아무 것도 안 쓰기)를 택하고 있는 점을 유의하자. 스칼라에서 0은 특별한 수이다. 스칼라 수인 0의 특징을 가장 잘 표현하면 어떤 스칼라에 더하여도 그 스칼라가 변하지 않고 그대로 있도록 하는 스칼라라고 말 할 수 있다. 앞의 경험에서 이런 것들을 말로 하기보다는 식으로 표현하면 알아보기가 더 쉬우리라고 생각된다. 스칼라 0의 정의를 식으로 쓰면, 모든 스칼라 에 대해 (4.5) 를 만족하는 스칼라라고 할 수 있다. 벡터에서도 스칼라 0과 같은 벡터를 정의하면 편리하며 그런 벡터를 영벡터라고 부른다. 그래서 영벡터를 스칼라의 경우처럼 정의한다면 어떤 벡터에 더하여도 그 벡 터가 변하지 않고 그대로 있도록 하는 벡터라고 말할 수 있다. 영벡터는 벡터의 덧셈 법칙을 곰곰이 생각하면 쉽게 구할 수 있다. 임의의 벡터 에 더하더라도 그 벡터를 바꾸지 않고 그대로 놓아둘 수 있는 벡터는 (4.6) 에서 임을 쉽게 알 수 있다. 영벡터를 화살표 벡터로 나타낸다면 길이가 0인 화살표라고 말할 수 있으며 그래서 0벡터의 정의가 아주 그럴듯함을 알 수 있다. 스칼라에서 0보다 작은 수인 음수(陰數)를 좀 고상하게 정의하면 스칼라 에 더 하여 그 결과가 0이 되게 만드는 스칼라를 의 음수라고 한다. 그래서 (4.7) 52 4. 벡터와 스칼라 에서 알 수 있는 것처럼 α 의 음수는 α 에 (-1)을 곱한 것이다. 벡터에서도 이와 같은 역할을 맡는 벡터를 정의하면 편리한데, 그런 벡터를 음벡 터라고 부른다. 그래서 음벡터를 스칼라의 경우처럼 정의하면 어떤 벡터에 더하여 그 결과가 영벡터가 되게 만드는 벡터를 원래 벡터의 음벡터라고 한다고 말할 수 있다. 음벡터도 역시 벡터의 덧셈법칙을 곰곰이 살펴보면 쉽게 구할 수 있다. 즉 벡터 에 더하여 그 결과가 영벡터가 되도록 만드는 벡터는 (4.8) 에서 임을 알 수 있는데, 이 벡 a2 터는 원래 벡터에 (-1)을 곱한 벡터이다. 그 런데 그림 4.7을 보면 바로 알 수 있듯이 벡터 -a1 를 대표하는 세 수 모두의 음수로 이루어진 벡 a1 터는 원래 벡터와 크기는 같지만 방향은 정 반 대인 벡터이다. 그래서 음벡터의 정의도 역시 아주 그럴듯함을 알 수 있다. -a2 그림 4.7 음벡터의 정의 마지막으로 벡터와 벡터의 곱셈에 대해 알아보자. 벡터와 벡터를 곱하려면 처음 벡터를 대표하는 세 수와 나중 벡터를 대표하는 세 수를 곱하여야 한다. 이 때 이 수 들을 어떤 순서로 어느 것과 곱하는 것이 좋을지 결정하기가 쉽지 않다. 그리고 벡터 와 벡터를 곱한 결과가 스칼라일지 벡터일지를 결정하기도 쉽지 않아 보인다. 만일 그 결과가 스칼라이라면 한 개의 수로 대표되어야 할 것이고 벡터라면 세 개의 수로 대표되어야 한다. 수학자들은 벡터와 벡터를 곱하는 다음과 같은 세 가지 방법을 정해놓았다. 첫째 는 스칼라곱이다. 스칼라곱에서는 곱한 결과가 스칼라로 된다. 그래서 곱한 다음에 그 결과를 1개의 수로 대표하도록 곱하기 연산을 정한다. 둘째는 벡터곱이다. 벡터곱 에서는 곱한 결과가 벡터로 된다. 그래서 곱한 다음에 그 결과를 3개의 수로 대표하 도록 곱하기 연산을 정한다. 셋째는 직접곱이다. 직접곱에서는 곱한 결과가 텐서로 된다. 그래서 곱한 다음에 그 결과를 9개의 수로 대표하도록 곱하기 연산을 정한다. 벡터와 벡터를 곱하는 방법이 이렇게 세 가지나 되어서 곱셈을 표시하는 기호도 서 로 달리 사용한다. 스칼라곱에는 점( ⋅ )을 사용하고 벡터곱에는 가위표( × )를 사 53 제2주 강의 용하며 직접곱에는 (아무 것도 안 쓰기)를 사용한다. 두 벡터 ( )와 ( )를 스칼라곱으로 곱하는 곱셈법칙이 식으로는 ⋅ (4.9) 라고 표현된다. 이 결과를 말로 설명하면, 처음 벡터의 첫 번째 수와 나중 벡터의 첫 번째 수를 곱하고, 처음 벡터의 두 번째 수와 나중 벡터의 두 번째 수를 곱하고, 처음 벡터의 마지막 수와 나중 벡터의 마지막 수를 곱한 다음 그 결과를 모두 더하여 한 개의 수를 만든 것이다. 여러분은 이것이 두 벡터를 곱하여 스칼라를 만드는 방법으 로 아주 그럴듯하다고 생각되지 않는가? 이번에는 두 벡터 ( )와 ( )를 벡터곱으로 곱하는 곱셈법칙을 수학자 들이 고안해 놓은 식을 보자. 그 식은 × (4.10) 이다. 즉 벡터곱으로 곱하여 만들어진 벡터를 대표하는 세 수 중에서 첫 번째 수는 곱하는 처음 벡터의 두 번째 수와 나중 벡터의 세 번째 수를 곱하고 처음 벡터의 세 번째 수와 나중 벡터의 두 번째 수를 곱한 다음 두 결과의 차이를 구하여 사용한다. 만들어진 벡터를 대표하는 두 번째 수와 세 번째 수도 비슷한 방법을 이용하여 구한 다. 여러분은 이 경우에도 역시 아주 그럴듯하다고 생각되지 않는가? 마지막으로 두 벡터 ( )와 ( )를 직접곱으로 곱하는 곱셈법칙을 보자. 직접곱은 말 그대로 처음 벡터를 대표하는 세 수의 하나하나와 나중 벡터를 대표하 는 세 수의 하나하나를 모두 곱하여 얻는 9개의 수로 대표되는 양이다. 이 9개의 수 를 일렬로 늘어놓는 대신 다음과 같이 행렬로 표현하면 편리하다. 두 벡터의 직접곱 을 식으로 쓰면 (4.11) 이 된다. 54 5. 직교좌표계를 이용한 벡터 계산 ∙ 직교좌표계를 이용하여 벡터를 대표한다는 말은 직교좌표계의 단위벡터와 그 단위벡터 방향의 성분으로 벡터를 표시한다는 말이다. 직교좌표계를 이용한 방 법으로 벡터의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 표현되는가? ∙ 두 벡터의 스칼라곱과 벡터곱에 대한 정의로부터 직교좌표계를 이용한 두 벡터 의 스칼라곱과 벡터곱에 대한 표현을 구해보자. 4장에서 정의한 세 수로 대표된 벡터 사이의 스칼라곱과 벡터곱에 대한 정의와 비교하라. ∙ 벡터의 스칼라곱과 벡터곱 그리고 삼중곱 등을 이용하여 쉽게 알 수 있는 현상 에는 무엇이 있는가? 벡터의 계산을 손쉽게 다루기 위해서는 직교좌표계를 이용하면 편리하다. 그렇게 하는 것은 4장에서 벡터를 세 수로 나타내어 계산한 것과 같다. 직교좌표계란 3장에 서 간단히 설명된 것처럼, 서로 수직인 세 축의 좌표 를 이용하는 좌표계를 말한다. 직교좌표계를 이용한다는 말은 벡터를 직교좌표계의 각 축 방향 성분과 각 축 방향의 단위벡터로 표현한다는 의미이다. 직교좌표계에서 각 축 방향의 단위벡터 는 축의 경우 , 또는 등으로 표시하고 축의 경우 또는 등으로 표시 하며 축의 경우에는 또는 등으로 표시한다. 각 축 방향의 단위벡터는 크기 가 1인 벡터로 그 방향은 : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 (5.1) : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 으로 정의된다. 이런 방식의 정의는 나중에 극좌표계나 구면좌표계와 같이 직교좌표 계가 아닌 다른 좌표계에 대해서도 편리하게 이용될 수 있다. 직교좌표계를 이용하면 임의의 두 벡터 A 와 B 를 직교좌표계의 단위벡터와 각 단위벡터 방향의 성분을 이 용하여 55 제2주 강의 (5.2) 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 직교좌표계의 세 축 방향 성분은 4장에서 벡터를 세 수로 대표할 때의 세 수와 동일하다. 벡터를 (5.2)식과 같이 표현하면 두 벡터의 덧 셈 또는 뺄셈은 A± B = ( A x ±B x ) i +( A y ±B y ) j +( A z ±B z ) k (5.3) 가 된다. 그러므로 두 벡터의 덧셈과 뺄셈은 직교 좌표계의 각 축 방향의 성분 모두 를 더하거나 빼면 됨을 알 수 있다. 이 결과는 4장에서 정의한 벡터의 덧셈인 (4.3) 식과 똑같음을 알 수 있다. 이번에는 두 벡터의 스칼라곱을 보자. 두 벡터 와 를 스칼라곱하면 그 결과는 하나의 수로 대표되는 스칼라로 ⋅ (5.4) 로 정의된다. 여기서 와 는 각각 두 벡터 와 의 크기이며 는 와 가 가 리키는 방향 사이의 사잇각이다. 이 정의를 직교좌표계의 단위벡터들 사이의 스칼라 곱에 적용해보자. 그러면 ⋅ ⋅ (5.5) 가 된다. 다른 단위벡터들 사이의 스칼라곱인 ⋅ 와 ⋅ , ⋅ 그리고 ⋅ 에 대해서도 (5.5)식과 비슷한 결과가 성립한다. 그리고 크로네커 델타 기호라고 불리 는 를 이용하면 위에서 구한 것과 같은 단위벡터들 사이의 모든 스칼라곱을 한꺼 번에 (5.6) ⋅ 라고 간단히 쓸 수 있다. 이 식에서 크로네커 델타 기호는 일때 ≠ 일 때 (5.7) 56 5. 직교좌표계를 이용한 벡터 계산 라고 정의되는데, (5.7)식에 따르면 δ ij 는 두 아래 첨자 가 같은 수이면 값이 1이고 다른 수이면 값이 0인 기호 를 의미한다. 이 기호의 이름인 크로네커는 그림 5.1에 보인 수학자의 이름을 딴 것으로 그는 지금의 폴란드 지 방에 위치한 이전 독일 북부 지방의 왕국이었던 프로이 센에서 출생하고 독일에서 활동한 사람인데 집안이 아주 부유하였으므로 따로 직업을 갖지 않고 일생동안 수학을 취미로 연구하였다고 한다. (5.6)식을 이용하면 두 벡터의 스칼라곱이 원래 두 벡 그림 5.1 레오폴드 크로네커 (프로이센, 1823-1891) 터를 대표하는 수들에 의해서 어떻게 표현되는지 구할 수 있다. 즉 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ (5.8) 이 된다. 다시 말하면 두 벡터의 서로 같은 성분에 속한 수를 곱한 다음 모두 더해서 두 벡터를 스칼라 곱한 결과를 대표하는 하나의 수를 만든다. 이 결과는 4장에서 스 칼라곱으로 정의한 (4.9)식과 동일하다. 과 크로네커 델타 기호 를 이용하면 (5.8)식을 더 간단 와 를 직교좌표계에서 나타내면 하게 쓸 수 있다. 더하기 기호를 이용하여 벡터 그런데 더하기 기호 (5.9) 가 된다. 여기서 더하기 지수(指數)인 와 는 더미지수라고 불리며 1에서 3까지 더 한다. 또한 이 식에서 과 그리고 는 각각 와 그리고 를 의미하며 과 그리고 도 마찬가지로 각각 와 그리고 를 나타낸다. 그러면 두 벡터 와 의 스칼라곱은 ⋅ ⋅ ⋅ 57 (5.10) 제2주 강의 와 같이 된다. 이 식에서 세 번째 등식은 (5.6)식을 대입한 것이고 네 번째 등식은 에 대한 더하기를 시행한 결과이다. 이러한 표현이 익숙하지 않은 학생들을 위해서 예를 들어 설명하자. 간단한 예로 과 같은 더하기를 풀어쓰면 (5.11) 와 같게 되는데 (5.7)식의 정의에 의해서 이고 이므로 이 식의 우변은 과 같게 된다. 그리고 (5.11)식에서 아래첨자 3 대신에 라고 쓰면 (5.12) 가 된다. 그래서 크로네커 델타 기호 와 함께, 예를 들어 더하기 지수 에 대해 더 한다면, 더한 결과는 더미지수 를 크로네커 델타 기호의 나머지 지수인 로 정해주 는 결과를 가져온다. (5.10)식에서는 네 번째 변에서 에 대한 더하기를 시행하면 그 결과는 크로네커 델타 기호를 제외한 나머지 부분에 포함된 지수 를 로 바꿔주 게 된다. 그러면 이번에는 두 벡터의 벡터곱을 보자. 두 벡터 와 를 벡터곱하면 그 결과 는 세 개의 수로 대표되는 벡터가 되는데 그 결과 벡터의 크기와 방향이 × 크기 방향 오른나사 진행방향 (5.13) 라고 정의된다. 여기서 벡터곱의 크기에 대한 정의는 스칼라곱의 정의인 (5.4)식과 매우 유사하여서 놀랍기까지 하다. 스칼라곱에서는 두 벡터 사이의 사잇각의 코사인 에 비례하였는데, 벡터곱의 크기는 두 벡터 사이의 사잇각의 사인에 비례한다. 그리 고 A× B 의 방향은 A 의 방향으로부터 B 의 방향으로 오른나사를 돌릴 때 오른나 사가 진행하는 방향이다. 벡터곱의 경우에도 스칼라곱에서와 마찬가지로 먼저 직교 좌표계의 단위벡터들 사이의 벡터곱에 이 정의를 적용하면 × × × × × × × (5.14) × × 58 5. 직교좌표계를 이용한 벡터 계산 이 된다. 그런데 이 결과는 오른손 좌표계에서만 성립함을 유의하자. 왼손 좌표계에 서는 우변의 부호가 반대로 된다. 3장에서 3차원 좌표계로는 반드시 오른손 좌표계 를 이용하여야 한다는 것이 바로 이 때문이다. 벡터곱의 경우에도 스칼라곱에서와 마찬가지로 (5.14)식으로 주어진 아홉 가지 단위벡터들 사이의 벡터곱을 한꺼번에 한 식으로 표시할 수 있는데, 그렇게 하기 위 해서 이번에는 크로네커 델라 기호 대신 레비-치비타 기호라 불리는 부호로 이면 이면 중 두 개 이상 같으면 (5.15) 라고 정의된 를 이용한다. 레비-치비타 기호는 세 개 의 아래첨자가 모두 달라야 0이 아닌 값을 갖는데, 세 첨 자가 123, 231, 312 등 순환 순서이면 +1 값을, 순환 순서가 아니고 132, 213, 321 등 역 순환 순서이면 -1 값을 갖는다. 그림 5.2에 보인 레비-치비타는 이태리 태 생의 유명한 수학자이다. 그러면 두 단위벡터들 사이의 벡터곱은 × (5.16) 그림 5.2 툴리오 레비-치비타 (이태리, 1873-1941) 가 되는데 여기서 두 번째 등호는 동일한 첨자 k 가 두 번 반복되면 이 첨자가 가질 수 있는 가능한 값에 대해 모두 더한다는 것이 암시되어 있어서 더하기 기호를 생략한 것이다. 이렇게 반복된 첨자에 대한 더하기에서 더하기 기호를 생략하더라도 더한 것으로 이해하는 약속을 아인슈타인 표기법 또는 더하기 에 대한 아인슈타인 약속이라고 부른다. 아인슈타인 표기법을 이용하면 더하기 기호 가 생략되므로 수식이 무척 간결해진다. 우리도 가끔 경우에 따라서는 아인슈타인 표 기법을 이용하자. (5.16)식이 정말 (5.14)식과 같은지 알아보기 위하여 (5.16)식에서 이고 인 경우를 계산하여보자. 그러면 × × 59 (5.17) 제2주 강의 가 되어 (5.14)식의 두 번째 식과 같음을 알 수 있다. 직교좌표계의 단위벡터들 사이의 벡터곱인 (5.14)식을 이용하면 두 벡터의 벡터 곱이 원래 두 벡터를 대표하는 수들에 의해 어떻게 표현되는지 구할 수 있다. 즉 × × × × × ⋯ × (5.18) 가 된다. 이 식의 중간에 생략된 부분은 여러분 각자가 꼭 해보기 바란다. 이 결과는 4장에서 벡터곱으로 정의한 (4.10)식과 동일하다. 스칼라곱에서와 마찬가지로 레비-치비타 기호를 이용하면 (5.18)식을 간단하게 쓸 수 있다. (5.9)식으로 표현된 두 벡터 와 의 벡터곱은 × × × (5.19) 와 같이 된다. 이 식에서 세 번째 등식은 (5.16)식을 대입한 결과이고 네 번째 등식 은 더하기 지수 와 그리고 가 모두 두 번씩 반복되어 있으므로 아인슈타인 표기 법을 이용하여 더하기 기호를 생략한 결과이다. 만일 여러분이 (5.19)식에서 레비치비타 기호 의 값을 대입하고 더하기를 모두 시행하면 (5.18)식과 똑같은 결과 가 됨을 확인할 수 있다. 예제 1 ⋅ × 를 스칼라 삼중곱이라고 한다. 벡터 세 개를 곱했는데 결과가 스칼라라는 의미이다. 이 스칼라 삼중곱의 값은 행렬식으로 ⋅ × 라고 표현됨을 보여라. 스칼라 삼중곱 ⋅ × 을 (5.10)식과 (5.19)식을 이용하여 전개하자. 그러 60 5. 직교좌표계를 이용한 벡터 계산 면 ⋅ × × 이 된다. 여기서 첫 번째 등호는 스칼라곱에 (5.10)식을 대입한 결과이고 두 번째 등 호는 벡터곱에 (5.19)식을 대입한 결과이다. 그리고 세 번째 등호는 단순히 순서만 바꾸어 썼을 뿐이고 마지막 네 번째 등호는 레비-치비타 기호의 값을 대입하고 더하 기를 모두 수행한 결과이다. 이 마지막 결과는 문제에서 주어진 × 행렬식의 값과 같다. ◆ 만일 두 벡터 와 의 방향이 서로 수직이어서 두 벡터의 사잇각이 이 면 이므로 (5.4)식에 의해 (5.20) ⋅ 가 된다. 바로 이 결과 때문에 벡터의 스칼라곱은 두 방향이 수직인지 아닌지를 확인 하는데 아주 편리하게 이용된다. 다시 말하면 어떤 두 벡터건 그 스칼라곱이 0이면 두 벡터는 서로 수직이다. 다음 예제에서 스칼라곱의 그런 성질을 이용하지 않으면 답을 구하기가 꽤 까다로워 질 것이다. 예제 2 평면에 놓인 벡터 중에서 라는 벡터와 수직인 방향을 가 리키는 단위벡터를 구하라. 구하는 단위벡터를 라고 하면, 는 평면에 놓여 있어서 축 방향의 성분을 갖지 않으므로 라고 놓을 수 있다. 두 벡터 와 가 수직일 조건은 ⋅ ⋅ 이다. 그리고 는 단위벡터이므로 크기가 1이어서 ⋅ 을 만족하여 야 한다. 위의 두 식을 연립으로 풀면 구하는 와 는 61 제2주 강의 이 된다. 만일 수직한 두 벡터의 스칼라곱이 0이라는 성질을 이용하지 않는다면 이 문제를 풀기가 그리 쉽지 않을 것이다. ◆ 두 벡터의 벡터곱은 삼각형의 넓이를 구하는데 편리하게 이용된다. 그림 5.3에 보인 것과 같이 두 벡터 와 가 삼각형의 두 변을 가리킨다고 하 자. 그러면 이 삼각형의 밑변의 길이는 벡터 의 크기 와 같고 높이 는 벡터 의 크기 에 를 곱한 와 같다. 그러므로 이 삼 각형의 넓이 는 그림 5.3 삼각형의 넓이 × (5.21) 가 된다. 그러므로 삼각형의 넓이는 두 변과 일치하는 두 벡터의 벡터곱의 크기를 둘 로 나눈 것과 같다. 예제 3 × × 를 벡터 삼중곱이라고 한다. 벡터 세 개를 곱했는데 결과가 벡터라는 의미이다. 이 벡터 삼중곱은 × × ⋅ ⋅ 와 같이 표현됨을 보여라. 이 관계식을 BAC-CAB 규칙이라 부른다. 왜 그렇게 부르는지는 설명하지 않아도 잘 알 수 있을 것이다. 주어진 식에서 좌변의 한 축 방향 성분이 우변의 그 축 방향 성분과 같음을 보이면 이 문제가 증명된 것으로 볼 수 있다. 그러면 좌변의 축 성분을 구해보자. × × × × 62 5. 직교좌표계를 이용한 벡터 계산 가 되는데 마지막 결과는 바로 주어진 식 우변의 축 성분이다. 위의 마지막 결과는 첫째 항에 를 더하고 둘째 항에서 를 빼어서 구했다. ◆ 레비-치비타 기호를 이용하면 예제 3을 조금 더 우아하게 증명할 수 있다. 그렇게 하기 위해서 레비-치비타 기호의 성질에 대해 좀 더 알아보자. 레비-치비타 기호는 아래첨자의 위치를 (5.22) 와 같이 순환시키더라도 값이 같다는 성질을 가지고 있다. 반면에 한 아래첨자의 위 치를 고정하고 나머지 두 아래첨자의 위치를 바꾸면 레비-치비타 기호의 값이 반대 부호로 되어서 (5.23) 라는 성질을 갖는다. (5.23)식의 성질 때문에 레비-치비타 기호를 완전 반대칭 기호 라고 부르기도 한다. 무엇인가 서로 바꾸어 놓아도 그 값이 바뀌지 않으면 대칭의 성 질을 가졌다고 하고 서로 바꾸어 놓으면 그 절대값은 바뀌지 않으나 부호가 바뀌면 반대칭 성질을 가졌다고 말한다. 레비-치비타 기호는 (5.22)식과 (5.23)식으로 주 어지는 성질 이외에도 두 개의 레비-치비타 기호의 곱을 크로네커 델타 기호로 표시 하는 아주 유용한 성질을 가지고 있다. 즉 레비-치비타 기호는 (5.24) 인 관계를 만족한다. 이제 레비-치비타 기호를 이용하여 벡터 삼중곱을 전개한 식을 증명해 보자. 좌변 의 번째 성분은 (5.19)식을 이용하여 63 제2주 강의 × × × (5.25) 가 된다. 이 식의 두 번째 등호는 벡터곱 × 에 (5.19)식을 한 번 더 적용한 결 과이며 세 번째 등호는 단순히 더하기 기호를 앞으로 이동시킨 결과일 뿐이다. 이제 레비-치비타 기호의 성질인 (5.22)식을 이용하여 를 로 바꾸어 쓰면 (5.25) 식은 × × (5.26) 이 된다. 여기서 두 번째 등호는 레비-치비타 기호가 만족하는 성질인 (5.24)식을 적용하여 얻었다. 이제 (5.26)식의 우변에서 더하기 지수 과 에 대한 더하기를 먼저 시행하자. 그러면 더하기를 시행한 뒤에 (5.12)식으로 설명한 것과 같이 우변 의 크로네커 델타 기호에 의해서 첫 번째 항에서는 에서 지수 을 로 바꾸 고 을 로 바꾸면 되고 두 번째 항에서는 역시 지수 을 로, 그리고 을 로 바꾸면 된다. 그래서 그 결과는 × × (5.27) ⋅ ⋅ 이다. 여기서 마지막 등호는 스칼라곱의 정의인 (5.10)식을 이용하였다. 그리고 (5.27)식은 바로 벡터 삼중곱의 전개인 × × ⋅ ⋅ (5.28) 를 증명한 셈이다. 이처럼 크로네커 델타 기호와 레비-치비타 기호를 이용하면 벡터 와 연관된 관계식들을 아주 우아하게 증명할 수 있다. 64 6. 벡터 미분연산자 ∙ 우리는 물리에서 중력장이나 전기장 또는 자기장과 같이 장(場)이라는 말을 자 주 이용한다. 장이 무엇인지 따로 정의할 수 있을까? ∙ 우리는 함수를 미분한다고도 말하고 함수의 도함수를 구한다고도 말한다. 미분 과 도함수 사이에는 어떤 관계가 있을까? ∙ 벡터 미분연산자란 스칼라장을 미분한 결과가 벡터장으로 만드는 연산자이다. 벡터 미분연산자란 무엇인가? ∙ 벡터 미분연산자를 스칼라장에 적용하면 그래디언트를 구한다고 말하는데, 벡 터 미분연산자를 벡터장에 적용하면 다이버젠스를 구하는 경우와 컬을 구하는 경우 등 두 가지로 나뉜다. 그래디언트와 다이버젠스 그리고 컬은 무엇인가? 지난 5장에서는 벡터양의 덧셈과 곱셈 등의 벡터 연산에 대해 공부하였다. 이제 벡터양에 대한 미분과 적분은 어떻게 하는지 알아보자. 미분과 적분을 공부하기 위해 서는 먼저 미분 또는 적분될 함수와 미분연산자에 대해 잘 이해하고 있어야 한다. 우리가 보통 함수를 미분하거나 적분한다고 말할 때는 스칼라함수라고 가정하고 말한다. 함수 는 연속적으로 변할 수 있는 독립변수 의 값에 대응하는 수 를 말한다. 여기서 독립변수 는 어떤 물리량이나 가능하지만 물리에서 독립변수로 시간 와 공간에서의 위치를 나타내는 가 자주 이용된다. 독변수에 대응하는 함수 값이 스칼라이면 스칼라함수라 하고 벡터이면 벡터함수 라 한다. 그리고 함수 중에서 특별히 공간의 위치를 나타내는 물리량이 독립변수로 이용되는 경우에 그 함수를 장(場)이라고 부른다. 그래서 스칼라함수로서 독립변수 가 위치를 나타내는 물리량이면 스칼라장이고 벡터함수로서 독립변수가 위치를 나타 내는 물리량이면 벡터장이다. 위에서 정의한 함수와 벡터장의 예를 들어보자. 물체의 운동을 기술하기 위해서는 좌표계를 정하고 좌표계의 좌표에 의해 물체의 위치를 표시한다. 이때 그림 6.1에 보 65 제2주 강의 인 것과 같이 좌표계의 원점에서 물체의 위치까지 그린 벡터를 그 물체의 위치벡터 이라고 한다. 물 체의 운동을 기술하는데 우리의 목표는 뉴턴의 운 동방정식을 풀어서 위치벡터 를 시간 의 함수 로 표현하는 것이다. 여기서 는 벡터함수라고 말할 수 있다. 또한 전자기에서 많이 나오는 전기장 과 자기장 은 공간의 각 위치에 따라 주 어지는 벡터함수이므로 벡터장의 예가 된다. 그림 6.1 위치벡터 독립변수 의 미분 는 그 변수의 변화량 (6.1) 를 0으로 가까이 보낸 극한을 말한다. 여기서 과 는 마음대로 정한 두 값이다. 수학에서는 를 에 대한 미분(微分)이라고 부르고 이것과 구별하여 (6.1)식으로 주어지는 를 에 대한 차분(差分)이라고 부른다. 영어로는 미분을 differential 그리고 차분을 difference라 한다. 그리고 값이 값에 매우 가까워서 차분 의 크기가 0에 매우 가까워질 때 이것을 미분 라 하고 식으로는 lim lim → (6.2) → 라고 쓴다. 그러면 차분 가 구체적으로 얼마나 작 아야 미분 라고 불릴 수 있을까? 여기서 어떤 숫 자를 정해서 그 숫자보다 더 작으면 미분이라고 말 s 할 수는 없다. 작다든가 또는 크다는 것은 상대적인 개념이기 때문이다. 나는 미분이라고 부르는 기준으 ds 로 제곱하면 무시할 수 있을 때라고 하면 좋다고 생 각한다. 그림 6.2 미분의 예 예를 들어, 그림 6.2에 보인 것과 같이 안쪽 반지름이 이고 폭이 인 반지 모양 의 넓이 를 계산하자. 바깥쪽 큰 원의 넓이에서 안쪽 작은 원의 넓이를 빼면 반지 모양의 넓이가 되므로 66 (6.3) 6. 벡터 미분연산자 이다. 여기서 ds 가 미분으로 취급될 수 있으려면 (6.3)식의 마지막 항인 ( ds ) 2 이 무시될 수 있어야 한다. 다시 말하면, ds 가 미분이라고 할 때 그림 6.2에 나온 반지 모양의 넓이는 가 된다. 함수 f ( s ) 의 미분도 독립변수에 대한 미분을 정의한 (6.2)식과 마찬가지로 (6.4) lim lim → → 와 같이 정의된다. 그러나 함수의 경우에는 과 가 독립변수의 두 값인 과 과의 사이에 f 1 = f( s 1), (6.5) f 2 = f( s 2) 인 관계를 갖는다. 그래서 함수의 미분 를 lim lim lim → → → (6.6) 라고 쓸 수 있다. 함수의 미분 df 를 구하기 위해서는 함수의 테일러 전개라는 방법을 이용하면 좋 다. 함수의 일러 전개란, 독립변수의 값이 s 일 때 함수 값 f ( s ) 와 같은 독립변수 값 s 에서 그 함수의 도함수값들에 의해 독립변수의 값이 s +Δs 일 때의 함수 값 f ( s + Δs ) 를 구하는 방법으로 식으로 (6.7) ⋯ 라고 표현된다. 이 식은 차분 가 아주 큰 값을 포함하여 어떤 값을 갖건 항상 성 립하는 항등식이다. 그리고 이 식은 또한 우리에게 아주 중요한 사실을 알려주는 식 이기도 하다. 함수를 정해주기 위해서 독립변수의 모든 값마다 함수값이 얼마인지를 직접 정해주는 방법이 있고, 또 다른 방법으로는, 함수의 테일러 전개가 말해주는 것 67 제2주 강의 처럼, 한 독립변수 값에 대한 함수값과 함께 동일한 독립변수 값에서 주어진 함수의 1차 도함수값, 2차 도함수값, 등등 모든 차수의 도함수값을 알면 함수가 정해진다는 것이다. 다시 말하면 모든 독립변수 값에 대한 함수값이 주어지는 것이 아니라 단 하 나의 독립변수 값에 대한 그 함수의 모든 차수의 도함수값을 알면 그 함수가 정해진 다는 놀라운 이야기이다. 그러면 테일러 전개를 이용하여 함수 의 미분 를 구해보자. 미분을 구하기 위 해서는 (6.7)식으로 주어진 테일러 전개에서 차분 자리에 미분 를 쓴다. 그러 면 미분의 정의에 의해서 (6.7)식의 우변에 나오는 , , ... 등은 모두 0이 되고 (6.7)식을 간단히 (6.8) 라고 쓸 수가 있다. 그러므로 의 미분 는 (6.8)식으로부터 (6.9) 임을 알 수 있다. 이 식은 우리에게 아주 중요한 사실인 (6.10) 가 성립함을 알려준다. 이 식의 좌변은 함수 의 미분 를 독립변수 의 미분 로 나눈 것이다. 그리고 이 식의 우변에서 는 독립변수 s 에 대한 도함수를 구하 라는 연산자이고, 우변의 결과는 독립변수 s 에 대한 함수 의 도함수이다. 그러 므로 (6.10)은 두 미분 와 의 비는 를 로 미분하여 얻은 도함수가 같다는 것 을 알려준다. 바로 그런 이유 때문에 우리는 를 보통 두 미분 사이의 비라고 해석하기도 하고 의 에 대한 도함수를 구한 것이라고도 해석한다. 이렇게 두 미분 사이의 비라고 해석할 수 있는 것은 오직 1차 도함수에서만 가능하다. 그보다 더 높 은 도함수에서는, 예를 들어 ⇔ (6.11) 68 6. 벡터 미분연산자 는 성립하지 않는다. 물리에서 나오는 벡터함수는 모두 벡터장이라고 생각하면 좋다. 즉 공간의 각 위 치에 대응하는 벡터함수이다. 그래서 벡터함수 는 일반적으로 (6.12) 라고 표현될 수 있다. 또는 벡터장 가 위치뿐 아니라 시간의 함수이기도 하다면 (6.13) 로 나타낼 수 있다. 그러면 이 벡터장을 스칼라인 시간 에 대해 미분하면 (6.14) 가 된다. 여기서 편미분 기호가 사용된 것은 독립변수 중에서 위치에 대해서는 미분 하지 않고 시간에 대해서만 미분했음을 표시한 것이다. 이제 스칼라장 또는 벡터장을 벡터로 미분하는 경우를 생각해보자. 벡터로 미분하 는데 이용되는 벡터 미분연산자를 ∇ 이라고 쓰고 ‘델’이라고 읽으며 ∇ (6.15) 로 정의된다. 이 델연산자는 스칼라장에 적용될 수도 있고 벡터장에 적용될 수도 있 다. 그렇게 적용했을 때 결과가 스칼라장인지 또는 벡터장인지는 앞의 5장에서 배운 벡터와 스칼라의 곱 또는 벡터와 벡터의 곱에서의 결과와 같다. 제일 먼저, 델연산자 ∇ 을 스칼라장 에 적용해보자. 그러면 ∇ (6.16) 이 되고 이 결과는 벡터이다. 그러므로 ∇ 는 벡터장으로 이것을 특별히 스칼라장 의 그래디언트라고 부르며 라고 표현하기도 하며 그래드 라고 읽는다. ∇ 69 제2주 강의 는 스칼라장 가 지닌 어떤 성질을 대표한다. 그 성질이 무엇인지 알아보기 위해 스 칼라장 의 미분 를 구해보자. 스칼라장 는 위치벡터 의 함수로 세 개의 독립변수 의 함수이다. 이때도 (6.7)식과 비슷하게 테일러 전개를 이용할 수가 있는데, 독립변수가 세 개인 경우의 테일러 전개는 (6.17) ⋯ ⋯ 가 된다. 이 식은 (6.7)식에 대한 설명에서와 마찬가지로 차분 들이 아 주 큰 값을 포함하여 어떤 값을 갖건 항상 성립한다. 그런데 가 모두 미 분이라면 (6.17)식의 우변에서 세 번째 항부터는 모두 0이 되어서 (6.18) 라고 쓸 수 있게 된다. 그러면 스칼라장 의 미분 는 미분의 정의인 (6.6)식에 (6.18)식을 대입하여 (6.19) ∇ ⋅ 가 된다. 여기서 위치벡터 의 미분 은 (6.20) 임을 이용하였다. 이제 의 크기를 라 하면 (6.21) 인데, 이것을 이용하면 (6.19)식을 ∇ ⋅ ∇ ⇒ 70 ∇ (6.22) 6. 벡터 미분연산자 라고 쓸 수 있다. 여기서 는 델연산자 ∇ 에 의해서 스칼라장 로부터 새로 만든 벡 터장 ∇ 의 방향과, 스칼라장 의 미분을 계산할 때 취한 두 위치벡터 사이의 차이 인 의 방향 사이의 사잇각이다. 이제 (6.22)식의 두 번째 식을 보자. 이 식의 좌변은 스칼라장 f 의 미분 와 이 미분을 구할 때 이용한 의 크기인 사 이의 비이다. 이 비를 특별히 스칼라장 f 의 방향도함수라고 부른다. 이 비는 방 향으로 단위 거리만큼 이동할 때 스칼라장 의 값이 바뀌는 정도의 크기를 나타낸다. 도함수란 함수가 바뀌는 비율을 가리킨다는 것을 기억하면 가 방향도함수라고 불릴 만 하다고 생각할 수 있다. 그런데 (6.22)식을 보면 이 방향 도함수 df/ds 는 가 일 때 즉 의 방향이 ∇ 의 방향과 같을 때 최대이다. 그러므로 ∇ 의 방 향은 스칼라장 의 크기가 가장 많이 변하는 방향을 가리킨다고 할 수 있다. 이라는 스칼라장 생각하자. 일정 과 같은 식은 무엇을 나타내는가? 에서 어떤 방향으로 이동하면 스칼라장 예제 1 의 크기가 가장 많이 바뀌는가? 은 원점에서 위치벡터 까지 거리의 제곱이다. 따라서 이 일정한 점들은 원점에서 거리가 같은 점들이다. 그러므로 는 반 지름이 인 구의 표면을 가리킨다. 이것은 구의 표면에서는 어디서나 스칼라 장 의 값이 같음을 의미한다. 따라서 구 표면에서 수직한 방향으로 이동하면 가 가장 많이 바뀌리라고 예상할 수 있다. 그러한 예상을 확인하기 위하여 스칼라장 의 그래디언트 ∇ 를 구해보자. (6.16)을 이용하면 ∇ 이다. 그런데 (6.22)식을 이용하여 설명된 것처럼, 스칼라장이 가장 빨리 바뀌는 방 향은 그 스칼라장의 그래디언트의 방향과 같다. 그러므로 에서 스칼라 장 가 가장 많이 바뀌는 방향은 바로 방향이다. ◆ 그러면 다음으로 ∇ 연산자를 벡터장 에 적용하는 경우를 보자. 두 벡터를 곱 할 때 그 결과가 스칼라가 될 수도 있고 벡터가 될 수도 있으므로 두 벡터의 스칼라 71 제2주 강의 곱과 벡터곱을 정의하였던 것과 꼭 마찬가지로, 벡터장에 벡터연산자인 ∇ 연산자를 적용하면 그 결과가 스칼라장이 될 수도 있고 벡터장이 될 수도 있다. 그래서 두 경 우를 구분하여 결과가 스칼라장이 되는 경우는 ∇ ⋅ 라고 쓰고 ‘델 돗 ’라고 읽는다. 그리고 결과가 벡터장이 되는 경우는 ∇ × 라고 쓰고 ‘델 크로스 ’라 고 읽는다. 또한 앞에서∇ 를 그래디언트 라고 부르고 라고 쓰기도 했던 것 과 꼭 마찬가지로, ∇ ⋅ 를 다이버젠스 F 라고 부르고 라고 쓰기도 하며, ∇ × 를 컬 라고 부르고 라고 쓰기도 한다. ∇ 연산자의 정의인 (6.15)식을 이용하고 벡터장 를 (6.23) 로 표현하면 는 ∇ ⋅ ⋅ (6.24) 가 된다. 같은 방법으로 는 ∇ × × 가 된다. 72 (6.25) ...
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This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

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