4주강의

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Unformatted text preview: 제4주 강의 70세의 아이작 뉴턴 (영국, 1643-1727) 지난 3주 동안에 걸쳐서 물리학은 어떻게 나오게 되었는지, 물리는 무엇을 공부하 는 분야인지, 그리고 물리에서는 자연법칙을 어떻게 다루는지 등에 대해 공부하였습 니다. 놀랍게도 물리학은 겨우 300년 전에 뉴턴에 의해 시작되었음을 알았습니다. 뉴턴에 의해 비로소 올바른 자연법칙을 깨닫게 되었다는 의미입니다. 그뿐 아니라 뉴 턴에 의해 시작된 물리학은 자연법칙을 수식으로 표현하였다는 것도 배웠습니다. 바 로 그 점 때문에 불과 300년도 지나지 않아서 과학이 오늘날과 같이 놀랄 정도로 높 은 수순으로 발전하게 되었다는 사실도 알게 되었습니다. 지난 3주 동안에는 물리를 공부할 준비를 하였다고 말할 수 있습니다. 준비를 하 기 위해서 자연법칙을 표현하는데 이용되는 물리량이 무엇인지, 왜 물리량을 벡터와 스칼라로 나누는지 그리고 물체의 운동을 기술하려면 필요한 물리량들이 무엇인지를 배웠습니다. 그래서 직교좌표계와 원통좌표계 그리고 구면좌표계를 이용하여 위치벡 터로부터 속도와 가속도를 어떻게 구하는지에 대해서도 자세히 배웠습니다. 이제 여 러분은 정말 물리를 공부할 준비가 다 되었다고 말할 수 있습니다. 여러분 자신은 그 렇게 생각하지 않습니까? 물리를 공부한다고 하는 이야기는, 앞에서도 잠시 언급하였지만, 뉴턴의 운동법칙 을 공부한다는 이야기와 같습니다. 케플러 법칙이 나온 뒤 사람들이 찾았던 자연의 113 제4주 강의 기본법칙이 바로 뉴턴의 운동법칙입니다. 여기서 뉴턴의 운동법칙이라고 하면 뉴턴 의 운동방정식인 를 이야기합니다. 그런데 여러분도 잘 알고 있듯이 뉴턴의 운동법칙은 세 가지 법칙으로 구성되어 있습니다. 방금 이야기한 는 두 번째 법칙으로 알려져 있고 첫 번째 법칙은 관성의 법칙 그리고 세 번째 법칙은 작용 반작 용 법칙이라고 알려져 있습니다. 뉴턴의 운동법칙에 관성의 법칙과 작용 반작용 법칙이 포함되어 있는 것은 그 나 름대로 이유가 있습니다. 여러분 중에는 어쩌면 작용 반적용 법칙을 잘 알고 있다고 생각하는 사람도 있을 것입니다. 많은 사람들이 작용 반작용 법칙을 이해하기 위하여 작용에는 반드시 반작용이 있고 작용과 반작용은 크기가 같고 방향이 반대라고 외우 기도 합니다. 물론 작용 반적용 법칙의 내용은 바로 그렇게 되어 있습니다. 그런데 작용 반작용 법칙은 자연의 기본법칙인 운동법칙을 이해하는데 아주 중요한 역할을 합니다. 작용 반적용 법칙은 바로 힘이란 무엇인가에 대해 이야기 해주는 법칙이기 때문입니다. 그래서 이번 주 10장에서는 작용 반작용 법칙에 대해 자세히 공부할 것 입니다. 많은 학생들은 관성의 법칙도 역시 잘 알고 있다고 생각할지 모릅니다. 보통 관성 의 법칙이라고 하면 힘을 받지 않는 물체는 등속도 운동을 한다는 내용이라고 알고 있습니다. 물론 그 의미도 매우 중요합니다. 갈릴레이가 관성의 법칙을 이야기하기 전까지는 힘을 받지 않는 물체는 결국 정지한다고 생각하였기 때문입니다. 그것이 첫 주에 우리가 이야기한 지상법칙이었습니다. 케플러에 의해서 당시 믿고 있던 천상법 칙이 옳지 않다는 것을 깨달았을 뿐 아니라 비슷한 시기에 갈릴레이에 의해서 당시 믿고 있던 지상법칙도 옳지 않다는 것을 알게 되었던 것입니다. 그러나 관성의 법칙 은 단지 그 의미보다 더 심오한 뜻을 포함하고 있습니다. 그래서 11장에서는 관성의 법칙에 대해서도 자세히 공부 예정입니다. 그리고 마지막으로 12장에서는 뉴턴의 운동 제2법칙인 운동법칙에 대해 공부합니 다. 운동법칙인 를 다루는 것이 이번 학기 내내 할 일이지만 12장에서는 운 동법칙의 의미가 무엇인지에 대해 생각해 볼 것입니다. 114 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 ∙ 물리에 나오는 힘이나 일과 같은 물리량은 우리가 일상생활에서도 널리 이용하 고 있는 용어이다. 그러나 그런 용어들의 의미가 물리에서는 일상생활에서 사용 되는 의미와는 다르게 쓰인다. 물리에서 말하는 힘이란 무엇인가? ∙ 뉴턴의 제3법칙은 힘이란 두 물체의 상호작용에 의해 작용되는 것이라는 힘의 본성에 대해 말해준다. 뉴턴의 제3법칙이 어떻게 힘의 본성을 설명해주는가? ∙ 힘에는 여러 가지 종류가 존재한다. 그리고 힘을 지칭하는 이름의 성격도 여러 가지이다. 힘에는 어떤 것들이 있는가? 우리는 1장에서 고대 그리스시대로부터 중세를 거쳐 16세기에 이르기까지 자연은 지상세계와 천상세계로 나눌 수 있고 이 두 세계의 자연법칙이 동일하지 않다고 생 각하였다는 것을 배웠다. 당시 지상법칙은 움직이던 물체라도 가만히 놓아두면 결국 정지한다는 것이었다. 이 법칙은 아리스토텔레스에 의해 처음 천명되었고 사람들은 근 2,000년에 걸쳐서 이 법칙을 믿었다. 여기서 물체를 가만히 놓아둔다는 말은 당 시 사람들에게는 물체가 힘을 받지 않도록 한다는 의미로 쓰였다. 이 지상법칙은 다 시 바꾸어 말하면, 물체는 힘을 받아야 비로소 움직이고 힘을 받지 않으면 정지하게 된다는 의미이다. 이 지상법칙을 한 번 더 바꾸어 말하면, 힘은 물체를 움직이게 만드는 원인 즉 물 체의 위치를 바꾸는 원인이라고 할 수 있다. 그런데 한 번 곰곰이 생각해 보라. 여러 분 자신도 물체가 힘을 받으면 움직이고 움직이던 물체도 힘을 받지 않게 되면 정지 한다는 이야기가 조금도 틀린 말이 아니라고 느껴지지 않는가? 그러니 아리스토텔레 스가 살던 고대 그리스시대로부터 시작하여 중세를 지나는 2,000년이 넘는 긴 세월 동안 사람들이 지상법칙을 신봉한 그리 크게 놀랄 일은 아님이 분명하다. 뉴턴은 이 지상법칙을 수정하였다. 물론 이 지상법칙을 미분방정식이라는 아주 높 은 수준의 수학을 이용하여 자연법칙을 수식으로 표현하였다는 놀라운 업적을 남겼 지만, 사실 가만히 생각해보면 뉴턴이 한 일은 과거의 지상법칙으로부터 단지 한 걸 115 제4주 강의 음 앞으로 나간 것에 불과하다고도 생각할 수 있다. 그 전의 자연법칙은 힘이란 위치 를 바꾸는 원인이라고 말한 것을 뉴턴은 힘이란 속도를 바꾸는 원인이라고 고쳐 말 한 것에 불과하다. 그 이전의 자연법칙은 힘이란 속도의 원인이라고 말한 것을 뉴턴 은 힘이란 가속도의 원인이라고 고쳐 말한 것이다. 뉴턴의 운동방정식인 가 바로 그런 의미이다. 힘은 일상생활에서도 널리 이용된다. 힘뿐 아니라 물리에서 채택하는 많은 물리량 의 명칭들이 일상생활에서 쓰이는 것들을 그대로 가져다 사용한다. 그렇지만 그런 용 어들이 물리에서 나타내는 의미는 대부분 일상생활에서의 그것과 아주 똑같지는 않 다. 그래서 물리에서는 어떤 물리량을 정하면 제일 먼저 반드시 그 물리량의 정의를 내린다. 여러분은 물리에서 사용되는 물리량의 정의가 무엇인지 스스로 생각해내려 고 해서는 안 된다. 그 정의는 물리학자들이 따로 정해놓았으므로 혼자서 아무리 골 똘하게 생각한다고 해도, 우연히 맞출 수는 있지만, 대부분 제대로 알아내는 것은 불 가능하다. 새로운 물리량의 이름에 접할 때마다 그것의 정의를 혼자 생각해서 알아내 려는 생각을 버리고 그것이 물리에서 어떻게 정의되어 있는지를 찾아보아야 한다. 그러면 물리에서는 힘을 어떻게 정의했을까? 우리가 일상생활에서 힘을 배양자하 라던가 힘만이 살길이다 등으로 흔히 말하는 힘이라는 낱말과 물리학에서 힘이라고 정의된 물리량 사이에는 상당히 큰 차이가 있다. 고등학교 교과서에는 힘이란 물체의 운동상태를 변화시키거나 물체의 형태를 변화시키는 원인이라고 정의되어 있는 경우 가 많다. 물체의 운동상태는 그 물체의 속도를 말한다. 그래서 물체의 운동상태를 변 화시키는 원인이라고 말하면 좀 어렵게 들리지만 사실은 단순히 물체의 속도를 바꾸 는 원인이라는 의미이다. 다시 말하면 물체에 힘을 작용하면 속도가 바뀐다는 것이 다. 그리고 이렇게 말하는 것이 바로 앞에서 언급하였듯이 뉴턴의 운동 방정식 F = ma 가 말해주는 내용과 같다. 이 식은 질량이 m 인 물체에 힘 F 를 작용시키면 물체는 a = F/m 만큼의 가속도를 갖게 된다고 말한다. 그래서 속도가 바뀌고 있는 물체를 보면 즉 가속도 운동을 하는 물체를 보면 우리는 바로 이 물체는 힘을 받고 있음을 수 있다. 또는 움직이고 있더라도 속도가 변하지 않는 물체를 보면 우리는 바 로 이 물체는 힘을 받지 않고 있음을 알아채려야 한다. 힘이 물체를 움직이도록 만드 는 원인은 아닌 것이다. 물체의 속도가 바뀌는 것을 보면 우리는 물체가 틀림없이 힘을 받고 있음을 알 수 있다. 그렇지만 물체의 속도가 바뀌는 것만 가지고는 그 물체가 힘을 받고 있다는 사 116 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 실만 알 수 있을 뿐, 어떤 종류의 힘을 받고 있는지 그리고 그 물체가 힘을 받는 원인 은 무엇인지에 등에 대해서는 전혀 알 수가 없다. 그러므로 힘이란 물체의 속도를 바 뀌는 원인이라고 말하는 것은 힘의 정의로 충분하지 못함을 알 수 있다. 단지 물체가 힘을 받고 있다는 것을 알려줄 뿐 그 힘이 무엇인지는 알려주지 않기 때문이다. 그래 서 뉴턴의 운동 방정식 F = ma 가 힘을 정의하는 식이라고 말할 수가 없다. 어떤 고 등학교 교과서에서는 F = ma 를 힘의 법칙이라고 부르기도 하는데 그것은 잘못된 명칭이다. 힘의 법칙은 힘을 정의하는 법칙이어야 한다. F = ma 는 힘을 받는 물체 의 운동이 어떻게 바뀌는지를 알려주는 법칙이고, 그래서 뉴턴의 운동방정식 또는 뉴 턴의 운동법칙이라고 불리는 식이다. 고등학교 교과서에 나오는 힘의 정의에서 두 번째를 보자. 자유롭게 움직일 수 있 는 물체에 힘을 작용하면 물체의 속도가 바뀐다. 그런데 만일 어떤 물체가 이미 고정 되어 있어서 움직이지 못한다면 내가 그 물체에 힘을 작용하더라도 물체의 속도가 바뀌게 할 수 없다. 사실 고정된 물체는 이미 다른 힘을 받고 있는 경우이다. 그런 물 체에 추가의 힘을 작용하여도 물체가 움직이지 못하는 것은 내가 추가로 작용한 힘 과 그 물체가 다른 원인으로 받고 있는 힘을 모두 더한 합력이 0이 되기 때문에 물체 의 속도가 바뀌지 않고 처음에 정지해 있던 것이 계속 정지해 있으면서 움직이지 못 하는 것이다. 그런 경우에는 물체가 힘을 받으면 그 물체의 형태가 바뀐다. 물론 물 체를 구성하는 물질의 성질에 따라 물체의 형태가 바뀌는 정도가 쉽게 알아볼 만큼 클 수도 있고 또는 전혀 알아볼 수 없을 만큼 작을 수도 있다. 그래서 우리는 물체의 속도가 바뀌면 그 물체가 힘을 받고 있음을 알듯이, 이번에는 물체의 형태가 바뀌어 도 그 물체가 힘을 받고 있음을 알 수 있다. 그렇지만 물체의 형태가 바뀔 경우도 속도가 바뀔 경우와 마찬가지로 물체가 힘을 받고 있음을 알 뿐이지 그 힘이 어떤 힘인지를 말해주지는 않는다. 그러므로 힘이 물 체의 운동상태나 형태를 변화시키는 원인이라고 말하는 것이 힘에 대한 정의라고 볼 수 없다. 그것은 단순히 물체를 관찰하여 그 물체가 힘을 받는지 또는 받지 않는지를 판단하는데 만 이용될 수 있는 수단에 불과하다. 그리고 더 나쁘게는, 힘을 그렇게 정의하면 힘이란 마치 따로 독립해서 존재하는 대상인 것처럼 잘못 이해하도록 만들 기가 쉽다. 그래서 나는 힘을 힘이란 두 물체가 서로 상호작용하는 정도를 나타내는 물리량이라고 정의하자고 주장한다. 그러면 힘을 그렇게 정의하는 것이 무슨 의미인 지 좀 더 자세히 알아보자. 117 제4주 강의 만일 이 세상에 오직 단 하나의 물체만 존재한다면 이 물체에는 어떤 힘도 작용하 지 않는다. 힘이란 두 물체 사이의 상호작용에 의해서 작용하게 되므로 물체가 하나 밖에 존재하지 않는다면 상호작용할 대상 물체가 없기 때문이다. 그래서 우리가 힘에 대해 말할 때는 꼭 두 물체씩 짝지어 생각해야 한다. 두 물체가 무엇인가를 주고받으 며 상호작용하면 그 효과가 힘이 작용하는 것으로 나타난다. 그러니까 물체 A가 힘 을 받는다고 말하면 그것은 물체 A에 힘을 작용한 원인이 되는 물체 B가 반드시 존 재한다는 것을 함축적으로 의미하며, 두 물체 A와 B가 상호작용한 결과가 A에 힘을 작용하는 것으로 나타났다고 말할 수 있다. 따라서 힘에 대해서 말할 때는 물체 B가 물체 A에 힘을 작용한다고 힘을 작용하는 원인과 힘을 받는 대상을 함께 말하는 것 이 좋다. 그뿐 아니라 힘이란 두 물체가 서로 상호작용하는 정도를 나타내는 물리량이라고 힘을 정의하면 힘에 대해 또 다른 중요한 사실도 알 수 있다. 상호작용이란 일방적으 로 하는 것이 아니기 때문에 만일 물체 B가 물체 A에 힘을 작용한다면 동시에 물체 A도 물체 B에 힘을 작용하여야만 한다. 그래서 물체 B가 물체 A에 힘을 작용한다고 말하면, 바로 힘의 정의에 의해서 물체 A도 물체 B에 힘을 작용한다는 것을 알 수 있다. 이것이 바로 유명한 뉴턴의 작용 반작용 법칙이 말해주는 내용이다. 뉴턴의 작 용 반작용 법칙은 뉴턴의 운동법칙 세 가지 중에서 제3법칙에 대한 다른 이름이다. 뉴턴의 제3법칙은 한 술 더 떠서 A가 B에 작용한 힘과 B가 A에 작용한 힘은 크기가 같고 방향이 반대이라고 말한다. 그러므로 뉴턴의 제3법칙은 바로 힘이란 두 물체의 상호작용의 정도를 나타내는 물리량이라는 힘의 정의를 천명하는 법칙이다. 자연의 기본법칙인 운동법칙은 뉴턴의 세 가지 법칙 중에서 제2법칙이다. 그런데 뉴턴의 운 동법칙에 제3법칙을 포함시킨 것은 이처럼 운동법칙인 에 나오는 힘의 본성 이 무엇인지를 정의하기 위함임을 알 수 있다. 두 물체가 상호작용한다면 어떻게 한다는 것일까? 우리는 일상생활에서도 상호작 용이라는 말을 사용한다. 일상생활에서 두 사람이 상호작용한다고 하면 무엇인가를 주고받는 것을 말한다. 상호작용하는 두 연인들은 눈길을 주고받을 수도 있고 편지를 주고받을 수도 있다. 상호작용하는 상인과 손님은 물건을 주고받거나 돈을 주고받는 다. 이처럼 상호작용하는 두 물체도 무엇인가를 서로 주고받는다. 물리에서 두 물체 가 상호작용하는 방법 중 하나로 일을 주고는 경우가 있다. 물리에서는 A가 B에게 힘 를 작용하면서 B가 변위 만큼 이동하게 했다면 A가 B에게 한 일 는 힘과 118 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 변위를 스칼라곱한 것으로 ⋅ (10.1) 라고 정의된다. 힘과 변위는 벡터양이고 일은 스칼라양이므로 힘을 정의하는 데는 두 벡터양을 곱하여 스칼라양을 만드는 스 칼라곱이 적용된다. 그림 10.1 일의 정의 일을 정의한 (10.1)식을 보면 힘과 변위 사이의 사잇각인 가 보다 더 작을 때는 한 일 가 0보다 크다. 그리고 만일 가 딱 라면 한 일은 0이다. 그리고 가 90°보다 더 크지만 180°보다 작다면 일은 0보다 더 작다. 다시 말하면 물체 가 힘의 방향으로 이동하면 한 일이 0보다 크고 물체가 힘의 방향과 반대방향으로 이동하면 한 일이 0보다 작다. 이때 일이 0보다 더 크면 상호작용을 하면서 A가 B에 게 일을 준 것이다. 즉 A로부터 B에게 일이 이동한 것이다. 그러나 만일 일이 0보다 더 작으면 A가 B로부터 일을 빼앗은 것이다. 즉 상호작용을 하면서 일이 B로부터 A 에게 이동한 것이다. 힘을 이야기할 때 꼭 힘을 작용한 원인이 되는 물체와 힘을 받은 대상이 되는 물체 를 함께 표현하여야 힘이 작용하는 모양을 확실하게 묘사할 수 있는 것과 같이 일을 이야기할 때에도 꼭 일을 하는 원인이 되는 물체와 일을 받는 대상이 되는 물체를 함 께 표현하여야 일을 하는 의미가 확실하게 전달된다. 그렇게 표현하면, 힘을 작용한 원인이 되는 물체가 힘을 받은 대상이 되는 물체에게 일을 전달한 것이다. 그리고 만 일 그 일이 0보다 작다면 힘을 작용한 원인이 되는 물체가 힘을 받은 대상이 되는 물 체로부터 일을 가져간 셈이 된다. 물체가 일을 받으면 그 물체에는 어떤 변화가 나타날까? 물체에 전달된 일은 절대 로 없어지거나 물체가 받지 않은 일이 절대로 저절로 생기지 않는다. 물체가 일을 받 으면 그 물체는 다시 다른 물체에 그만한 일을 할 능력을 소유하게 된다. 이 능력을 에너지라고 부른다. 그래서 물체가 다른 물체로부터 일을 받으면 그 물체의 에너지가 받은 일하고 똑같은 크기만큼 증가한다. 이 때 이 물체에 일을 해준 물체의 경우에는 일을 해준 만큼 자기의 에너지가 감소한다. 즉 어떤 물체가 다른 물체에 일을 하면 자신의 에너지는 한 일의 크기와 똑같은 크기만큼 감소한다. 이것은 마치 은행의 예 금 통장과 같다. 돈을 입금하면 통장의 잔고가 많아지고 출금하면 잔고가 줄어든다. 119 제4주 강의 여기서 넣고 빼는 돈이 일에 해당한다면 통장의 잔고가 에너지에 해당한다. 자연은 일과 에너지에 관한 한 그 출납을 정확히 관리한다. 이것을 사람들은 에너 지 보존법칙이라고 부른다. 그런데 일의 잔고인 에너지는 여러 가지 형태로 존재한 다. 그래서 에너지를 부를 때는 열에너지, 전기에너지, 운동에너지, 퍼텐셜에너지, 화 학에너지 등 에너지 앞에 수식어를 붙여 말한다. 열에너지는 물체가 가지고 있는 열 때문에 일할 능력을 갖게 된 것이다. 운동에너지는 물체가 움직이는 속도 때문에 일 할 능력을 갖게 된 것이다. 이런 식으로 물체가 일을 할 수 있는 능력이 무엇인가에 따라 에너지의 이름을 붙인다. 지금까지 우리는 힘이란 무엇인지, 힘의 본성을 알려주는 상호작용이란 무엇인지, 힘과 상호작용 사이의 관계는 무엇인지, 두 물체가 힘을 통하여 상호작용할 때 무엇 을 주고받는지 등을 살펴았다. 그리고 뉴턴의 운동법칙에 포함된 제3법칙인 작용 반작용 법칙은 힘의 본성을 정의하는 법칙이라고 하였다. 그러므로 힘에 대해 구체적 으로 좀 더 잘 이해하기 위해서는 뉴턴의 작용 반작용 법칙에 나오는 작용과 반작용 을 확실히 말할 수 있어야 한다. 그렇게 말할 수 있으면 무엇과 무엇이 상호작용하면 서 힘을 작용하는지를 제대로 이해할 수 있게 된다. 이제 몇 가지 예를 들어가며 작 용과 반작용에 대해 자세히 공부해 보자. 몇 해 전 고등학생용 물리 문제집에 그림 10.2에 보 인 것과 같이 책상 위에 놓인 상자에 작용하는 중력의 반작용은 무엇인지 묻는 문제가 있었는데 그 문제집에 나온 정답이 수직항력이라고 한 것을 본적이 있다. 상 자에 작용하는 중력이란 지구가 상자를 잡아당기는 만 유인력을 말한다. 즉 상자와 지구 사이의 상호작용에 mg 의해서 지구가 상자를 잡아당기는 힘이 바로 상자에 작용하는 중력이다. 그래서 이 중력의 반작용은 상호작 그림 10.2 책상 위의 상자에 작용하는 중력 용하는 두 물체의 순서를 바꾸어 상자가 지구를 잡아 당기는 만유인력이라고 해야 옳다. 상자에 작용하는 수직항력은 책상이 상자를 위로 떠받치는 힘이다. 만일 상자에 중력만 작용한다면 상자는 아래로 떨어져야 한다. 그런데 책상이 상자를 받치고 있어 서 상자가 아래로 떨어지지 못하도록 상자에 작용하는 힘을 수직항력이라고 부른다. 그러면 이 수직항력은 무엇과 무엇 사이의 상호작용에 의해 작용되는 것일까? 그리 120 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 고 이 수직항력의 반작용은 무엇일까? 각자 생각해 보자. 어떤 물체가 받는 힘의 반작용이 무엇이냐고 묻는 문제가 나오면 우선 서로 힘을 주고받는 상호작용하는 두 물체를 찾아야 한다. 그림 10.2에 나온 예에서 상자에 작 용하는 중력은 지구와 상자 사이의 상호작용 때문에 생긴 힘이며 지구가 상자를 잡 아당기는 힘이다. 따라서 이 힘의 반작용은 단순히 원인과 대상을 바꾼 상자가 지구 를 잡아당기는 힘이 된다. 그러니까 상호작용하는 두 물체만 확실히 알면 반작용을 찾는 일은 이렇게 아주 쉽다. 작용과 반작용에 대해 중요한 점으로는 동일한 물체에 작용하는 두 힘을 하나는 작용이고 다른 하나는 반작용이라고 말하면 절대로 안 된다는 것이다. A가 B에 작용 하는 힘을 작용이라면 B가 A에 작용하는 힘을 반작용이라고 하기 때문이다. 그림 10.2에 보인 예에서 중력은 지구가 상자를 잡아당기는 힘이고, 수직항력은 책상 면 이 상자를 떠받치는 힘이다. 즉 중력과 수직항력이 모두 상자에 작용한다. 그래서 중 력과 수직항력은 절대로 서로 작용과 반작용의 관계를 이룰 수가 없다. 두 물체가 접촉하면서 상호작용할 때 작용하는 접촉힘 의 경우에는 작용과 반작용이 작용하는 공간상의 위치가 같아서 혼동을 일으키는 경우가 있다. 그렇지만 그러한 문제에서도 역시 두 힘이 작용하는 물체는 서로 다르다. 그림 10.3과 같이 날아오는 야구공을 야구 방망이로 쳤 을 때, 방망이가 야구공을 친 힘이 작용하는 위치와 야구 공이 방망이에 부딪치면서 방망이에 가한 힘이 작용하는 위치는 공간의 같은 곳이라고 볼 수도 있다. 그러나 방망 그림 10.3 작용과 반작용 이가 야구공을 친 힘은 그림 10.3에 A라고 표시된 방향으로 야구공에 작용한다. 이 힘을 작용이라고 하면, 반작용은 야구공이 방망이를 때린 힘인데, 이 힘은 그림 10.3 에 B라고 표시된 방향으로 방망이에 작용한다. 즉 두 힘은 서로 다른 물체에 작용하 는 것이 틀림없다. 그런데 이 문제에서 재미있는 것으로, 야구공은 방망이가 가한 힘 때문에 오던 방 향을 바꾸어 A쪽으로 날아가게 된다. 그러나 방망이는 야구공으로부터 B방향으로 힘을 받았지만 방망이는 여전히 A방향으로 움직이는 것을 알 수 있다. 이것이 좀 이 상하게 생각되지 않는가? 그렇지만 전혀 이상하지 않다. 방망이에는 야구공으로부터 받은 힘 뿐 아니라 타자가 손으로 미는 힘도 작용하고 있으며 이 두 힘을 더하면 A 121 제4주 강의 쪽을 향하는 힘이 된다. 그림 10.3에 보인 예에서처럼 두 물체가 서로 접촉하면서 힘을 작용하는 상호작용 의 경우에는 공간의 동일한 위치에 작용과 반작용이라는 두 힘이 모두 작용한다. 즉 두 힘의 작용점의 위치가 같다. 그러나 두 힘이 작용하는 물체는 서로 다르다. 그리 고 이 작용과 반작용의 크기는 작용-반작용의 법칙에 의해 동일하고 두 힘의 방향은 정 반대이다. 그렇지만 두 힘이 작용하는 물체가 다르기 때문에 작용과 반작용을 더 하면 0이므로 관계된 물체에 작용하는 힘의 합력은 0이라는 식으로 생각하면 안 된 다. 합력이란 한 물체에, 또는 하나의 계에, 작용하는 힘들을 모두 더한 것을 말하기 때문이다. 이제 힘에 대해 상당히 많이 알게 되었다. 그러면 힘이 무엇인지 한 개의 공식으로 말하라면 여러분은 어떻게 답변할 것인가? 많은 학생들이 라고 말하고 싶을 지 모른다. 그러나 이 식은 앞에서 설명한 것처럼 힘을 정의한 식이 아니다. 질량이 m 인 물체의 가속도 a 를 관찰하고 이 물체가 크기가 ma 인 힘을 받고 있다고 알 수 있는 식이지만 이 물체가 어떤 종류의 힘을 받는지 알려주는 식은 아니다. 그리고 나중에 자세히 공부하게 되겠지만, 이 식은 물체가 힘을 받고 어떻게 운동하는지를 결정하는 운동 법칙이다. 그래서 이 식을 물체에 적용하여 물체가 어떻게 움직일지 알기 위해서는 물체에 작용하는 힘을 미리 알아야 한다. 힘은 상호작용을 하는 정도를 나타내는 물리량이다. 그러므로 어떤 상호작용을 나 타내는 힘이냐에 따라 그 힘을 결정하는 방법이 따로 정해진다. 이렇게 힘을 결정하 는 방법을 나타낸 식을 힘의 법칙이라 한다. 예를 들어, 물체들이 각 물체의 질량에 의해 서로 잡아당기는 힘을 만유인력이라 부르고 만유인력은 뉴턴의 만유인력 법칙 에 의해 정해진다. 여기서 뉴턴의 만유인력 법칙은 만유인력이라는 힘을 결정하는 힘 의 법칙이다. 우리는 만유인력, 전기력, 마찰력, 탄성력 등 여러 가지 종류의 힘에 대한 이야기를 듣는다. 이들 힘은 각각 그 힘을 결정하는 힘의 법칙으로 구분된다. 전기력을 결정하 는 힘의 법칙을 쿨롱 법칙이라 하고 탄성력을 결정하는 힘의 법칙을 후크 법칙이라 부른다. 그래서 힘에 대해 말할 때는 우선 어떤 힘의 법칙으로 결정되는 힘인지를 확 실하게 아는 것이 좋다. 중력과 만유인력은 모두 물체의 질량들 사이에 작용하는 힘을 말하지만 이들 둘을 122 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 구분하여 사용할 때도 있다. 두 물체 사이에 작용하는 만유인력은, 뉴턴의 만유인력 법칙이 말해주는 것처럼, 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리에 반 비례하는 힘이다. 그런데 지상의 물체와 지구 사이에 작용하는 만유인력의 경우 물체 가 지상에서 이리 저리 움직인다고 하여도 지구와 물체 사이의 거리가 거의 변하지 않는다고 생각하여 그 힘의 크기가 바뀌지 않고 일정하다고 본다. 이 힘을 중력이라 고 부른다. 그래서 지의 물체에 작용하는 중력에 대한 힘의 법칙은 (10.2) 라고 쓴다. 이렇게 중력에 대한 힘의 법칙은 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한 다는 만유인력에 대한 힘의 법칙과 구분된다. 그런데 문헌에 따라서는 만유인력도 간 단히 중력이라 부르기도 한다. 영어로는 만유인력을 gravitational force 그리고 중 력을 weight라고 구분하여 부른다. 여기서 weight를 다시 우리말로 번역하면 무게 가 된다. 힘을 지칭하는 이름 중에는 힘의 법칙으로 결정되는 개별적인 힘을 부르지 않고 공통된 성질을 갖는 여러 종류의 힘을 한꺼번에 부르는 경우가 있다. 그런 예로 보존 력, 구심력 등을 들 수 있다. 내력 또는 외력도 힘의 법칙으로 주어지는 구체적인 힘 을 지칭하는 이름이 아니다. 중력, 만유인력, 탄성력, 전기력 등은 모두 보존력이다. 보존력이란 퍼텐셜에너지 로 표현할 수 있는 힘을 말한다. 퍼텐셜에너지는 우리가 흔히 위치에너지라고 알고 있는 것으로 이에 대해서는 나중에 자세히 공부하게 된다. 퍼텐셜에너지라고 모두 똑 같은 퍼텐셜에너지가 아니다. 중력을 표현하는 퍼텐셜에너지를 중력 퍼텐셜에너지, 탄성력을 표현하는 퍼텐셜에너지를 탄성력 퍼텐셜에너지 등으로 구분하여 부른다. 마찰력을 제외하고 힘의 법칙으로 주어지는 힘들은 거의 모두 보존력이라고 이해하 면 된다. 구심력이란 물체가 원운동을 하게 만드는 힘을 말한다. 물체가 원운동을 하려면 그 물체에 원의 중심 방향으로 힘이 작용하지 않으면 안 된다. 예를 들어, 실에 돌멩 이를 매달아 빙빙 돌릴 때 돌멩이를 원운동하도록 만들어주는 힘은 실이 돌멩이를 잡아당기는 장력이다. 그래서 장력이 구심력의 역할을 한다. 또 인공위성은 지구가 인공위성을 잡아당기는 만유인력 때문에 지구 주위를 회전한다. 여기서는 만유인력 이 구심력의 역할을 한다. 123 제4주 강의 힘을 외력과 내력으로 구분하기도 한다. 외력과 내력이란 여러 물체로 이루어진 계를 다룰 때 주로 이용되는 개념으로 주어진 계에 속한 물체들 사이의 상호작용으 로 작용하는 힘을 내력이라 하고 계 외부의 물체가 계 내부의 물체에 작용하는 힘을 외력이라고 부른다. 외력과 내력은 여러 물체를 다룰 때 다시 자세히 공부한다. 마지막으로 우리가 흔히 듣는 장력과 수직항력에 대해 알아보자. 이 두 힘은 개별 적인 힘인데도 힘의 법칙으로 정해지는 힘이 아니어서 좀 별난 힘이다. 이 두 힘은 물체가 외부 조건 때문에 운동의 제한을 받아 작용되는 힘이라는 공통점을 가지고 있다. 그래서 이 두 힘을 구속력이라고 부르기도 한다. 장력은 줄에 연결된 물체의 운동이 줄 때문에 제한 받을 때 물체에 작용하는 힘이 다. 목줄을 매단 강아지를 생각하자. 강아지가 멀리 가지 않아서 줄이 팽팽하지 않을 때는 장력이 작용하지 않는다. 그러나 강아지가 줄의 길이보다 더 멀리 가려고 낑낑 거리며 줄을 잡아당기면 장력이 작용하여 강아지를 멀리 가지 못하게 막는다. 장력이 작용할 때는 줄이 팽팽하게 당겨져 있다. 그리고 장력은 줄의 중심부를 향한 방향으 로 작용한다. 그래서 강아지가 장력을 받으며 움직인다면, 움직이는 방향은 항상 장 력의 방향과 수직을 이룬다. 힘의 방향과 움직이는 방향이 수직이므로 장력은 그 힘 을 받고 움직이는 물체에 일을 하지 않는다. 장력의 크기는 힘의 법칙으로 미리 정해 지는 것이 아니라 강아지 마음대로 정해진다. 강아지가 더 센 힘으로 끙끙거리며 멀 리 가려고 하면 더 큰 장력이 작용된다. 체가 움직이다 벽에 부딪쳐 더 이상 움직이지 못한다면 이 때 벽은 물체에 수직 항력을 작용한다. 이 힘을 부르는데 앞에 수직(垂直)이라는 수식어를 붙여 수직항력이라고 부르는 이유는 벽 때문에 이 동을 못하도록 물체에 작용하는 힘은 항상 벽면에 수직인 방 향으로 작용하기 때문이다. 그림 10.4에 보인 것처럼 벽에 손을 대고 위로 미는 경우를 생각하자. 그러면 벽은 내 손에 그림 10.4에 보인 것과 같이 내가 벽을 미는 힘과 반대 방향 의 힘을 작용한다. 이 때 이 힘을 벽에 수직인 성분과 평행 인 성분의 두 성분으로 나눌 수 있는데, 수직인 성분이 구속 력인 수직항력이고 평행인 성분은 마찰력이다. 수직항력의 크기도 장력과 마찬가지로 힘의 법칙에 의해 124 그림 10.4 손바닥에 작용하는 수직항력과 마찰력 10. 상호작용과 뉴턴의 운동 제3법칙 미리 정해지는 것이 아니라, 내 맘대로 정해진다. 즉 내가 벽을 세게 밀면 수직항력 도 커지고 가만히 밀면 수직항력도 작아진다. 그리고 만일 벽면에서 내 손을 움직였 다면 손이 움직이는 방향은 언제나 수직항력의 방향과 수직이다. 즉 수직항력이 내 손에 한 일은 항상 0이다. 구속력에는 장력과 수직항력 두 가지가 있는데 구속력의 크기는 모두 힘의 법칙으로 미리 정해지지 않고 구속력의 방향은 항상 그 힘을 받는 물체가 움직이는 방향과 수직이기 때문에 구속력이 물체에 한 일은 반드시 0이라는 특징을 갖는다. 125 11. 관성계와 뉴턴의 운동 제1법칙 ∙ 뉴턴의 운동법칙은 세 가지로 구성되어 있다. 그 중에 제1법칙인 관성 법칙의 내용은 무엇인가? ∙ 뉴턴의 운동법칙을 적용하기 위해서는 관성계를 이용하여야만 한다. 관성계란 무엇이며 왜 관성계를 이용하여야만 하는가? ∙ 관성계가 아닌 기준계에서는 실제로 작용하지 않는 힘이 작용하는 것처럼 보인 다. 이런 거짓힘을 관성력이라 한다. 우리가 흔히 겪는 관성력에는 무엇이 있는 가? 뉴턴의 운동법칙 세 가지 중에서 제1법칙은 관성 법칙이라고 불린다. 관성법칙은 흔히 물체가 힘을 받지 않으면 원래의 속도를 바꾸지 않고 일정한 속도로 움직인다 고 알려져 있다. 이 법칙은 갈릴레이에 의해 맨 처음 제안되었다. 그 이전에는 오랫 동안 물체가 힘을 받지 않으면 즉 가만히 놓아두면 움직이던 물체도 정지한다고 생 각하여 왔으므로 갈릴레이의 제안은 그 자체로도 아주 획기적인 의미를 갖는다고 할 수 있다. 그렇지만 물체가 힘을 받지 않으면 등속도 운동을 한다는 것은 뉴턴의 운동 제2법 칙인 운동방정식 에서 힘이 0이면 물체의 가속도가 0이라는 특별한 경우에 불과하다. 그러므로 제1법칙인 관성 법칙은 별도의 법칙이기보다는 제2법칙에 속하 는 특별한 경우라고도 생각할 수 있다. 그럼에도 불구하고 뉴턴의 운동법칙 세 가지 중의 하나로 제1법칙을 따로 떼어서 지정하는 데는 뉴턴의 운동법칙을 설명하는 것 과 연관되어 다음과 같은 특별한 의미를 지니고 있다. 물체가 움직이는 속도는 누가 관찰하느냐에 따라 다르게 측정된다. 그래서 물체가 등속도 운동을 한다고 하면 누가 측정할 때 등속도 운동을 한 것이냐는 문제가 대두 된다. 동일한 물체를 정지한 관찰자와 그 관찰자에 상대적으로 가속도 운동을 하는 다른 관찰자가 측정한다면, 한 관찰자는 그 물체가 등속도 운동을 한다고 측정하더라 도 다른 관찰자는 가속도 운동을 한다고 측정할 것이다. 그러면 어떤 관찰자의 측정 126 11. 관성계와 뉴턴의 운동 제1법칙 이 그 물체의 운동을 바로 기술한다고 할 수 있을 것인가? 다시 말하면 물체의 운 동은 관찰자에 따라, 또는 측정하는 기준계에 따라, 다르게 기술되는데, 물체의 운동 에 대해 누가 옳은 관찰을 했는가라는 문제가 제기될 수 있다. 제1법칙인 관성 법칙은 바로 이 문제를 확실하게 해주는 법칙이라고 생각할 수 있 다. 물체의 운동은, 그 속도가 다르게 측정되는 것처럼, 관찰자에 따라 상대적으로 기 술하는 방법이 바뀔지라도, 물체가 받는 힘은, 또는 그 물체와 다른 물체 사이의 상 호작용은 관찰자에 따라 상대적으로 바뀌지 않는다. 다시 말하면, 관찰자에 따라 동 일한 물체가 받는 힘을 서로 다르게 판단하지 않는다. 그래서 두 관찰자가 모두 대상 물체가 힘을 받지 않는다고 판단하는데도 불구하고, 한 관찰자는 물체가 등속도 운동 을 하고 다른 관찰자는 물체가 가속도 운동을 한다고 측정하였다면, 제1법칙은 뉴턴 의 제2법칙을 적용하기 위해서는 힘을 받지 않은 물체가 등속도 운동을 하는 것으로 측정한 관찰자에 의해서 물체의 운동이 기술되어야 한다고 말한다. 그리고 역으로 제 1법칙은 힘을 받지 않는 물체 또는 작용하는 힘의 합력이 0인 물체의 운동이 등속도 운동으로 기술되는 기준계가 존재함을 천명하는 법칙이라고 생각할 수도 있다. 그러 한 기준계를 관성계 또는 관성기준계라고 부른다. 그리고 어떤 관성계가 미리 관성계 인줄을 알고 있다면, 그 관성계에 대해 상대적으로 등속도 운동하는 기준계는 모두 관성계이다. 그리고 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 물체의 운동을 관성계에서 기술하 지 않으면 안 된다. 물체의 속도는 관찰자에 따라 다르게 측정되므로 어떤 물체의 진정한 속도는 무엇 일까라는 질문이 제기될 수 있다. 지구가 우주의 중심에 움직이지 않고 놓여있다고 생각한 시대에는 그런 질문에 대한 대답이 쉬웠다. 지구에 대해 측정한 속도가 진정 한 속도라고 볼 수 있기 때문이다. 그런 경우에 지구를 절대기준계라고 한다. 진정으 로 움직이지 않는 기준이 되는 기준계라는 의미이다. 그러나 오늘날 우리는 절대적으 로 정지해 있는 절대기준계를 생각할 수 없다는 것을 잘 알고 있다. 그래서 물체의 운동을 기술할 때 기준으로 삼는 기준계가 바로 관성계인 것이다. 절대기준계를 기준으로 측정한 속도를 절대속도라고 한다면 임의의 어떤 기준계를 기준으로 측정한 속도를 상대속도라고 한다. 절대기준계란 존재하지 않음을 알게 되 었으므로 우리가 말하는 속도는 모두 상대속도인 셈이다. 우리가 흔히 물체의 속도로 인용하는 것은 다른 말이 없으면 대부분 지구에 대한 상대속도이다. 그래서 일반적으 로는 물체 A를 기준으로 물체 B의 속도를 측정하였다면 그 속도를 보통 라고 표 127 제4주 강의 시한다. 그래서 물체 A를 기준으로 측정한 물체 C의 속도를 라 하고, 물체 B를 기준으로 한 물체 C의 속도를 라고 한다면 세 상대속도 , , 그리고 사이에는 (11.1) 인 관계가 성립한다. 예를 들어 A는 지구이고 B는 시속 30km로 달리는 자전거이고 C는 시속 100km 로 달리는 자동차라고 하자. 여기서 자전거와 자동차의 속도는 지구를 기준으로 한 상대속도이다. 그러면 (11.2) 로 자전거에서 관찰한 자동차의 속도는 시속 70km로, 상대속도들을 (11.1)식에 대입하면 식이 잘 성립하는 것을 볼 수 있다. 그런데 20세기 초에 빛에 대해서는 (11.1)식이 성립하지 않는다는 것이 실험으로 알려지게 되었다. 예를 들어 C를 지구 에 대해 광속 로 움직이는 빛이라 하고 B를 광속의 절반인 로 빛을 쫓아가는 우 주선이라고 하면 (11.3) 이고 이것을 (11.1)식에 대입하면 우주선이 측정한 빛의 속도인 는 이어야 하는데 실제로 측정한 결과는 도 역시 이었던 것이다. 이것이 광속은 일정하다 고 말하는 널리 알려진 사실이다. 상대속도의 정의인 (11.1)식은 실험으로 알려진 식이 아니라 아주 논리적인 추론 에 의해 이해할 수 있는 식이다. 그런데 빛에 대해서는 이렇게 논리적인 식이 성립하 지 않았던 것이다. 이것은 당시 이론체계 내에서는 도저히 이해될 수 없는 현상이었 다. 이것을 해결하는 과정에서 아인슈타인은 당시까지 믿고 있던 시간과 공간에 대한 우리의 개념이 옳지 않다는 결론에 도달하게 되었다. 그 결론이 바로 아인슈타인의 상대론이다. 아인슈타인은 1905년에 특수 상대성이론을 발표하였고 그로부터 11년 뒤인 1916년에 일반 상대성이론을 발표하였다. 얼핏 생각하면 일반 상대성이론이 좀 쉽 128 11. 관성계와 뉴턴의 운동 제1법칙 고 특수 상대성이론이 더 어려울 것 같이 보이고, 그래서 일반 상대성이론을 특수 상 대성이론보다 더 먼저 발표했어야 하는 것이 아닌가 여겨지기도 한다. 그런데 특수 상대성이론에서 특수는 특별하다는 의미 보다는 제한되어 있다는 의 미라고 해석하는 것이 좋다. 특수 상대성이론은 자연현상을 대표하는 물리량을 서로 다른 두 관성계에서 측정하는 경우에 그들이 어떻게 다르게 측정되는지에 대한 것이 다. 다시 말하면 자연 현상을 관성계에서 관찰하는 것으로 제한한 경우이다. 그래서 아인슈타인은 특수 상대성이론의 당연한 확장으로 관성계로 제한하였던 것을 비관성 계까지 포함시키도록 일반화하기를 원하였다. 이렇게 비관성계까지 포함시킨 경우의 상대성이론 체계가 바로 일반 상대성 이론이다. 그러므로 일반 상대성이론의 일반은 제한을 두지 않는다는 의미라고 해석하면 된다. 특수 상대성이론에 의하면 똑같은 자연현상을 서로 다른 관성계에서 관찰할 때 자 연법칙에 의해서 두 관성계를 구별할 수 없다는 것을 알았다. 이것이 특수 상대성이 론에서 상대성의 원리이다. 또한 뉴턴 역학을 자연현상에 적용할 때 우리는 꼭 관성 계를 이용하여서 그 자연현상을 기술하여야만 한다. 관성계가 아니면 자연현상을 뉴 턴의 운동법칙으로 기술할 수가 없기 때문이다. 어떤 기준계가 관성계인지 아닌지 판단하는 방법은 힘을 받지 않거나 작용하는 힘 의 합력이 0인 물체가 등속도 운동을 하는지 아닌지 보는 것임을 이미 배웠다. 관찰 의 대상이 되는 물체가 다른 물체로부터 힘을 받는지 아닌지는 힘의 법칙으로부터 잘 알 수 있다. 따라서 어떤 기준계가 관성계인지 아닌지를 그 관성계 자체의 운동이 나 또는 그 관성계에서 측정한 물체의 운동을 보고 알 수는 없지만 그 관성계에서 측 정한 물체가 어떤 힘을 받는지를 보고 판단할 수 있다. 그러면 관성계가 아닌 기준계인 비관성계에서 물체의 운동을 기술하려고 하면 어 떻게 될까? 예를 들어, 힘을 전혀 받지 않기 때문에, 또는 작용한 힘의 합력이 0이기 때문에 어떤 관성계에서 정지해 있는 물체를 생각하자. 간단한 예로 책상 위에 놓인 책을 들 수 있다. 지구가 책을 잡아당기는 중력과 책상 면이 책을 들어 올리는 수직 항력이 서로 상쇄되어 책에 작용하는 합력은 0이고 그래서 책에 대하여 정지한 기준 계에서 본 책은 정지해 있고 이 기준계는 관성계이다. 그런데 그 옆에서 원래 기준계에 대해 가속도 a 로 가속 운동하는 다른 기준계에 서 이 책의 운동을 관찰한다고 하자. 그 기준계는 관성계에 대해 가속 운동을 하므로 129 제4주 강의 분명히 관성계가 아니고 비관성계이다. 그런데 이 비관성계에서 책을 관찰하면 책은 정지해 있는 것이 아니라 가속도가 로 가속 운동을 하고 있다. 그러므로 이 비관 성계에서 관찰하는 사람은 뉴턴의 운동법칙에 의해 이 책이 인 힘을 받 고 있다고 생각한다. 그런데 책이 아무런 힘도 받고 있지 않는 것은 힘의 법칙에 의해 너무 분명하다. 특히 이 책을 관성계에서 관찰하면, 원래 책이 정지해 있다고 생각하는 관성계 뿐 아 니라 모든 다른 관성계에서라도, 책에 작용하는 합력은 0이라는 것을 분명히 알고 있 다. 단지 비관성계에서 관찰한 사람만 책에 작용하는 합력이 0이 아니라고 생각하고, 그에 더해서 그 힘은 책의 질량에 비관성계의 가속도의 음수를 곱한 것과 같다고 생 각한다. 비관성계에서만 물체에 작용한다고 생각되는 이런 종류의 힘을 관성력이라 고 부른다. 그래서 관성력은 힘이 아니다. 어떤 힘이 진짜 힘인지 아니면 실제로는 힘이 아닌 관성력인지를 구별하려면 그 힘의 반작용을 찾아보면 된다. 만일 반작용이 존재하지 않는다면 그것은 힘이 아니다. 관성력을 이해하기 위한 또 다른 예로, 그림 11.1에 보인 것과 같이 버스의 손잡이 를 보자. 버스가 정지해 있거나 등속도로 움직이면 손잡이는 그림 11.1의 (가)와 같 이 연직선 상에 놓여 있다. 그렇지만 버스가 앞으로 점점 더 빨리 움직이는 가속 운 동을 하고 있다면 그림 11.1의 (나)와 같이 손잡이는 마치 뒤에서 무엇이 잡아당기 고 있는 것처럼 뒤로 기울어져 있다. 그러나 이 손잡이를 뒤에서 잡아당기는 힘은, 우리가 손잡이 뒤쪽을 아무리 살펴보아도 그러한 힘을 작용할 만한 대상을 찾을 수 없는 것처럼, 존재하지 않는다. 이 손잡이의 운동을 관성계에서 설명해 보자. 손잡이에는 그림 11.2에 보인 것과 같이 중력 와 장력 가 작용한다. 그리고 버스가 관성계 내에서 가속도 로 가속 (나) (가) 그림 11.1 관성력에 대한 이해 130 11. 관성계와 뉴턴의 운동 제1법칙 운동을 하고 있으므로 손잡이도 버스와 함께 가속도 로 움직이고 있다. 그래서 손잡이의 T 줄이 연직선과 각 를 이루고 있다면, 손잡 이가 연직방향으로는 움직이지 않아서 가속 도의 연직방향 성분이 0이므로 뉴턴의 운동 방정식 F = ma 의 좌변에 해당하는 힘과 우변에 해당하는 가속도 0을 대입하여 mg (11.4) 그림 11.2 손잡이에 작용하는 힘 을 만족한다. (11.4)식으로부터 손잡이를 잡 아당기는 장력은 (11.5) 가 됨을 알 수 있다. 이제 손잡이에 작용하는 모든 힘인 중력과 장력을 더한 합력은 수평방향으로 임을 알 수 있다. 따라서 손잡이의 수평방향 운동에 적용한 뉴 턴의 운동방정식은, 손잡이가 버스와 똑같은 가속도인 a 로 가속 운동을 하고 있으므 로, 뉴턴의 운동방정식에 알고 있는 합력과 가속도를 대입하여 (11.6) 를 얻는다. (11.5)식을 (11.6)식 대입하면, 손잡이의 줄이 연직선과 만드는 각은 ∴ (11.7) 가 된다. 그러면 이번에는 가속도 로 움직이는 버스에 고정된 기준계에서 손잡이의 운동 을 기술해 보자. 손잡이의 운동을 관성계에서 기술할 때와 버스에 고정된 비관성계에 서 기술할 때의 차이점은, 관성계에서는 손잡이가 버스와 동일하게 가속도 a 로 움직 이지만 비관성계에서는 손잡이가 정지해 있고 그래서 가속도가 0이라는 점이다. 비 관성계에서도 손잡이의 연직방향 운동에 대해서는 관성계의 경우와 마찬가지로 131 제4주 강의 (11.4)식이 그대로 성립한다. 그래서 손잡이의 줄에 작용 하는 장력은 여전히 (11.5)식으로 주어짐을 알 수 있다. T 그런데 손잡이에 작용하는 장력과 중력의 합력은 결코 0 이 될 수 없다. 그러므로 손잡이의 가속도가 0이 되기 위 해서는 손잡이에 그림 11.3에 라고 표현된 다른 힘이 꼭 f 작용하여야만 한다. 만일 그 힘이 작용한다면 뉴턴의 운동 방정식은 mg (11.8) 가 되고, 비관성계에서 작용하는 것처럼 보이는 힘은 그림 11.3 비관성계에서 손잡이에 작용하는 힘 (11.9) 이다. 여기서 (11.6)식으로 주어진 값을 이용하였다. (11.9)식과 그림 11.3 에서 명백한 것처럼 이 힘의 크기는 손잡이의 질량에 비관성계의 가속도를 곱한 것 과 같고, 이 힘의 방향은 비관성계의 가속도 방향과 반대 방향이다. 이런 힘을 관성 력 이라 부르고 (11.10) 라고 쓸 수 있다. 이처럼 관성력이란 오로지 물체의 운동을 비관성계에서 기술할 때 만 필요한 거짓힘인 것이다. 그러므로 뉴턴 역학을 적용할 때 관성력은 구태여 고려할 필요가 없다. 뉴턴 역학 에서는 언제든지 관성계를 이용할 수가 있기 때문이다. 그런데 일상생활에서 너무 자 주 들어서 많은 사람들이 진짜 힘이라고 오해하는 것이 있다. 그것이 바로 원심력이 다. 원심력은 힘이 아니고 원운동하는 비관성계에서 힘인 것처럼 느끼는 거짓힘인 관 성력이다. 그러므로 거의 대부분의 경우에 원심력을 따로 거론할 필요가 없다. 그런 데 우리 주위의 정말 많은 사람들이 원심력에 대해 잘못 생각하고 있다. 예를 들어, 한국항공우주연구원이라는 연구소가 있다. 이곳은 중·소형급 항공기 개발을 담당하는 항공기 분야와 다목적실용위성·통신방송위성 개발을 담당하는 인 공위성 분야 및 과학로켓 및 우주발사체 개발을 수행하는 로켓분야로 구성되며, 아울 132 11. 관성계와 뉴턴의 운동 제1법칙 러 품질인증/기반핵심 기술 분야도 갖추고 있다. 이 연구소는 수백 명의 박사, 석사 급 연구원들이 연구에 종사하고 있는 곳이다. 그리고 한국항공우주연구원의 홈페이 지에는 일반인을 위해 인공위성에 대해 강의하는 곳이 있는데 궁금한 사람은 다음 주소 http://sitc.kari.re.kr/pds/lecture/lecture1/lecture1.htm를 찾아가보면 된다. 그곳에는 위성을 다음과 같이 설명하고 있다. 지구가 당기는 인력과 회전에 의한 원심력이 평행을 이뤄 지구주위를 도는 물체를 위성이라 하고, 인간이 어떤 특수한 목적을 위해 지구주위를 일정 한 주기를 갖고 돌 게 하는 위성을 인공위성이라 한다. (이 내용은 옳지 않음!) 그러면 인공위성의 운동을 어떻게 기술해야 되는지 보자. 인공위성에 작용하는 힘은, 그림 11.4에서 명백한 것처럼 지 구가 지구 방향으로, 그러니까 인공위성이 그리는 원궤도의 F 중심 방향으로, 잡아당기는 만유인력 뿐이다. 그래서 관성 계에서 인공위성을 기술하는 뉴턴의 운동방정식을 세워보면 (11.11) 인데, 여기서 등속 원운동의 가속도는 인공위성이 회전하는 그림 11.4 인공위성에 작용하는 만유인력 원의 반지름을 라고 하고 인공위성의 속력을 라고 하면 (9.35)식에 주어진 것처 럼 (11.12) 로 원궤도의 중심을 향한다. 따라서 만유인력의 크기 와 인공위성이 회전하는 원궤 도의 반지름 , 인공위성의 속력 사이에 (11.13) 을 만족하는 궤도를 따라 인공위성이 회전하게 되는 것이다. 따라서 인공위성이 지구 주위를 회전하는데 구심력으로 작용하는 만유인력인 F 를 제외하고 어떤 다른 힘도 필요하지 않다. 그러면 이번에는 인공위성에 고정된 기준계에서 인공위성의 운동을 기술해 보자. 133 제4주 강의 인공위성은 원운동을 하므로 인공위성에 고정된 기준계는 비관성계이다. 그리고 인공위성의 운동을 f 관성계에서 기술할 때와 인공위성에 고정된 비관 성계에서 기술할 때의 차이점은, 관성계에서는 인 F 공위성이 원궤도의 중심을 향하는 가속운동을 하 지만 비관성계에서는 인공위성이 정지해 있어서 가속도가 0이라는 점이다. 인공위성을 인공위성에 고정된 비관성계에서 보 면, 인공위성의 가속도가 이므로, 인공위성에 작용하는 합력도 0이어야만 한다. 그런데 이 관성 그림 11.5 인공위성에 고정된 비관성계에서 인공위성에 작용하는 힘 계에 작용하는 명백한 힘은, 그림 11.5에 보인 것 처럼, 지구가 인공위성을 잡아당기는 만유인력인 이다. 따라서 이 비관성계에서는 인공위성이 만유인력을 받고 있음에도 불구하고 움직이지 않고 정지해 있으려면 꼭 인공위성에 다른 힘이 작용하고 있어야만 하는 것이다. 이 힘이 바로 우리가 흔히 원 심력이라 부르는 것으로, 그림 11.5에 로 표시된 관성력 즉 거짓힘이다. 그러면 위의 한국항공우주연구원 홈페이지에 있는 설명에는 무엇이 잘못되었을 까? 인공위성이 지구 주위를 따라 원운동을 한다고 하려면 인공위성이 지구의 인력 을 받고 원운동을 한다고 말하면 된다. 원심력을 포함시키려면 인공위성에서 보면 인 공위성은 만유인력과 원심력이 평형을 이루어 정지해 있다고 말해야 한다. 원심력과 같은 관성력은 가속도 운동을 하는 비관성계에서 물체가 정지해 있는 것처럼 보이는 것을 설명하려고 도입하는 거짓힘이기 때문이다. 이와 같이 뉴턴 역학을 이용하여 관성계에서 물체의 운동을 기술하는데 관성력은 전혀 필요가 없다. 혹시 비관성계를 도입하여 설명할 필요가 있을 때는 관성력이란 진짜 힘이 아니라 거짓힘임을 확실히 인식하고 그렇게 하여야 한다. 그리고 관성력은 거짓힘이기 때문에 관성력을 통하여 상호작용하는 두 물체가 존재하지 않고 그래서 관성력에는 반작용도 존재하지 않는다. 우리가 흔히 구심력의 반작용은 원심력이라 는 실수를 하는데, 위의 예에서 인공위성에 작용하는 만유인력은 구심력의 역할을 하 며, 이 구심력의 반작용은 인공위성이 지구를 잡아당기는 만유인력이다. 134 12. 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동 제2법칙 ∙ 뉴턴이 자연의 기본법칙인 운동 제2법칙을 발견함으로써 인간이 자연을 정량적 으로 이해할 수 있게 되었다. 제2법칙의 의미가 무엇인지 생각해 보자. ∙ 우리는 뉴턴의 운동방정식 에 나오는 질량에 대해서는 이미 잘 알고 있 는 것이라고 믿는 수가 많다. 질량이란 과연 무엇인지 생각해 보자. ∙ 우리는 자연의 기본법칙이 뉴턴의 운동방정식인 임을 알았다. 이 방정식 을 어떻게 풀어야 하는가? 지난 10장과 11장에서는 뉴턴이 발표한 운동법칙 세 가지 중에서 먼저 제3법칙과 제1법칙을 알아보았다. 그러나 간단히 뉴턴의 운동법칙이라고 말하면 제2법칙을 의 미한다. 제3법칙은 제2법칙에서 이용되는 힘의 본성을 정의한 법칙이고 제1법칙은 제2법칙을 적용하는 관성계를 정의한 법칙이라고 할 수 있다. 그래서 뉴턴의 운동 제 3법칙과 제1법칙은 제2법칙을 분명하게 적용할 수 있도록 보조하는 의미의 법칙이 다. 우리는 1장에서 인간은 아주 오래 전부터 물체들이 어떤 원리에 의해 움직이는지 에 대해 나름대로의 생각을 가지고 있었음을 알았다. 아주 오래 전인 신화시대에는 신이 물체의 운동을 좌지우지한다고 믿었다. 그렇지만 고대 그리스시대에 이르러 자 연을 면밀히 관찰하는 학자들이 출현하게 되었고 그들은 물체들의 움직임을 자세히 관찰한 결과 그것은 아무렇게나 일어나지 않고 어떤 규칙을 따름을 알게 되었다. 그 들은 이 세상을 천상세계와 지상세계로 나누고 천상세계의 물체는 원운동을 하며 지 상세계의 물체는 결국 정지하게 된다는 운동법칙을 내세웠다. 그리고 당시 학자들은 신이 사는 천상세계에 속한 물체는 완전한 운동인 원운동을 하고 인간이 사는 지상 세계에 속한 물체는 인간이 결국 고향으로 가 휴식을 취하듯 물체들도 결국 고향으 로 돌아가 정지한다고 믿었다. 그런데 코페르니쿠스와 브라헤 그리고 케플러를 거치 면서 태양계에 속한 행성들의 운동을 면밀히 관찰한 결과 천상세계에 속한 물체의 운동법칙이 절대로 옳을 수 없음을 확실히 알게 되었다. 그 뿐 아니라 지상에 속한 135 제4주 강의 물체들에 의한 실험에 의해 지상세계의 운동법칙도 전혀 터무니없음을 깨달았다. 이 제 새로운 운동법칙을 찾아내어야 할 차례가 되었다. 뉴턴의 운동법칙이 바로 이 자 리를 채워준다. 세상의 모든 물체들이 따라 움직이는 원리가 바로 이 운동법칙이었던 것이다. 새로 알게 된 운동법칙에 의하면 세상을 천상세계와 지상세계로 구분할 필요 가 없게 되었다. 천상세계에 속한 물체이건 지상세계에 속한 물체이건 모두 똑같은 원리에 의해 움직이는 것이다. 얼마나 멋진 일인가? 그런데 지금까지의 설명으로는 뉴턴의 운동법칙에 대해 아직 풀리지 않은 의문이 남아있다. 하나는 물체가 왜 F = ma 라는 간단한 식을 쫓아서 움직이느냐는 의문이 다. 이전의 자연법칙에서는 천상세계의 운동법칙과 지상세계의 운동법칙이 성립하는 이유에 대한 그럴듯한 설명이 있었다. 이번에도 뉴턴의 운동법칙이 왜 성립하는지에 대해 그런 종류의 근거를 알아낼 수 있을까? 다른 하나는 물체들이 어떤 힘을 받느냐 는 의문이다. 뉴턴의 운동법칙으로 물체의 운동을 설명하자면 물체들이 받는 힘을 알 아야한다. 첫 번째 의문에 대한 대답은 따로 찾을 수 없는 것처럼 보인다. 그렇지만 이전과는 달리 이번 운동법칙은 모든 물체의 운동에 적용해 보아서 이 법칙이 맞는지 틀리는 지를 숫자로 비교해 보아 정확히 가려낼 수 있는 방법으로 기술된다. 그리고 천상세 계에서나 지상세계에서나 어느 곳에서든지 이 법칙에 위배되며 움직이는 물체를 결 코 찾을 수 없음을 알았다. 그래서 이제 우리는 올바른 운동법칙을 찾았다는 확신을 갖게 된 것이다. 두 번째 의문에 대한 대답을 제공해 주는 것이 바로 뉴턴이 발견한 다른 법칙인 만유인력 법칙이다. 만유인력 법칙은 이 세상에 속한 어느 두 물체 사이 에서도 서로 잡아당기는 인력이 작용하는데, 그 힘의 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 말한다. 뉴턴이 케임브리지 대학 2학년이었던 때 유럽 에서는 대도시에 무서운 전염병인 흑사병이 유행 하였다. 런던도 예외가 아니어서, 모든 학교들이 휴교를 하는 바람에 뉴턴은 그림 12.1에 보인 고 향집에 내려와 있었다. 뉴턴이 그때 고향집 정원 에 서있던 나무에서 떨어지는 사과를 보고 만유 인력 법칙을 발견하게 되었다는 말이 전해져 온 다. 당시 사람들은 사과가 떨어지면 아! 사과가 136 그림 12.1 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하였을 때 살았던 시골 고향집 12. 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동 제2법칙 고향을 찾아 쉬러 간다고 생각했던 것을 뉴턴이 처음으로 지구가 잡아당기는 힘이 사과에 작용해서 사과가 나무에서 떨어진 것이라고 알아차렸다는 의미에서 그런 말 이 나왔는지도 모르겠다. 그러나 만유인력의 법칙에서 매우 중요한 요소는 두 물체 사이에 작용하는 힘이 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 것이다. 즉 두 물체 사이의 거리를 두 배로 하면 두 물체가 서로 잡아당기는 힘은 사분의 일로 줄어든다. 그러나 지상에서 사과가 떨어지는 거리에 비해서 지구의 반지름이 너무 길기 때문에 사과가 떨어지는 모습만을 보고 지구가 사과를 잡아당기는 인력의 크기가 지구 중심과 사과 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 점을 알아낸다는 것은 도저히 가능하지 않다. 그뿐 아니 라, 뉴턴의 고향집 정원에는 사과나무가 한그루도 없었다고 말하는 역사학자도 있다. 앞으로 알게 되겠지만, 뉴턴의 운동법칙을 적용하면 물체에 작용하는 힘이 거리에 의존하는 모습에 따라 물체가 따라 움직이는 궤도의 모습이 결정된다. 잘 아는 것처 럼 지상에서 비스듬히 던진 야구공은 포물선을 그리며 움직인다. 그것은 야구공이 움 직이더라도 야구공에 작용하는 힘인 중력의 크기와 방향이 바뀌지 않고 일정하기 때 문이다. 물체에 크기와 방향이 바뀌지 않고 일정한 힘이 작용하면, 그런 물체는 모두 포물선을 그리며 움직인다. 다른 예로, 우리는 스프링에 연결된 물체는 단진동 운동 을 한다는 점도 잘 알고 있다. 그것은 물체가 거리에 비례하여 커지는 인력을 받기 때문이다. 어떤 물체라도 거리에 비례하여 커지는 인력을 받으면 항상 단진동 운동을 한다. 그리고 행성과 마찬가지로 거리의 제곱에 반비례하고 중심을 향하는 힘을 받는 물체는 타원 운동을 한다. 그래서 물체에 적용되는 운동법칙이 라고 깨달은 뉴턴은 행성들이 태양을 중심으로 타원운동을 한다는 케플러의 결론을 듣고 바로 태 양과 행성들 사이에 작용하는 힘은 그들 사이의 거리의 제곱에 반비례한다고 자신 있게 말할 수 있었던 것이다. 그뿐 아니라 뉴턴은 태양과 행성 사이 또는 지구와 사과 사이 뿐 아니라 이 세상의 모든 물체 사이에는 서로 잡아당기는 인력이 작용한다고 간파하였다. 그리고 그 힘의 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다 고 천명한 것이다. 뉴턴이 운동의 법칙과 만유인력의 법칙을 모두 발견하였을 때 그 의 나이는 25살이었다. 그러면 이제 물리의 핵심이 되는 자연의 기본 법칙인 제2법칙에 대해 본격으로 이야기하자. 뉴턴의 제2법칙인 운동 방정식 가 바로 자연의 모든 현상을 설명 137 제4주 강의 하는 기본 법칙이다. 이 식은 식의 우변에 나온 질량 으로 대표되는 물체에 좌변에 나온 힘 가 작용될 때 이 물체가 어떤 운동을 할 것인가를 결정해주는 법칙이다. 뉴턴의 운동방정식은 물체가 받는 힘 가 먼저 주어지고 나서 방정식을 풀게 되 어있다. 운동방정식 중에서 우변 는 어떤 문제에서나 똑같다. 그리고 이 식을 푼다는 것은 a 를 구한다는 뜻이다. a 를 구한다는 것의 의미가 그리 간단하지 는 않다. 그 점에 대해서는 나중에 자세히 이야기하자. 문제에 따라 바뀌는 것은 좌 변의 힘 이다. 힘이 다르게 주어지면 다른 문제가 된다. 우리는 힘 자체에 대해서는 이미 자세히 공부하였다. 뉴턴의 운동방정식은 어떤 종류의 힘 즉 어떤 종류의 상호 작용이거나 관계없이 모두 성립한다. 그런데 이 운동 방정식에 나오는 질량 에 대해서는 조금 더 논의할 필요가 있다. 물체의 질량에 대해서는 우리가 너무 자주 말하고 있기 때문에 질량이란 우리가 잘 알고 있는 물리량이라고 생각되지만 사실 그렇지도 않다. 그래서 질량이 무엇일지 곰 곰이 생각해볼 필요가 있다. 질량은 아주 기본이 되는 양이기 때문에 더 어렵다. 기 본이 되는 양이 아니면 더 기본이 되는 양으로 설명하면 된다. 그러나 가장 기본이 되는 양은 그것을 설명할 더 기본이 되는 것이 없다. 그것이 문제이다. 그리고 우리 가 물체의 질량을 바로 구하는 어떤 특별한 방법이 존재하지 않는다. 자연에 존재하 는 질량과 연관된 기본 법칙을 이용하여 질량을 구하거나 이야기하여야 한다. 질량과 관계된 법칙으로 뉴턴의 만유인력 법칙이 있다. 만유인력 법칙은 질량과 관계된 중요한 기본 법칙이다. 그래서 지상에 놓인 물체의 질량을 아는데 지구와 그 물체 사이에 만유인력 법칙을 적용하면 좋다. 또는 질량에 대해 이보다 더 기본적인 법칙이 없으므로 뉴턴의 만유인력 법칙이 질량을 정의한 식이라고 생각하여도 좋다. 지상의 질량이 인 물체와 질량이 인 지구 사이에 작용하는 만유인력 는 (12.1) 인데 여기서 는 지구와 물체 사이의 거리이고 는 만유인력 상수라고 알려진 보편 상수로 그 값은 × (12.2) 138 12. 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동 제2법칙 이다. 보편상수란 공간과 시간에 의존하지 않고 언제나 어디서나 같은 값을 갖는 상 수를 말한다. (12.2)식을 보면 만유인력 상수 의 값이 대단히 작은 것을 알 수 있 다. 질량이 인 두 물체가 만큼 떨어져 있다면 두 물체 사이에 작용하는 만유 인력은 약 × 이다. 그래서 지상에 존재하는 물체들 사이의 만유인력은 거 의 감지할 수가 없는 것이다. 뉴턴의 만유인력 법칙에서 만일 지구 중심에서 물체까지의 거리 대신에 어느 물 체에게나 모두 지구의 반지름 을 사용할 수 있다고 하면 물체를 지구가 잡아당기 는 만유인력은 (12.3) 가 된다. 이렇게 주어지는 지상에서 움직이는 물체에 대한 만유인력을 우리는 흔히 중력이라고 부른다. (12.3)식에서 물체의 질량인 에 곱해지는 인자인 에 나오는 양들은 지구의 질량 과 지구의 반지름 그리고 만유인력 상수 등 모두 미리 정해진 값을 갖으며 이 값을 넣어 계산하면 그 결과 가속도와 같은 차원의 양 이 된다. G 값으로 (12.2)식에 주어진 값을 사용하고 지구의 질량 과 반지름 로 는 각각 × × 등 이미 잘 알려진 값을 대입하면 (12.3)식에 나오는 값은 × ⋅ × × (12.4) 이 된다. 이것을 우리가 중력가속도라고 부르고 지상에서 중력만 받으며 움직이는 물 체는 모두 이 가속도를 가지고 등가속도 운동을 한다. (12.3)식으로 주어진 힘 즉 지구가 물체를 잡아당기는 힘을 그 물체의 무게라고 부른다. 그래서 우리가 흔히 내 몸무게는 이라고 말하는데 정확히 말한다면 그 것은 옳지 않다. 무게는 힘의 일종인데 여기서 kg은 질량의 단위이지 힘의 단위가 아 니기 때문이다. 우리가 그냥 이라고 말할 때는 질량이 인 물체를 지구가 잡아당기는 힘이라고 의미한 것이고 그래서 몸무게가 이라고만 이야기하더라 139 제4주 강의 도 충분히 의사가 통한 셈이다. 왜냐하면 그 물체의 무게는 5 0 × 9.8 N 이라는 것을 곧 알 수 있기 때문이다. 한편 거꾸로 이야기하면 물체의 무게를 알면 그 물체의 질량을 안 것이나 다름없 다. 무게와 질량은 바로 비례하며 그 비례상수를 우리가 알고 있기 때문이다. 물체의 질량을 직접 측정할 방법은 없다. 얼핏 생각하기에는 왜 질량을 직접 측정할 수 없을 까라고 의아하게 여길지 모르지만, 정말 그렇다. 그러나 무게는 간단히 측정할 수 있 다. 단순히 물체를 저울에 올려놓고 저울의 눈금을 읽기만 하면 된다. 그래서 물체의 질량을 알고 싶으면 먼저 그 물체의 무게를 측정한 다음 무게로부터 물체의 질량을 알아내는 것이 질량을 간접으로 측정하는 한 가지 방법이다. 그리고 이 방법은 질량 이 들어가는 기본 법칙인 만유인력 법칙을 이용한 것이다. 질량이 포함된 기본 법칙이 뉴턴의 만유인력 법칙 이외에도 한 가지 더 있다. 그것 이 바로 우리가 지금 이야기하고 있는 주제인 뉴턴의 운동방정식 이다. 물체 의 질량을 측정하는데 이 법칙을 적용할 수가 있다. 왜냐하면 물체에 작용하는 힘을 측정할 수가 있고 그 힘을 받고 움직이는 물체의 가속도도 측정할 수가 있기 때문이 다. 그래서 1 N 의 힘을 계속 작용시키면서 물체의 운동을 관찰하니 물체의 가속도 가 이었다면 그 물체의 질량은 임이 분명하다고 판단한다. 그러므로 뉴턴 의 운동방정식도 질량을 정의한 식이라고 말할 수 있다. 그런데 여기 아주 중요한 의문점이 있다. 위에서 물체에 작용한 힘과 가속도를 측 정하여 질량이 이라고 알게 된 물체를 저울 위에 올려놓으면 저울의 눈금이 역 시 을 가리키게 될까? 여기서 문제가 되는 것은 이 질량이 꼭 이어야 할 아 무런 이유가 없다는 점이다. 위에서 말한 만유인력 법칙과 운동의 제2법칙은 모두 질량을 정의한 식이라고 말 할 수 있다고 하였다. 그리고 이 두 식보다 더 기본적으로 질량을 정한 식이나 법칙 은 존재하지 않는다. 만유인력 법칙은 만유인력을 작용시키는 원인으로 질량을 정의 하였다. 두 크기가 같은 질량을 거리만큼 떨어뜨려 놓았을 때 작용하는 힘의 크 기가 만유인력 상수의 크기와 같은 × 이라면 각 물체의 질량을 이 라고 한다고 질량을 정의한다. 한편 뉴턴의 제2법칙도 역시 질량을 정의한 식이다. 어떤 물체가 있는데 그 물체에 의 힘을 계속 가하면 계속 의 가속도로 운 동할 때 그 물체의 질량을 이라고 한다고 정의한다. 140 12. 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동 제2법칙 그런데 문제는 이 두 가지로 정의된 양이 같은 양이어야 한다는 이유가 전혀 없다 는 것이다. 두 법칙 사이에는 아무런 관련이 없기 때문에 각 법칙으로 정의한 양이 같은 물리량이라고 말할 아무런 근거도 없다. 사실 두 가지로 정의한 양을 모두 같은 이름으로 부른 것부터가 큰 잘못이다. 학교에서 늘 그렇게 부르도록 배워왔기 때문에 새로 공부를 시작하는 사람들은 아마 두 가지가 같은 양이기 때문에 훌륭한 학자들 이 그렇게 불렀을 것이라고 믿고 있을지도 모른다. 실제로는 무게를 측정하여 결정되 는 질량을 중력질량 그리고 가속도를 측정하여 결정되는 질량을 관성질량이라고 구 별하여 부르기도 하며 학자들이 이들 사이에 어떤 관계가 존재하는지에 대해 오랫동 안 조사하여 왔다. 그런데 실험에 의하면 이 두 가지 종류의 질량 값이 정확히 같다. 근사적으로 같은 것이 아니라 소수점 이하 수천 자리까지 정확히 같은 것이다. 1940년대와 50년대에 는 이 두 종류의 질량이 얼마나 정확히 일치하는가가 상당한 관심의 대상이었으며 그래서 많은 학자들이 이것을 열심히 측정하였다. 그 결과 우리가 측정하는 기술이 허용하는 한 같다는 것이 밝혀졌다. 고대 그리스시대에 아리스토텔레스는 무거운 물체 와 가벼운 물체를 공중에서 떨어뜨리면 무거운 물체 가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어진다고 말하였다. 그 이후 2,000년에 걸친 오랜 기간 동안 사람들은 그 말을 의심하지 않고 그대로 믿었다. 사실 무거운 물 체가 가벼운 물체보다 더 빨리 떨어지는 것을 주위에 서 자주 경험하기도 한 때문이리라. 그런데 17세기에 이르러 이태리의 갈릴레이는 그림 12.2에 보인 피사 의 사탑에서 똑같은 모양의 쇠공과 나무공을 동시에 떨어뜨려 보았다. 이 실험이 아리스토텔레스의 말에 대한 반증(反證)으로 유명하지만 사실은 이 실험 결 과가 중력질량과 관성질량이 같음을 말해주는 증거라 그림 12.2 피사의 사탑 고 말하는 편이 훨씬 더 좋다 중력질량과 관성질량을 구분하여 중력질량을 중력 , 관성질량을 관성 이라고 쓰자. 그러면 높은 곳에서 떨어지는 물체가 받는 중력은 만유인력 법칙인 (12.3)식으로부 터 141 제4주 강의 (12.5) 중력 이고 떨어지는 물체의 운동을 기술하기 위해 적용될 뉴턴의 운동방정식은 (12.6) 관성 이다. 그래서 (12.6)식의 좌변에 나오는 이 물체가 받는 힘으로 (12.5)식으로 주어 지는 중력을 대입하면 중력 관성 중력 ∴ 관성 (12.7) 이 된다. 다시 말하면 중력질량과 관성질량이 같을 때만 중력 관성 (12.8) ∴ 이 되어 모든 물체가 동일한 가속도 로 떨어진다. 그래서 17세기에 갈릴레이가 피 사의 사탑에서 행한 유명한 낙하실험은 왜 중력질량과 관성질량이 똑같을까라는 의 문을 제시한 실험이었다고 말하는 편이 더 옳다. 많은 학자들이 중력질량과 관성질량이 정확히 같다는 것은 두 가지를 연결해주는 좀 더 기본적인 법칙이 존재하기 때문일 것이라고 생각하였으나 그 이유를 바로 찾 지 못하여 오랫동안 이 사실은 물리학계의 풀리지 않는 숙제로 남아있었다. 그런데 이 숙제가 드디어 풀렸으며 그것을 해결한 사람은 바로 아인슈타인이다. 그리고 그것 을 해결한 이론이 아인슈타인의 일반 상대성이론이다. 일반 상대성이론에 의하면 질 량의 효과와 가속도의 효과가 동일한 물리적 현상이다. 놀랍지 아니한가? 이점에 대 해서는 일반 상대성이론을 공부할 때 다시 살펴보자. 이제 뉴턴의 운동 방정식 를 다시 보자. 이 식은 힘을 질량으로 나누어서 가속도를 구하는 간단한 대수 방정식이 아니다. 1차원 직선운동의 경우에 지난 7장 에서 배운 것처럼 이고 을 이용하여 이 식을 다시 쓰면 (12.9) 142 12. 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동 제2법칙 이라는 미분방정식이다. 방정식에 미분이 포함되어 있기 때문에 미분 방정식이라고 부른다. 2차 방정식 과 같은 대수방정식의 경우에는 구하는 것이 미지 수 이고 이 방정식의 풀이는 이 식을 만족하는 값을 대표하는 수이다. 그런데 미 분방정식의 풀이는 수가 아니라 함수이다. 미분의 분자에 나오는 변수를 종속변수라 부르고 분모에 나오는 변수를 독립변수라고 부른다는 것은 지난 9장에서 공부하였 다. 이처럼 미분이 포함된 미분방정식의 목표는 종속변수를 독립변수의 함수로 구하 는 것이다. 특별히 위의 (12.9)식을 풀어 구하는 목표는 종속변수인 를 독립변수인 의 함수로 즉 를 구하는 것이다. 그래서 물체가 힘을 받을 때 그 힘을 가지고 뉴턴의 운동방정식을 풀면 물체의 위치인 를 시간의 함수로 구할 수 있다. 그리고 이렇게 구한 풀이 의 에 우리가 알고자 하는 시간 값을 대입하면 바로 그 시간 에 물체의 위치가 무엇인지를 알 수 있는 것이다. 2차 방정식이나 3차 방정식과 같은 대수방정식의 풀이를 구하는 공식이 방정식마 다 다르게 나와 있는 것처럼, 미분방정식의 풀이를 구하는 방법도 미분방정식마다 다 르다. 뉴턴의 운동방정식의 경우 힘이 어떤 형태이냐에 따라 운동방정식의 풀이를 구 하는 방법이 다르다. 뉴턴의 운동 방정식의 풀이를 가장 쉽게 구할 수 있는 경우가 물체가 움직이고 있 더라도 물체에 작용하는 힘 가 바뀌지 않고 일정한 경우이다. 그런 경우에는 운동 방정식 에 의해 물체의 가속도 도 바뀌지 않고 일정하다. 즉 물체는 등가속 도 운동을 한다. 물체가 등가속도 운동을 한다는 사실만 알면 지난 9장에서 배운 방 법에 따라 물체의 속도와 위치를 시간의 함수로 구할 수 있다. 고등학교 물리 교과서 에서 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 대부분의 문제는 바로 힘이 일정한 경우이다. 그 래서 물리 문제는 마치 가속도만 구하면 되는 것 같은 느낌을 받는다. 그러나 그것은 단지 물체가 일정한 힘을 받는 가장 쉬운 경우만 다루기 때문에 그렇다는 것을 명심 해야 한다. 물체가 받는 힘이 일정하지 않고 물체가 움직임에 따라 바뀐다면 물체는 등가속도 운동을 하지 않고 그러므로 물체의 가속도를 구하는 것은 문제를 푸는데 별 도움이 되지 않는다. 그래서 문제를 풀기가 훨씬 더 어려워졌다고 말할 수 있다. 이렇게 문 제가 어려워지면 물리학자들은 곧 문제를 쉽게 풀 수 있는 방법을 찾아낸다. 그렇게 하는데 가장 널리 이용되는 방법이 새로운 물리량을 정의하는 것이다. 예를 들어, 물 체가 운동하는 동안 물체가 받는 힘이 바뀐다고 하더라도 만일 그 힘이 보존력이라 143 제4주 강의 면 운동에너지와 퍼텐셜에너지라는 새로운 물리량을 도입하여 문제를 아주 간단히 해결할 수 있다. 또 여러 물체가 서로 상호작용하며 움직이는 경우에도 역시 문제를 풀기가 매우 복잡해진다. 그런 경우를 위하여 물리학자들은 질량중심과 선운동량이 라는 새로운 물리량을 도입하여 여러 물체의 운동을 쉽게 해결할 수 있는 방법을 찾 아낸다. 앞으로 우리는 바로 그렇게 뉴턴의 운동방정식을 점점 더 복잡한 경우에 적 용시키고 그것을 어떻게 간단하게 기술하게 되는지에 대해 배울 것이다. 144 ...
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This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

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