7주강의

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Unformatted text preview: 제7주 강의 로켓발사 우리는 지난 두 주에 걸쳐서 물체의 운동을 기술하는데 뉴턴의 운동방정식을 어떻 게 적용하는지에 대해서 공부하였습니다. 첫 번째 주에는 물체가 움직이고 있더라도 받는 힘이 바뀌지 않고 일정한 경우를 다루었습니다. 그런 경우에 물체는 등가속도 운동을 하고 그래서 뉴턴의 운동방정식인 를 대수식으로 취급하여 물체의 가 속도를 구하면 된다는 것을 알았습니다. 지상에서 중력을 받고 운동하는 물체라든가 빗면 위에 놓인 물체 또는 도르래를 지나는 줄에 연결된 물체의 경우에 모두 그런 방 법을 이용하면 문제가 해결되는 것을 보았습니다. 여러분은 물체가 받는 힘이 바뀌지 않고 일정한 경우에는 이렇게 문제를 풀기가 무척 쉽다는 사실을 확인하였을 줄 믿 습니다. 다만 물체가 받는 수직항력이나 장력은 미리 알 수 없고 뉴턴의 운동방정식 을 푸는 과정에서 구해진다는 사실을 명심해야만 된다는 점도 공부하였습니다. 그러나 자연현상에는 물체가 받는 힘이 일정하지 않은 경우도 많이 존재합니다. 두 번째 주에는 물체가 스프링에 연결되어 있어서 힘이 변위에 비례한다는 후크의 법칙에 의해 결정되거나 또는 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다는 만유인력 법칙에 의해 결정되는 것처럼, 물체가 움직이는 동안 물체가 받는 힘이 물체의 위치 에 의존하며 바뀌는 문제를 간단히 해결하는 방법을 배웠습니다. 그리고 그 방법이란 바로 새로운 물리량을 도입하는 것임을 알았습니다. 지난주 강의에서는 일과 운동에 너지, 퍼텐셜에너지, 그리고 열에너지 등을 도입하면 뉴턴의 운동방정식이 일-에너 211 제7주 강의 지 정리로 표현되든지 또 보존력이라는 힘이 작용하는 경우에는 뉴턴의 운동방정식 이 역학적 에너지 보존법칙으로 표현된다는 놀라운 결과를 알게 되었습니다. 이와 같 이 물리에서는 문제가 복잡해지면 종종 새로운 물리량을 도입하여 문제를 간단히 해 결할 수 있도록 만들곤 합니다. 이번 주에는 또 다시 조금 더 복잡한 문제를 어떻게 다룰지 공부해 보려고 합니다. 문제가 복잡해지면 종전의 방법으로는 해결하기가 어려워집니다. 그러면 앞에서 했 던 것과 마찬가지로, 물리학자들은 새로운 물리량을 도입합니다. 그러면 조금 더 복 잡해진 경우도 역시 간단하게 해결하는 방법을 찾아내고야 맙니다. 지금까지 우리는 한 물체의 운동만 다루었습니다. 예를 들어, 지상에서 움직이는 물체의 경우에 물체에는 지구가 잡아당기는 중력이 작용합니다. 그런데 지구의 운동 에는 관심을 두지 않고 물체의 운동만 기술하였습니다. 물체의 질량에 비하여 지구의 질량이 너무 크기 때문에 지구는 정지해 있고 지구에 대하여 물체만 움직인다고 생 각한 것입니다. 이번 주에는 여러 물체의 운동을 다루려고 합니다. 여러 물체의 운동이란 서로 상 호작용하여 힘을 주고받는 물체들의 운동이란 의미입니다. 지상에서 돌멩이 두 개가 나란히 떨어지는 문제는 두 물체 문제가 아닙니다. 그것은 두 개의 한 물체 문제입니 다. 그런데 질량이 비슷한 별 두 개가 서로 잡아당기는 만유인력을 받으며 어떻게 움 직이는가 하는 문제는 두 물체 문제입니다. 또는 스프링으로 연결된 두 물체를 공중 으로 던졌을 때 두 물체는 서로에 대하여 상대적으로 어떻게 움직일까 하는 문제는 두 물체 문제입니다. 이번 주에는 이처럼 서로 상호작용하는 여러 물체의 운동을 어 떻게 기술하면 좋을지 공부하려고 합니다. 이제는 우리가 잘 알고 있는 것처럼, 여러 물체의 운동을 기술하기 위해서 새로운 법칙이 필요하지는 않습니다. 우리가 이미 배운 자연의 기본법칙인 뉴턴의 운동방정 식만 적용하면 됩니다. 그런데 여러 물체를 다루려면 물체의 수와 같은 수의 운동방 정식을 풀어야 합니다. 그리고 그 운동방정식들은 모두 서로 연결되어 있어서 연립 방정식을 풀어야 합니다. 뉴턴의 운동방정식은 미분방정식이므로 연립 미분방정식을 풀어야 합니다. 혹시 미분방정식을 배운 학생들은 알겠지만 연립 미분방정식을 풀기 가 쉬운 일이 아닙니다. 그렇지만 이번에도 새로운 물리량을 도입하면 다시 문제가 쉽게 해결되리라는 것을 여러분은 이미 예상하고 있을지도 모릅니다. 정말 그렇습니 다. 우리는 여러 물체의 운동을 쉽게 기술하기 위해서 몇 가지 새로운 물리량을 새로 212 제7주 강의 도입할 것입니다. 여러 물체의 운동을 편리하게 기술하기 위해서 새로 도입할 물리량 중에서 가장 대표적인 것이 선운동량입니다. 선운동량은 우리가 그냥 운동량이라고 부르는 물리 량입니다. 운동량에는 선운동량과 각운동량 두 가지가 존재합니다. 그래서 그 둘을 구별하기 위하여 필요할 때는 선운동량이라고 부르고 혼동이 일어나지 않을 때는 그 냥 운동량이라고 부르기도 합니다. 선운동량이란 새로운 물리량을 도입하면 여러 물체의 운동을 쉽게 기술할 수 있을 뿐만 아니라 뉴턴의 운동방정식을 라고 표현하였을 때는 설명하기가 어려운 문제를 해결할 수도 있습니다. 선운동량 는 물체의 질량 과 속도 를 곱하여 라고 정의됩니다. 그래서 앞으로 이번 주 강의에서 자세히 배우게 되겠지만 선운동량 를 이용하면 뉴턴의 운동방정식 를 라고 표현할 수도 있습니다. 물체의 질량이 바뀌지 않는다면 이 두 식은 동일은 완전히 동일합니다. 그 런데 뉴턴의 운동방정식을 라고 쓰면 물체의 질량이 바뀌는 경우에는 적용될 수가 없습니다. 그렇지만 뉴턴의 운동방정식을 라고 쓰면 물체의 질량이 바뀌는 경우에도 역시 적용됩니다. 앞에 보인 로켓발사와 같은 문제가 바로 물체의 질량이 바뀌는 경우에 해당합니다. 로켓은 연료를 내뿜으면서 가속됩니다. 그리고 로 켓에서 연료가 방출되면 로켓의 질량이 점점 감소합니다. 로켓이 큰 속도를 얻는 원 리가 바로 질량의 분출입니다. 그리고 라고 표현된 뉴턴의 운동방정식이 이 문제를 아주 잘 설명할 수가 있습니다. 여러 물체를 기술하는데 편리하게 이용되는 새로운 물리량으로 질량중심이 있습니 다. 앞으로 배우게 되겠지만 여러 물체의 운동은 질량중심에 물체들의 질량이 모두 모여 있는 경우의 운동으로 대표될 수 있습니다. 그래서 여러 물체의 질량을 모두 더 한 총질량에 해당하는 물체가 질량중심의 좌표가 운동하는 것처럼 운동한다면 그런 질량중심의 선운동량은 여러 물체의 선운동량을 모두 더한 총선운동량과 같음을 알 게 될 것입니다. 그뿐 아니라 특별한 조건 아래서 이 총선운동량은 바뀌지 않고 일정 하게 유지됩니다. 이것을 선운동량 보존법칙이라고 합니다. 선운동량 보존법칙도 역 시 새로운 법칙이 아니라 특별한 조건 아래서 성립되는 뉴턴의 운동법칙이 선운동량 이라는 물리량에 의해서 표현되었을 뿐입니다. 여러 물체들이 서로 상호작용하면서 운동할 때 그것을 여러 물체 운동이라고 부른 다고 하였습니다. 여러 물체들이 다른 물체는 독립적으로 운동할 때는 비록 물체의 213 제7주 강의 수는 여러 개라고 하더라도 여러 물체 운동이라고 부르지는 않습니다. 여러 물체 운 동이라고 부를 수 있는 대표적인 경우가 충돌문제입니다. 우리 주위에서 관찰되는 충 돌문제의 대표적인 예가 당구 게임입니다. 또한 미시세계에 존재하는 대상을 연구할 때는 그 대상이 되는 물체를 표적으로 하고 매우 빠른 속도로 가속된 미시세계의 입 자들을 충돌시키는 방법을 이용합니다. 이때도 충돌문제가 적용됩니다. 이제 19장에서는 선운동량을 도입하여 여러 물체의 운동을 어떻게 기술하는지 설 명할 예정입니다. 뉴턴의 운동방정식이 선운동량을 도입하면 어떻게 바뀌는지 배우 게 될 것입니다. 또한 20장에서는 여러 물체의 질량중심이 어떻게 정의되는지, 왜 그 렇게 정의되는지를 설명하고 질량중심이라는 물리량을 도입하면 여러 물체의 운동이 어떻게 간단하게 설명되는지를 공부하게 될 것입니다. 질량중심의 운동에 대한 선운 동량이 여러 물체의 총선운동량과 어떤 관계에 있는지 그리고 어떤 조건 아래서 총 선운동량이 보존되는지에 대해서도 배우게 됩니다. 마지막으로 21장에서는 선운동 량 보존법칙을 이용하여 충돌문제를 푸는 방법을 공부하게 될 것입니다. 214 19. 선운동량 ∙ 물체에게 작용하는 힘이 외력인지 내력인지 미리 구분하는 것은 매우 중요하다. 어떤 힘을 외력이라 하고 어떤 힘을 내력이라고 하는가? ∙ 여러 물체의 운동을 기술하는데 선운동량이라는 물리량이 편리하게 이용된다. 선운동량 은 물체의 질량 과 속도 를 곱하여 라고 정의된다. 선운 동량을 왜 그렇게 정의할까? } 선운동량 를 도입하면 뉴턴의 운동방정식 를 선운동량을 이용하여 라고 쓸 수도 있다. 뉴턴의 운동방정식에 대한 두 표현 중에서 어느 표현이 더 일반적으로 성립될까? } 뉴턴의 운동방정식을 라고 표현할 때, 양변에 짧은 시간간격 를 곱하여 운동방정식을 이라고 표현할 수도 있다. 이 식의 좌 변에 나온 를 물체에 가한 충격량이라고 부른다. 충격량은 무엇인가? 그림 19.1에 보인 것과 같이 태양과 지구 그리고 달 달의 운동은 여러 물체 운동의 예이다. 태양과 지구 그리고 달은 서로 작용하는 만유인력에 의해서 운 동한다. 이렇게 여러 물체의 운동은 어떻게 기술할 태양 까? 이들의 운동을 기술하려면 먼저 운동을 기술하려 는 대상을 선정하여야 한다. 달 하나만의 운동을 기 그림 19.1 태양과 지구 그리고 달의 운동 술하려고 할 수도 있고 지구와 달의 운동을 한꺼번 에 기술하려고 할 수도 있고 태양과 지구와 달을 포함한 태양계 전체의 운동을 기술 하려고 할 수도 있다. 이렇게 운동을 기술하려고 마음에 정한 물체들의 모임을 운동 을 기술하려는 물체들의 계라고 부른다. 이처럼 계는 운동을 기술하려는 당사자가 정 하는 것이다. 그러므로 문제를 풀 때는 내가 정한 계가 무엇인지 구체적으로 언급해 놓는 것이 좋다. 215 제7주 강의 여러 물체의 운동에 관심을 가질 때는 이렇게 먼저 우리가 기술하려는 물체들을 선정해야 하고 그렇게 선정한 물체들의 모임을 계라고 부른다. 그림 19.1에 보인 문 제에서 달의 운동만 관심의 대상으로 정한다면 달이 계가 되고 달과 지구의 운동을 관심 대상으로 정한다면 달과 지구가 계를 이루며 태양과 지구 그리고 달 모두의 운동을 관심의 대상으로 정한다면 이들이 내가 정한 계를 이룬다. 태양계는 태양과 태양 주위를 회전하는 열 개가 넘는 행성들 그리고 행성들 주위 를 회전하는 달과 같은 위성들로 이루어져 있다. 이렇게 태양과 행성 그리고 위성들 이 태양 주위에서 특별한 구조를 이루며 함께 모여 있는 것은 이들 사이에 상호작용 이 작용하고 있기 때문이다. 태양과 행성 그리고 달 사이에는 만유인력이 작용한다. 그래서 만유인력이 태양계를 형성한다고도 말한다. 태양계 뿐 아니라 태양과 같은 별 들이 수천억 개가 모여서 특별한 형태를 이루고 있는 은하계도 역시 수천억 개의 별 사이에 만유인력이 작용하고 있기 때문에 그러한 모양을 가지고 있다. 만일 이들 별 사이에 만유인력이 작용하지 않는다면 모든 별들이 그냥 일정한 빠르기로 직선상을 한 방향으로 움직일 뿐 별들이 은하를 만들도록 모여 있지 못한다. 이와 같이 물체들의 모임인 계가 특별한 구조를 이루는 것은 이들 사이에 힘이 작 용하기 때문인데, 여러 물체들의 운동을 기술할 때는 계에 속한 물체들에게 작용하는 힘을 내력과 외력으로 구분하는 것이 좋다. 여기서 내력이란 미리 정한 계에 속한 물 체들 사이에 작용하는 힘을 말하고 외력이란 물체가 속한 계 바깥의 물체로부터 작 용하는 힘을 말한다. 그런데 앞에서도 지적하였듯이 물체들의 계란 미리 정해져 있는 것이 아니라 물체들의 운동을 기술하는 당사자가 정한다. 그러므로 물체에 작용하는 힘을 내력과 외력으로 구분하는 것도 계를 어떻게 정했느냐에 따라 바뀔 수 있다. 그림 19.1에서 우리의 관심사가 오직 달의 운동이라고 하자. 그러면 우리가 마음 에 둔 계에는 오직 달만 포함되어 있으므로 이 계의 바깥 물체로부터 달에 작용하는 힘은 모두 외력이다. 그림 19.1에서 달에는 지구가 잡아당기는 만유인력과 그리고 태양이 잡아당기는 만유인력이 작용한다. 이들 두 힘이 달에게는 모두 외력이다. 일 반적으로 한 물체의 운동만이 관심의 대상일 때는 그 물체에 작용하는 힘은 모두 다 외력이다. 바로 그런 이유 때문에 한 물체의 운동만을 다루었던 지금까지는 힘을 외 력과 내력으로 구분하지 않고 그냥 그 물체에 작용하는 힘이라고만 불렀다. 그러면 이번에는 달과 지구의 운동이 우리의 관심의 대상이라고 하자. 그런 경우 216 19. 선운동량 에는 우리가 정한 계는 달과 지구로 구성되어있다. 그래서 지구가 달을 잡아당기는 만유인력은 내력이다. 지구만 달을 잡아당기는 것이 아니고 달도 지구를 잡아당긴다. 이 힘도 역시 내력이다. 그러나 태양이 달을 잡아당기는 만유인력과 태양이 지구를 잡아당기는 만유인력은 이 계에 대해서는 외력이 된다. 마지막으로 태양과 지구 그리고 달을 계로 생각하기로 정한다고 하자. 그러면 이 들 사이에 작용하는 만유인력은 모두 내력이 된다. 그런데 은하계에 포함된 다른 별 이 태양을 잡아당기는 만유인력도 작용한다. 그리고 물론 이 힘은 태양과 지구 그리 고 달로 이루어진 계에 대해서는 외력이다. 이와 같이 물체에 작용하는 힘을 외력과 내력으로 가르는 것은 어떤 물체가 계를 형성하고 있느냐고 보는 우리의 견해에 따 라 정해진다. 같은 힘이라도 보는 입장에 따라 외력이 될 수도 있고 내력이 될 수도 있다. 그림 19.2에는 질량이 각각 m 1, m 2, m 3 인 세 물체가 서로 상호작용하면서 운동을 한다고 하자. 이들 세 물체를 계로 보기 정할 때 이 세 물체의 운동을 뉴턴의 운동 방정식으로 어떻게 기술하여야 할까? 물론 13장에서 자세히 배운 것처럼 각 물체마다 뉴턴의 운동방정식 을 하나씩 세워서 푼다. 물체가 세 개이므로 뉴턴의 운동 방정식이 세 개 필요하다. 그림 19.3에 보인 것 과 같이 적당히 정한 좌표계에서 세 질량까지의 위치 벡터를 각각 r 1 , r 2 , r 3 , 라고 하고 그 위치에서 물 체들의 속도를 각각 v 1 , v 2 , v 3 , 라고 하자. 속도를 시간에 대해 미분하면 가속도가 됨으로, 세 물체에 그림 19.2 여러 물체에 작용하는 내력과 외력 대해 적용할 뉴턴의 운동방정식 세 개는 (19.1) 이 된다. (19.1)식에서는 각 물체에 작용하는 힘을 그림 19.3 세 물체 운동의 기술 217 제7주 강의 내력과 외력으로 구분하여 표시하였다. (19.1)식의 우변에 나오는 f 1 , f 2 , f 3 은 각 물체가 받는 내력의 합을 표시하고 F 1 , F 2 , F 3 은 각 물체가 받는 외력의 합을 표 시한다. 예를 들어 내력 f 1 은 그림 19.2에서 질량 m 2 가 질량 m 1 을 잡아당기는 힘과 질량 m 3 가 질량 m 1 을 잡아당기는 힘의 합력이고 외력 서 질량 m 4 가 질량 m 1 을 잡아당기는 힘이다. F 1 은 그림 19.2에 (19.1)식에 포함된 세 식들을 가만히 살펴보면 모두 똑같은 형태로 되어 있으면서 각 변수에 붙은 아래첨자만 다르게 되어있다. 이런 경우에는 (19.1)식을 문자를 이 용하여 다음과 같이 여기서 (19.2) 이라고 간단히 하나의 식으로 쓸 수 있다. 이 식은 아래첨자 에 1을 대입하면 (19.1)식의 첫 번째 식이 되고 2를 대입하면 두 번째 식이 되며 3을 대입하면 세 번 째 식이 됨을 의미한다. 이제 (19.2)식의 형태를 조금 바꾸어 보자. 만일 물체의 질량이 바뀌지 않고 상수 이라면 (19.2)식의 좌변을 (19.3) 라고 쓸 수 있다. 는 상수이므로 미분연산자의 안쪽에 쓰나 바깥쪽에 쓰나 마찬가 지이기 때문이다. 그러면 이제 (19.2)식에 주어진 세 식들의 우변은 우변끼리 그리 고 좌변은 좌변끼리 모두 더하자. 그렇게 모두 더한 결과는 d (m 1 v 1 + m 2 v 2 +m 3 v 3 ) = f 1 + f 2 + f3 + F 1 + F 2 + F 3 dt (19.4) 이다. 이 식은, 그림 19.2에 보인 예에서와 같이, 계에 포함된 물체의 수가 단지 세 개라고 가정한 경우를 대표한다. 계에 포함된 물체의 수가 일반적으로 개인 경우로 이 결과를 확장시키면 (19.4)식을 (19.5) 218 19. 선운동량 라고 쓰면 된다. (19.5)식의 우변을 가만히 보면 재미있는 결론을 내릴 수 있다. 우변은 계에 속한 물체에 작용하는 내력을 모두 더한 것과 외력을 모두 더한 것의 합으로 되어있다. 그 런데 그림 19.2에 나와 있듯이 각 물체에 작용하는 내력의 합 f 1 , f 2 , f 3 는 모두 2개씩의 힘을 합한 것이다. 그래서 그림 19.2에 나오는 세 물체에 작용하는 6개의 내력을 모두 더하면 0이 된다. 내력 6개는 모두 작용과 반작용 짝 3개로 이루어져 있고 각 짝에 포함된 작용과 반작용은 크기가 같고 방향이 반대이기 때문에 그 둘을 더하면 0이 된다. 계에 속한 물체들에 작용하는 내력을 모두 더하면 0이 된다는 것은 계에 속한 물체의 수에 관계없이 항상 성립다. 그래서 (19.5)식의 우변에는 외력 의 합만 남게 된다. 이 외력의 합을 (19.6) 라고 놓자. 그러면 계에 속한 개의 물체에 대한 뉴턴의 운동방정식을 모두 더한 결 과인 (19.5)식을 (19.7) 라고 쓸 수 있다. 다시 말하면, 계에 속한 물체들에 대한 뉴턴의 운동방정식을 모두 더한 방정식에는 내력은 전혀 들어오지 않고 외력의 합만 영향을 주게 된다. 이것은 무엇을 의미하는 것일까? 이제 새로운 물리량을 도입할 때가 되었다. 자연현상을 설 명하기 위하여 지금까지 배운 것 외에 또 다른 물리량이 꼭 필요한 것은 아니지만 지 금 새로 도입하려는 물리량을 이용하면 여러 물체의 운동을 기술하는데 참 편리하다 는 것을 알게 된다. 그뿐 아니라 자연의 진리에 대해 좀 더 깊은 통찰력을 얻게 된다. 새로 도입하려는 물리량에 대해서는 위에서 구한 (19.7)식의 좌변에서 힌트를 얻 을 수 있다. (19.7)식 좌변의 괄호 안을 보면 질량과 속도를 곱한 항들의 합으로 되 어 있다. 그래서 이제 번째 물체의 선운동량 를 (19.8) 219 제7주 강의 라고 정의하고자 한다. 그러니까 운동하는 물체의 선운동량은 그 물체의 질량과 속도 를 곱한 것이다. 이 선운동량을 보통 그냥 운동량이라고 부르기도 한다. 질량은 스칼 라양이고 속도는 벡터양인데 스칼라와 벡터를 곱한 결과는 벡터이므로 선운동량은 벡터양이다. 이렇게 선운동량이라는 새로운 물리량을 정의하고 나서 두 가지 의문을 가질 수 있으리라고 생각한다. 하나는 잘 알고 있는 질량과 잘 알고 있는 속도를 곱 하여 선운동량이라는 새로운 물리량을 꼭 만들 필요가 있느냐는 것이고 다른 하나는 그러면 이 선운동량은 무엇을 나타내는 물리량이냐는 것이다. 첫 번째 의문에 대한 답은 다음과 같다. 속도는 움직이는 물체로부터 직관적으로 명확하게 측정될 수 있다. 그래서 속도가 무엇을 의미하는 물리량인지 바로 이해할 수가 있다. 그런 이유로 움직이는 물체에 대해 속도라는 물리량이 먼저 나오게 되었 지만, 알고 보니 속도보다는 선운동량이 더 기본이 되는 물리량이다. 그래서 질량과 속도를 곱하여 선운동량이 된다고 말하는 것보다 선운동량을 질량으로 나누면 속도 가 된다고 생각하는 것이 더 옳은 순서라는 것이 더 타당하다. 선운동량이 속도보다 더 기본적인 물리량이라고 말하는 이유는 선운동량은 보존될 수 있는 물리량이기 때 문이다. 보존되는 물리량이란 시간이 흐르더라도 바뀌지 않는 물리량을 말한다. 어떤 물리량이 시간이 흐르더라도 바뀌지 않는다고 말하면 그것은 자연법칙의 하나를 말 하는 셈인데, 그렇게 말한 자연법칙은 우리가 생각할 수 있는 가장 간단한 형태의 법 칙이다. 그래서 그렇게 표현할 수 있는 물리량이 그렇게 할 수 없는 물리량보다 더 기본적인 물리량이어야 하는 것이다. 이와 비슷한 이야기를 우리는 에너지에 대해 이 야기할 때도 언급하였었다. 에너지 보존법칙은 어떤 조건도 없이 항상 성립하기 때문 에 에너지란 물리량이 어떤 물리량보다도 더 기본적인 물리량이라고 할 수 있다. 선 운동량이 속도보다 더 좋은 물리량인 이유를 하나 더 말할 수도 있다. 여러 물체들이 운동하고 있을 때 각 물체의 선운동량을 모두 더하여 총선운동량을 계산할 수 있지 만 속도의 경우에는 그렇지가 못하다. 다시 말하면 여러 물체의 속도를 모두 더하여 총속를 정의할 수가 없다. 그런 양이 아무런 물리적 의미도 갖지 못하기 때문이다. 그러나 (19.7)식의 좌변 괄호 속에 나오는 양이 바로 여러 물체들의 선운동량을 모 두 더한 총선운동량이 된다. 두 번째 의문에 대한 답으로, 선운동량은 물체가 어느 정도로 격렬하게 운동하고 있느냐를 나타내는 양이다. 선운동량이 큰 물체의 경우에는 그 물체의 운동을 멈추게 하기가 어렵고 반면에 선운동량이 작은 물체의 경우에는 그 물체의 그 운동을 멈추 220 19. 선운동량 게 하기가 상대적으로 더 쉽다고 말할 수도 있다. 예를 들어, 트럭과 자전거가 모두 시속 10 킬로미터라는 똑같은 속도로 오고 있다고 하자. 자전거의 경우에는 내가 앞 에서 막고 못 가도록 할 수도 있겠지만 오고 있는 트럭 앞에서 내가 손으로 못 가게 막을 엄두를 내지 못할 것이다. 자전거의 질량에 비해 트럭의 질량이 무척 더 크기 때문에 그런 생각이 들게 된다. 이번에는 질량이 똑같은 탄환과 돌멩이를 비교하자. 누가 작은 돌멩이를 던지면 손으로 막을 수도 있다. 그렇지만 비록 질량은 돌멩이와 같다고 하더라도 탄환이 총구로부터 발사되면 그것을 손으로 막을 엄두를 내지 못한 다. 이 경우는 질량은 같지만 속도가 다르기 때문에 그렇게 생각하게 된다. 이와 같 이 운동이 얼마나 격렬하게 일어나는지는 속도에 의해서만 결정되지도 않고, 질량에 의해서만 결정되지도 않고, 이들 둘의 곱에 의해 결정됨을 알 수 있다. 좀 더 정확히 말하면 질량이 크고 속도가 느린 물체와 질량이 작고 속도가 빠른 물체가 있는데 이 들 둘의 곱이 같다면, 즉 두 물체의 운동량이 같다면, 두 물체의 운동을 멈추게 하는 데 정확히 동일한 노력이 필요하다. 이제 그림 19.4에 보인 것과 같은 여러 물체로 이루어 진 계를 생각하자. 이 그림에는 각 물체의 선운동량만을 표시하여 놓았다. 계에 속한 물체의 수가 개이고 각 물 체의 선운동량을 각각 ⋯ 라고 할 때, 그 계에 속 한 물체들의 총선운동량은 이들을 다 더한 것으로 (19.9) 와 같이 정의된다. 선운동량을 도입하고 (19.9)식과 같이 계의 총선운동량 를 정의하면 앞에서 계에 속한 물체들 그림 19.4 여러 물체 계의 선운동량 에 적용된 뉴턴의 운동방정식을 모두 더한 결과인 (19.7)식을 간단히 (19.10) 라고 쓸 수 있다. 이 식을 말로 설명한다면 계의 총선운동량이 시간에 대해 변하는 비율은 계의 각 물체에 작용하는 외력의 합과 같다고 할 수 있다. 선운동량이라는 물리량을 꼭 여러 물체를 기술하는 경우에만 이용해야 되는 것은 221 제7주 강의 아니다. 한 물체가 관심의 대상이라고 하더라도 선운동량의 개념을 도입하여 뉴턴의 운동방정식을 표현할 수 있다. 한 물체에 대한 뉴턴의 운동방정식을 보자. 시간이 흐 르더라도 물체의 질량이 결코 바뀌지 않는다면 물체의 질량을 미분 안으로 집어넣을 수가 있으므로 뉴턴의 운동방정식을 즉 (19.11) 라고 표현할 수 있다. 한 물체에 대한 뉴턴의 운동방정식인 (19.11)식을 보면 여러 물체로 이루어져 있는 계에 대한 운동방정식인 (19.10)식과 똑같다는 것을 알 수 있 다. 단지 한 물체에 대해서는 그 물체의 선운동량의 시간에 대한 변화량이 그 물체에 작용하는 힘의 합력과 같고 여러 물체 계에 대해서는 계의 총선운동량의 시간에 대 한 변화량이 계에 작용하는 외력의 합과 같다는 점을 유의하면 된다. (19.11)식은 선운동량이라는 새로운 물리량을 이용하여 뉴턴의 운동방정식을 다 시 표현한 것일 따름이다. 원래 알고 있던 뉴턴의 운동방정식인 F = ma 로부터 이 식을 유도하기 위하여 바뀌지 않는다고 가정한 질량을 시간에 대한 미분 안쪽으로 보내는 방법을 이용하였다. 그런데 놀라운 사실은, 질량이 바뀌지 않는다는 가정 아 래서 구한 새로운 형태의 운동방정식인 (19.11)식은 물체의 질량이 바뀔 경우에도 역시 성립한다는 것이다. 예를 들어, 트럭에 싣고 가는 모래가 트럭의 틈새를 통하여 끊임없이 흘러나오고 있으면 트럭의 질량이 계속 감소할 것이다. 이런 경우에 트럭에 뉴턴의 운동 방정식 F = ma 를 적용하자면 트럭의 질량이 계속해서 바뀌고 있기 때 문에 트럭의 질량 값으로 무엇을 대입하여야 할지 알 수 없게 된다. 그런데 (19.11) 식에서 주어진 선운동량을 이용하여 표현한 뉴턴의 운동방정식을 이용하면 아무런 어려움이 없다. 바로 이점이 또한 선운동량이란 물리량을 도입하여 뉴턴의 운동방정 식을 좀 더 일반적으로 성립할 수 있도록 만든 예가 된다. 또 다른 질량이 바뀌는 예 를 들어보자. 특수 상대성이론에 의하면 움직이는 물체는 더 빨리 움직일수록 물체의 질량이 증가한다. 뉴턴의 운동방정식을 선운동량을 이용하여 표현하면 그런 경우에 도 역시 잘 적용할 수 있다. (19.11)식이 편리하게 이용되는 경우가 또 있다. 이 식의 좌변은 선운동량의 미분 와 시간의 미분 사이의 비라고 해석할 수도 있다. 그래서 양변에 짧은 시간간격 를 곱하면 (19.11)식을 222 19. 선운동량 (19.12) 이라고 고쳐 쓸 수도 있다. 이 식의 좌변에 나온 물체에 작용하는 힘과 그 힘이 작용 한 시간간격의 곱인 를 충격량이라고 부른다. 그래서 (19.12)식은 물체에 작용 한 충격량은 그 물체의 선운동량의 변화량과 같다고 말한다. 예를 들어, 굉장히 빨리 들어오는 야구공을 타자가 힘껏 쳤다고 하자. 그러면 야구공은 타자 쪽으로 오던 방 향과는 반대 방향으로 날아가므로 타자가 야구공을 치기 전과 후에 야구공의 선운동 량 변화량은 매우 크다. 그 선운동량 변화량은 야구공에 가한 충격량과 같다. 또 다 른 예로, 포수가 야구공을 받을 때 클럽을 뒤로 빼면서 받는다. 그러면 야구공에 힘 을 가하는 시간간격이 길어지므로 작은 힘으로도 동일한 충격량을 얻을 수 있어서 손이 덜 아프게 야구공을 받게 된다. 예제 1 철수는 큐막대를 가지고 의 힘으로 당구공을 쳤는데, 힘이 작용한 시 간 간격은 이었다고 하자. 당구공의 질량이 이라면 철수가 당구 공을 친 뒤에 당구공이 움직이는 속력을 구하라. 철수가 당구공에 가한 충격량은 ⋅ 이다. 한편 당구공은 정지 상태에서 시작하여 운동량이 로 되었다면 당구공이 충격 량을 받은 뒤 선운동량 변화량은 이다. 그런데 (19.12)식에 의하여 당구공에 작용한 충격량은 당구공의 선운동량 변 화량과 같으므로 이고 따라서 당구공의 속력 는 223 제7주 강의 이다. ◆ 예 2 시속 로 달리고 있는 자동차의 브레이크를 밟아서 만에 정지하 게 되었다. 자동차의 질량이 이라고 할 때 브레이크를 밟으면서 자동차 에 수평방향으로 가한 평균 힘은 얼마인가? 길은 수평방향으로 곧게 나 있다고 가정하라. 역시 (19.12)식을 이용하는 문제이다. 문제에서 힘을 제외하고 시간간격과 질량 그리고 처음 속력과 나중 속력이 주어졌으므로 (19.12)식으로부터 브레이크에 작용 한 평균 힘은 ⋅ × × 이다. 여기서 답의 마이너스 부호는 브레이크가 가한 힘이 원래 자동차가 달리는 방 향과 반대 방향으로 작용되었음을 알려준다. ◆ 224 20. 질량중심 ∙ 여러 물체로 이루어진 계의 총선운동량은 계에 속한 물체들의 총질량이 질량중 심에 모여서 운동할 때의 선운동량과 같다. 질량중심을 정의하기까지의 과정을 설명할 수 있는가? ∙ 선운동량은 보존되는 물리량이기 때문에 중요하다. 선운동량 보존법칙은 뉴턴 의 운동방정식과 어떤 관계를 가지고 있으며 어떤 조건 아래서 성립하는가? ∙ 선운동량 보존법칙을 이용하면 쉽게 설명될 수 있는 현상에는 어떤 것들이 있는 지 찾아보자. 지난 19장에서 우리는 개의 물체로 이루어진 계에서 성립하는 뉴턴의 운동방정 식을 (19.7)에 의해 (20.1) 라고 쓸 수 있음을 알았다. 이 식에서 우변의 는 계에 속한 물체에 작용하는 외력 의 합이다. 이제 번째 물체의 속도 는 (20.2) 로 주어진다는 사실을 이용하고 질량 는 바뀌지 않는다고 가정하면 (20.1)식의 좌변을 라고 쓸 수 있다. 이제 (20.3)식의 우변 괄호 안에 포함된 것을 225 (20.3) 제7주 강의 (20.4) 이라고 대표하기로 하자. 여기서 우변의 은 계에 속한 물체들의 질량을 모두 더한 총질량으로 (20.5) 이고 따라서 우변의 은 계의 질량중심을 대표하며 (20.6) 라고 정의된다. 개의 물체로 이루어진 계에서 (20.6)식으로 주어지는 은 질량중 심이라고 불리는 특별한 위치를 대표하는데, 이 특별한 위치가 무엇을 의미하는지는 보기 위해 이 계에 대해 성립하는 뉴턴의 운동방정식인 (20.1)식에 (20.3)식과 (20.4)식을 대입하여 (20.1)식을 (20.7) 라고 표현하자. 이 식은 합력 를 받는 질량이 인 한 물체에 대한 운동방정식인 (20.8) 와 똑같은 형태이다. 한 물체에 대한 (20.8) 식에서 물체의 질량 대신에 계에 속 한 물체들의 총 질량 을 쓰고 물체에 작용하는 합력 대신에 계에 작용하는 외력의 합을 쓰면 (20.7)식이 된다. 이 결과는 무엇을 의미하는가? 여러 물체 계에 대해서 (20.7)식으로 표현된 결과는 여러 물체의 운동을 마치 한 물체의 운동처럼 기술할 수 있음을 의미한다. 여러 물체의 운동이 질량중심 좌표를 226 20. 질량중심 이용하면 한 물체의 운동처럼 기술할 수 있도록 바뀐 것이다. 그렇게 될 수 있었던 것은 (20.6)식으로 정의된 질량중심이라는 새로운 물리량을 찾아내었기 때문에 가 능하게 되었다. 이와 같이 새로운 물리량은 문제를 쉽고 간단하게 기술할 수 있게 해 준다. 새로운 자연법칙이 나온 것이 아니라 단순히 문제를 간단하게 설명할 수 있게 된 것이다. (20.7)식으로 표현된 결과를 말로 설명하면 다음과 같다. 어떤 계에 속한 여러 물 체가 운동할 때 그 계 전체의 운동이 질량중심의 운동으로 대표될 수 있는데, 이 질 량중심의 운동은 마치 계에 속한 모든 물체가 질량중심에 모여 만들어진 한 물체의 운동과 똑같이 운동한다. 이때 질량중심에 놓여있다고 생각하는 한 물체가 계에 작용 하는 외력의 합과 같은 힘을 받는다고 생각하면 된다. 이와 같이 질량중심을 이용하 면 계에 속한 여러 물체의 운동을 마치 한 물체의 운동을 기술하는 것과 똑같은 방법 으로 설명할 수 있게 된다. 예제 1 질량이 각각 , , 그리고 인 세 5 4 물체가 그림에 보인 것과 같이 놓여 있다. 이 세 물체의 질량중심을 대표하는 좌표와 3 2 좌표를 구하라. 1 0 0 12 3 4 5 6 7 질량중심을 표시하는 좌표를 구하려면 (20.6)식을 이용한다. (20.6)식의 양변에 서 각각 축 성분과 축 성분을 구하면 질량중심의 축 좌표인 과 축 좌표인 는 그리고 가 된다. 문제에서 총질량 은 이고 그림에 보인 좌표를 이용하면 질량중심의 좌표는 227 제7주 강의 × × × × × × 가 된다. ◆ 예제 2 그림과 같이 모 형 로켓이 발사된 뒤 포물선 궤도를 날아가 다가 최고점에서 로켓 질량의 3분의 1에 해 당하는 부분이 분리되 0 어 바로 연직 아래로 떨어졌다. 로켓의 나머지 부분은 발사지점으로부터 얼마나 먼 수평거리에 도달하였는가? 발사지점으로부터 최고점의 위치까지 수평거리는 이다. 로켓이 분리될 때 분리된 한 부분이 다른 부분에 작용하는 힘은 내력이다. 그러므 로 분리된 두 부분의 질량중심이 움직이는 모습은 로켓이 분리되지 않은 경우에 움 직이는 모습과 동일하다. 지상에서 중력만을 받고 포물선을 그리며 운동하는 물체가 발사지점으로부터 다시 지면에 떨어지는 위치까지의 수평거리는 최고점에 도달할 때 진행하는 수평거리의 두 배이다. 그러므로 그림에서 가 된다. 한편 최고점에서 로켓이 분리된 뒤에 분리된 두 부분은 서로 동일한 높이를 유지 하면서 떨어진다. 그리고 그림에서 은 분리된 두 부분의 질량중심이므로 질량중 심을 정의한 (20.6)식을 이용하여 ∴ 228 20. 질량중심 임을 알 수 있다. 즉 나머지 부분은 발사지점으로부터 인 위치에 떨어진다. ◆ 여러 물체 계에 대한 뉴턴의 운동방정식인 (20.1)식은 선운동량을 이용하면 (20.9) 라고 쓸 수 있다. 이 식 좌변에 나오는 는 (20.10) 로 주어지는 계의 총선운동량이고 우변의 는 계에 속한 물체에 작용하는 외력의 합이다. (20.9)식을 보면, 만일 우변에 나오는 외력의 합력인 가 0이면 어떻게 무 슨 일이 벌어질까라는 의문을 가질 수 있다. 상수 즉 변하지 않는 수를 미분하면 0이 라는 점을 잘 알고 있다. 그래서 (20.9)식에서 가 0이라면 총선운동량 를 시간 에 대해 미분한 것이 0이므로 총선운동량은 시간이 흐르더라도 바뀌지 않게 된다. 다 시 말하면 선운동량 보존법칙 : 일정 (20.11) 이라고 쓸 수 있으며 시간이 지나더라도 계의 총선운동량 는 일정하게 유지됨을 알 수 있다. 이것을 선운동량 보존법칙이라고 부른다. 자연에 존재하는 가장 간단한 형태의 자연법칙이 바로 이렇게 보존법칙의 형식으로 주어지는 것이다. 그래서 보존 법칙으로 표현되는 물리량이 물리에서 중요한 위치를 차지한다. 그런데 18장에서 다 룬 다른 보존법칙인 에너지 보존법칙은 아무런 조건도 없이 항상 성립하였지만 그러 나 여기서 배운 선운동량 보존법칙은 외력의 합이 0이라는 조건 아래서만 성립한다 는 점을 명심하여야 한다. 선운동량 보존법칙인 (20.11)식은 계가 단지 한 물체만으로 이루어져 있을 때도 역시 성립한다. 한 물체로 이루어진 계에서 총선운동량은 그 물체의 선운동량이며 그 물체에 작용하는 힘은 모두 외력이므로 외력의 합은 바로 그 물체에 작용하는 모든 힘의 합이 된다. 따라서 단 한 물체로 이루어진 계에 대해서는 (20.11)식을 만일 계 229 제7주 강의 에 작용하는 모든 힘의 합력이 0이라면 (20.12) 일정 이라고 쓸 수 있다. 이것은 별다른 법칙이 아니라 우리가 이미 알고 있는 내용을 달 리 표현했을 뿐이다. (20.12)식은 물체에 작용하는 힘들을 모두 더한 합력이 0이면 물체는 등속도 운동을 한다는 관성의 법칙과 동일한 내용이다. 힘을 받지 않는 물체 또는 작용한 힘들의 합력이 0인 물체의 속도는 바뀌지 않는다. 한 물체의 경우 속도 가 바뀌지 않으므로 그 속도에 바뀌지 않는 질량을 곱하면 역시 바뀌지 않을 것은 뻔 하고 그래서 한 물체의 경우에는 선운동량 보존법칙은 관성의 법칙과 동일한 내용을 담고 있다. 선운동량 보존법칙이 놀라운 결과를 주는 것은 여러 물체로 이루어진 계에 적용될 때이다. 이 계에 속한 물체에 작용하는 외력이 없으면, 그러니까 계에 속한 물체들 사이의 상호작용에 의해 서로 힘을 작용하는 내력만 존재하면, 또는 계에 속한 물체 에 작용하는 외력의 합이 0이면, 계의 총선운동량은 일정하게 보존된다는 것이 선운 동량 보존법칙이 말해주는 내용이다. 이 결과의 놀라운 점은 만일 계의 각 물체에 작 용하는 외력이 없거나 외력의 합이 0이면 각 물체의 선운동량은 바뀌더라도 총선운 동량은 바뀌지 않는다는 점이다. 각 물체의 선운동량은 내력에 의해서 바뀔 수가 있 다. 그러나 한 물체의 선운동량이 어떤 방향으로 증가하면 다른 물체의 선운동량이 그 방향으로 감소하거나 또는 반대방향으로 증가하는 방법 등으로 총 선운동량은 바 뀌지 않고 일정하게 유지된다. 선운동량 보존법칙은 우리 주위에서 관찰되는 많은 현상을 간단히 설명하는데 자 주 활용된다. 가장 많이 이야기되는 경우가 충돌 문제이다. 두 물체가 충돌하는 경우 에 충돌하는 두 물체를 계로 생각하자. 두 물체가 충돌하면서 주고받는 힘은 명백히 내력이다. 그래서 두 물체 사이에 충돌하면서 작용하는 힘 이외에 다른 힘이 작용하 지 않거나 다른 힘이 작용하더라도 그 힘들의 합이 0이면 충돌하는 두 물체에 대해 서는 선운동량 보존법칙이 성립한다. 가장 흔히 볼 수 있는 예가 당구 게임이다. 두 당구공이 충돌할 때는 한 당구공이 다른 당구공에 작용하는 내력 이외에도 외력으로 중력과 수직항력이 작용하지만 중력과 수직항력을 합하면 항상 0이므로 당구공의 충 돌 문제에서는 선운동량 보존법칙이 성립한다. 여러분은 당구를 치면서 본능적으로 선운동량 보존법칙을 적용하고 있다. 230 20. 질량중심 군대에 다녀온 학생이라면 총을 쏠 때 반동(反動)을 경험했을 것이다. 이것도 선 운동량 보존법칙을 이용하면 간단히 설명된다. 총을 쏘기 전에 총신과 총알은 움직이 지 않고 있으므로 총신과 총알로 이루어진 계의 총선운동량은 0이다. 총을 쏘면 총알 이 앞으로 나가는데 이 총알의 선운동량을 상쇄해 주도록 총신이 반대방향으로 나가 지 않으면 안 된다. 단지 총신의 질량이 총알의 질량에 비해 매우 크므로 총알의 선 운동량과 총신의 선운동량이 크기는 갖고 방향이 반대이기 위해서는 총신이 총알과 반대방향으로 움직이는 반동의 속력은 총알의 속력에 비해 매우 작게 된다. 이 총신 의 속도가 바로 반동 속도이다. 또한 반동 속도를 감소시키기 위하여 총신을 어깨에 밀착시킨다. 그러면 총신과 몸이 함께 움직이므로 반동하는 질량이 더 커지고 따라서 반동 속도는 작아진다. 로켓의 발사도 선운동량 보존 법칙으로 설명하면 간단하다. 로켓 발사 전에는 아 무 것도 움직이는 것이 없으므로 총 선운동량은 0이다. 로켓이 발사되면 연료를 분출 한다. 이 연료의 선운동량을 상쇄하여 총 선운동량을 0으로 만들기 위해 로켓이 위로 올라가는 것이다. 예제 3 전투기가 추락하여 낙하산을 타고 비행기로부터 탈출한 조종사가 표면이 단단히 얼은 호수 위로 내렸다고 하자. 바람도 불지 않고 호수 표면이 너무 미끄 러워 움직일 수 없다면 조종사는 어떻게 호수 바깥으로 나올 수 있겠는가? 매우 미끄럽다면 아무리 걸으려고 하든지 아니면 아무리 발버둥 쳐도 조종사는 제 자리에서 한 걸음도 더 나오지 못하고 그 자리에 그대로 있게 된다. 다행이 조종서가 선운동량 보존법칙을 알고 있다면 한 가지 방법은 있다. 낙하산을 둘둘 말아서 뭍과 가까운 쪽의 반대 방향으로 던지면 된다. 낙하산을 한쪽 방향으로 던지기 전에는 낙하산과 조종사가 모두 정지해 있으므로 이 계의 총선운동량은 0이다. 이제 조종사가 낙하산을 한쪽 방향으로 힘껏 던지면 조 종사가 낙하산에 작용한 힘이나 그 힘의 반작용인 낙하산이 조종사에 작용한 힘은 모두 내력이다. 따라서 조종사와 낙하산으로 이루어진 계의 운동에는 선운동량 보존 법칙이 성립된다. 그러므로 낙하산을 한쪽 방향으로 힘껏 던지면 조종사는 낙하산의 선운동량과 크기는 갖고 방향은 반대인 선운동량을 가지고 움직이게 된다. 만일 조종 231 제7주 강의 사와 빙판 사이에 마찰이 전혀 없다면 조종사는 뭍에 도달할 때까지 일정한 속도로 움직일 것이다. ◆ 예제 4 잔잔한 호수 위에 움직이지 않고 떠 있는 뗏목의 한쪽 끝에 영희가 서 있 다. 이제 영희가 한 쪽으로 천천히 걷는다고 하면 뗏목은 어떻게 움직일까? 뗏목 의 질량은 이고 영희의 질량은 이며 영희가 뗏목 위에서 잔잔한 물 에 대 시속 의 속력으로 걷는다고 할 때 뗏목이 물을 흘러가는 속력을 구 하라. 영희가 뗏목 위를 걸으면서 뗏목에게 작용하는 힘이나 뗏목이 영희에게 작용하는 힘은 영희와 뗏목을 계로 생각하면 내력이다. 그러므로 뗏목과 물 사이의 마찰력을 무시할 수 있다면 영희와 뗏목의 총선운동량은 보존된다. 영희가 걷기 전에는 영희와 뗏목이 모두 정지해 있으므로 총선운동량 가 이다. 영희와 뗏목의 질량을 각각 과 라 하고 영희가 움직이는 속도를 그리 고 뗏목이 움직이는 속도를 라고 하면 영희가 걷고 있을 때 영희와 뗏목의 총선운 동량 ′ 은 영희의 선운동량과 뗏목의 선운동량을 더하여 ′ 가 된다. 이제 선운동량 보존법칙을 적용하면 ′ 이므로 ∴ × 가 된다. 즉 뗏목이 움직이는 속력은 시속 이다. 위의 결과에서 마이너스 부호 는 뗏목이 움직이는 방향은 영희가 걷는 방향과 반대임을 가리킨다. ◆ 232 21. 충돌문제 ∙ 선운동량 보존법칙이 성립하는 대표적인 경우가 충돌문제이다. 충돌은 탄성충 돌과 비탄성충돌 그리고 완전 비탄성충돌로 나누는데 이렇게 나누는 기준은 무 엇인가? ∙ 직선상에서 질량이 동일한 두 물체가 탄성충돌하면 속도 교환이 일어난다. 우리 주위에서 이렇게 속도 교환이 일어나는 현상의 예를 들어보라. ∙ 당구 게임은 대표적인 2차원 충돌문제이다. 당구 게임이 재미있는 이유가 무엇 인지에 대해 충돌문제의 관점에서 토의해보자. 선운동량 보존법칙이 성립하는 대표적인 경우로 충돌문제가 있다. 이상적인 충돌 문제는 두 물체가 충돌하기 전에는 아무런 힘도 받지 않고 일정한 속도로 진행하다 가 짧은 시간간격 동안 힘을 주고받으며 충돌하고 나서 다시 아무런 힘도 받지 않고 일정한 속도로 진행하는 문제를 말한다. 두 충돌하는 물체를 계로 정하면 두 물체가 충돌하면서 서로 작용하는 힘은 명백히 내력이므로 충돌문제에서는 반드시 선운동량 보존법칙이 성립한다. 충돌문제에서는 충돌 전 두 물체의 속도인 과 가 주어지고 충돌이 일어난 후 두 물체의 속도인 ′ 과 ′ 을 구하는 것이 목표이다. 충돌문제가 아닌 다른 역학 문 제에서는 문제에 나오는 물체에 작용하는 힘이 주어지고 그 힘에 의해서 물체들이 어떻게 운동하는지를 구하게 되어 있다. 그러나 충돌문제에서는 충돌하는 동안 구체 적으로 어떤 힘이 작용하는지에 대해서는 별 관심을 갖지 않는다. 단지 충돌문제에서 는 항상 선운동량 보존법칙이 성립한다는 사실 하나만으로 문제의 많은 부분을 해결 한다. 충돌은 다시 탄성충돌과 비탄성충돌로 나뉜다. 탄성충돌은 충돌 전 두 물체의 총 운동에너지와 충돌 후 두 물체의 총운동에너지가 동일한 경우이고 비탄성 충돌은 동 일하지 않은 경우 즉 운동에너지가 보존되는 경우이다. 만일 두 물체가 충돌할 때 운 동에너지의 일부가 열에너지로 손실되면 운동에너지가 보존되지 않는다. 233 제7주 강의 운동에너지의 일부가 손실되는 비탄성충돌의 경우에 손실되는 에너지가 얼마인지 는 충돌하는 두 물체의 성질에 따라 결정되므로 비탄성충돌에서 손실되는 운동에너 지의 비율을 일반적으로 말할 수는 없다. 그러나 비탄성충돌에 의해서 운동에너지가 장 많이 손실되는 경우에 대해서는 미리 이야기할 수 있다. 비탄성충돌 중에서 특 히 운동에너지의 손실이 최대로 일어나는 경우를 완전 비탄성충돌이라 한다. 충돌 전 두 물체의 총운동에너지 중에서 얼마만큼이 손실되어야 완전 비탄성충돌 이라고 말할 수 있을까? 언뜻 생각하면 충돌 전 총운동에너지가 모두 다 손실되어야 완전 비탄성충돌이라고 할 수 있을 것 같이 생각되기도 한다. 충돌 전 두 물체의 총 운동에너지가 모두 다 손실되어 충돌 후 총운동에너지가 0이 된다면 충돌과 함께 두 물체는 움직이지 않고 정지해 있어야 하는데 그것은 가능하지 않은 일이다. 탄성충돌 뿐 아니라 비탄성충돌 그리고 완전 비탄성충돌에서도 선운동량은 꼭 보존되어야 한 다. 그래서 만일 충돌 전 총선운동량이 0이 아니라면 충돌 후 총선운동량도 결코 0이 될 수 없고 그렇다면 충돌 후 두 물체가 모두 정지해 있는 것은 가능하지 않다. 충돌과 함께 운동에너지의 손실이 최대인 완전 비탄성충 돌은 충돌 후 두 물체가 하나 로 결합하여 움직이는 경우에 일어난다. 이때가 선운동량 보 존법칙을 만족하면서 운동에너 지의 손실이 최대로 발생하는 경우이다. 그림 21.1에 보인 그림 21.1 완전 비탄성충돌 것과 같이 질량이 각각 과 인 두 물체가 충돌 전에 각 각 속도 과 로 움직이다가 충돌 후 결합하여 속도 로 움직인다고 하자. 그러 면 이때 성립하는 선운동량 보존법칙을 ∴ (21.1) 라고 쓸 수 있다. 따라서 완전 비탄성충돌 후 결합된 두 물체의 속도 는 오직 선운 동량 보존법칙 만에 의해서 (21.1)식의 나중 식에 의해 결정된다. 234 21. 충돌문제 완전 비탄성충돌에서는 충돌 후 두 물체가 움직이는 속도가 (21.1)식에 의해 결정 되므로 충돌 전과 충돌 후 두 물체의 총운동에너지 와 ′ 를 계산할 수 있으며 그 결과는 , (21.2) ⋅ ′ 이다. 한 가지 예로 충돌 전에 두 번째 물체가 정지해 있어서 인 경우를 보자. 그러면 총운동에너지의 변화량 ′ 는 ′ (21.3) 로 항상 0보다 작아서 총운동에너지가 손실됨을 알 수 있다. 예제 1 그림에 보인 것과 같은 완전 비탄성충돌을 이용하면 빨리 움직이는 탄환의 속도를 측정할 수 있다. 줄에 매달린 질량이 인 나무토막을 향하 여 질량이 인 탄환을 발사하 였더니 탄환이 박힌 나무토막 은 높이 만큼 위로 올라갔다. 탄환의 속도 를 구하라. 탄환이 나무토막에 박힌 직후 탄환과 나무토막의 속도 는 (21.1)식에 의해 235 제7주 강의 가 된다. 한편 탄환이 박히고 나서 탄환과 나무토막은 중력을 받으며 위로 올라간다. 중력은 보존력이므로 이 운동에는 역학적 에너지 보존법칙을 적용할 수 있다. 나무토 막이 움직이 않은 위치를 중력 퍼텐셜에너지의 기준점으로 정하면 탄환이 나무토 막에 박힌 직후에 탄환과 나무토막의 역학적 에너지 는 이고 탄환과 나무토막이 최고점에 도달하였을 때 역학적 에너지 ′ 은 ′ 이다. 여기서는 최고점에서 탄환과 나무토막의 속도가 0임을 이용하였다. 이제 역학 적 에너지가 보존되는 것을 이용하면 ′ → ∴ 가 된다. ◆ 충돌문제에서는 두 물체가 충돌 전에 움직이던 속도 과 를 알고 충돌 후에 두 물체가 움직이는 속도 ′ 과 ′ 을 구하는 것이 목표이다. 여기서는 우선 그림 21.2 에 보인 것과 같은 1차원 충돌문제를 보자. 1차원 충돌문제란 두 물체가 모두 직선 위에서 움직이다가 충돌한 뒤 역시 충돌 전과 동일한 직선 위에서 움직이는 경우를 말한다. 충돌문제에서는 충돌하는 짧 은 시간간격 동안 두 물체 사 충돌 전 이에 어떤 힘이 어떻게 작용하 였는지에 대해 별 관심을 보이 지 않는다. 다만 이들 힘은 내 력이므로 충돌문제에서는 반드 충돌 후 ′ 시 선운동량 보존법칙이 성립 그림 21.2 1차원 충돌문제 236 ′ 21. 충돌문제 한다는 사실을 이용한다. 그림 21.2에 보인 것과 같은 1차원 충돌문제의 경우에 충돌 후 두 물체의 속도인 ′ 과 ′ 을 구해보자. 선운동량 보존법칙을 식으로 쓰면 ′ ′ (21.4) 이 된다. 그런데 우리가 구할 것은 ′ 과 ′ 두 가지이기 때문에 (21.4)식 하나만 가지고는 문제를 풀 수가 없다. 필요한 다른 하나의 식은 이 충돌이 탄성충돌인지 또 는 비탄성충돌인지를 알아야 나온다. 만일 탄성충돌이라면 운동에너지가 보존되므로 ′ ′ (21.5) 이 성립한다. 그러므로 (21.4)식과 (21.5)식을 연립으로 풀면 충돌 후 두 물체의 속 도인 ′ 과 ′ 를 구할 수 있다. 그리고 만일 이 충돌이 완전 비탄성충돌이라면 충돌 후 두 물체의 속도가 같으므로 (21.4)식 하나만으로도 문제가 해결된다. 그러나 에 너지 손실이 얼마인지 모르는 비탄성충돌의 경우에는 다른 정보가 또 주어지지 않는 한 문제를 풀 수가 없다. 고등학교에서는 두 물체의 충돌문제를 다룰 때 충돌 전 두 물체의 상대속도와 충 돌 후 두 물체의 상대속도 사이의 비에 의해 ′ ′ (21.6) 로 정의되는 를 충돌의 반발계수라고 정의하고, 일 때는 완전 탄성충돌, 그리 고 일 때를 탄성충돌, 마지막으로 일 때를 비탄성충돌이라고 부른 것 을 기억할지도 모른다. 그러나 우리는 탄성충돌과 비탄성충돌이 운동에너지가 보존 되는지 또는 보존되지 않는지와 같은 좀 더 기본적인 기준에 의해 탄성충돌과 비탄 성충돌을 나누었으므로 구태여 반발계수를 도입할 필요는 없다. 1차원 탄성충돌의 경우에 (21.4)식과 (21.5)식을 연립으로 푸는 문제가 그렇게 쉽지만은 않다. 이 문제가 어려운 이유는 (21.5)식이 2차 방정식이기 때문이다. 그 런데 (21.4)식을 237 제7주 강의 (21.7) ′ ′ 와 같이 꾸어 쓰고 (21.5)식을 (21.8) ′ ′ 라고 바꾸어 쓰면 문제가 쉽게 해결된다. 우선 (21.8)식을 (21.7)식으로 나누면 ′ ′ ′ ′ → (21.9) 가 된다. 그 다음에 (21.7)식의 양변을 으로 나누고 정리하면 ′ ′ (21.10) 를 얻는다. 그러고 마지막으로 (21.9)식에 을 곱한 다음 (21.10)식과 더하면 ′ (21.11) ∴ ′ 를 얻는다. 그리고 이 결과를 (21.9)식에 대입하면 ′ 은 ′ ′ (21.12) ∴ ′ 가 됨을 알 수 있다. (21.11)식과 (21.12)식은 1차원 탄성충돌 문제에 대한 가장 일 반적인 풀이이다. 충돌 후 두 물체의 속도인 ′ 과 ′ 의 내용을 보면 답이 맞았다고 느낄 수 있을 만큼 아주 아름다운 대칭적 표현으로 되어 있음을 느끼게 된다. 실제 충돌문제에서는 대부분 표적이라고 불리는 한 물체가 정지해 있고 표적을 향 하여 입사체를 발사하여 충돌이 일어난다. 그런데 11장에서 자세히 설명된 것처럼 238 21. 충돌문제 물체의 속도란 항상 그 속도를 측정하는 기준에 대한 상대속도이다. 그래서 충돌문제 에서 표적이 정지해 있다는 말은 표적의 속도가 0이라고 기술되는 기준계를 이용한 다는 말과 똑같은 의미이다. 이렇게 표적이 정지해 있다고 기술되는 기준계를 특별히 실험실 기준계라고 부른다. 미시세계의 기본입자를 탐구하는 데는 충돌실험이 자주 이용되는데, 그런 실험은 실험실 기준계를 이용하여 기술되는 것이 보통이다. 실험실 기준계에서는 그림 21.2에서 이 된다. 그러므로 실험실 기준계에서 충돌 후 입사체의 속도 ′ 과 표적의 속도 ′ 은 (21.11)식과 (21.12)식에서 구한 결과에 를 대입하여 실험실 좌표계 : ′ ′ (21.13) 임을 알 수 있다. 충돌문제를 분석하는 데는 실험실 좌표계보다도 더 편리한 좌표계로 질량중심 좌 표계가 있다. 질량중심 좌표계는 충돌하는 두 물체의 질량중심이 정지해 있는 것으로 기술되는 좌표계이다. 우리가 이미 20장에서 자세히 공부한 것처럼, 어떤 계의 총질 량이 질량중심에 놓여 질량중심과 함께 움직인다면 바로 그 총질량의 선운동량은 계 의 총선운동량과 같음을 알고 있다. 그래서 질량중심 좌표계를 이용하여 충돌문제를 기술하면 충돌 전과 충돌 후 두 물체의 총선운동량이 0이다. 그러므로 충돌문제를 분 석하는데 아주 편리하게 이용된다. 충돌문제를 이렇게 여러 가지 좌표계에서 기술할 수 있지만, 어떤 좌표계를 이용 하더라도 물리적인 결과는 달라지지 않는다. 따라서 다루고자 하는 문제에서 구하는 것이 무엇이냐에 따라 문제를 해결하는데 가장 편리하다고 판단되는 좌표계를 골라 서 사용하면 된다. 1차원 충돌문제의 결과에서 특별한 경우에 어떤 일이 벌어지는지 살펴보자. 특별 한 경우란 (i) 두 질량이 같아서 인 경우, (ii) 두 질량 중에서 하나가 다른 하나보다 훨씬 더 커서 ≪ 또는 ≫ 인 경우 등을 들 수 있다. 먼 저 두 질량이 같은 경우를 보자. (21.11)식과 (21.12)식으로 주어진 결과에 두 질량 이 같다는 조건인 를 대입하면, 충돌 후 두 물체의 속도인 ′ 과 ′ 는 ′ ′ (21.14) 239 제7주 강의 이 된다. 이것은 충돌 후 첫 번째 물체의 속도 ′ 는 충돌 전 두 번째 물체의 속도 와 같고 충돌 후 두 번째 물체의 속도 ′ 은 충돌 전 첫 번째 물체의 속도 과 같다 는 것을 이야기해 준다. 이런 결과를 속도 교환이라고 부른다. 1차원 충돌문제에서 두 물체가 탄성충돌을 할 때 만일 두 물체의 질량이 같다면 항상 속도 교환이 일어난 다. 속도 교환이 일어나는 현상을 당구 게임에서 종종 관찰할 수 있다. 정지해 있는 빨 강공을 흰공으로 힘껏 때리면 어떤 경우에는 충돌과 함께 흰공이 원래 빨강공이 있 던 위치에서 멈추고 빨강공만 앞으로 진행하는 것을 볼 수 있다. 이때 충돌 수 빨강 공이 앞으로 나가는 속도는 충돌 전 흰공이 달려온 속도와 똑같다. 이것은 두 공이 정면으로 충돌하여 1차원 탄성충돌이 일어났으며 빨강공과 흰공의 질량이 같기 때문 이다. 당구 게임에서 관찰되는 속도 교환과 비 슷한 현상을 그림 21.3에 보이 실험기구에 서도 볼 수 있다. 이 실험기구에는 질량이 동일한 금속구들이 가벼운 실에 의해 매달 려 있다. 그림에 보인 것과 같이 만일 왼쪽 에서 금속구 두 개를 들었다가 가만히 놓으 그림 21.3 속도 교환을 보여주는 장치 면 오른쪽에서 금속구가 두 개만 위로 올라 간다. 만일 왼쪽에서 금속구를 한 개만 들었다가 가만히 놓으면 오른쪽에서는 금속구 가 하나만 위로 올라간다. 이것은 금속구들이 충돌하는 순간 1차원 탄성충돌이 일어 나 속도가 교환되기 때문이다. 다음으로는 1차원 탄성충돌 문제에서 ≪ 인 경우를 살펴보자. 이 경우에 어 떤 일이 벌어지는지를 알아보려면 (21.11)식과 (21.12)식으로 주어진 결과의 우변 에 나오는 분자와 분모를 모두 로 나누고 → 으로 보내면 되는데 그렇게 한 결과로 ′ (21.15) ′ 를 얻는다. 이 결과를 해석하기 위해서 훨씬 더 질량이 큰 표적인 가 원래 정지해 있어서 인 경우를 보자. 그러면 질량이 큰 표적인 는 충돌 후에도 여전히 240 21. 충돌문제 정지해 있고, 질량이 작은 입사체인 은 속도가 으로 표적을 향해 달려오다가 충 돌 후에는 ′ 인 속도로 움직이는 것을 알 수 있다. 다시 말하면, 충돌 후에 은 충돌 전과 동일한 빠르기로 방향을 바꿔서 멀어져 간다. 이것은 움직이지 않는 벽에 공을 부딪쳤을 때 공이 벽과 탄성충돌을 한다면 동일한 빠르기로 튕겨져 나간 다고 직관적으로 알 수 있는 결과와 동일한 것이다. 이번에는 마지막으로 표적인 가 오히려 입사체인 보다 질량이 훨씬 더 작아 서 ≫ 인 경우를 보자. 이 경우에 어떤 일이 벌어지는지를 알아보려면, 전과 마찬가지로, (21.11)식과 (21.12)식으로 주어진 결과의 우변에 나오는 분자와 분모 를 모두 으로 나누고 → 으로 보내면 되는데, 그렇게 한 결과로 ′ (21.16) ′ 를 얻는다. 이 결과는, 우리가 어렵지 않게 예상할 수 있는 것럼, 만일 표적의 질량 에 비해 입사체의 질량 이 매우 크다면 충돌 후 질량 의 속도 ′ 은 충돌 전 의 속도 과 같다는 점을 알려준다. 그런데 질량이 매우 큰 입사체가 질량이 매우 작은 표적과 충돌한다면 충돌 후 표적의 운동은 어떻게 될까? (21.16)식은 흥 미롭게도 충돌 전 표적이 정지해 있다고 할 때 충돌 후에는 입사체의 속도의 두 배의 속도로 도망간다고 말해준다. 예제 2 마찰이 없는 수평면에서 질량이 인 물체가 의 속력으로 달려 와 정지해있는 질량이 인 물체와 충돌한다. 충돌 후에 질량이 인 물체 는 두 물체를 잇는 직선상에서 오던 방향과 반대방향을 향하여 의 속력으 로 움직인다면 원래 정지해 있던 질량이 인 물체는 충돌 후에 어느 방향을 향하여 얼마의 속력으로 움직이겠는가? 이 충돌은 탄성충돌인가, 비탄성충돌인 가, 아니면 완전 비탄성충돌인가? 만일 비탄성충돌이라면 손실된 에너지는 몇 인가? 충돌문제에서는 선운동량 보존법칙이 반드시 성립한다. 이 문제에서 충돌 전 총선 운동량 는 × × 241 제7주 강의 이고 충돌 후 총 선운동량 ′ 은, 정지해 있던 물체가 충돌 후 로 움직인다면 ′ × × 이다. 그러므로 선운동량 보존법칙에 의해서 ′ ∴ 가 된다. 다시 말하면 원래 정지해 있던 물체는 충돌 전 질량이 인 물체가 움직 이던 방향과 동일한 방향을 향하여 의 속력으로 움직인다. 이 충돌이 완전 비탄성충돌은 아니다. 오직 충돌 후에 두 물체가 결합하여 움직이 는 경우에만 완전 비탄성충돌이기 때문이다. 이제 이 충돌이 탄성충돌인지 비탄성충 돌인지 구분하기 위하여 충돌 전 총운동에너지 와 충돌 후 총운동에너지 ′ 을 계 산해 보자. 위의 결과로부터 와 ′ 은 각각 × × ′ × × 임을 알 수 있다. 이처럼 총운동에너지가 감소하였으므로 이 충돌은 비탄성충돌이며 이 충돌에서 손실된 운동에너지는 ′ 이다. ◆ 지금까지는 1차원 충돌문제를 공부하였다. 그러면 2차원 충돌문제는 어떻게 다룰 까? 그림 21.4에 2차원 충돌문제의 예를 그려 놓았다. 문제를 간단하게 만들기 위하 ′ 충돌 후 충돌 전 그림 21.4 2차원 충돌문제 242 ′ 21. 충돌문제 여 충돌하는 두 물체 중에서 표적이 정지해 있어서 인 경우로 한정해 살펴보 자. 이렇게 한정하는 것이 실제로는 제한을 가하는 것도 아니다. 우리가 잘 아는 것 처럼, 물체의 속도란 무엇을 기준으로 말하느냐에 따라 결정되며 기준을 무엇으로 하 느냐에 따라 물리적 내용이 결코 바뀌지 않는다. 그래서 만일 어떤 기준계에서 표적 이 인 속도로 움직이고 있다면 그 기준계에 대해 상대적으로 인 속도로 움직이 는 기준계에서 표적은 정지해 있게 된다. 그런 기준계를, 앞에서 설명한 것처럼, 실험 실 좌표계라고 한다. 다시 말하면 두 물체 중에서 한 물체가 정지해 있는 기준계를 선정할 때 어떤 제한을 가한다고 보기보다는 단순히 편리한 기준계를 선정한다고 보 면 된다. 그리고 이렇게 실험실 좌표계를 선정하였을 때 충돌 전에 정지해 있는 물체 를 표적이라 부르고 움직이는 물체를 입사체라고 부른다. 그림 21.4에는 실험실 좌표계에서 2차원 충돌문제를 그려놓았다. 충돌 전에 질량 이 인 표적은 정지해 있어서 이고 질량이 인 입사체는 의 속도로 표 적을 향해 움직인다. 충돌 뒤에 입사체는 원래 입사체가 진행한 방향과 의 각을 이 루며 ′ 의 속도로 진행하고 표적은 원래 입사체가 진행한 방향과 의 각을 이루며 ′ 의 속도로 진행한다. 이러한 2차원 충돌문제에서도 물론 선운동량 보존법칙이 성 립하여 충돌 전의 총선운동량 와 충돌 후의 총선운동량 ′ 은 같아야 한다. 또한 총선운동량은 벡터양이기 때문에 각 성분별로 선운동량이 보존된다. 그림 21.4에서 입사체가 진행하는 방향을 방향이라고 하고 입사체가 진행하는 방향과 수직인 위쪽 방향을 방향이라고 하면 2차원 충돌문제에서 선운동량 보존법칙을 축 방향 성분 : ′ ′ 축 방향 성분 : ′ ′ (21.17) 라고 쓸 수 있다. 2차원 충돌문제에서는 충돌 전 입사체와 표적의 속도가 주어지고 충돌 후 입사체 와 표적의 속도를 구하는 것이 목표이다. 그러므로 (21.17)식에서 충돌 뒤 입사체와 표적의 속력인 ′ 과 ′ 그리고 입사체와 표적이 충돌 전 입사체가 진행하던 방향과 이루는 각인 과 를 구해야 한다. 그러나 (21.17)식에 나온 선운동량 보존법칙 은 단지 두 개의 식만을 제공하고 우리가 구해야 할 것은 네 가지 양이므로 아직 문 제를 해결할 수가 없다. 그림 21.4에 보인 2차원 충돌문제에서 만일 완전 비탄성충돌이 일어난다면 충돌 243 제7주 강의 후 두 물체는 하나로 결합되어 진행한다. 그러면 선운동량 보존법칙에 의해서 이렇게 결합된 물체는 반드시 원래 입사체가 움직인 방향과 동일한 방향으로 진행하여야만 한다. 다시 말하면 완전 비탄성충돌은 항상 1차원 문제이다. 그리고 만일 그림 21.4 에 보인 2차원 충돌문제가 탄성충돌이라면 운동에너지 보존법칙이 적용됨으로 ′ ′ (21.18) 가 성립하여야 한다. 그런데 2차원 충돌문제에서는 탄성충돌이라고 하더라도 선운동량 보존법칙에서 성립하는 식 두 개와 운동에너지 보존법칙에서 성립하는 식 한 개 등 적용할 식이 모 두 세 개뿐이지만 우리가 구해야 할 양들은 ′ , ′ , , 그리고 등 네 가지 이다. 그러므로 이들 중에서 어느 한 가지가 다른 방법에 의해 정해져야만 2차원 충돌문제 가 해결될 수 있다. 바로 이 사실이 당구 게임이 재미있도록 만들어 준다. 만일 흰공 을 빨간공의 정면에 충돌시킨다면 질량이 동일한 두 물체의 1차원 탄성충돌이 되어 속도 교환이 일어난다. 그러나 흰공이 빨간공과 충돌할 때 접촉되는 부분이 약간이라 도 정면에서 비껴져 있다면 2차원 탄성충돌 문제가 되며 그 미세한 차이에 의하여 충돌이 일어나는 두 각 과 가 결정되고 따라서 흰공을 빨간공에 동일한 방법을 충돌시켰다고 생각하 있을지라도 충돌 뒤에 흰공과 빨간공이 진행하는 모습은 무 수히 다양한 방법으로 나타난다. 244 ...
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