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Unformatted text preview: 제3주 강의 달려가는 축구선수 지난 두 주에 걸쳐서 우리는 물리학의 특징 중에 하나가 자연법칙을 수식으로 표 현한 것이라는 점을 배웠습니다. 바로 그 점 때문에 특별한 사람이 아니라 누구든지 원하면 자연법칙을 이해하고 발전시킬 수 있었으며 바로 그 점 때문에 과학이 짧은 기간 동안에 이렇게 눈부시게 발전하게 되었음을 알았습니다. 자연법칙을 수식으로 표현하기 위해서는 제일 먼저 자연현상을 물리량으로 표현하 는 일이 필요합니다. 그래서 우리는 지난 두 주에 걸쳐서 물리량을 어떻게 다루는지 배웠고 좌표계가 왜 필요한지도 배웠고 물리량을 왜 벡터와 스칼라로 구분하는지도 배웠습니다. 여러분이 아직 기억하고 있을지 모르지만, 물리는 자연현상을 지배하는 가장 기본 적인 법칙을 다루는 분야입니다. 그리고 그렇게 가장 기본적인 자연법칙은 단 하나입 니다. 우리는 물리에서 다루는 그 단 하나의 기본법칙이 바로 운동법칙임을 1장에서 배웠습니다. 그렇습니다. 자연의 기본법칙은 바로 물체가 어떻게 운동하는지를 설명 하는 법칙인 것입니다. 자연현상에 대한 단 하나의 기본법칙인 운동법칙이 사실은 바로 우리가 잘 알고 있는 라고 표현되는 뉴턴의 운동방정식입니다. 고등학교에서 여러분은 물리 시간을 통하여 를 이용하는 방법을 배웠을 것입니다. 이제 대학교 물리시간 에서도 똑같은 방정식을 이용하는 방법을 배웁니다. 그렇지만 대학교에서는 좀 고급 73 제3주 강의 스럽게 뉴턴의 운동방정식을 다룹니다. 이번 주에도 아직 뉴턴의 운동법칙을 직접 다루지는 않고 그렇게 하기 위한 준비 작업을 좀 더 계속합니다. 운동법칙은 물체가 운동할 때 만족하는 법칙입니다. 그래 서 물체의 운동에 운동법칙을 적용하기 위해서는 먼저 물체의 운동을 어떻게 기술하 는지를 정해야 합니다. 이번 주에는 그래서 물체의 운동을 기술하는 방법을 배웁니 다. 우리는 이미 물체의 운동을 정량적으로 기술하기 위해서는 가장 먼저 좌표계를 정 해줘야 한다는 것을 알고 있습니다. 그리고 좌표계를 정하는 것이 어떻게 하는 것인 지도 알고 있습니다. 그런데 좌표계를 이용하여 물체의 위치를 정해주는 방법이 몇 가지 있습니다. 그런 방법 중에서 가장 많이 이용되는 것으로 직교좌표계, 구면좌표 계, 그리고 원통좌표계를 이용하는 방법이 있습니다. 또 다른 종류의 좌표계를 이용 할 수도 있지만 이 세 가지가 주로 이용되므로 다른 것은 관심을 갖지 않아도 좋습니 다. 이번 주 첫 번째 장인 7장에서는 직교좌표계를 이용하여 운동을 어떻게 기술하는 지 배웁니다. 그리고 그 다음 8장에서는 원통좌표계와 구면좌표계를 이용하여 운동 을 어떻게 기술하는지를 배우게 됩니다. 그리고 마지막으로 9장에서는 등속도운동, 등가속도운동, 등속운동 등 특별한 운동을 어떻게 기술하는지에 대해서 배울 것입니 다. 74 7. 운동을 직교좌표계로 기술하기 ∙ 좌표계에서 물체의 위치를 나타내는 벡터를 위치벡터라고 한다. 직교좌표계에 서 위치벡터는 어떻게 정의되는가? 그리고 물체의 위치와 연관된 변위와 거리는 위치벡터와 어떤 관계를 가지고 있는가? ∙ 물체의 운동을 기술하는 데는 변위, 속도, 가속도 등이 이용된다. 이들을 직교좌 표계에서 어떻게 구하고 서로 어떤 관계에 있는가? ∙ 물체가 이동하는 방향은 변위 또는 속도의 방향과 같다. 그러나 가속도의 방향 은 물체의 이동방향과 아무런 관계가 없다. 물체의 운동을 보고 가속도의 방향을 알 수 있는 방법은 없을까? 물체의 운동을 숫자에 의해서 정량적으로 묘사하기 위해서는 먼저 공간에 적당한 좌표계를 정해야 한다. 지난 3장에서 좌표계를 정한다는 말은 물체의 위치가 0이라 는 숫자로 대표되는 기준 위치인 원점을 정하고 그 원점을 지나는 서로 수직한 3개 의 좌표축을 정하며 각 좌표축의 +방향을 정하는 것을 의미한다고 배웠다. 그리고 각 좌표축의 +방향을 정할 때는 반드시 오른손 좌표계가 되도록 정해야 한다는 점도 배웠다. 좌표계란 물체의 운동을 숫자로 묘사하기 위하여 내가 마음대로 정하면 된다. 혹 시 좌표계를 잘못 정하면 문제를 제대로 풀지 못하지 않을까 걱정할 필요는 없다. 자 연법칙은 좌표계와는 아무런 관계가 없다. 좌표계란 단지 자연법칙을 숫자로 대표하 게 해주는 수단일 뿐이기 때문이다. 그러나 좌표계의 원점이나 각 좌표축의 방향을 편리하게 정하는 것은 매우 중요하다. 예를 들어 지구에서 운동하는 물체의 움직임을 기술하는데 원점을 목성에 정했다면 물체의 위치를 대표하는 숫자가 매우 커야지 만 되기 때문에 무척 불편할 것이다. 6장에서 이미 배운 것처럼, 그림 7.1에 보인 것과 같이 좌표계의 원점에서 물체의 위치까지 그린 벡터를 위치벡터 이라 한다. 위치벡터는 그림 7.1과 같이 좌표계의 원점에서 물체의 위치까지 그린 화살표를 말한다. 물체가 시간 t 때 이 위치에 있다 75 제3주 강의 고 하면 위치벡터를 시간의 함수로 r ( t ) 와 같이 표현한다. 이런 방법으로 위치벡터를 표 현하면 물체가 움직이는 모습을 수식으로 나 타낸 셈이 된다. 물체의 위치를 숫자로 구하 려면 그림 7.1에 보인 것처럼 각 좌표축의 성 분을 더하여 (7.1) 와 같이 위치벡터를 표현하면 된다. 여기서 그림 7.1 위치벡터 위치벡터의 각 축 방향의 성분인 는 물체의 위치로부터 각 축에 내린 수선이 각 축과 교차하는 점을 말하며, 물체의 위치 를 이렇게 로 나타낼 때 직교좌표계를 이용하여 위치를 표현한다고 말한다. 그리고 이런 방법으로 물체가 운동을 시작한 위치로부터 끝낸 위치까지 움직이는 동 안 모든 시간에서 물체가 위치한 좌표 값을 알면 물체의 운동을 완벽하게 묘사한 것 이다. 그런데 이와 같이 물체의 운동을 묘사하는데 물체의 위치벡터를 시간의 함수로 표 현하기 위해서는 서로 다른 모든 시간에 물체의 위치가 어디인지를 좌표로 표시하여 야 하기 때문에 무한히 많은 수의 좌표를 알아야 한다. 그렇지만 우리가 흔히 듣는 등속도 운동이나 등가속도 운동과 같은 특별한 운동을 묘사하는 데는 매 순간마다 물체가 위치한 좌표가 어디인지를 말해주는 숫자를 모두 다 열거하지 않아도 된다. 예를 들어, 등속도 운동을 보자. 등속도 운동은 일정한 빠르기로 정해진 한 방향을 향해서 움직이는 운동이다. 그래서 시작점의 위치와 흘러간 시간 그리고 물체가 움직 이는 속도만 알면, 그 속도에 시간을 곱하여 물체가 진행한 거리를 계산하는 방법으 로 매 순간마다 물체의 위치를 알 수 있다. 이와 같이 속도나 가속도 등 물체의 운동 을 기술하는데 보조가 되는 물리량은 물체의 운동을 간단히 묘사하는데 큰 도움을 준다. 이제 위치벡터, 변위, 속도, 그리고 가속도 등 물체의 운동을 기술하는데 필요한 물 리량에 대해 자세히 알아보자. 물체가 이동하는 모습을 묘사하는 벡터양으로 우리가 이미 4장에서 벡터의 덧셈법칙을 구하는데 이용하였던 변위가 있다. 물체가 한 위치 에서 다른 위치로 이동하였을 때, 처음 위치에서 나중 위치까지 직선으로 그은 화살 76 7. 운동을 직교좌표계로 기술하기 표를 변위라 한다. 그림 7.2에 보인 것처럼, 시각 때 위 치벡터가 인 위치에 있던 물체가 시각 때 위치벡터가 t2 인 위치로 이동하였다면 물체가 이동한 변위 은 (7.2) 로 주어진다. (7.2)식에서 변위를 표시하는데 델타라고 읽히는 글자 그림 7.2 변위 를 사용하였다. 물리에서는 변화량을 표현할 때는 흔히 이 글자를 이용한다. 예를 들어 운동에너지를 K 로 나타내면 운동에너지의 변화량을 이라고 쓰는데 여기서 변화를 판단하는 기준은 시간이며 그래서 아래첨 자 1과 2는 서로 다른 시간을 나타낸다. 물리에 나오는 물리량은 거의 대부분 시간을 기준으로 변화량을 이야기한다. 예를 들어 등속도 운동은 속도가 변하지 않는 운동을 말하는데 시간이 흐르더라도 속도가 일정하게 유지된다는 뜻이며 에너지 보존법칙은 에너지가 변하지 않는다는 법칙인데 이 경우에도 역시 시간이 흐르더라도 에너지가 일정하다고 이해하면 된다. 변위는 처음위치 에서 나중위치 까지 그린 화살표로 표시되는데, 여기서 변위 는 물체가 이동한 거리와 이동방향을 함께 보여준다. 이때 물체가 이동한 거리 는 변위의 크기 와 같아서 (7.3) 라고 쓸 수 있다. 물리에서는 변위와 거리를 엄격하 게 구분에서 사용하는데, 물체가 이동한 거리는 변위 의 크기만을 말하는 스칼라양이다. 만일 좌표계의 원점을 다르게 정했다면, 그림 7.3 에 보인 것과 같이, 물체의 위치를 나타내는 위치벡 터는 다르게 표현된다. 즉 좌표의 값이 바뀐다. 그러 나 두 위치벡터의 차이로 정해지는 변위는, 그림 7.3 에 로 보인 화살표처럼, 좌표계의 원점이 달라지 더라도 바뀌지 않고 똑같다. 좌표계란 물체가 이동하 77 그림 7.3 서로 다른 좌표계에서 표현된 위치벡터와 변위 제3주 강의 는 모습을 숫자로 표현하여 나타내기 위해서 자신이 편리하게 정하는 것이다. 그래서 좌표계를 어떻게 정하든지 우리가 기술하려고 하는 내용은 바뀌지 않아야 할 것이다. 그러므로 물체가 이동하는 모습을 나타내는 변위가 사용하는 좌표계에 따라 바뀌지 않는 것은 당연한 결과이다. 이번에는 변위와 거리 사이의 차이를 좀 더 자세히 살펴보자. 우체국에서 학교까 지 4 km를 갔다고 말하면 단지 우체국에서 학교까지의 거리만을 이야기한 것이다. 그런데 우체국에서 오른쪽으로 학교까지 4km를 갔다고 말하면 변위를 이야기한 것 이다. 그리고 여기서 오른쪽으로라고 말하는 대신에 좌표축의 오른쪽을 +방향으로 정했다면 +4 km를 갔다고 말하던가, 좌표축의 왼쪽을 +방향으로 정했다면 -4 km 를 갔다고 말하면 바로 변위를 말한 것이다. 그리고 변위의 크기는 거리와 같다. 이번에는 그림 7.4의 점선으로 보인 것과 같이 물체는 위치벡터가 인 곳에서 출발하여 직선경로가 아니라 이 리저리 방향을 바꾸면서 진행하다가 결국 위치벡터가 에 도착하였다고 하자. 이때 물체가 이동한 변위는 에서 까지 직선으로 그린 화살표와 같다. 그러나 이동한 거리는 실제로 거쳐 지나간 거리를 다 포함하며 그러면 이 경우에 는, 그림 7.4에서 분명하듯이, 변위의 크기가 이동한 거리 와 동일하지 않다. 그러므로 물체가 진행하면서 이동방향 을 바꾸면 물체가 이동한 거리는 이동한 변위의 크기보다 더 크다. 물체가 이동 방향을 바꾸지 않고 이동하는 경우 그림 7.4 이동방향이 바뀌는 경우의 변위와 거리 에는 변위의 크기가 거리와 같지만 이동 방향을 조금이라 도 바꾸면 변위의 크기는 항상 이동한 거리보다 더 작다. 물체의 위치와 이동을 묘사하는 물리량으로 위치벡터와 변위 그리고 거리를 알아 보았다. 위치벡터와 변위는 벡터양이고 거리는 스칼라양이라고 하였고 특히 거리는 변위의 크기를 말한다고 하였다. 그러면 이제 물체가 움직이는 빠르기를 묘사하는 물 리량인 속도와 속력에 대해 알아보자. 물체의 위치를 어느 한 시각에 단 한 번만 측정해서는 물체가 움직이는 빠르기를 알 수는 없다. 물체가 움직이는 빠르기는 두 시각에 물체가 지나간 두 위치를 알아야 계산할 수 있다. 시각이 t 1 일 때 물체의 위치벡터가 이고 시각이 t 2 일 때 물체의 78 7. 운동을 직교좌표계로 기술하기 위치벡터가 이라고 하자. 그러면 과 사이의 시간간격 동안에 물체가 이동한 변위는 이다. 그러면 물체의 속도 는 이동한 변위 를 이동하 는데 걸린 시간간격 로 나누어 (7.4) 과 같이 구한다. 이렇게 구한 속도는 벡터양이다. 변위가 벡터양이고 시간간격은 스칼라양이므로 벡터를 스칼라로 나눈 것은 벡터양임을 곧 알 수 있다. 앞에서 벡터양인 변위의 크기 를 스칼라양인 거리라 부른다고 하였다. 그래서 이동한 거리를 그만큼 이동하는데 걸 린 시간간격으로 나누면 물체가 움직인 빠르기를 구할 수 있다. 이렇게 구한 빠르기 를 속력이라고 부른다. 속도와 속력이 비슷한 의미로 들리지만 물리에서는 두 물리량 을 엄격히 구별하여 사용한다. 속도는 크기와 방향이 모두 정해져야 결정되며 속력은 크기만으로 결정되는데, 속도의 크기가 바로 속력과 같다. 영어로는 속도를 velocity 라 부르고 속력을 speed라고 불러서 서로 구별한다. 자 동차에서 빠르기를 알려주는 계기판을 영어로 speedometer라고 부르는데 우리는 이것을 속도계라고 하기보다는 속력계라고 부르는 것이 더 그럴듯해 보인다. 그것은 속력계가 자동차의 빠르기만을 알려주지 자동차가 움직이는 방향을 알려주지는 않기 때문이다. 속도를 계산하려면 서로 다른 두 시각에 물체의 위치를 측정하여 변위를 계산하고 그것을 시간간격으로 나눈다. 예를 들어 100m 경주하는 사람의 속도를 알려면 스톱 워치를 가지고 100m 를 달리는데 걸리는 시간을 측정한다. 그런데 100 m를 달리는 동안 빠르기가 항상 일정하다고 볼 수는 없다. 실제로 100m 경주에서는 하지 않고 처음에는 빠르기가 점점 더 커지게 된다. 그래서 위와 같이 계산한 속도는 100 m를 달리는 동안의 평균속도라고 한다. 속도를 매 순간마다 좀 더 정확히 측정하려면 시간간격을 더 작게 하면 된다. 그런 데 얼마나 작게 하여야 속도를 아주 정확하게 측정한다고 말할 수 있을까? 실제로 계 산하는 데는 우리가 필요한 만큼 짧게 하면 되겠지만 수학적으로는 시간간격을 무한 히 0에 가깝게 보낼 수 있다. 이렇게 시간간격 를 0에 이를 때까지 짧게 하여 계산한 속도를 특별히 순간속도라고 부른다. 물리나 수학에서 속도라고 하면 대부분 79 제3주 강의 이 순간속도를 의미한다. 속도를 나타내는데 특별히 순간속도임을 강조하기 위하여 수학에서는 속도 를 표현하는데 (7.4)식 대신에 lim → (7.5) 라고 쓴다. 여기서 lim 는 시간간격 를 0으로 보내면서 과 사이의 비를 계 → 산한다는 뜻이다. 이때 무한히 0으로 보낸 시간 변화량을 시간에 대한 미분이라고 부 르고 dt 로 표시한다. 이 시간에 대한 미분은 6장에서 임의의 독립변수 에 대한 미 분을 정의한 (6.2)식에 의한 미분과 동일한 의미를 갖는다. 변위를 표현한 (7.2)식이나 속도를 표현한 (7.5)식에서는 아직 직교좌표계를 이 용하지 않았다. 변위나 속도를 직교좌표계의 좌표인 와 직교좌표계의 단위벡 터인 를 이용하여 표현하면 그때 직교좌표계를 이용하였다고 말한다. 그래서 위치벡터를 표현한 (7.1)식이 바로 직교좌표계를 이용하여 표현된 것이다. (7.1)식을 이용하여 두 위치벡터 과 를 직교좌표계에서 표현하면 , (7.6) 이 된다. 그러면 물체가 에서 로 이동할 때의 변위 을 직교좌표계에서 표현 하면 (7.7) 가 된다. 그리고 (7.5)식으로 주어지는 속도 를 직교좌표계에서 표현하면 lim lim → → (7.8) 이다. 그런데 속도 를 직교좌표계에서 각 축 방향 성분과 단위벡터로 표현하면 (7.9) 80 7. 운동을 직교좌표계로 기술하기 가 된다. 그래서 (7.8)식과 (7.9)식을 비교하면 속도의 직교좌표 성분인 , , 그 리고 는 (7.10) 임을 알 수 있다. 이 결과는 놀랍게도 속도의 성분은 좌표에 의해서만 결정되고 성분은 좌표에 의해서만 결정되며 성분은 좌표에 의해서만 결정된다는 것을 알 려준다. 여러분 중에는 혹시 이렇게 당연한 결과를 가지고 왜 놀라운 결과라고 말하 는지 의아하게 생각할지도 모른다. 그런데 앞으로 구면좌표계나 원통좌표계에서 기 술되는 운동을 배울 때 확실히 알게 되겠지만 (7.10)식으로 주어지는 성질이 꼭 당 연한 것만은 아니다. 그런데 (7.8)식으로 속도를 계산하려면 한 가지 문제가 있어 보인다. 두 수의 비로 주어진 속도를 (7.8)식으로 구하는데 를 0으로 보내어 계산한다면 분모가 0이 되 는 셈인데 괜찮을까? 유한한 크기의 수를 점점 더 작은 수로 나눈다면 그 결과는 점 점 더 큰 수로 되고 마침내 0으로 나눈다면 그 결과는 무한대가 된다. 무한대는 속도 와 같은 물리량의 답이 될 수 없다. 다시 말하면 어떤 물리량을 계산하였는데 그 결 과가 무한대로 나왔다면 우리는 답이 없다든지 또는 답이 존재하지 않는다고 말한다. 그런 분모인 가 0으로 가면 다행스럽게도 분자인 변위 의 크기도 역시 무 한히 0에 가깝게 작아진다. 이것은 그림 7.5를 보면 잘 이해할 수 있다. 그림 7.5에 서 좌우로 그린 좌표축은 시간을 나타내며 위 아래로 그린 좌표축은 좌표를 나타낸 다. 그래서 이 그림의 두 좌표축이 지금까 지 본 평면을 나타내는 것이 아님을 특별 히 유의해야 한다. 그래서 그림 7.5에는 두 개의 좌표축이 있지만 이것은 2차원 운 동을 묘사하는 것이 아니라 단순히 1차원 운동에서 시간이 흘러감에 따라 물체의 좌표가 어떻게 바뀌는지를 알려줄 뿐이다. 그림 7.5에서 실선은 물체의 x 좌표를 시 간의 함수로 보여준다. 시간이 t 1 일 때 물 그림 7.5 평균속도와 순간속도 81 제3주 강의 체의 좌표가 x 1 이고 시간이 흐름에 따라 물체의 좌표가 그림 7.5의 실선이 가리 키는 것처럼 변하다가 시간이 t 2 일 때 좌표가 x 2 인 위치를 지나간다. 그래서 라는 시간간격 동안에 물체가 움직이는 평균속도의 축 성분은 그림 7.5 에 나오는 와 사이의 비와 같은데 이 값은 그림 7.5에서 과 를 잇는 선 분의 기울기와 같다. 이제 그림 7.5에서 두 시간 과 사이의 더 짧은 시간간격 ′ 에 대해 물 체의 평균 속도를 계산한다고 생각하자. 그러면 이 더 짧은 시간간격에서 평균속도 값은 변위의 축 성분인 ′ 과 시간 변화량 ′ 사이의 비와 같고, 이 값은 그림 7.5에서 A 1 과 A 3 를 잇는 선분의 기울기와 같다. 그런데 그림 7.5를 보 면 바로 알 수 있듯이, 시간 변화량 를 ′ 으로 더 작게 하면 변위의 성분 도 ′ 로 더 작아진다. 만일 시간간격 를 점점 더 작게 하여 0에 무한히 가까이 가게 하면 어떻게 될 까? 이것은 그림 7.5에서 실선을 따라 A 3 를 A 1 쪽으로 가져오는 것과 같다. 그러면 그림 7.5에서 바로 볼 수 있듯이 시간간격 가 작아지는 것과 함께 도 역시 감 소하면서 무한히 0에 가까워진다. 이렇게 0에 가깝게 작아진 변위의 성분을 위치벡 터의 성분인 에 대한 미분이라고 부르고 라고 표시한다. 그리고 이 위치벡터에 대한 미분은 바로 미분인 시간간격 dt 사이의 변위와 같다. 그러면 위치 에서 순간 속도는 무한히 작아진 미분 dx 와 미분 dt 사이의 비로 주어진다. 그래서 무한히 작아진 미분 를 로 나눈 것은 0을 0으로 나눈 것이라고 볼 수 도 있다. 그런데 흔히 0을 0으로 나누면 부정이라고들 말한다. 그 뜻은 가장 간단한 1차 방정식인 의 풀이를 생각하면 바로 이해할 수 있다. 이 식에서 만일 이고 이라면 이 방정식의 풀이는 즉 0을 0으로 나눈 몫과 같다. 그런데 이것을 원래 방정식으로 표현하면 × 꼴이고 이 식은 에 어떤 값을 넣더라도 모두 성립한다. 즉 0을 0으로 나눈 몫은 한 값으로 정해지지 않고 어떤 값이나 가능 하기 때문에 이 몫을 부정이라고 부른다. 만일 어떤 물리량을 계산한 결과가 부정이라면 그래서 그 결과가 한 값으로 정해 지지 않고 여러 값이 나온다면, 우리는 역시 그 물리량이 존재하지 않는다고 생각한 다. 자연현상의 결과는 딱 한 값으로 정해져야만 하는 것이다. 만일 그렇지 않다면 자연현상이 이렇게 나타날까 저렇게 나타날까 결정하지 못하지 않겠는가? 82 7. 운동을 직교좌표계 기술하기 그래서 언뜻 생각하면 분모와 분자가 모두 무한히 0으로 가까이 가는 순간속도를 계산하기가 좀 어려운 것처럼 생각되기도 한다. 그렇지만 그림 7.5를 가지고 조금 달 리 접근하여 보자. 평균속도의 값은 그림 7.5에서 두 시각에서의 위치를 잇는 선분의 기울기와 같음을 알았다. 이제 두 시간간격을 줄여 가면 바로 이 선분의 기울기는 어 떻게 변하는지 살펴보자. 자세히 보면서 곰곰이 생각해보면 그림 7.5의 를 에 가까이 가지고 갈수록 과 를 잇는 선분의 기울기는 한 값 즉 을 지나는 실선 에 접하는 접선의 기울기로 가까이 감을 알 수 있다. 그래서 가 0으로 가까이 가 면 도 역시 0으로 가까이 가는데 그렇지만 이들 둘 사이의 비는 어떤 정해진 값 으로 귀착되며 그 값이 바로 순간속도이다. 우리는 앞에서 흔히 변위의 크기를 거리라고 말하지만 실제로는 물체가 이동하는 방향이 바뀌지 않을 때만 변위의 크기가 물체가 이동한 거리와 같다고 하였다. 그래 서 속도의 크기를 속력이라고 말할 때 그것이 항상 성립할지 또는 그렇지 않을지 궁 금할 수도 있다. 상당히 큰 시간간격 동안에 계산된 평균속도에 대해서는 변위에 서와 마찬가지로 동안에 물체가 이동하는 방향이 바뀌지 않는 경우에 한해서 평 균속도의 크기가 평균속력과 같다. 그러나 순간속도의 경우에는 시간간격 동안에 이동하는 변위 의 크기가 하도 작기 때문에 그 동안에 물체가 이동하는 방향이 바 뀔 수가 없다. 그러므로 순간속도의 경우에는 항상 속도의 크기가 속력과 같다. 그리 고 특별히 평균속도라고 언급하지 않는 이상 물리에서는 속도라고 하면 대부분 순간 속도를 의미하기 때문에 속도의 크기는 속력이라고 말하면 틀릴 확률이 별로 크지 않다. 물체가 움직이는 빠르기를 나타내는 물리량이 속도와 속력이라면 속도가 변하는 정도를 나타내는 물리량이 가속도이다. 그리고 만일 속도가 변하지 않는다면 가속도 는 0이다. 속도가 변하지 않는다고 말할 수 있으려면 속도의 크기인 속력은 물론 속 도의 방향도 바뀌지 않아야 한다. 속도의 방향은 물체가 움직이는 방향과 일치한다. 그래서 직선 위를 일정한 속력으로 움직일 때만 속도가 변하지 않고 움직인다고 말 한다. 속도를 측정하려면 서로 다른 두 시각에 물체의 위치벡터를 측정한 뒤 위치벡터의 변화량인 변위를 시간의 변화량으로 나누어 구했던 것처럼, 가속도를 측정하려면 서 로 다른 두 시각에 물체의 속도를 측정한 뒤 속도의 변화량을 시간의 변화량으로 나 누어 구한다. 이것을 식으로 표현하면 83 제3주 강의 lim → (7.11) 이 되는데 이 식은 앞에서 속도를 구한 (7.5)식에서 위치벡터를 표시하는 를 로 바꾸어 쓰고 속도를 표시하는 를 가속도를 표시하는 로 바꾸어 쓴 것과 똑같다. 그래서 앞에서 평균속도와 순간속도에 관해, 순간속도를 구하려고 시간의 변화량 를 0으로 무한히 가까이 보내면 과연 속도를 구할 수 있는지에 관해 장황하게 설명 한 내용 중에서 위치를 속도로 그리고 속도를 가속도로 바꾸어 놓기만 하면 바로 가 속도에 대한 설명이 된다. 그러니 가속도에 대해서는 더 이상 자세히 설명하지 않고 가속도를 이해하는데 유의할 점 몇 가지를 이야기하고 넘어가도록 하자. (7.11)식으로 주어진 가속도는 아직 좌표계를 이용하여 표현된 것이 니다. 이런 종류의 식은 좌표계에 상관없이 성립한다. 이제 직교좌표계를 이용하여 가속도를 표 현하면 직교좌표계에서 속도를 표현한 (7.8)식과 (7.10)식을 이용하여 (7.12) 가 됨을 알 수 있다. 그런데 가속도 를 직교좌표계에서 각 축 방향의 성분과 단위벡 터로 표현하면 (7.13) 가 된다. 그러므로 (7.12)식과 (7.13)식을 비교하면 가속도의 직교좌표 성분인 , , 그리고 는 (7.14) 로 주어짐을 알 수 있다. 이 결과와, 속도에 대한 결과인 (7.10)식을 보면 정말 놀랍 게도 속도와 가속도의 성분은 모두 좌표에 의해서만 결정되고 성분은 좌표에 의해서만 결정되며 성분은 좌표에 의해서만 결정된다는 것을 알 수 있다. 이 결과 는 나중에 우리가 운동법칙을 배울 때 아주 요긴하게 이용되어 문제를 아주 간단하 게 만든다는 사실을 기억하고 있기 바란다. 84 7. 운동을 직교좌표계로 기술하기 벡터양인 변위의 크기는 거리와 같고 벡터양인 속도의 크기를 속력이라고 부른다 는 점은 앞에서 이야기하였다. 그리고 속도 는 (7.15) 로 주어지며 따라서 이 식 좌변에 나온 벡터양인 속도 가 가리키는 방향은 우변에 나온 벡터인 변위 가 가리키는 방향과 같고, 이 방향이 바로 물체가 움직일 때 이 동하는 방향이다. 그렇지만 가속도 의 방향이 물체의 운동에서 무엇을 가리키는지 를 이해하려면 좀 신중하게 생각해 보아야 한다. 가속도 는 (7.16) 라고 주어지는데 여기서 속도의 변화량인 의 방향은 물체가 이동하는 방향과는 관계가 없기 때문이다. (7.16)에서 분명하듯이 가속도는 벡터양이며 가속도의 방향은 속도의 변화량을 말하는 의 방향과 같다. 문제를 간단히 하기 위해서 물체가 직선운동을 하는 경우 를 보자. 직선운동을 기술하기 위해서는 좌표축을 하나만 그리면 되고 물체가 이동하 는 방향은 좌표축의 방향과 방향 등 두 방향 밖에는 없다. 그러므로 물체가 이동 하는 방향은 물론 물체의 가속도가 갖는 방향도 역시 좌표축의 +방향 또는 그 반대 방향 둘 중의 하나이다. 그리고 이런 경우에 변위와 속도 그리고 가속도의 방향은 그 양들의 부호로 결정된다. 예를 들어 변위가 0보다 크면 물체는 좌표축의 방향으로 이동하는 것이고 0보다 작으면 방향으로 이동하는 것이다. 그리고 가속도가 0보다 크면 물체의 가속도는 좌표축의 방향을 가리키는 것이고 0보다 작으면 좌표축의 방향을 가리키는 것이다. 그런데 가속도가 +방향을 향한다는 것이 무슨 의미인지 해석하는데 주의해야 한 다. 가속도의 방향은 물체의 운동 방향과는 아무런 관계도 없다. 가끔 가속도의 방향 과 물체가 운동하는 방향이 일치하기도 하지만 그것은 우연히 일치하는 것이지 어떤 원리에 의해 일치하는 것이 아니다. 한 번 더 강조하지만 물체가 움직이는 방향은 변 위의 방향 또는 속도의 방향과는 같으나 가속도의 방향과는 아무런 관계가 없다. 직선동에서 물체가 좌표축의 +방향을 향하여 움직인다고 하자. 이때 가속도의 85 제3주 강의 표 7.1 좌표축의 +방향을 오른쪽으로 정한 경우 물체가 움직이는 모습 속도 가속도 물체가 움직이는 모습 0보다 크다 0보다 크다 오른쪽으로 점점 더 빨리 움직인다. 0보다 크다 0보다 작다 오른쪽으로 움직이나 빠르기가 감소한다. 0보다 작다 0보다 작다 왼쪽으로 점점 더 빨리 움직인다. 0보다 작다 0보다 크다 왼쪽으로 움직이나 빠르기가 감소한다. 방향도 역시 +방향이면 이것은 물체의 빠르기가 점점 더 증가하고 있음을 의미한다. 만일 물체가 좌표축의 +방향과는 반대방향인 방향으로 움직이고 있는데 이 물체 의 가속도의 방향이 +방향이라면 이것은 물체의 빠르기가 점점 감소하고 있음을 의 미한다. 가속도의 방향이 +방향의 반대방향인 방향이라면 어떤 운동을 의미할지 곰곰이 생각해보자. 직선운동에 대해 그와 같은 여러 경우를 정리하면 표 7.1과 같은 표를 만들 수 있다. 86 8. 원통좌표계와 구면좌표계 ∙ 원통좌표계를 이용하거나 직교좌표계를 이용한다는 말은 물리량을 각 좌표계에 속한 좌표와 단위벡터로 표현한다는 의미이다. 원통좌표계의 단위벡터와 구면좌 표계의 단위벡터는 무엇이며 직교좌표계의 단위벡터와 어떤 점에서 구별되나? ∙ 직교좌표계의 단위벡터는 시간으로 미분하면 0이다. 그러나 원통좌표계와 구면 좌표계의 단위벡터는 그렇지 않다. 각 좌표계의 단위벡터를 시간으로 미분하면 어떻게 되나 알아보자. ∙ 위치벡터, 속도, 가속도 등이 원통좌표계와 구면좌표계에서 표현되는 방법을 익 숙할 때까지 익혀보자. 지난 7장에서는 위치벡터와 변위, 속도, 그리고 가속도 사이의 관계를 알아보고 그 관계를 직교좌표계를 이용하여 표현하였다. 이제 8장에서는 직교좌표계 대신 원통좌 표계와 구면좌표계를 이용하여 위치벡터와 변위, 속도, 그리고 가속도를 표현하면 어 떻게 되는지 알아보고자 한다. 그렇게 하기 위해 먼저 원통좌표계와 구면좌표계를 정 의하자. 그림 8.1은 원통좌표계에 속한 세 좌표 와 그리고 가 어떻게 정의되는지 보 여준다. 그림 8.1에 보인 것과 같이, 물체의 위치에서 평면에 수선을 내려 그어서 평면과 만나는 점과 원점 사이의 거리가 좌표 와 같다. 그리고 축으로부터 까지의 회전 각이 좌표 와 같다. 마지막으로 원통좌표계 의 좌표 는 직교좌표계에서의 좌표 와 똑 같이 정의된다. 두 크기가 1인 벡터로 그 방향은 직교좌표계 87 원통좌표계의 각 좌표에 대응하는 단위벡 터는 , , 등과 같이 쓴다. 이들은 모 그림 8.1 위치벡터 제3주 강의 의 단위벡터를 정의하였던 (5.1)식과 유사하게 정의하면 쉽게 이해될 수 있다. 다시 말하면, 원통좌표계의 단위벡터는 : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 (8.1) : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 이라고 정의된다. 그러면 이제 (7.1)식에 의해 직교좌표계에서 위치벡터를 표현한 것처럼, 원통좌표계의 좌표와 단위벡터를 이용하여 위치벡터를 표현할 수 있다. 직교 좌표계를 이용한 (7.1)식에서 아이디어를 빌려서 (8.2) (이 식은 틀린 식임!) 라고 쓰면 될까? 그렇지가 않다. 그림 8.1을 잘 보면 위치벡터 은 (8.3) 와 같음을 알 수 있다. 원통좌표계에 속한 세 좌표 중에서 는 직교좌표계와 동일한 것을 이용한다. 그래 서 직교좌표계와 원통좌표계는 평면에서 전자(前者)는 두 좌표 와 를 이용하 는데 반하여 후자(後者)는 두 좌표 와 를 이용한다는 데서 차이가 있다. 그래서 특별히 두 좌표 와 를 이용하는 2차원 좌표계를 극좌표계라고 부른다. 평면 위에 서 원운동하는 물체를 기술할 때는 극좌표계를 이용하는 것이 편리하다. 원통좌표계 는 극좌표계에 좌표를 더하기만 하면 됨으로 잠시 극좌표계에 대해서 알아보기로 하자. 평면위의 한 점에 놓인 물체의 위치를 직교좌표계에서는 그림 8.2에 표시된 것처 럼 두 좌표 로 표시한다. +y 똑같은 위치를 극좌표계에서 ( x, y) +y 표시하면 그림 8.2에 보인 것 처럼 두 좌표 로 표시한 y +x 다. 좌표는, 앞에서 정의된 것 x 과 마찬가지로, 좌표계의 원점 그림 8.2 직교좌표계와 극좌표계 88 +x 8. 원통좌표계와 구면좌표계 으로부터 물체가 놓인 위치까지의 거리이고, 좌표는 축과 원점에서 물체의 위치 까지 그린 선 사이의 사잇각이다. 이와 같이 동일한 점을 나타내는데 직교좌표계를 이용하여 좌표로 표시하거나 극좌표계를 이용하여 좌표로 표시할 수 있는 데, 두 가지 중 어느 것을 이용할지는 문제가 주어지면 어느 것을 이용하는 것이 더 편리한지에 따라 우리 마음대로 정한다. +y 평면에 놓인 물체의 위치를 두 좌표로 표시할 수도 있 지만 그림 8.3에 보인 것과 같이 위치벡터 r 로 표시할 수 도 있다. 그리고 실제 계산을 위해서는, 앞에서 본 것처럼, 사용할 좌표계를 정하고 위치벡터를 그 좌표계의 성분으 r +x 로 표현하여야 한다. 또한 사용하는 좌표계에 따라서 위치 벡터가 표현되는 모양이 다르므로 위치벡터가 각 좌표계 에서 표현되는 형태를 잘 알고 있어야 한다. 그림 8.3 평면위의 위치벡터 그러면 먼저 평면에서 직교좌표계와 극좌표계의 단위벡터들을 서로 비교하며 살펴 보도록 하자. 2차원인 평면에서 직교좌표계의 단위벡터 와 는 그림 8.4에 보인 것과 같다. 점 A에서 + x 방향의 단위벡터 는 y 를 일정하게 유지하고 x 가 증가하 는 방향인 오른쪽을 향하는 방향을 나타낸다. 점 B 에서도 역시 단위벡터 는 오른쪽 을 향한다. 그리고 + y 방향의 단위벡터 는 x 를 일정하게 유지하고 y 가 증가하는 방향인 위쪽을 향한다. 그림 8.4에서 분명하듯이 두 점 A와 B에서 + x 방향의 단위 벡터 가 동일하고 + y 방향의 단위벡터 도 동일함을 알 수 있다. 두 점에서 뿐 아 니라 실제로 공간의 모든 점에서 직교좌표계의 단위벡터 , , 는 모두 동일하다. 그림 8.4 직교좌표계의 단위벡터 그림 8.5 극좌표계의 단위벡터 89 제3주 강의 한편 극좌표계의 단위벡터는 좌표 방향의 단위벡터 와 좌표 방향의 단위벡터 를 말한다. 이들 두 단위벡터의 정의는 (8.1)식에 설명되어 있다. 그리고 평면에 서 두 단위벡터 와 가 그림 8.5에 표시되어 있다. 그림 8.5에 보인 것처럼 를 일정하게 유지하고 를 증가시키면 원점에서 시작하는 직선이 된다. 그래서 각 점에 서 단위벡터 는 원점에서 퍼져나가는 방향으로 표시된 벡터들이다. 한편 를 일정 하게 유지하고 만 증가시키면 원점을 중심으로 하는 원이다. 그래서 각 점에서 위벡터 는 그 점을 지나는 원의 접선 방향으로 표시된 벡터들이다. 그런데 위치가 바뀌더라도 단위벡터는 모두 똑같은 직교좌표계에서와는 달리 극좌표계에서는 단위 벡터를 표시한 위치에 따라서 단위벡터의 방향도 바뀐다는 점에 유의하자. 특별히 가 동일한 위치에서는 단위벡터 와 의 방향이 바뀌지 않지만 값이 다른 위치에 서는 단위벡터들의 방향도 같지 않다. 그래서 극좌표계에서의 단위벡터는 각 의 함 수임을 알 수 있다. 우리는 직교좌표계의 단위벡터에 익숙하기 때문에 단위벡터란 바뀌지 않는 것이라 고 막연히 생각하는 경향이 있다. 그러나 직교좌표계에서만 단위벡터가 바뀌지 않지 다른 좌표계의 단위벡터는 위치에 따라 방향이 바뀔 수도 있다는 점을 명심하자. 그 러므로 오히려 좌표계의 단위벡터가 향하는 방향은 위치마다 다를 수 있는데, 직교 좌표계에서만 특별히 단위벡터가 향하는 방향이 위치에 따라 바뀌지 않고 일정하다 고 생각하는 것이 좋다. 이제 그림 8.6에 보인 평면 위에 그린 위치 벡터를 보자. 이 위치벡터를 직교좌표계를 이용 하여 표현하면 (8.4) 가 되지만 극좌표계에서 표현하면, 위치벡터의 크기가 이고 위치벡터의 방향은 방향과 같으 그림 8.6 평면의 위치벡터 므로, 간단히 (8.5) 로 표현됨을 알 수 있다. 3차원 공간에서 위치벡터를 원통좌표계로 표현한 (8.3)식 은 단순히 평면에서 표현된 (8.5)식에 축 성분을 더한 것임을 알 수 있다. 그래 90 8. 원통좌표계와 구면좌표계 서 언뜻 생각하면 극좌표계에서 위치벡터가 직교좌표계에서의 표현이 (8.4)식과 유 사하게 (8.6) (이것은 틀린 식임!) 와 같이 표현되지 않을까 생각할 수도 있지만 그렇게 쓰면 옳지 않다는 것을 확신할 수 있으리라 믿는다. 이번에는 2차원 평면에서 움직이는 물체의 속도를 직교좌표계와 극좌표계를 이용 하여 표현하여보자. 어느 좌표계에서나 속도는 7장의 (7.5)식에 의해 정의된 대로 (8.7) 이다. 그러나 이 식을 성분으로 표현하면 직교좌표계를 이용하느냐 또는 극좌표계를 이용하느냐에 따라 표현 방법이 달라진다. 2차원 평면에서 움직이는 물체의 속도를 직교좌표계로 표현하면 (7.8)식과 (7.9)식에서 축 성분만 제외하여 (8.8) 라고 쓰면 된다. 그래서 속도의 x 방향 성분 v x 와 y 방향 성분 v y 는 vx = dx , dy vy= dt dt (8.9) 이다. 그러면 극좌표계로 표시한 위치벡터를 시간으로 미분하면 어떻게 될까? 언뜻 생각하면 (8.5)식을 이용하여 (이것은 옳지 않은 식임!) (8.10) 일 것처럼 보이지만 그렇지가 않다. 극좌표계에서는 물체의 위치가 바뀌면 바뀐 위치 에서 단위벡터 는 이전 위치에서 단위벡터 와 같지 않기 때문에 반드시 91 제3주 강의 (8.12) 라고 해주어야만 한다. 그런데 (8.12)식을 이용해 속도 를 구하려면 우변 둘째 항에 나오는 를 계산하는데 단위벡터 를 어떻게 시간으로 미분할 것인가가 쉽지 않은 문제처럼 보인다. 단위벡 터 를 시간으로 미분하려면 그림 그림 8.7 교좌표계 성분으로 표현한 극좌표계 단위벡터 8.7에 보인 것과 같이 를 직교좌 표계 성분으로 (8.13) 라고 표현하면 편리하다. 그림 8.7에서 (8.13)식을 구할 때 단위벡터의 크기는 1임 을 이용하였다. 직교좌표계의 단위벡터 와 는 물체가 움직이는 동안 어떤 위치에서 도 바뀌지 않고 다 같으므로 시간으로 미분하면 0이 된다. 그래서 단위벡터 를 시 간으로 미분하려면 와 만 시간으로 미분하면 되는데 그 결과는 (8.14) 이므로 를 시간으로 미분하면 (8.15) 가 된다. 이번에는 단위벡터 를 직교 좌표계 성분 으로 표현해보자. 이 경우에도 그림 8.8에 그림 8.8 직교좌표계 성분으로 표현한 극좌표계 단위벡터 보인 것처럼 어렵지 않게 92 8. 원통좌표계와 구면좌표계 (8.16) 임을 알 수 있고, (8.16)식을 이용해 단위벡터 를 시간으로 미분하면 (8.17) 를 얻게 된다. 그런데 (8.17)식의 우변에 나온 괄호 안에 들어있는 부분은 (8.13)식 으로 주어진 단위벡터 에 대한 표현과 똑같다 그 뿐 아니고 앞에서 구한 를 시간 으로 미분한 결과인 (8.15)식의 우변 괄호 안에 들어있는 부분은 (8.16)식으로 주어 진 단위벡터 에 대한 표현과 똑같다. 그래서 극좌표계의 단위벡터를 시간으로 미분 한 결과인 (8.15)식과 (8.17)식을 , (8.18) 라고 쓸 수 있다. 이제 극좌표계의 단위벡터를 어떻게 시간으로 미분할지 알았으므로 다시 속도를 극좌표계로 표현하는 문제로 돌아가자. 위치벡터 을 극좌표계로 표현한 (8.5)식을 시간으로 미분하여 얻은 (8.12)식에 (8.18)식을 대입하면 (8.19) 를 얻고 이 결과로부터 속도를 극좌표계 성분으로 표현하면 , (8.20) 임을 알 수 있다. 이 결과를 직교좌표계에서 속도의 성분을 구한 (8.9)식과 비교해보 는 것이 좋다. 그래서 속도에 대한 각 좌표의 성분이 좌표계에 따라 다른 형태로 주 어진다는 것을 명심할 필요가 있다. 이번에는 평면에서 운동하는 물체의 가속도를 직교좌표계와 극좌표계의 성분으 로 표현하여 보자. 직교좌표계에서의 가속도는 (7.12)식과 (7.13)식에 의해 93 제3주 강의 (8.21) 가 되며, 그러므로 가속도의 직교좌표계 성분은 (8.22) 이 됨을 알 수 있다. 그러면 이번에는 극좌표계로 표현한 속도인 (8.19)식을 이용하 여 가속도를 극좌표계로 표현하여 보자. 가속도는 직교좌표계에서 구할 때 이용한 것 과 똑같은 방법을 이용하여 (8.23) 가 된다. 그러므로 가속도의 극좌표계 성분은 , (8.24) 가 됨을 알 수 있다. 지금까지는 평면에서 일어나는 2차원 운동을 극좌표로 표현 하였다. 만일 3차원 운동을 원통좌표계로 표현한다면 (8.5)식으로 주어진 위치벡터 와 (8.19)식으로 주어진 속도 그리고 (8.23)식으로 주어진 가속도에 성분을 더하 기만 하면 된다. 그래서 원통좌표계에서는 위치벡터 과 속도 그리고 가속도 가 라고 표현된다. 94 (8.25) 8. 원통좌표계와 구면좌표계 그러면 마지막으로 구면좌표계를 이용하여 위치벡터, 속도, 그리고 가속도를 표현하여 보자. 이미 직교좌표계와 원통좌표계를 이용 하여 이것들을 구한 경험이 있으므로 어떻게 진행하면 좋을지 대강 예상될 것이다. 먼저 구면좌표계에서 이용되는 좌표와 단위벡터를 을 이용하는데, 이 좌표에 대한 정의 정의하자. 구면좌표계에서는 다음 세 좌표들 는 그림 8.9에 보인 것과 같다. 구면좌표계의 그림 8.9 위치벡터 좌표 은 그림 8.4에 보인 것과 같이 원점으 로부터 물체의 위치까지의 직선거리와 같다. 즉 위치벡터 의 크기와 같다. 그리고 좌표 는 축과 위치벡터 사이의 사잇각으로 극각이라고도 부른다. 마지막으로 좌표 는 극좌표계에서 이용된 와 똑같이 정의되었으며 방위각이라고도 부른다. 구면좌표계의 각 좌표에 대응하는 단위벡터는 , , 등과 같이 쓴다. 이들도 역 시 모두 크기가 1인 벡터로 그 방향은 원통좌표계의 단위벡터를 정의한 (8.1)식과 유사하게 : 와 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 : 와 은 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 (8.26) : 과 는 일정하게 유지하고 만 증가하는 방향 이라고 정의하면 이해하기 쉽다. 그러면 이제 구면좌표계에서 위치벡터 을 표현하 면 어떻게 될까? 이제는 아무도 구면좌표계에서 위치벡터가 (이 식은 틀린 식임!) (8.27) 라고 표현될 것으로 생각하는 사람은 없을 것이다. 구면좌표계에서는 위치벡터가 아 주 간단히 표현된다. 구면좌표계의 좌표 은 바로 위치벡터의 크기이고 은 바로 위 치벡터가 가리키는 방향과 같으므로, 구면좌표계에서는 두말할 것도 없이 (8.28) 95 제3주 강의 이 된다. 이번에는 물체의 속도를 구면좌표계에서 표 현하여보자. 이제 우리는 어떻게 할지 잘 알고 있다. (8.28)으로 주어진 위치벡터를 시간에 대해 미분하면, 속도 는 (8.29) 와 같이 구하면 된다. 그런데 이것을 구하려면 (8.29)식의 우변 둘째 항에 나온 단위벡터 을 시간으로 미분한 것이 무엇인지를 알아야 한다. 그림 8.10 구면좌표계의 단위벡터 그것을 구하기 위하여 원통좌표계에서 했던 것 처럼, 구면좌표계의 단위벡터를 직교좌표계의 단위벡터로 표현해 보자. 그렇게 하기 위해서 그림 8.10에 나와 있는 축과 축으로 이루어진 평면에서 표현한 단위벡터 를 보자. 그림으로부터 우리는 곧 구면좌표계의 두 단위벡터 과 가 (8.30) 임을 알 수 있다. 마지막으로, 이 식에 나온 에 (8.13)식을 대입하면 구면좌표계의 단위벡터들은 직교좌표계의 단위벡터로 (8.31) 와 같이 표현된다. 이 식에서 마지막에 나온 는 원통좌표계의 단위벡터에 나오는 와 동일하므로 (8.16)으로 구한 것을 그대로 다시 써 놓았을 뿐이다. 그리고 (8.30) 식을 이용하여 구면좌표계의 단위벡터 를 시간으로 미분하면 (8.32) 가 되는데, 여기서 마지막 등호는 (8.18)식을 이용하여 얻었다. 같은 방법으로 구면 96 8. 원통좌표계와 구면좌표계 좌표계의 단위벡터 를 시간으로 미분하면 (8.33) 가 된다. 그리고 마지막으로 구면좌표계의 단위벡터 를 시간으로 미분한 결과는 (8.18)식으로부터 (8.34) 임을 알 수 있다. 여기서는 그림 8.10을 이용하여 원통좌표계의 단위벡터 를 구면 좌표계의 단위벡터로 (8.34) 로 표현되는 것을 이용하였다. 그래서 (8.32)식과 (8.33)식, 그리고 (8.34)식으로부 터 구면좌표계의 단위벡터를 시간으로 미분하면 (8.35) 임을 알 수 있다. 이제 구면좌표계에서 속도를 표현하는 문제로 다시 돌아가자. (8.35)식을 이용하 면 (8.29)식으로 표현된 속도 는 (8.36) 로 되며 그러므로 속도의 구면좌표계 성분은 97 (8.37) 제3주 강의 표 8.1 위치벡터, 속도, 가속도의 각 좌표계 성분 구분 성분 성분 성분 성분 성분 성분 성분 구 면 좌 표 계 가속도 성분 원 통 좌 표 계 속도 성분 직 교 좌 표 계 위치벡터 임을 알 수 있다. 이제 여러분은 똑같은 방법으로 가속도가 구면좌표계에서 어떻게 표현되는지 구할 수 있으리라고 믿는다. 지금까지 구한 위치벡터, 속도, 가속도를 직 교좌표계와 원통좌표계 그리고 구면좌표계의 성분으로 표현한 것을 정리하면 표 8.1 에 보인 것과 같다. 우리는 위치벡터와 속도 그리고 가속도의 직교좌표계 성분에만 익숙해 있는데, 다른 좌표계에서는 성분들이 전혀 다른 방법으로 표현됨을 눈여겨보 아야 한다. 98 9. 몇 가지 특별한 운동 ∙ 운동 중에서 등속도운동, 등가속도운동, 등속운동, 등속원운동 등으로 불리는 운동은 특별히 중요하다. 이들은 어떤 운동을 가리키는가? ∙ 등속도운동과 등가속도운동을 기술하는 식들은 어떻게 유도되는지 알아보자. ∙ 등속도운동이 편리하게 기술되는 좌표계와 등속원운동이 편리하게 기술되는 좌 표계는 같지 않다. 특별한 운동과 그 운동을 편리하게 기술할 수 있는 좌표계에 대해 알아보자. 지난 8장에서는 물체가 운동하는 모습을 묘사하는데 이용되는 물리량인 위치벡터, 속도, 가속도 등이 각 좌표계에서 어떻게 표현되는지에 대해 자세히 알아보았다. 이 장에서는 등속도운동, 등가속도운동 그리고 등속원운동 등 특별한 운동은 어떻게 기 술되는지 알아보자. 우선 문제를 간단히 하기 위해서 한 개의 좌표만으로 운동이 기술되는 1차원운동 을 위주로 특별한 운동을 살펴보기로 하자. 1차원운동의 대표적인 경우로 물체가 직 선 위에서만 움직이는 직선운동이 있다. 물체가 직선위에서만 움직이면 물체의 위치 벡터는 한 개의 좌표만으로 표시가 가능하다. 그 좌표를 라고 하자. 그러면 물체의 위치를 나타내는 좌표가 시간의 함수로 어떻게 주어지는지 알면, 즉 x ( t ) 를 알면 물 체의 운동을 제대로 묘사하는 것이다. 그림 9.1에 보인 그래프에 물체의 위치를 시간 의 함수로 그려놓았다. 가로축이 시간 t 를 나타내 고 세로축이 물체의 위치를 알려주는 좌표 x ( t ) 를 나타낸다. 이 그래프를 보면 물체는 원점에서 +방향으로 3 m 되는 곳에서 2 초 동안 정지해 있다가 -방향으로 출발하여 일정한 빠르기로 3 초 동안 움직이다가 좀 더 느린 일정한 빠르기로 움직여 7초가 지난 뒤에는 원점에서 -방향으로 99 그림 9.1 시간의 함수로 그린 위치 제3주 강의 3 m 되는 장소에 도착하였다. 이렇게 물체의 위치를 나타내는 좌표를 시간의 함수로 알게 되면 물체가 어떻게 움직이는지 명백히 알 수 있다. 그런데 그림 9.1에 보인 그래프로 나타낸 물체의 운 동이 무척 간단해 보이지만 좌표 x 를 시간의 함수로 표현하려면 좀 복잡하다. 시간 t 가 2 초와 5 초 일 때 운동하는 모습이 급격히 바뀌었기 때문에 0 초에서부터 7 초 까지 위치를 한 함수로 표현하는 것은 무리이고 아마 0 초에서 2 초까지, 2 초에서 5 초까지, 5 초에서 7 초까지 등 구간 별로 표현할 수는 있을 것이다. 그런데 등속도운동이나 등가속도운동을 하는 물체의 위치는 시간의 함수로 아주 간단하게 표현될 수 있다. 여기서 등속도와 등가속도에서 등(等)자는 시간이 흘러도 속도 또는 가속도가 변하지 않는다는 의미이다. 다시 말하면, 등속도운동은 시간이 흘러도 속도가 변하지 않는 운동이고 등가속도운동은 시간이 흘러도 가속도가 변하 지 않는 운동이다. 속도가 변하지 않는다는 것은 속도의 방향과 속도의 크기인 속력 즉 물체가 움직이는 빠르기가 모두 변하지 않음을 의미한다. 속도의 방향은 물체가 움직이는 방향을 가리킨다. 그래서 등속도운동하는 물체는 반드시 직선 위를 일정한 빠르기로 움직이는 운동을 한다. 등속도운동은 등속운동이라고 불리는 운동과는 구별된다. 등속도운동은 속도가 변 하지 않는 운동임에 대하여 등속운동은 속력이 변하지 않는 운동이다. 그래서 직선으 로 곧게 뻗은 고속도로를 시속 100 km로 달리면 이 자동차는 등속도 운동을 하는 것이지만, 구부러진 고속도로를 시속 100 km인 일정한 빠르기로 달리면 속도의 방 향이 바뀌기 때문에 등속도 운동이 아니라 등속 운동을 하는 것이다. 우리가 늘 듣는 익숙한 등속운동의 예로는 등속원운동이 있다. 등속원운동은 일정한 빠르기로 원 주 위를 회전하는 운동이다. 원운동에서는 속도의 방향이 끊임없이 바뀌고 있기 때문에 이 운동을 등속도 원운동이라고 부르면 옳지 않다. 등속도운동은 비교적 쉽게 이해할 수 있지만, 등가속도운동을 이해하는 데는 약간 주의할 필요가 있다. 가속도도 벡터양이므로 등가속도 운동에서는 가속도의 방향과 가속도의 크기가 변하지 않는다. 그런데 가속도의 방향과 물체가 움직이는 방향이 꼭 일치해야 할 이유가 있는 것은 아니다. 그러니까 물체의 가속도의 방향과 물체가 움 직이는 방향 사이에는 아무런 관계도 없다. 그래서 등속도운동을 하는 물체는 꼭 직 선운동을 하여야 되지만, 등가속도운동을 하는 물체가 꼭 직선운동을 할 이유는 없 다. 그런 까닭에 직선운동을 하는 등가속도운동을 말할 때는 특별히 등가속도 직선운 100 9. 몇 가지 특별한 운동 동이라고 부른다. 우리가 이미 잘 알고 있는 등가속도운동을 하는 물체의 예로는 공 중으로 던진 물체의 운동이 있다. 이 물체는 등가속도운동을 하지만 직선운동을 하는 것이 아니라 포물선을 그리며 움직인다는 사실을 여러분은 이미 잘 알고 있을지도 모른다. 여러분이 공중으로 비스듬히 던진 돌멩이는 포물선을 그리며 떨어진다. 그런 데 이런 돌멩이의 운동이 바로 등가속도운동이다. 지난 7장에서 물체의 속도 는 (7.8)식에 의해 (9.1) 가 되는 것을 알았다. 이 식으로부터 물체가 직선위에서만 움직이는 1차원운동을 한 다면 일정 , 일정 으로 놓을 수 있으므로 속도 를 (9.2) 라고 쓸 수 있다. 이 식의 우변은, 우리가 6장에서 (6.10)식으로 논의한 것처럼, 두 가지 의미로 해석될 수 있다. 하나는 물체의 속도 가 물체의 위치를 나타내는 좌표 의 미분 와 시간 의 미분 사이의 비와 같다는 것이다. 다른 하나는 속도가 시간의 함수로 주어진 위치 의 시간 에 대한 도함수와 같다는 것으로 (9.3) 라고 쓰면 그 뜻이 더 분명해진다. 여기서 는 시간에 대한 도함수를 구하라는 명 령을 내리는 연산자를 표시하며 에서 위에 찍은 점은 시간에 대한 도함수를 취 했음을 나타내며 보통 dot이라고 읽는다. 를 이렇게 두 가지 의미로 해석한 두 결과는 물론 같다. 등속도운동이란 속도가 일정한 운동을 말하므로, (9.2)식을 이용하여 등속도 운동 을 표현하면 일정 (9.4) 가 된다. 여기서 우변의 일정은 속도가 변하지 않는 상수임을 나타낸 것이다. 우리의 101 제3주 강의 목표는 이 식으로부터 등속도 운동하는 물체의 위치 를 시간의 함수로 얻는 것이 다. 그렇게 하기 위해 (9.4)식에 나오는 는 두 미분 와 사이의 비라는 해 석을 이용하자. 그러면 이 식의 양변을 dt 로 곱하여 등식 (9.5) 를 얻는다. 그러면 이제 (9.5)식의 양변을 적분하여 (9.6) 가 된다. 그렇지만 이 식의 좌변과 우변이 아직은 같다고 볼 수가 없다. (9.6)식에 나 온 것과 같은 부정적분은 정해진 수가 아니다. 그러므로 좌변의 부정적분과 우변의 부정적분이 같다고 놓을 수가 없다. (9.6)식이 등식으로 성립하려면 적분구간을 정 하여야만 한다. (9.6)식의 좌변은 에 대한 적분이기 때문에 적분구간으로 위치 값을 지정해 주 어야 하며 우변은 에 대한 적분이기 때문에 적분으로 시간 값을 지정해 주어야 한 다. 그리고 등식이 성립하도록 적분구간을 지정하기 위해서는 위치의 적분구간과 시 간의 적분구간이 서로 연관되어 있어야 한다. 그래서 시간의 적분구간을 0 초에서 초까지로 한다면 위치의 적분구간은 0 초에서의 위치 로부터 초에서의 위치 까지 (9.7) 와 같이 쓰면 이제 좌변과 우변이 같다는 등식이 잘 성립한다. (9.7)식에 나오는 좌 변을 적분한 결과와 우변을 적분한 결과는 각각 × (9.8) 이다. 이 두 결과를 같다고 놓으면 우리가 구하는 등속도 운동하는 물체의 위치를 시 간의 함수로 (9.9) 등속도운동 : 102 9. 몇 가지 특별한 운동 와 같이 표현된다. 여기서 는 시간이 0 일 때 즉 물체의 위치를 측정하기 시작할 때의 위치로서 처음 위치 또는 위치의 초기조건라고 불린다. 이번에는 등가속도 직선운동에 대해 살펴보자. 등속도운동은 직선을 따라 움직이 지만 등가속도운동의 경우에는 꼭 직선을 따라 움직이는 것은 아님을 이미 설명하였 다. 그렇지만 여기서는 1차원 직선운동 중에서 등가속도운동 즉 등가속도 직선운동 에 국한하여 이야기하자. 7장에서 물체의 가속도 는 (7.12)식에 의하여 (9.10) 로 표현되는 것을 알았다. 그래서 1차원운동에서 가속도는 (9.11) 라고 쓰면 된다. (9.11)식에 나오는 여러 표현은 모두 위치를 시간에 대해 두 번 도함수를 취한다 는 동일한 의미를 갖는데, 똑같은 뜻을 관례적으로 여러 가지로 쓰는 것을 강조하기 위해 여기에 써 놓았다. 특히 1차 도함수는 두 미분의 비로 해석될 수 있었던 것과는 대조적으로 마지막 식에서 분자에는 제곱을 d 다음에 썼으나 분모에는 제곱을 t 다 음에 쓴 것에 유의하자. 이것은 단순히 (9.11)식의 마지막 우변으로부터 두 번째 식 의 x 를 분수의 위층으로 올려놓은 것에 지나지 않는다는 의미이다. 그러므로 여기서 2 2 d x 와 dt 은 따로 어떤 의미를 갖거나 미분을 표시하는 것이 아니다. 다시 말하면, (9.11)식의 마지막 우변에 나오는 표현 중에서 분자와 분모를 따로 떼어 이용할 수 가 없고 그래서 예를 들어 dt 2 을 양변에 곱한다거나 하는 일도 할 수 없다. 등가속도운동이란 가속도가 일정한 운동을 말하므로, (9.11)식을 이용하여 등가속 도 직선운동을 표현하면 일정 (9.12) 이 된다. 여기서 우변의 일정은 가속도가 변하지 않는 상수임을 나타낸 것이다. 여기 103 제3주 강의 서 우리의 목표는 (9.12)식으로부터 등가속도 직선 운동을 하는 물체의 속도와 위치 를 시간의 함수로 얻는 것이다. 속도를 먼저 구하고 그 구한 속도로부터 위치를 구하자. 여기서 속도를 구하는 방 법은 등속도운동에서 위치를 구하는 방법과 정확히 동일하다. 즉 등속도 운동을 나타 내는 (9.4)식의 형태와 등가속도 직선 운동을 나타내는 (9.12)식의 형태를 비교해보 면 명백하듯이, 속도를 구하는 과정에서 속도를 가속도로 바꾸어 쓰고 위치를 속도로 바꾸어 쓰기만 하면 등가속도 직선운동의 속도를 시간의 함수로 구할 수 있다. 그렇 더라도 한 번 더 반복하는 셈치고 다시 해보면, (9.12)식의 양변에 를 곱하여 등식 (9.13) 를 얻는다. 그래서 이 식의 양변을 적분하면 (9.14) 가 되는데, 사실 이 식은 적분구간을 정해 놓지 않아서 아직 등식으로 성립하지 않는 다. 이 식의 좌변은 에 대한 적분이기 때문에 적분 구간으로 속도 값을 지정해 주어 야 하며 우변은 시간 에 대한 적분이기 때문에 적분으로 시간 값을 지정해 주어야 한다. 등식이 성립하도록 적분구간을 지정하기 위해서는 속도의 적분구간과 시간의 적분구간이 서로 연관되어야 한다. 그래서 시간 적분구간을 0 초에서 초까지로 한 다면 속도의 적분구간은 0 초에서의 속도 로부터 에서의 속도 까지로 하면 등식이 잘 성립된다. 그래서 우리가 풀 식은 (9.15) 이다. 이 식의 좌변과 우변을 적분한 결과는 각각 × 이다. 따라서 등가속도 직선운동을 하는 물체의 속도는 시간의 함수로 104 (9.16) 9. 몇 가지 특별한 운동 (9.17) 등가속도 직선운동 : 와 같이 표현된다. 여기서 는 시간이 0 초일 때 즉 물체의 속도를 측정하기 시작할 때의 속도로서 처음 속도 또는 속도의 초기조건이라고 부른다. 속도를 시간의 함수로 구하였으므로 다음으로 등가속도 직선운동을 하는 물체의 위치를 시간의 함수로 구하자. 우리가 이용할 식은 (9.18) 이다. 여기서 가속도 와 속도의 초기조건 는 변하지 않는 상수이다. (9.18)식의 양변을 시간의 미분 로 곱하고 양변을 적분하면 (9.19) 가 되는데, 이 식에도 적분구간을 제대로 명시하여야 등식이 성립한다. 전과 마찬가 지로 적분구간을 정하면 (9.20) 이며, (9.20)식의 좌변과 우변을 적분하면 각각 (9.21) 이 된다. 따라서 우리가 구하는 등가속도 직선운동을 하는 물체의 위치는 시간의 함 수로 등가속도 직선운동 : (9.22) 와 같이 표현됨을 알 있다. 여기서는 고등학교 때 등속도운동과 등가속도운동에 대해 이미 배운 간단한 결과 105 제3주 강의 를 장황하고도 먼 길을 거쳐서 아주 어렵게 구한 것 같은 느낌이다. 만일 어떤 물체 의 운동이 등속도운동 또는 등가속도운동 같은 특별한 운동임을 미리 알면, 그리고 나 와 같이 위치와 그리고 속도에 대한 초기조건을 알면, 물체의 위치가 시간의 함수로 바로 표현된다는 것이 이 장에 구한 우리의 결론이다. 특별히 가장 간단한 운 동에서 구한 이 결과가 앞으로 아주 유용하게 이용될 것이다. 그런 이유 때문에 위에 서 구한 식들을 고등학교와 대학교 물리 시간에 열심히 배운다. 그런데 그런 결과를 얻는데 미분과 적분의 개념이 매우 유용하게 이용되었다는 사실도 함께 알았음을 잊 지 말자. 미분과 적분의 개념을 알 수 없었던 갈릴레이는 경사면을 따라 굴러 내려오 는 물체의 위치를 실험으로 열심히 측정하여 그 위치가 시간의 제곱에 비례함을 발 견하였다. 미분과 적분에 대해 이해하고 있는 우리는 갈릴레이가 한 일을 아주 쉽게 이해할 수 있다. 우리는 지금까지 직선운동을 기술할 때 물체 +y 가 운동하는 직선을 x 축으로 정하고 1차원운 동을 한 개의 축의 위치를 표시하는 좌표에 의 y = 일정 해 기술되는 운동으로 생각하였다. 그러나 직선 +x 운동을 xy 평면에서 기술하여도 된다. 그림 9.2 에 보인 것과 같이 xy 평면에서 x 축에 평행한 직선을 따라 움직이는 직선 운동을 기술하면 물체의 위치를 대표하는 두 좌표 ( x,y) 중에서 그림 9.2 평면에서 기술되는 직선 운동 y 좌표는 일정하게 고정되어 있다. 다시 말하면 x 좌표는 물체가 이동함에 따라 바뀌지만 y 좌표는 y = 일정 이라는 식으로 구속되 어 있다. 그래서 1차원 운동이란 하나의 좌표만으로 운동이 기술되는 운동으로 정의 할 수 있다. 이 내용을 좀 더 일반화하여 설명해 보자. 아무런 제한도 받지 않고 공간에서 자유 롭게 움직이는 물체의 운동을 직교 좌표계로 기술하려면 물체의 위치를 정하는데 세 좌표 가 필요하다. 그런데 만일 이 세 좌표 사이의 관계가 한 개의 식으로 구 속되면 물체는 면 위에서 움직이는 2차원 운동을 한다. 그리고 만일 세 좌표 사이의 관계가 두 개의 식으로 구속되면 선 위에서 움직이는 1차원 운동을 한다. 그리고 만 일 세 좌표 사이의 관계가 세 개의 식으로 구속되면 이 세 개의 식은 물체가 놓인 한 개의 점을 결정하고 물체는 그 점에 계속 놓여있어야 한다. 106 9. 몇 가지 특별한 운동 예를 들어, 세 좌표 중에서 가 라는 식으로 구속된다면 물체는 평 면에서만 움직이는 평면 운동인 2차원운동을 한다. 다른 예로, 세 좌표 사이 에 이라는 식이 만족되어야만 한다면 이것은 물체가 반지름이 R 인 구 표면에서만 움직이는 2차원운동을 한다는 것을 의미한다. 이번에는 세 좌표 중에서 와 가 와 인 두 식으로 구속된다면 물체는 축에서만 움 직이는 직선운동인 1차원운동을 한다. 또는 세 좌표 사이에 와 인 두 식으로 구속된다면 물체는 평면상에서 반지름이 인 원둘레를 따라 움직이는 1차원 운동을 한다. 지금까지 살펴본 것과 똑같은 내용을 조금 달리 설명하여보자. 공간에서 자유롭게 움직이는 물체의 위치는 세 개의 좌표 로 대표된다고 하였다. 그런데 공간에 서 자유롭게 움직이는 물체의 위치는 꼭 직교좌표계에서만 그런 것이 아니라 어떤 다른 좌표계에서도 역시 세 개의 좌표로 대표된다. 이 때 우리는 이 물체의 자유도가 3이라고 말한다. 그래서 자유도란 물체의 운동을 기술하는데 꼭 필요한 마음대로 변 하는 좌표의 수라고 할 수 있다. 그런데 세 좌표 사이를 구속하는 식이 있으면 물체 의 자유도가 줄어든다. 물체의 운동을 구속하는 좌표들 사이의 식을 구속조건이라고 부르는데, 그래서 3차원 공간에서 움직이는 한 물체의 자유도는 (9.23) 자유도 = 3 - 구속조건의 수 로 결정된다. 그리고 자유도가 1인 물체의 운동을 1차원 운동, 자유도가 2인 물체의 운동을 2차원 운동, 그리고 자유도가 3인 물체의 운동을 3차원 운동이라고 말할 수 도 있다. 이제 평면에서 x 축에 평행한 일정 이라는 직선을 따라 움직이는 직선운 동을 하는 물체를 생각하자. xy 평면은 라는 구속조건을 만족하는 평면이므로 구속조건이 둘이고 그래서 이 물체는 1차원운동이다. 그리고 좌표와 좌표는 미리 정해져 있어서 이 물체의 운동을 기술하는 데는 좌표 하나만 필요하고 그래서 이 운동은 1차원 운동임을 쉽게 알 수 있다. 그러나 이번에는 평면에서 원점을 중심으로 반지름이 인 원을 따라 움직이는 물체를 생각하자. 이 물체의 운동은 평면을 말하는 와 평면상의 원을 말하 는 등 두 개의 구속조건으로 제한 받는다. 그러므로 (9.23)식에 의해 이 물체의 자유도가 1이고 그러므로 이 물체의 운동도 역시 1차원 운동이다. 그러나 이 107 제3주 강의 물체의 운동을 직교좌표계에서 기술하려면 와 의 두 개의 좌표가 필요하다. 그렇 다면 이 물체의 운동은 몇 차원 운동일까? 그런데 이 운동을 극좌표계에서 기술해보자. 극좌표계에서는 물체의 위치를 의 두 좌표로 대표한다. 평면상에서 원운동을 극좌표계의 구속조건으로 표현하면 평면을 말하는 와 원둘레를 말하는 일정 이다. 즉 는 일정하게 고정 되어 있고 단지 좌표 만으로 이 물체의 운동을 기술할 수 있다. 이것은 직선 운동을 직교 좌표계에서 기술할 때 로 고정되어 있고 단지 좌표 만으로 물체의 운동 을 기술하는 것과 똑 같다. 그래서 극좌표계에서 원운동을 설명하면 그 운동이 1차원 운동임을 명백히 알 수 있다. 원운동은 직교좌표계보다 극좌표계에서 기술되는 것이 훨씬 더 편리하다고 말하는 이유가 바로 그 때문이다. 이제 앞에서 구해놓은 결과를 가지고 원운동을 극좌표계로 어떻게 기술하나 살펴 보자. 원운동에서는 물체가 원둘레를 따라서 움직인다. 물체가 원운동을 하며 그리는 원의 반지름이 이라고 하자. 그러면 물체가 움직이는 동안 중심에서 물체까지의 거 리인 값은 변하지 않고 이므로 이다. 따라서 원운동을 하는 물체의 속도를 극좌표계에서 표현하면 앞에서 구한 결과인 (8.19)식에 그리고 (9.24) 를 대입하면 (9.25) 이 된다. 이 결과는 사실 새삼스러운 것이 아니다. 이 식은 원운동을 하면 속도의 방 향은 방향 즉 원의 접선방향이고 속도의 크기인 속력은 반지름에 회전각의 시간에 대한 변화율을 곱한 것과 같다고 알려준다. 회전각의 시간에 대한 변화율 를 각 속도라고 부르며 그것을 보통 로 표시하여 ≡ (9.26) 이다. 그러면 원운동의 속력 는 108 9. 몇 가지 특별한 운동 (9.27) 가 된다. 원운동의 속도를 극좌표계의 두 방향의 성분으로 (8.19)식에서 주어진 (9.28) 와 같이 나타낸다면 속도의 방향의 성분은 와 방향 성분 는 각각 , (9.29) 이다. 이 때 속도 의 크기인 속력 v 는 (9.30) 으로 주어지는데 원운동의 경우에는 이므로 원운동 : (9.31) 가 되는데, 당연한 일이지만 이 결과는 (9.27)식과 동일하다. 다음으로 극좌표계를 이용해서 가속도에 대해 구한 결과인 (8.23)식을 원운동의 가속도에 적용해보자. 가속도에 적용할 원운동의 구속조건으로 (9.24)식보다 하나 더 많은 (9.31) , , 그리고 을 (8.23)식에 대입하면 가 된다. 109 (9.32) 제3주 강의 이번에는 특별히 등속원운동의 가속도에 대해 생각해보자. 등속원운동이란 원운동 을 하는 빠르기인 속력 가 일정한 경우이다. 따라서 각속도 도 바뀌지 않고 일정하므로 등속원운동에서는 (9.33) 이 성립한다. 원운동에 대한 가속도의 표현인 (9.32)식에 등속원운동의 조건인 (9.33)식을 대입하면 (9.34) 이 된다. 이 결과도 역시 새삼스러운 것이 아니다. (9.34)식에 의하면 등속원운동의 경우에는 가속도의 극좌표계 성분이 , (9.35) 임을 말해준다. 그래서 등속원운동에서 가속도는 오로지 중심 방향을 향한다. 이렇게 등속원운동의 경우 중심을 향하는 가속도를 특별히 구심가속도라고 한다. 방향이 원 의 중심을 향하는 가속도라는 의미이다. 그리고 가속도의 크기 는 가속도의 성분에 의해 (9.35) 로 표현되는데, 이므로 (9.36) 이다. (9.36)식에서 세 번째 등호는 (9.31)식으로 구한 를 이용하여 얻었다. 등속원운동의 경우에는 물체가 움직이는 원의 반지름 R 이나 속력 v 가 모두 변하 지 않고 일정하므로 (9.36)식으로 주어지는 가속도의 크기 a 도 변하지 않고 일정하 다. 그러나 가속도의 방향은 물체가 움직이면서 항상 원의 중심 방향을 향하므로 움 110 9. 가지 특별한 운동 그림 9.3 등속 원운동의 위치벡터, 속도, 가속도 직이는 동안 끊임없이 바뀐다. 그러므로 등속원운동은 등가속도운동이 아님이 명백 하다. 지금까지 등속원운동의 위치벡터와 속도 그리고 가속도를 모두 극좌표계를 이 용하여 표현하였다. 그 결과를 그림으로 그리면 다음 그림 9.3과 같다. 111 ...
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