5주강의

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Unformatted text preview: 제5주 강의 Free-body diagram 이번 학기 강의 중에서 벌써 3분의 1이 지나갔습니다. 그동안 나는 계속해서 모든 자연현상은 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동법칙 단 하나에 의해서 설명된다고 주장 해 왔습니다. 그렇지만 아직 뉴턴의 운동법칙을 실제로 사용하지는 않았습니다. 지금 까지 뉴턴의 운동법칙을 적용하기 위하여 알아 두어야 할 기초를 닦고 있었다고 말 하는 것이 옳습니다. 그런데 이제 이번 주에는 드디어 뉴턴의 운동법칙을 실제로 적 용하려고 합니다. 지난주에는 뉴턴의 운동법칙 세 가지에 대해 자세히 배웠습니다. 그 중에서 진짜 운동법칙은 제2법칙이며 제1법칙과 제3법칙은 관성계와 힘을 이해하는데 보조 역할 을 하는 법칙임도 알았습니다. 이번 주부터는 뉴턴의 운동방정식 를 실제 문 제에 적용하기 시작할 것입니다. 사실은 이번 주부터 이번 학기가 끝날 때까지 계속 해서 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 것을 배웁니다. 이번 학기가 끝날 때까지 법칙도 많이 나오고 원리도 많이 나올지 모르지만 그것들이 모두 뉴턴의 운동법칙과 동일한 내용임을 알게 될 것입니다. 그래서 자연현상을 설명하는 자연법칙은 운동법칙 한 가 지면 충분하다는 것을 실감하게 될 것입니다. 뉴턴의 운동방정식을 적용하여 문제를 풀려고 하면 물체에 어떤 힘이 작용하느냐 에 따라 문제를 푸는 방법이 간단하기도 하고 복잡해지기도 합니다. 가장 간단한 경 우는 물체가 일정한 힘을 받는 문제입니다. 물체가 힘을 받고 움직이고 있는 동안에 도 물체가 받는 힘의 크기는 물론 방향도 바뀌지 않고 일정한 경우를 말합니다. 그러 145 제5주 강의 면 물체는 등가속도 운동을 하게 됩니다. 물체가 등가속도 운동을 한다는 사실만 알 고 그 가속도가 얼마인지만 알면 우리가 이미 9장에서 배운 방법을 이용하여 물체의 위치를 시간의 함수로 표현할 수가 있습니다. 그래서 그런 문제에서는 물체의 가속도 만 구하면 됩니다. 뉴턴의 운동방정식을 적용하여 문제를 풀 때 제일 먼저 해야 할 일이 관심의 대상 이 되는 물체에 작용하는 힘을 모두 찾아내는 것입니다. 그리고 뉴턴의 운동방정식을 풀기 위해서 물체에 대해 우리가 알아야할 것은 물체의 질량 밖에는 없습니다. 그래 서 문제를 풀기 위해서는 먼저 물체에 작용하는 힘을 모두 찾아서 도표로 만들면 좋 습니다. 그러한 도표를 Free-body diagram이라고 합니다. 물체에 작용하는 힘을 찾을 때 그 힘의 크기와 방향은 힘의 법칙에 의해 결정됩니 다. 다시 말하면 뉴턴의 운동방정식 에 나오는 힘 는 힘의 법칙에 의해서 미리 알 수 있고 그것을 모두 알아내어야 문제를 풀 수 있습니다. 그렇지만 지난 10 장에서 간단히 언급했던 것처럼, 힘의 법칙에 의해서 미리 주어지지 않는 힘이 있습 니다. 외부의 제약에 의해서 물체가 자유롭게 움직이지 못하도록 받는 구속력이 바로 그런 경우입니다. 구속력에는 장력과 수직항력 두 가지가 있습니다. 물체가 장력이나 수직항력을 받을 때는 그 힘의 크기를 미리 알지 못합니다. 그 힘은 뉴턴의 운동방정 식을 풀어서 답으로 나오게 됩니다. 13장에서는 일정한 힘이 작용하고 장력이나 수 직항력이 작용하는 간단한 경우에 Free-body diagram을 그려서 문제를 해결하는 방법을 설명하고 몇 가지 예제를 풀어볼 예정입니다. 13장에 이어서 14장과 15장에서도 역시 물체에 일정한 힘이 작용하는 예를 더 공 부하게 될 것입니다. 14장에서는 특별히 마찰력이 작용하는 경우를 다루어 볼 예정 입니다. 그리고 공중에 던진 물체가 받는 중력도 역시 물체가 움직이더라도 바뀌지 않고 일정합니다. 중력만 받고 움직이는 운동을 자유낙하 운동이라고 합니다. 15장 에서는 자유낙하 운동을 공부하게 됩니다. 그리고 자유낙하하는 계 내에서는 무중력 상태를 경험하게 됩니다. 15장에서는 무중력 상태가 어떤 상태인지에 대해서도 공부 할 예정입니다. 146 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I ∙ 물체가 일정한 힘을 받으면 뉴턴의 운동방정식을 풀기가 가장 간단하다. 일정한 힘을 받는 물체에 대해 어떤 순서로 뉴턴의 운동방정식을 푸는 것이 좋은가? ∙ 물체의 운동을 기술하기 위해 뉴턴의 운동방정식을 적용할 때는 free-body diagram이라고 알려진 도표를 그리면 편리하다고 한다. 여기서 free-body diagram이란 무엇인가? } 뉴턴의 운동방정식을 풀 때 물체에 작용하는 힘은 힘의 법칙에 의해 미리 주어 진다. 그런데 물체에 작용하는 힘 중에서 장력과 수직항력 등 구속력은 미리 결 정되지 않는다. 물체에 작용하는 장력이나 수직항력의 크기는 어떻게 알 수 있는 가? 일정한 힘을 받는 물체에 뉴턴의 운동방정 식을 적용하는 방법을 배우기 위해서 그림 13.1에 보인 것과 같이 한 물체는 마찰이 없 는 경사면 위에 놓여있고 다른 물체는 공중에 매달려 있는 문제를 보자. 두 물체는 도르래를 지나는 줄에 의해 연결되어 있다. 이런 문제에 그림 13.1 두 물체 문제 서는 흔히 물체가 움직이는 가속도와 두 물체 를 잇는 줄에 걸리는 장력을 구하라고 묻는다. 이렇게 뉴턴의 운동 방정식을 적용하는 문제를 풀 때는 다음과 같은 순서를 따르 면 좋다. 첫째, 문제에 나오는 물체를 모두 찾는다. 뉴턴의 운동방정식에서 물체는 그 물체의 질량으로 대표된다. 그리고 뉴턴의 운동방정식은 각 물체마다 한 번씩 따로 적용된다. 그래서 뉴턴의 운동방정식을 적용할 물체를 찾아내는 것이 가장 중요한 일 이다. 둘째, 각 물체에 작용하는 힘을 모두 찾는다. 뉴턴의 운동방정식 F = ma 에 나 오는 힘 F 로는 이 식의 질량 m 으로 대표되는 물체가 받는 모든 힘의 합력을 이용 해야 한다. 그래서 물체에 작용하는 힘을 하나라도 빠뜨리면 뉴턴의 운동방정식의 풀 147 제5주 강의 이가 제대로 맞는 답을 주지 못한다. 셋째, 마지막으로 각 물체에 물체가 받는 합력 을 이용하여 뉴턴의 운동방정식을 적용해 물체의 가속도를 구한다. 그러면 위의 순서를 따라 그림 13.1에 나온 문제를 풀어보자. 첫째, 이 문제에 나 오는 물체는 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체 두 개를 생각할 수 있다. 제대 로 하자면 도르래와 두 물체를 연결한 줄도 물체에 포함시켜야 한다. 그런데 도르래 를 고려하자면 회전운동을 생각하여야 하는데 우리는 아직 회전 운동을 다룰 준비가 되어 있지 않으므로 도르래를 무시하기로 하자. 문제에 도르래의 마찰이 없다든지 아 니면 도르래의 질량이 0이라고 나와 있다면 도르래를 없다고 취급하라는 이야기와 같다. 그리고 엄밀히 하자면 두 도르래를 연결한 줄도 물체의 하나로 고려하여야 한 다. 그런데 줄을 고려하면 문제가 필요이상으로 복잡해진다. 줄의 질량이 0이거나 또 는 줄의 가속도가 0이면 줄의 양끝이 그 끝에 연결된 물체를 잡아당기는 두 장력의 크기가 같다고 놓을 수 있다. 둘째, 그림 13.1에서 대상이 되는 두 물체 즉 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘을 모두 찾자. 경사면에 놓인 물체에 작용하는 힘으로는 그림 13.1에 보인 것처럼, 지구가 잡아기는 중력, 줄이 잡아당기는 장력, 그리고 경사면 이 물체를 떠미는 수직항력 등 세 가지이다. 흔히 경사면을 따라 아래로 내려가게 하 는 힘이 있으리라고 생각하기가 쉽다. 그렇지만 그런 힘은 없다. 힘을 찾아내는데 가 장 중요한 원칙으로 그 힘이 작용하게 만드는 원인 즉 그 물체와 상호작용하는 대상 이 있어야만 한다. 그런데 경사면 아래에서 물체를 잡아 내리는 물체는 아무 것도 없 다. 오른쪽 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘으로는 역시 그림 13.1에 표시된 것처럼, 지구가 잡아당기는 중력과 줄이 잡아당기는 장력 등 두 가지뿐이다. 셋째, 이제 경사면에 놓인 물체와 줄에 매달린 물체에 작용하는 힘을 모두 찾았으 므로 각 물체에 작용하는 합력을 구한 다음 뉴턴의 운동방정식을 적용하면 된다. 뉴 턴의 운동방정식을 적용하기 위해서는 free-body diagram라고 불리는 도표를 그리 면 편리하다. 그렇게 하기 위해서는 다시 다음 순서를 따른다. 첫째, 좌표계를 정한다. 좌표계를 정한다는 것은 3장에서 자세히 공부한 것처럼, 원점을 정하고 좌표축과 각 좌표축의 +방향을 정한다는 것이다. 둘째, 뉴턴의 운동방정식을 적용하려는 물체를 원점에 놓고 그 물체에 작용하는 힘을 모두 표시한다. 이렇게 하는 것을 free-body diagram을 그린다고 말한다. 이 148 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I 도표는 좌표계의 원점에 물체를 놓을 때 물체의 구체적인 모습을 그리는 것이 아니 라 단지 그 물체의 질량만 표시한다. 뉴턴의 운동방정식에서 물체의 모습은 아무런 영향을 주지 않고 단지 물체의 질량에 의해서만 운동이 결정되기 때문에 도표에는 질량만 표시하면 되는 것이다. 그래서 free-body diagram이라는 이름이 붙었다. free-body에서 free는 흔히 쓰이는 자유라는 뜻이 아니고 없다는 뜻이다. 즉 free-body diagram은 물체를 그리지 않은 도표임을 의미한다. 어떤 교과서에서는 free-body diagram을 자유 물체도라고 번역해 놓았는데, 옳은 번역이라고 할 수 없다. 그렇다고 달리 마땅하게 부름 이름이 생각나지 않아서 나는 그냥 free-body diagram이라고 부른다. 셋째, 물체의 가속도를 각 좌표축 방향의 성분으로 나타내고 가속도의 각 좌표축 성분을 a x, a y, a z 등으로 놓는다. 이때 구속조건에 의해 가속도의 성분 중 일부가 미 리 정해져 있다면 그것을 이용한다. 넷째, 각 좌표축 성분마다 뉴턴의 운동 방정식을 세워서 푼다. 뉴턴의 운동방정식 은 벡터 방정식으로 (13.1) 가 된다. 이런 벡터 방정식을 직접 풀 수는 없다. 이것을 풀려면 각 축 방향 성분으로 (13.2) 와 같이 써야 한다. 이때 뉴턴 방정식의 우변은 어떤 문제에서나 질량 곱하기 가속도 의 꼴로 놓고 좌변은 주어진 좌표축 방향 성분의 힘들을 다 더한 것으로 한다. 그러면 이제 그림 13.1에서 경사면에 놓인 물체의 free-body diagram을 먼저 그 리자. 좌표계를 정하기 위해서 좌표축을 그림 13.2에 보인 것처럼 정하면 편리하다. 좌표축을 어떻게 정하더라도 괜찮지만 될 수 있는 대로 많은 수의 힘이 좌표축과 평행하 도록 좌표축의 방향을 정하는 것이 더 편리 하기 때문이다. 좌표축의 +방향도 어느 쪽이 나 마음대로 정해도 좋다. 그 다음에는 경사 면에 놓인 물체의 질량을 이라 하고, 이 149 그림 13.2 경사면에 놓인 물체에 대한 좌표계 정하기 제5주 강의 물체에 작용하는 장력과 수직항력을 각각 T 1 과 +y N 이라고 부르자. 그런데 free-body diagram을 그림 13.2에 +x 보인 것과 같이 좌표축이 수평방향과 연직방향 을 향하지 않고 비스듬한 방향을 향하면 이해하 기에 약간 불편하기 때문에 그림 13.3에 보인 것과 같이 다시 그려보자. 이 그림은 그림 13.2 그림 13.3 경사면에 놓인 물체에 대한 free-body diagram 에서 경사면 위의 물체를 위한 좌표계로 정한 좌 표축을 시계방향으로 만큼 돌려서 그려 놓은 것에 불과하다. 그러면 그림 13.3에 보인 free-body diagram에서 분명하듯이, 질 량 에 작용하는 힘 중에서 장력 은 축 방향으로만 작용하며 수직항력 은 축 방향으로만 작용하지만 중력 는 그림과 같이 - y 방향과 사이에 경사면 의 기울기와 같은 각 를 이루는 방향을 향한다. 그러면 그림 13.3에서 분명한 것처 럼, 중력의 방향 성분은 이고 방향 성분은 이다. 이제 경사면에 놓인 물체에 적용하는 뉴턴의 운동방정식을 (13.2)식과 같이 축 방향 성분과 축 방향 성분으로 나누어 쓰자. 질량 의 축 방향 가속도를 , 축 방향 가속도를 라 하면 두 개의 뉴턴의 운동 방정식은 축 방향 : (13.3) 축 방향 : 가 된다. 다음으로 줄에 매달린 물체에 대한 free-body diagram을 그리자. 좌표축을 그림 13.4에 보인 것과 같이 정하면 좋은 데 앞에서 경사면에 놓인 물체에 대해 이 +x 미 그려놓은 free-body diagram과 일 관되게 정하기 위해 아래쪽을 방향으 로 정하였다. 그러나 이 방향을 어떻게 정하더라도 결과에는 아무런 영향을 미치 지 않는다. 150 그림 13.4 줄에 매달린 물체에 대한 free-body diagram 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I 줄에 매달린 물체의 질량을 이라고 하면 물체에는 그림 13.4에 보인 것처럼 축의 방향으로 중력 그리고 축 방향으로 장력 가 작용한다. 줄에 매달 린 물체의 방향 가속도를 라 하면 줄에 매달린 물체에 대한 뉴턴의 운동 방정식 은 (13.4) 축 방향 : 가 된다. 이 물체는 위아래 방향으로만 움직이므로 방향의 운동은 생각해주지 않아 도 좋다. 이처럼 (13.3)식과 (13.4)식이 그림 13.1에 보인 문제에 대한 뉴턴의 운동방정식 이다. 그리고 풀어야 하는 식의 수는 (13.3)식에 나온 두 개와 (13.4)식에 나온 한 개 등 모두 세 개이다. 그런데 이들 세 식을 이용하여 구해야할 미지수인 물리량은 질량 의 가속도 와 , 질량 의 가속도 , 질량 에 작용하는 수직항력 과 장력 , 그리고 질량 에 작용하는 장력 등 모두 여섯 개이다. 구할 미지 수는 모두 여섯 개인데 풀 방정식은 세 개뿐이다. 어떻게 된 일인가? 뉴턴의 운동방정식은 힘이 주어지면 물체의 가속도를 구하는 운동법칙이라고 하였 다. 물체에 작용하는 힘은 힘의 법칙으로 미리 주어진다. 그런데 10장에서 이미 설명 하였듯이 수직항력이나 장력과 같은 구속력은 힘의 법칙으로 미리 알 수 있는 힘이 아니다. 구속력은 운동방정식을 풀어서 구해야 한다. 즉 운동법칙에 의해 물체가 움 직이는데 주위 환경에 의해 운동이 구속되기 때문에 작용되는 힘이다. 이렇게 구속력 이 작용할 때는 물체의 운동을 제한하는 구속조건이 존재한다는 뜻이고 이 구속조건 에 의해 우리는 문제를 풀지 않고서도 알 수 있는 것이 있게 마련이다. 이 문제의 경우에는 경사면에 놓인 물체는 경사면을 따라서만 움직이도록 구속되 어 있다. 그래서 질량 은 축 방향으로는 움직이지 않는다. 그러므로 우리는 문제 를 풀지 않고서도 축 방향의 가속도 가 0임을 알 수 있다. 또 두 물체는 줄에 의 해 연결되어 있다. 줄이 늘어나지도 줄어들지도 않는다면 두 물체가 움직이는 모습은 똑같아야 한다. 다시 말하면, 질량 의 축 방향 가속도인 와 질량 의 축 방향 가속도인 가 같다는 것을 문제를 풀지 않고서도 알 수 있다. 마지막으로, 나 중에 자세히 알게 되겠지만, 질량을 무시할 수 있는 줄의 양끝이 물체를 잡아당기는 장력의 크기는 같다는 점도 문제를 풀지 않고서도 미리 알 수 있다. 이 세 가지 구속 151 제5주 강의 조건을 식으로 쓰면 구속조건 1 : (13.5) 구속조건 2 : 구속조건 3 : 이 된다. 이제 (13.2)식과 (13.4)식으로 주어진 원래 세 개의 식과 위의 (13.5)식으 로 주어진 구속조건에 의한 식 세 개 등 모두 여섯 개의 식으로 미지수 여섯 개를 구 할 수 있게 되었다. 이제 (13.5)식을 이용하여 (13.2)식과 (13.4)식을 다시 쓰면 우 리가 풀어야 할 세 식은 (13.6) , , 가 된다. (13.6)식에 나온 두 번째 식으로부터 경사면에 놓인 질량이 인 물체에 작용하는 수직항력이 (13.7) 임을 알 수 있다. 그리고 (13.6)식에 나온 첫 번째 식과 세 번째 식을 연립으로 풀어 가속도 와 장력 를 구하면 그리고 (13.8) 를 얻는다. (13.7)식과 (13.8)식이 그림 13.1에서 주어진 문제에 대한 풀이이다. 지 금까지 어쩌면 아주 쉬운 문제를 매우 장황 하고 대단히 어렵게 푼 것 같은 느낌이 들 지도 모르겠다. 나는 여기서 문제의 답을 구 하는 것을 목표로 하기 보다는 뉴턴의 운동 방정식을 실제 문제에 적용할 때 핵심이 되 는 물리적 개념들이 무엇인지를 설명하는데 주안점을 두었다. 그림 13.1에 나온 문제는 우리가 흔히 접 그림 13.5 두 물체 문제 152 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I 하는 다른 문제의 답도 한꺼번에 제공해 준다. 예를 들어 그림 13.5에 보인 것과 같 이 마찰이 없는 책상 위에 놓인 물체와 공중에 매달린 물체가 도르래를 지나는 줄을 통하여 연결된 경우 두 물체의 가속도와 줄에 걸리는 장력을 구하는 문제가 있다고 하자. 그 문제의 답은 그림 13.1에 나온 경사면 문제에서 경사면의 각이 인 경우와 같다. 그러므로 (13.7)식과 (13.8)식에 나온 결과에 를 대입하면 그 림 13.5에 보인 문제의 풀이가 된다. 다시 말하면, 책상 위에 놓인 질량이 인 물 체에 작용하는 수직항력 과 두 물체가 움직이는 가속도 , 그리고 두 물체를 연결 한 줄에 걸리는 장력 는 (13.7)식과 (13.8)식으로부터 각각 , , (13.9) 가 된다. 이렇게 문제의 답을 구하면 그 답이 옳은지 조사해보는 것도 좋은 습관이다. 답을 검사해보기 위해서는 문제를 풀기도 전부터 미리 답을 예상할 수 있는 특별한 경우 에 구한 답이 그럴듯한지를 조사해보는 것이다. 그림 13.5로 주어진 문제에서 답을 미리 예상할 수 있는 특별한 경우로는 ≫ 인 경우와 ≪ 인 경우 그리고 인 경우 등을 들 수 있다. ≫ 인 경우에는 책상 위의 물체가 너무 무 거우므로 가속도가 0이 되리라고 예상할 수 있으며 ≪ 인 경우에는 공중에 매 달린 물체에 비하여 책상 위의 물체를 무시할 수 있으므로 질량 의 가속도는 그냥 중력가속도 가 되리라고 예상할 수 있다. 한편 인 경우에는 답이 무엇일지 바로 짐작하기는 어렵지만 그 답이 무엇인지 매우 궁금한 특별한 경우라고 말할 수 있다. ≫ 로 이 에 비하여 훨씬 더 커지는 극한의 경우와 같이 특별한 경우 의 답을 구하려면 우선 (13.9)식에 나오는 분자와 분모를 으로 나누고 유한한 수 를 매우 큰 수로 나누면 0이 되는 것을 이용하여 ≪ 따라서 → 으로 놓음 와 같이 한다. 다시 말하면, (13.9)식에서 153 (13.10) 제5주 강의 → , (13.11) 와 같이 된다. 그래서 미리 예상한 것처럼 두 물체의 가속도는 0이다. 다시 말하면 마찰이 없는 책상 위에 놓인 물체의 질량 이 공중에 매달린 물체의 질량 에 비 하여 매우 크면 두 물체는 등속도 운동을 한다. 그래서 원래 정지해 있었으면 계속 정지해 있고 원래 움직이고 있었으면 동일한 속도로 계속 움직인다. 또한 줄에 걸리 는 장력은 공중에 매달린 물체에 작용하는 중력의 크기인 와 같다. 언뜻 생각하 면 줄에 매달린 물체에 작용하는 장력의 크기가 항상 물체에 작용하는 중력의 크기 와 같을 것처럼 예상되지만 그렇지 않다. 물체가 정지해 있거나 등속도 운동을 할 경 우에만 줄에 걸리는 장력의 크기가 물체에 작용하는 중력의 크기와 같다는 점을 명 심해야 한다. 그러면 이번에는 ≪ 인 극한을 보자. 그러면 (13.9)식에 나오는 분자와 분 모를 로 나누고 → 인 것을 이용하면 → , (13.12) 가 된다. 예상대로 두 물체가 움직이는 가속도 는 중력가속도 와 같음을 알 수 있 다. 그런데 줄에 걸리는 장력의 크기는 재미있게도 책상 위에 놓인 물체에 작용하는 중력의 크기와 같다. 사실 이것은 공중에 매달린 물체에 작용하는 중력에 비해 매우 작으므로 장력 는 거의 무시할 만 하다는 결과와 같은 것이다. 마지막으로 인 경우를 보자. (13.9)식에 이 조건을 대입하면 , , (13.13) 가 됨을 알 수 있다. 이처럼 책상 위에 놓인 물체의 질량과 공중에 매달린 물체의 질 량이 같으면 두 물체가 움직이는 가속도는 중력가속도의 절반이고 줄에 걸리는 장력 의 크기는 공중에 매달린 물체에 작용하는 중력의 절반이라는 흥미로운 결과가 된다. 154 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I 그림 13.1에 나온 문제로부터 답을 얻을 수 있는 또 다 른 예로 그림 13.6에 애투드 기계 문제를 들 수 있다. 애 투드 기계란 고정 도르래의 양쪽에 두 물체가 매달려 있는 것을 말한다. 애투드 기계에서도 양쪽에 매달린 두 물체의 가속도와 물체를 연결하는 줄에 걸린 장력을 구하는 것 이 문제이다. 그림 13.1에서 명백하듯이 만일 경사면의 경 사각이 라면 경사면에 놓인 물체가 마치 애투드 기계에서와 같이 공중에 매달리게 된다. 그러므로 (13.8) 식의 결과에 를 대입하면 애투드 기계 문제의 답 을 구할 수 있다. 그리고 그렇게 한 결과는 그리고 (13.14) 그림 13.6 애투드 기계 이다. 이 결과에 대해서도 ≫ 인 경우라든지 ≪ 인 경우 그리고 인 경우를 살펴보면 답이 제대로 나왔는지 짐작할 수 있다. 먼저 ≫ 인 경우를 보자. 그러면 (13.14)식으로부터 , (13.15) 를 얻는다. 또한 ≪ 인 경우에는 마찬가지 방법으로 (13.16) , 임을 알 수 있다. 그리고 인 경우에는 (13.17) 가 된다. (13.15)식과 (13.16)식으로 주어진 결과는 애투드 기계에 연결된 두 물체 중 한 물체의 질량이 다른 물체의 질량에 비해 매우 크다면 질량이 큰 물체는 중력가 155 제5주 강의 속도와 같은 가속도로 떨어진다는 미리 예상할 수 있는 결과를 알려준다. 그리고 (13.17)식으로 주어진 결과로부터 우리는 만일 애투드 기계에 연결된 두 물체의 질 량이 같다면 물체는 등속도 운동을 하고 줄에 걸리는 장력의 크기는 물체에 작용하 는 중력의 크기와 같음을 알려준다. 이처럼 물체가 등속도 운동을 할 경우에 한하여 물체에 연결된 줄에 걸리는 장력의 크기가 물체에 작용하는 중력의 크기와 같다는 점을 다시 한 번 더 명심하자. 위에서 다룬 문제에서 보듯이 장력이란 물체에 연결된 줄이 물체를 잡아당기는 힘 을 말한다. 장력이 작용하기 위해서는 물체와 연결된 줄이 팽팽하여야 한다. 그러면 줄의 양쪽 끝은 각각 그 끝에 연결된 물체를 잡아당긴다. 한편 물체에 연결된 줄이 물체를 잡아당기는 장력의 반작용은 물체가 줄을 잡아당기는 힘이다. 그래서 줄의 양 쪽 끝에 연결된 물체가 줄을 서로 반대 방향으로 잡아당긴다. 그 결과로 줄이 팽팽하 게 유지되는 것이다. 일반적으로는 줄의 양쪽 끝에서 연결된 물체를 잡아당기는 두 장력이 서로 같지 않다. 그러나 특별한 조건이 만족되면 이 두 장력이 같은 경우가 있다. 그러면 이 두 장력을 한꺼번에 줄에 걸리는 장력이라고 부르기도 한다. 어떤 조건에서 줄의 양쪽 끝에서 물체를 잡아당기는 장력의 크기가 같은지 알아보기 위해 다음 예제를 풀어보자. 예제 1 그림에 보인 것과 같이 마찰이 없는 수평면에 놓인 물체에 줄을 연결하고 이 줄을 수평방향을 향하 여 크기가 인 힘으로 잡아당긴다. 이때 줄이 ′ 물체를 잡아당기는 장력 의 크기를 구하라. 물체 와 줄의 질량은 각각 과 라고 하라. 이 문제에서 관심의 대상이 되는 물체는 수평면 위에 놓인 질량이 인 물체와 질 량이 인 줄이다. 먼저 수평면 위에 놓인 물체인 질량 에 작용하는 힘은 중력 와 수직항력 그리고 줄이 물체를 잡아당기는 장력 가 있다. 따라서 이 물체 에 대한 free-body diagram을 그리면 그림 A에 보인 것과 같이 된다. 그리고 질량 156 13. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 I 이 인 줄에 작용하는 힘으로는 내가 오른쪽으 로 잡아당기는 힘 와 질 량이 인 물체가 줄을 왼쪽으로 잡아당기는 힘 ′ ′ 가 있다. 여기서 힘 그림 B ′ 는 질량이 인 물체 에 작용하는 장력 의 반 그림 A 작용이다. 따라서 줄에 대 한 free-body diagram 을 그리면 그림 B에 보인 것과 같이 된다. 줄에 작용하는 중력 는 아주 작다고 생각하고 고려하지 않는다. 그러면 이제 그림 A와 그림 B를 보고 두 물체에 적용할 뉴턴의 운동방정식을 쓰 자. 운동방정식을 두 free-body diagram에 나오는 각 축 방향 성분으로 나누어 쓰 면 질량 의 축 방향 : 질량 의 축 방향 : 질량 의 축 방향 : ′ 가 된다. 여기서 우리가 구해야 할 물리량은 ′ 등 여섯 가지이 다. 그런데 운동방정식은 세 개밖에 세우지 못하였다. 그렇지만 우리는 문제의 구속 조건으로부터 ′ 임을 미리 알 수 있다. 위의 두 번째 식은 ′ 이 의 반작용임을 이용한 결과이다. 이 조건들을 원래 구한 운동방정식에 대입하면 가 된다. 여기서 나중 두 식을 연립으로 풀면 가속도 와 장력 는 157 제5주 강의 가 됨을 알 수 있다. ◆ 이 예제로부터 우리는 아주 중요한 결과를 얻는다. 물체에 연결된 줄의 양쪽 끝에 작용하는 두 힘 와 사이에는 (13.18) 인 관계가 성립한다. 그러므로 와 의 크기가 같으려면 → 또는 (13.19) 와 같이 줄의 질량 가 0이거나 또는 줄의 가속도 가 0이어야 한다. 그러므로 문 제에서 물체에 연결된 줄의 질량이 아주 작다거나 무시될 수 있다고 하면 그 줄의 양 쪽 끝이 물체를 잡아당기는 두 장력의 크기가 같다고 놓아도 좋음을 의미한다. 또는 줄이 등속도 운동을 하는 경우에는, 그러니까 줄에 연결된 물체가 등속도 운동을 하 는 경우에는 줄의 양 끝이 물체를 잡아당기는 두 장력의 크기가, 줄의 질량이 0이 아 니더라도, 같다는 것을 알 수 있다. 158 14. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 II ∙ 물체가 면 위에서 미끄러지며 움직일 때 이동방향과 반대방향으로 마찰력이 작 용한다. 마찰력이 존재하는 경우에 문제를 어떻게 풀어야 하는가? ∙ 유체 내에서 움직이는 물체는 물체의 속력에 비례하는 마찰력을 받는다. 그런 경우에는 물체의 속도가 종단속도에 도달하게 되는데 그 이유는 무엇인가? ∙ 등속원운동에서는 크기는 일정하지만 방향이 항상 중심을 향하도록 바뀌는 구 심력이 작용한다. 그래서 등속원운동을 하게하는 힘이 일정한 힘이라고 말할 수 는 없다. 등속원운동을 쉽게 기술하는 방법은 없을까? 지난 13장에 이어서 14장에서도 일정한 힘을 받는 물체에 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 예를 계속해서 들면서 공부하고자 한다. 13장에서는 마찰이 없는 경우만 고려하였다. 그러나 실제 자연현상에서 물체가 이동하면 반드시 마찰력이 작용하게 되어 있다. 그러면 마찰력은 어떤 성질을 가졌으며 어떻게 다루면 좋은지 살펴보자. 우리 주위에서 관찰되는 마찰력은 두 가지 종류로 나눌 수 있다. 하나는 서로 다른 두 물체의 면과 면이 접촉하면서 움직일 때 작용하는 마찰력이고 다른 하나는 물체 가 유체 내에서 움직일 때 작용하는 마찰력이다. 두 경우 모두 마찰력은 물체가 운동 하는 방향과 반대 방향으로 작용하면서 운동을 방해한다. 다시 말하면 마찰력의 방향 은 항상 물체의 이동방향과 반대 방향이다. 어떤 경우에는 물체가 이동하고 있지 않 더라도 마찰력이 작용할 때가 있다. 그런 경우에는 물체가 이동하려고 시도하는 방향 과 반대 방향으로 마찰력이 작용한다. 이렇게 마찰력의 방향은 물체의 운동 방향에 의해 결정된다. 마찰력이 작용하는 문제 의 예로 그림 14.1에 보인 것과 같이 질량이 m 인 썰 매에 줄을 연결하여 수평면 과 각 를 이루며 썰매를 그림 14.1 썰매 끌고 가기 159 제5주 강의 일정한 속도로 끌고 가는 문제를 보자. 썰매와 눈 사이 의 운동마찰계수가 일 때 썰매를 끌고 가는 힘을 구 하는 문제이다. 이 문제를 통하여 면과 면 사이에 작용 하는 마찰력에 대해서도 이해해 보기로 하자. 이 문제에서 뉴턴의 운동방정식을 적용할 대상은 썰 매이다. 그림 14.1에 보인 것처럼, 썰매에는 썰매를 끌 고 가는 힘 와 중력 , 수직항력 , 그리고 마찰력 가 작용한다. 마찰력은 항상 움직이는 방향인 속도의 그림 14.2 썰매에 대한 free-body diagram 방향과 반대 방향으로 작용한다. 썰매에 대한 free-body diagram을 그리면 그림 14.2와 같다. 썰매의 축 방향 가속도를 그리고 축 방향 가속도를 라고 놓고 free-body diagram을 보면서 뉴턴의 운동 방정식을 세우면 축 방향 : (14.1) 축 방향 : 이 된다. 여기서 구할 양은 두 가속도 와 , 수직항력 , 마찰력 , 그리고 끌고 가는 힘 등 모두 다섯 개인데 풀어야 하는 식은 두 개밖에 없다. 그러면 구속조건 에 의해서 미리 알 수 있는 것으로 무엇이 있나 보자. 우선 문제에서 썰매를 일정한 속도로 끌고 간다고 하였으므로 축 방향의 가속도가 0이고 또한 썰매는 지면에서 움직이므로 썰매의 축 방향의 가속도도 역시 0으로 (14.2) 이 된다. 그리고 썰매와 눈 사이의 운동 마찰계수가 이면 썰매에 작용하는 마찰력 의 크기 는 (14.3) 마찰력에 대한 힘의 법칙 : 으로 정해진다. 마찰력이 이렇게 정해지는 것은 조금 뒤에 설명하기로 하자. 이제 (14.2)식과 (14.3)식을 (14.1)식에 대입하면 우리가 풀어야 하는 식은 , , 160 (14.4) 14. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 II 등 세 개이고, 이 세 식을 연립으로 풀어 와 그리고 를 구하면 그 결과는 , , (14.5) 이 된다. 이제 마찰력에 대해 좀 더 자세히 알아보자. 그림 14.2의 썰매에 작용하는 마찰력 은 물체가 운동할 때 주위의 물체와 접촉하여 운동을 방해받기 때문에 물체에 작용 하는 힘이다. 운동을 방해하는 마찰력은 일반적으로 물체가 움직이는 방향인 물체의 속도 방향과 반대 방향으로 작용하며 물체의 빠르기를 감소시키는 역할을 한다. 정지 한 물체를 밀거나 비탈면에 놓인 물체가 움직이지 않는 경우 등에서처럼 물체가 움 직이지 않는데도 마찰력이 작용하는 수도 있다. 그런 경우에는 물체가 움직이려는 방 향과 반대 방향으로 마찰력이 작용하고 그때 마찰력의 크기는 물체에 작용하는 다른 힘들과 더하여 물체가 받는 합력이 0이 되도록 정해진다. 물체의 면과 면이 접촉하여 작용하는 마찰력 외에도 물체가 기체나 액체와 같은 유체 내부에서 움직일 때 작용하는 마찰력도 있다. 물체가 유체 내부에서 움직이면 유체를 이루는 분자들이 물체와 충돌하기 때문에 마찰력이 작용한다. 이렇게 유체 내 부에서 움직이는 물체에 작용하는 마찰력의 방향은 물체의 속도 방향과 반대 방향이 며 마찰력의 크기는 물체의 속도에 따라 변화한다. 그래서 유체 내에서 물체가 더 빨 리 움직일수록 마찰력의 크기도 더 커진다. 보통 속도의 경우에는 마찰력의 크기가 물체의 속력에 비례하지만 아주 빠른 물체의 경우에는 속력의 제곱에 비례하여 마찰 력이 훨씬 더 빨리 증가하기도 한다. 물체의 한 면이 다른 물체의 면과 접촉하여 작용하는 마찰력은 정지마찰력과 운동 마찰력 등 두 가지로 구분된다. 정지마찰력은 물체의 면과 면이 접촉하여 두 면이 상 대적으로 이동하지 않는 경우에 작용하는 마찰력을 말하고 운동마찰력은 물체의 면 과 면이 서로 비비며 지나가는 경우에 작용하는 마찰력을 말한다. 마루 위에 놓인 책상을 살짝 밀면 움직이지 않는다. 이것은 마루 면과 책상 면 사 이에 마찰력이 작용하기 때문이다. 만일 마찰이 없다면 책상을 아무리 살짝 밀더라도 책상이 미끄러지기 시작하고 일단 한번 움직이면 더 이상 밀어주지 않더라도 책상은 계속 일정한 속도로 움직여야 한다. 161 제5주 강의 그림14.3에 보인 것처럼 내가 책상을 크기가 인 힘으로 오른쪽으로 잡아당 기는데도 책상이 움직이지 않는다면, 책 상에는 내가 잡아당기는 힘의 방향과 반 대 방향으로 정지마찰력 가 작용하고 그림 14.3 정지마찰력의 예 있음을 뜻한다. 이 정지마찰력의 크기는 내가 잡아당긴 힘의 크기와 똑같아서 이다. 만일 내가 점점 더 큰 힘으로 미는 데도 책상이 움직이지 않으면 책상에 작용하는 정지 마찰력의 크기도 점점 더 커진 다. 이와 같이 정지마찰력의 크기는 어떤 법칙에 의해 정해지는 것이 아니라 물체를 움직이려고 가해준 힘과 똑같은 크기의 힘으로, 또는 물체에 작용하는 모든 힘의 합 력이 0이 되기에 딱 알맞은 크기로 작용한다. 그러나 정지마찰력이 무한정 커지지는 않는다. 내가 잡아당기는 힘이 충분히 커지 면 책상은 마침내 움직이기 시작한다. 그리고 내가 잡아당긴 힘과 똑같은 크기로 커 지던 정지마찰력이 더 이상 커지지 못하면 내가 잡아당기는 힘의 크기가 정지마찰력 의 크기보다 더 커져서 책상이 움직이기 시작하게 된다. 이때 책상이 움직이기 직전 의 가능한 가장 큰 크기의 정지마찰력을 최대 정지마찰력이라고 한다. 그리고 책상이 움직이기 시작한 이후에 책상에 작용하는 마찰력을 운동마찰력이라고 한다. 정지마찰력은 물체가 움직이지 않을 만큼 딱 알맞은 크기로 작용하지만, 최대 정 지마찰력이나 운동마찰력은 두 접촉하는 면의 성질에 의해 결정되는 마찰계수와 두 접촉면이 서로 상대방 접촉면을 미는 수직항력에 따라 결정되는 힘의 법칙 최대 정지마찰력 : 운동마찰력 : (14.6) 에 의해 정해진다. 여기서 와 를 각각 정지마찰계수와 운동마찰계수라고 부르는 데 운동마찰계수가 정지마찰계수보다 조금 작다. 그러므로 물체가 일단 움직이기 시 작하면 물체에 작용하는 운동마찰력의 크기는 물체가 움직이지 않을 때 물체에 작용 되는 최대 정지마찰력의 크기보다 조금 작다. 마찰력을 정지마찰력과 운동마찰력으로 나누면, 움직이는 물체에 작용하는 마찰력 은 운동마찰력이고 정지한 물체에 작용하는 마찰력은 정지마찰력이라고 생각하기 쉽 162 14. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 II 다. 그러나 정지마찰력과 운동마찰력은 물체 자체가 움직이느냐 움직이지 않느냐로 구분되는 것이 아니고 접촉한 두 면이 서로 상대 면에 대하여 이동하느냐 이동하지 않느냐로 구분된다는 점을 명심하여야 한다. 예를 들어, 자동차가 움직일 때 자동차 타이어와 지면 사이에 작용하는 마찰력은 정지마찰력이다. 그런데 겨울에 길이 얼은 빙판과 같은 곳에서 자동차 바퀴가 돌지 않고 미끄러지게 된다. 이 때 타이어와 빙판 사이에 작용하는 마찰력은 운동마찰력이 다. 물체가 미끄러지며 이동할 때는 운동마찰력이 작용하며 바퀴나 원통과 같은 것이 전혀 미끄러지지 않고 굴러갈 때는 정지마찰력이 작용한다. 그래서 자동차가 움직이 게 만드는 마찰력은 정지마찰력이고 브레이크를 밟은 뒤 자동차가 멈추게 만드는 마 찰력은 운동마찰력이다. 다음에는 물체가 유체 내부를 지나갈 때 받는 마찰력과 관계된 문제를 다루어보자. 그림 14.4(a)에는 일정한 빠르기 로 떨어지고 있는 질량이 인 빗방울이 그려져 있다. 이 빗방울에 작용하는 공기의 마찰력이 속력에 비례한다고 하고 비례 상수를 구해보자. 높은 아파트 옥상에서 돌멩이를 떨어뜨리면 돌멩이는 떨어질수록 점점 더 빨리 떨 어진다. 실제로 돌멩이의 속도는 중력가속도인 의 가속도로 점전 더 빨라진 다. 그런데 빗방울의 경우에는 거의 일정한 빠르기로 떨어진다. 그것은 빗방울에 작 용하는 공기의 마찰력 때문이다. 유체 속을 지나는 물체의 마찰력 는 속력이 매우 크지 않다는 조건 아래서 때 속력에 비례하여 (a) (b) (14.7) 처럼 증가한다. 여기서 는 비례상수이다. 빗방울에 작용하는 힘으로는 중력 와 공기의 마찰력 가 있다. 빗방울에 대한 free-body diagram을 그리면 그림 14.4(b)에 보인 것과 같다. 빗방울의 가속도를 라 놓고 빗방울에 대한 뉴턴 방정식을 쓰면 (14.8) 축 방향 : 가 된다. 문제에서 빗방울이 일정한 빠르기로 떨어지고 있 163 그림 14.4 (a) 일정한 빠르기로 떨어지는 빗방울 (b) 빗방울에 대한 free-body diagram 제5주 강의 다고 하였으므로 (14.8)식에 나오는 빗방울의 가속도 는 0이다. 그러므로 이것을 뉴턴 방정식 (14.8)식에 대입하고 (14.7)식을 이용하면 (14.9) 이므로 구하는 비례상수 는 (14.10) 가 된다. 빗방울에 작용하는 공기의 마찰력은 빗방울의 속력이 점점 커질수록 그 크기가 중 력의 크기와 같을 때까지 점점 더 커진다. 마찰력의 크기가 중력의 크기와 같아지면 빗방울에 작용하는 합력이 0이므로 빗방울은 등속도 운동을 하며, 속도가 일정하므 로 빗방울에 작용하는 마찰력도 더 커지지 않고 일정하게 유지된다. 이렇게 속력에 비례하는 마찰력을 받고 움직이는 물체는 어느 속도에 도달하면 더 이상 가속되지 않고 일정한 속도로 움직인다. 이런 마지막 속도를 종단속도라고 부른다. 빗방울의 질량과 종단 속도를 알면 공기의 마찰력을 결정하는 비례상수를 구할 수 있다. 그러면 왜 높은 파트 옥상에서 떨어뜨린 돌멩이는 종단속도에 이르지 않고 계속 가속되면서 떨어질까? 돌멩이에는 공기 저항에 의한 마찰력이 작용하지 않는 것일 까? 돌멩이에게도 역시 공기의 저항에 의한 마찰력이 작용한다. 그러나 돌멩이의 경 우에는 질량이 커서 옥상에서 지면까지 떨어지는 동안 커진 마찰력도 중력과 비교하 면 턱없이 작다. 그래서 마치 마찰력이 전혀 작용하지 않은 것처럼 보인다. 지금까지 일정한 힘을 받는 물체의 운동에 대해 뉴턴의 운동방정식을 푸는 몇 가지 예 를 공부하였다. 특히 free-body diagram을 그리면 뉴턴의 운동방정식을 쉽게 쓸 수 있 음을 알았다. 그런데 등속원운동을 하는 문 제의 경우에도 지금까지 우리가 한 것과 비 슷한 방법을 적용할 수 있다. 예를 들어 그림 14.5에 보인 것처럼 반지름이 인 원형의 길을 속력 로 달리는 자동차를 생각하자. 164 그림 14.5 원형 길을 달리는 자동차 14. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 II 자동차 타이어와 길 사이의 최대 정지마찰계수가 라고 할 때 자동차가 미끄러지지 않고 달릴 수 있는 최대 속력 을 구해보자. 자동차의 질량을 이라고 할 때 자동차에 작용하 는 힘은 그림 14.6에 보인 free-body diagram에 그려져 있는 것처럼 중력 와 수직항력 그리고 마찰력 등 세 가지이다. 이 free-body diagram에 서는 원통좌표계를 이용하였고 도표에는 방향과 방향을 표시하였다. 등속원운동하는 물체에 작용 하는 구심력은 항상 방향을 향하는 것을 이용한 것 그림 14.6 자동차에 대한 free-body diagram 이다. 전과 마찬가지로 그림 14.6에 보인 free-body diagram을 보고 뉴턴의 운동방정 식의 각 축 방향 성분을 쓰면 축 방향 : (14.11) 축 방향 : 가 된다. 이 식에서 구해야 할 것은 와 , , 그리고 등 네 가지이다. 그리고 구속조건 등에 의해서 미리 알 수 있는 것으로는 자동차가 축 방향으로는 움직이지 않는다는 사실과 등속원운동의 가속도는 방향을 향하며 그 크기는 (9.36)식으로 주어진다는 것 그리고 자동차에 작용하는 최대 정지마찰력은 (14.6)식으로 주어진 다는 것 등이다. 그런 정보들을 식으로 표현하면 (14.12) 가 된다. 따라서 (14.12)식을 이용하면 (14.11)식으로부터 자동차에 작용하는 수직 항력의 크기는 (14.13) 로 자동차에 작용하는 중력의 크기와 같고 그러므로 자동차에 작용하는 마찰력의 크 기는 165 제5주 강의 (14.14) 임을 알 수 있다. 이 마찰력 의 값과 (14.12)식에서 주어진 값을 (14.11)식에 나온 첫 번째 식에 대입하면 ⇒ ∴ (14.15) 를 얻는다. 따라서 자동차가 미끄러지지 않고 원운동할 수 있는 최대속력 은 최대 정지마찰계수와 중력가속도 그리고 원궤도의 반지름을 곱한 결과의 제곱근과 같음을 알 수 있다. 예제 1 그림에 보인 것과 같이 마찰이 없 는 경사면으로 이루어진 원형 트랙을 질 량이 인 경주용 자동차가 등속원운동 을 한다. 경사면의 경사각은 이다. 자 동차가 일정한 반지름 을 유지하고 달 릴 때 자동차의 속력 를 구하라. 자동차와 경사면 사이에 마찰이 없다고 했으므로 자동차에 작용하는 힘은 중력 와 수직항력 두 가지 뿐이. 그 두 힘을 원통 좌표계를 이용하여 free-body diagram에 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이 도표로부터 자동차에 적용될 뉴턴의 운동방정식을 축 방향 성분과 축 방향 성 분으로 나누어 쓰면 축 방향 : 축 방향 : 가 된다. 그리고 전과 마찬가지로 자동차의 두 가속 도 와 값으로 각각 (14.12)식으로 주어진 것을 166 자동차에 대한 free-body diagram 14. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 II 이용하여 원래 운동방정식에 대입하면 , ∴ 를 얻는다. ◆ 예제 2 인공위성 중에서 정지위성은 통신용 위성으로 요긴하게 이용된다. 정지위 성이란 위성의 공전주기가 지구의 자전주기와 같아서 지구에서 볼 때 움직이지 않고 항상 제자리에 있는 것처럼 보이는 위성이다. 질량이 인 정지위성이 지상 으로부터 높이가 인 궤도를 따라 지구 주위를 회전한다고 하자. 이 정지위성의 속력 를 구하라. 이 정지위성에 작용하는 힘은, 오른쪽 free-body diagram 에 표시한 것처럼, 지구가 위성을 잡아당기는 만유인력 한 가지뿐이다. 그러므로 인공위성에 대한 뉴턴의 운동방정식은 축 방향 : 이다. 그런데 인공위성에 작용하는 만유인력의 크기 와 인 인공위성에 대한 free-body diagram 공위성의 가속도 는 각각 이다. 여기서 와 은 각각 지구의 질량과 지구의 평균 반지름이다. 이 두 값을 인 공위성에 대한 운동방정식에 대입하면 ∴ 가 된다. 만유인력 상수 의 값은 (12.2)식에 나와 있다. 또한 지구의 질량 과 지 167 제5주 강의 구의 반지름 의 값으로 (12.4)식에 주어진 것을 이용하고 정지위성의 고도가 × 라면 이 정지위성의 속력 는 × × × × × × 이다. 이처럼 고도가 약 인 곳에서 공전하는 정지위성의 속력은 초속 정도임을 알 수 있다. ◆ 168 15. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 III ∙ 중력 또는 만유인력만 받고 움직이는 물체의 운동을 자유낙하 운동이라 한다. 자유낙하 운동은 어떤 특징을 갖는가? ∙ 자유낙하 운동을 하는 계 내부에서 물체의 운동을 관찰하면 물체는 무중력 상태 에 있게 된다. 무중력 상태란 무엇인가? ∙ 나무에 매달린 원숭이를 멀리서 똑바로 조준하여 총을 발사하였다고 하자. 원숭 이는 총이 발사되는 소리를 듣고 즉시 나무를 붙잡은 손을 놓고 밑으로 떨어지 기 시작하였다고 하더라도 탄환은 원숭이를 맞추고야 만다. 어찌된 일일까? 지상에서 움직이는 질량이 인 물체가 받는 중력의 크기는 물체의 무게인 와 같고 방향은 연직 아래 방향으로 일정하다. 따라서 지상에서 중력만 받고 운동하는 물체의 운동도 역시 일정한 힘을 받는 물체의 운동에 속한다. 지상에서 오직 중력만 받고 움직이는 운동을 자유낙하 운동이라고 한다. 고등학교 일부 교과서에서는 지상 에서 가만히 떨어뜨린 물체의 운동만을 자유낙하 운동이라고 부다고 하는 경우가 있는데 그것은 옳지 않다. 예를 들어 지금 떨어지고 있는 어떤 물체를 보고 있다고 하자. 그 물체가 떨어지는 모습을 보고 처음에 가만히 떨어졌는지 그렇지 않은지를 구별할 도리가 없다. 운동을 처음에 어떻게 운동하기 시작하였느냐에 따라, 다시 말 하면 그 물체가 운동을 시작한 초기조건에 따라 운동을 구분한다는 것은 아무런 의 미도 없다. 물체가 운동하는 특징은 그 물체에 어떤 힘이 작용하였느냐에 따라 결정된다. 그 래서 중력만 받고 움직이는 물체에 자유낙하 운동이라는 특별한 명칭을 부여한 것은 아주 그럴듯한 일이다. 공중에서 떨어지는 물체의 운동 중에서 자유낙하 운동인지 아 닌지를 구분하는 가장 중요한 요소는 그 물체에 작용하는 공기저항이다. 예를 들어 빗방울의 경우에는 빗방울에 작용하는 공기 저항력이 빗방울의 무게와 비슷할 만큼 커진다. 그래서 빗방울의 운동을 자유낙하 운동이라고 부를 수 없다. 그러나 야구공 이나 돌멩이와 같이 공중에 던진 대부분 물체의 경우에는 공기 저항력이 그 물체의 169 제5주 강의 중력에 비하여 매우 작으므로 무시될 수 있다. 그러면 그런 물체의 운동을 자유낙하 운동이라고 부를 수 있다. 하 늘 높은 곳에서 공중 낙하한 사람이 낙 하산을 펴고 떨어진다고 하면 그 사람 의 운동은 자유낙하 운동일까 아니면 자유낙하 운동이 아닐까? 그림 15.1 비행기에서 떨어뜨린 물체의 운동 자유낙하 운동을 기술하는 방법을 익히기 위해서 그림 15.1에 그린 문제를 보자. 수평방향을 향해 속도 로 운항중인 비행기가 바다에서 조난을 당한 사람을 발견하고 질량이 인 구조대를 떨어뜨려 주 었다. 비행기의 고도가 라면 어느 지점에서 구조대를 떨어뜨려야 되겠는가? 구조대에 대한 free-body diagram을 그리면 그림 15.2 에 보인 것과 같다. 그림처럼 두 좌표축의 방향을 정하면 free-body diagram으로부터 구조대에 대한 뉴턴의 운동 방정식은 축 방향 : (15.1) 축 방향 : 임을 알 수 있다. 따라서 (15.1)식을 풀면 그림 15.2 구조대에 대한 free-body diagram (15.2) 를 얻는다. 다시 말하면 구조대는 수평방향으로는 등속도 운동을 하고 연직방향으로 는 가속도가 인 등가속도 운동을 한다. 따라서 9장에서 이미 구한 등속도 운동에 대한 결과와 등가속도 운동에 대한 결과를 이용할 수 있다. 우선 구조대가 조난자에 게까지 떨어지는데 걸리는 시간을 구하자. (9.22)식의 결과인 (15.3) 에서 초기위치와 초기속도, 가속도 그리고 떨어진 거리가 각각 170 15. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 III (15.4) 라고 놓고 떨어지는데 걸린 시간 를 구하면 (15.5) 가 된다. 그러면 이 시간 동안 구조대가 수평방향으로 진행한 거리는 (9.9)식에 (15.5)식으로 구한 시간을 대입하고 초기위치가 임을 이용하면 (15.6) 를 얻는다. 그러므로 구조대가 조난자 부근에 떨어지게 하려면 (15.6)식으로 주어진 거리만큼 더 앞에서 구조대를 떨어뜨려야 한다. 예제 1 포탄을 의 경사각으로 발사하면 포탄이 도달하는 최고 높이는 포탄이 떨어진 지점까지 거리의 4분의 1임을 보여라. 지상에서 중력만 받고 움직이는 물체는 연직방향으로는 가속도가 중가속도 인 등가속도 운동을 하고 수평방향으로는 등속도 운동을 한다. 연직 위 방향을 방향 으로 정하면 9장의 결과를 이용하여 탄환의 속도와 위치가 수평방향 : , 연직방향 : , 임을 알 수 있다. 여기서 연직 위 방향을 방향으로 정하였기 때문에 가속도 가 와 같다고 놓았다. 이제 포탄을 발사한 처음 속력이 이고 발사각이 라고 하면 초속도의 수평방향 성분 와 연직방향 성분 는 각각 가 된다. 그리고 이 포탄이 최고점까지 도달하는 시간을 이라고 하면 최고점에서는 171 제5주 강의 속도의 연직방향 성분이 0이 되므로 ∴ 를 얻게 된다. 그러면 포탄이 다시 지면에 떨어지는 시간 는 최고점에 이르는 시간 의 두 배로 이 된다. 그러므로 마지막으로 최고점까지의 높이인 과 포 탄의 진행거리인 를 구하면 최고점의 높이 : 수평 진행거리 : 가 된다. 그런데 이면 이므로 임을 알 수 있다. ◆ 다음 일정한 힘을 받는 물체에 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 예로 그림 15.3에 보인 것과 같이 엘리베이터 바닥에 놓인 저울 위에 질량이 인 사람이 서 있을 때 저울이 가리키는 눈금이 얼 마인지 구해보자. 엘리베이터는 위쪽으로 점점 더 빨리 올라가고 있으며 이때 엘리베이터의 가속도 크기는 라고 하자. 이 문제에서 뉴턴의 운동방정식을 적용할 물체를 무엇으로 정 하면 좋을까? 저울 위에 서 있는 사람 하나에게만 적용하면 된다. 그림에는 여러 물체가 나와 있지만 문제에서 구하는 답을 얻기 위 해서는 대상 물체로 사람 하나면 충분하다. 사람에게 적용하는 힘을 모두 찾아보자. 사람에게 작용하는 힘 그림 15.3 엘리베이터에 서 있는 사람 은 중력 와 저울 면이 사람을 떠받치는 수직항력 두 가지 뿐이다. 이 두 힘 이외에 다른 힘은 사람에게 작용하지 않는다. 그 러면 사람에 대한 free-body diagram은 그림 15.4에 보인 것과 같아진다. 그림 15.4와 같이 연직 위쪽을 방향으로 정하면 free-body 172 그림 15.4 사람의 free-body diagram 15. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 III diagram으로부터 사람에 대한 뉴턴의 운동방정식은 (15.7) 축 방향 : 가 됨을 알 수 있다. 여기서 사람의 가속도 는 엘리베이터의 가속도와 같은 것으로 미리 주어져 있다. 따라서 (15.7)식으로부터 구하는 양은 수직항력 하나뿐이며 그 값은 (15.8) 이다. 문제에서는 저울이 가리키는 눈금을 물어보았는데, 저울의 눈금은 사람이 저울 면을 내리 누르는 힘과 같고, 그 힘은 바로 저울 면이 사람을 떠받치는 수직항력 의 반작용이다. 다라서 저울의 눈금은 수직항력 과 같다. 우리는 흔히 수직항력의 크기는 물체의 중력의 크기와 같다고 생각하기 쉽다. 그 런데 (15.8)식의 결과에서처럼 수직항력의 크기는 물체의 가속도의 크기에 따라 달 라짐을 알 수 있다. 이것은 이미 배운 것처럼 수직항력이나 장력과 같은 구속력은 미 리 정해지는 것이 아니라 물체의 운동이 어떻게 제한받느냐에 따라 결정된다는 말과 일치한다. 그래서 (15.8)식에서 만일 가 0보다 크다면, 다시 말하면 엘리베이터가 위쪽으로 점점 더 빨리 움직이거나 아래쪽으로 점점 더 느리게 움직인다면 수직항력 은 물체에 작용하는 중력 보다 더 커진다. 반대로 가속도 가 0보다 더 작아서 위쪽으로 점점 더 느리게 움직이거나 아래쪽으로 점점 더 빠르게 움직인다면 수직항 력 은 물체에 작용하는 중력 보다 더 작아진다. 만일 엘리베이터와 연결된 줄이 끊어진다면 어떻게 될까? 그러면 엘리베이터는 중 력만 받고 자유낙하 운동을 하며 그래서 엘리베이터의 가속도 는 (15.9) 가 된다. 그리고 (15.8)식의 에 (15.9)식을 대입하면 사람에게 작용하는 수직항력 이 0이 됨을 알 수 있다. 다시 말하면 사람이 올라서 있는 저울의 눈금은 0을 가리 킨다. 그러므로 줄이 끊어져서 자유낙하하는 엘리베이터를 타고 있는 사람이 바닥을 누르는데 조금도 힘이 들지 않는 것이다. 이런 상태를 무중력 상태라고 한다. 자유낙 하 운동을 하는 계 내부에서는 항상 이러한 일이 벌어진다. 173 제5주 강의 무중력 상태는 그림 15.5에 보인 1865년 프랑스의 소설 가 쥘 베른이 ‘지구에서 달까지’라는 제목의 공상 과학 소설을 발표하면서 세인의 관심을 끌기 시작하였다. 그는 이 소설에서 크게 확대한 모양의 대포 탄두에 사람을 태우 고 지구에서 달까지 보내는 여행을 묘사하였다. 그런데 이 소설에서는 탄두에 작용하는 지구의 중력이 점점 감소하고 달의 중력이 점점 증가하여 지구와 달로부터의 거리의 비 가 정확히 52:47이 되는 한 지점에서 탄두에 탄 사람들은 무중력 상태를 경험하게 된다고 설명한다. 그 지점은 지구 의 중력과 달의 중력의 합이 0이 되는 곳이다. 그림 15.5 쥘 베른 (프랑스, 1828-1905) 그러나 우리는 이미 달을 탐험하는 아폴로나 셀리웃 등 우주선에서 일단 로켓이 분사를 멈추기만 하면 언제나 무중력 상태에 있는 우주 비 행사들의 모습을 텔레비전으로 보았다. 동력을 모두 끈 우주선은 만일 우주선에 힘이 작용한다면 그 힘을 받으며 그대로 운동한다. 우주선에 작용하는 힘이 오직 만유인력 뿐이라면 우주선은 자유낙하 운동을 한다. 그리고 자유낙하하는 기준계에서 보면 물 체는 언제나 무중력 상태에 있다. 그래서 우주선을 쏘아 올리기 위해 분사하는 로켓 이 멈추고 우주선이 중력만 받고 움직이면 곧 우주선 내부에 있는 모든 물체에게는 바로 무중력 상태가 시작된다. 그리고 앞에서 본 줄이 끊어진 엘리베이터의 경우에도 엘리베이터가 자유낙하하는 동안 엘리베이터 내부의 물체는 모두 무중력 상태에 있 게 되는 것이다. 줄이 끊어져서 자유낙하하는 엘리베이터 내부의 물체가 무중력 상태에 있다는 말 의 의미가 무엇일지 잘 생각해 보자. 이 물체가 무중력 상태에 있다는 말에 대해 두 가지 서로 다른 해석을 내릴 수 있다. 하나는 지구가 이 물체를 잡아당기는 중력은 분명히 작용하고 있지만 관찰하는 기준계가 물체와 함께 자유낙하하고 있기 때문에 단지 이 기준계에 대해서 물체가 정지해 있는 것처럼 보일 뿐이라는 해석이다. 다른 하나는 자유낙하하는 물체에는 아무런 힘도 작용하지 않는 글자 그대로 무중력 상태 라는 해석이다. 두 해석 중에서 어느 것이 옳은지 알아보기 위해서 미국 항공 우주국에서는 그들 이 발사한 인공위성에 켜 논 촛불이 어떻게 되는지에 대해 실험을 했다. 그림 15.6의 왼쪽 사진은 지상에서 관찰한 촛불 모양이고 오른쪽 사진은 인공위성에서 찍은 촛불 174 15. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 III 사진이다. 자유낙하 운동을 하는 인공위성 에서 찍은 촛불 모양은 우주의 한복판에 위치한 그래서 중력의 영향을 전혀 안 받 는 무중력 상태에서 찍은 촛불 모양과 동 일하다고 여겨진다. 이처럼 지상(地上)과 같이 중력장에 놓 여있다고 하더라도 자유낙하하는 물체는 그림 15.6 지상과 무중력 상태에서 촛불 모양 실제로 무중력 상태에 있음을 알 수 있다. 그러므로 쥘 베른이 그의 소설에 묘사한 것처럼 지구와 달로부터 받는 만유인력의 합력이 0이 될 때만 무중력 상태라는 것은 잘못된 생각임이 밝혀졌다. 미국 항공 우 주국에서 우주선을 탈 예정인 우주비행사들에게 무중력 상태를 경험시키는 훈련을 할 때 실제로 비행기를 높은 고도로 올린 다음 자유낙하시키는 방법을 이용한다. 자 유낙하하는 기체 내에서 훈련을 받는 우주비행사들은 무중력 상태를 경험하게 된다. 예제 2 가속도 로 등가속도 운동을 하는 엘리베이터 바닥에 체중계가 놓여 있다. 철수가 체중계에 올라서니 눈금이 을 가리켰다. 그리고 철수가 옆에 놓인 질량이 인 상자를 들고 체중계 위에 올라서니 눈금이 을 가리켰다. (a) 엘리베이터의 가속도 를 구하라. (b) 철수의 실제 체중은 얼마인가? (15.8)식을 이용하면 철수의 질량이 이라고 할 때 처음 체중계에 올라섰을 때 의 눈금은 를 가리키고, 상자의 질량을 라고 하면 두 번째로 체중계에 올라섰을 때의 눈금은 를 가리킨다. 그래서 문제에 나온 수치를 대입하면 풀어야 하는 식은 175 제5주 강의 이다. 이 두 식을 연립으로 풀어 과 를 구하면 , 이 된다. 즉 철수의 몸무게는 × 이고 엘리베이터는 위쪽 방향으로 임을 알 수 있다. ◆ 일정한 힘을 받는 물체의 운동에 대한 마지 막 예로 그림 15.7에 보인 문제를 보자. 높이 가 인 나뭇가지에 원숭이 한 마리가 매달려 있다. 포수가 원숭이를 똑바로 향해서 경사각 로 사냥총을 발사한다. 총이 발사되는 것과 동시에 원숭이가 나무에서 떨어지기 시작한다 면 탄환은 원숭이를 맞출 수 있을까? 탄환은 수평방향으로는 등속도 운동을 하고 연직방향으로는 가속도가 인 등가속도 운동 그림 15.7 나무에서 떨어지는 원숭이 을 하므로, 탄환의 처음 속력을 라고 하면 탄환의 수평방향 운동과 연직방향 운동에 대한 식은 수평방향 : 일정 , 연직방향 : , (15.10) 가 된다. 그러므로 탄환이 수평방향으로 만큼 진행하는데 걸리는 시간 은 위에서 구한 탄환에 대한 수평방향 운동 결과로부터 ∴ (15.11) 임을 알 수 있다. 이 시간에 탄환이 도달하는 좌표는 역시 (15.10)식으로부터 176 15. 일정한 힘을 받는 물체의 운동 III (15.12) 를 얻는다. 그런데 원숭이가 나무에서 손을 놓고 이라는 시간동안 떨어지는 거리 ′는 ′ (15.13) 과 같다. 그러므로 탄환을 발사하고 이 지난 뒤 원숭이가 위치한 높이 ′ 은 ′ (15.14) 이 된다. 그런데 (15.12)식에서 우변의 두 번째 항은, 그림 15.7에 나온 와 사이 의 관계로부터 (15.15) 이므로 시간이 일 때 탄환의 좌표인 (15.12)식의 값과 원숭이의 높이인 (15.14) 식의 값이 동일함을 알 수 있다. 이처럼 원숭이를 똑바로 조준하여 탄환을 발사하면 원숭이가 탄환의 발사와 함께 밑으로 떨어지더라도 탄환은 원숭이에 명중됨을 알 수 있다. 그래서 원숭이는 탄환을 맞지 않으려면 떨어지지 않고 제자리에 그대로 있어야 한다. 또는 포수가 원숭이를 맞추려면 원숭이를 똑바로 향해 조준하기 보다는 원숭이 가 있는 곳보다 조금 더 위쪽을 향하여 조준하여야 한다. 177 ...
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