8주강의

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Unformatted text preview: 제8주 강의 롤러코스터 우리는 그동안 일정한 힘을 받는 물체의 운동, 물체의 위치에 따라 변하는 힘을 받 는 물체의 운동, 여러 물체의 운동 등을 어떻게 기술하는지에 대해 배웠습니다. 물체 가 움직이고 있더라도 받는 힘이 일정하면 뉴턴의 운동방정식에 의해서 그 물체는 등가속도 운동을 한다는 것을 알았습니다. 그런 경우에는 단순히 물체가 받는 힘을 그 물체의 질량으로 나누어 물체의 가속도만 구하면 되었습니다. 가속도만 알면 등가 속도 운동은 다 해결된 것이나 마찬가지이기 때문입니다. 물체의 위치에 따라 변하는 힘을 받는 물체의 운동을 기술하기 위해 2차 미분방정식의 형태로 된 뉴턴의 운동방 정식을 직접 푸는 문제는 그렇게 쉽지 않습니다. 그런데 우리는 일과 운동에너지라는 물리량을 도입하고 뉴턴의 운동방정식을 일-에너지 정리로 표현하면 좋다는 것을 알았습니다. 그러면 문제가 쉽게 해결되었습니다. 특히 물체에 작용하는 힘이 보존력 이라면 그 힘에 대응하는 퍼텐셜에너지를 정의할 수 있고 그렇게 하면 일-에너지 정 리는 바로 역학적 에너지 보존법칙이 되는 것도 알았습니다. 그리고 바로 지난주에는 서로 상호작용하는 여러 물체로 구성된 계의 운동을 기술 하는 방법을 배웠습니다. 그런 경우에 뉴턴의 운동방정식을 직접 풀려면 연립 2차 미 분방정식을 풀어야 하는데 쉬운 일이 아닙니다. 그런데 이번에도 질량중심과 선운동 량이라는 새로운 물리량을 도입하면 문제를 쉽게 해결할 수 있음을 알았습니다. 심지 어 두 물체가 짧은 시간간격 동안만 상호작용을 주고받는 충돌문제의 경우에는 힘에 대해서는 알려고 하지도 않고 선운동량 보존법칙을 이용하여 문제가 해결되는 것을 245 제8주 강의 보았습니다. 그런데 지금까지 우리는 물체의 운동을 기술하면서 물체의 크기는 고려하지 않았 습니다. 뉴턴의 운동방정식 에 나오는 물체에 대한 정보는 오직 물체의 질량 뿐입니다. 물체의 운동을 기술하는데 그 크기를 고려하지 않아도 되는 두 가지 경 우가 있습니다. 그 중 한 경우는 문제에서 물체의 크기가 상대적으로 작아서 점으로 취급해도 좋을 때입니다. 예를 들어, 태양 주위를 회전하는 지구 문제를 푼다고 할 때, 태양에서 지구까지의 거리에 비해 지구의 지름은 점이나 마찬가지입니다. 그 중 다른 경우는 크기를 갖는 물체가 병진운동을 할 때입니다. 크기를 갖는 물체가 병진 운동을 하면 물체의 모든 부분이 다 똑같은 변위에 의해 이동합니다. 그래서 물체에 서 어떤 한 위치를 선정하고 그 위치에 크기를 갖는 물체의 질량이 모두 다 놓여있다 고 가정하고 문제를 풀어도 똑같은 결과를 얻습니다. 그래서 물체의 크기를 고려할 필요가 없습니다. 그러나 크기를 갖는 물체가 회전운동을 할 때는 이야기가 다릅니다. 그런 경우에 는 물체의 운동을 기술하는데 물체의 크기뿐 아니라 물체 내에 질량이 어떻게 분포 되어 있는지도 중요하게 됩니다. 이번 주에서 다음 주까지 2주 동안에 걸쳐서 물체의 크기를 고려해야만 하는 바로 그런 문제를 다룰 예정입니다. 그런데 우선 물체의 운동을 묘사하는데 사용되는 비슷하게 들리지만 뜻이 다른 네 가지 용어로 직선운동과 원운동, 병진운동, 그리고 회전운동이 어떻게 구분되는지 생 각해 봅시다. 여러분은 직선운동과 병진운동 그리고 원운동과 회전운동을 서로 구별 할 수 있습니까? 직선운동과 원운동은 물체의 크기를 고려하지 않고 기술할 때 이용 됩니다. 물론 직선동은 물체가 직선을 따라 움직이는 운동이고 원운동은 물체가 원 의 둘레를 따라 움직이는 운동입니다. 그런데 병진운동과 회전운동은 움직이는 물체 가 크기를 가지고 있고 물체의 각 부분이 어떻게 이동하느냐에 의해 구분되는 용어 입니다. 병진운동은 물체가 이동할 때 물체에 속한 모든 부분이 다 동일한 변위에 의 해서 기술되는 운동입니다. 이에 대하여 회전운동은 물체가 움직일 때 물체에 속한 한 점 또는 연속된 점들은 움직이지 않고 고정된 운동입니다. 크기를 갖고 있는 물체의 일반적인 운동은 순수한 병진운동과 순수한 회전운동으 로 분리될 수 있습니다. 그런데 물체의 순수한 병진운동은 지금까지 물체의 크기를 고려하지 않고 설명된 것과 동일한 방법으로 기술됩니다. 그래서 따로 배울 필요가 없습니다. 그렇지만 크기를 갖는 물체의 회전운동을 기술하기 위해서는 또 새로운 물 246 제8주 강의 리량을 도입하여 문제를 간단하게 만듭니다. 강체의 회전운동에 대해서는 다음 주에 본격적으로 다룰 것입니다. 이번 주에는 우선 회전운동을 이해하기 위해 원운동을 자 세히 공부할 예정입니다. 우리는 이미 지난 8장에서 원통좌표계와 구면좌표계 그리 고 극좌표계를 이용하여 원운동을 기술하는 방법을 배웠습니다. 이제 이번 주에 우리 는 물체가 원운동을 하도록 만드는 구심력에 대해서 배우고 원운동을 쉽게 설명하기 위해서 뉴턴의 운동방정식을 어떻게 변형하여 표현하는지에 대해서도 배웁니다. 그 렇게 하기 위해서 우리는 또 새로운 물리량은 토크와 각운동량을 소개합니다. 이번 주 마지막 장에서는 중심력을 받고 움직이는 물체의 운동을 기술하는 방법을 배웁니 다. 중력과 만유인력 그리고 전기력 등 우리 주위에서 흔히 보는 많은 힘들이 중심력 입니다. 그래서 중심력을 받고 움직이는 물체의 운동을 잘 이해하는 것이 중요합니 다. 247 22. 원운동과 구심력 ∙ 직선운동을 기술하는 방법을 그대로 이용하여 원운동을 기술할 수 있다. 그렇게 하기 위해서는 직선운동을 기술하는데 이용된 물리량에 대응하는 원운동의 물리 량을 찾아내기만 하면 된다. ∙ 직선운동에서 변위, 속도, 가속도 등은 좌표축의 +방향과 -방향 등 두 가지 방 향을 향할 수 있다. 원운동에서 회전각, 각속도, 각가속도의 방향은 어떻게 결정 되는가? } 직선 위를 일정한 빠르기로 움직이는 물체에게는 아무런 힘도 작용하지 않지만, 원의 둘레를 일정한 빠르기로 움직이는 물체에게는 구심력이 작용한다. 지난 7장과 8장에서는 직교좌표계와 원통좌표계 그리고 구면좌표계 등 여러 가지 좌표계를 이용하여 운동을 기술하는 일반적인 방법을 배웠다. 어떤 좌표계를 이용하 여 운동을 기술한다고 말하는 것은 그 좌표계에 속한 좌표와 단위벡터로 운동을 기 술하는 위치벡터와 변위, 속도 그리고 가속도 등을 표현한다는 의미이다. 7장과 8장 에서 구한 결과를 이용하면 어떤 운동이라도 잘 묘사할 수 있다. 그런데 이제 특별히 간단한 운동인 직선운동과 원운동을 비교하여 설명하면서 이 장을 시작하고자 한다. 우리의 목표는 다음 주에 배울 강체의 회전운동이다. 회전운 동을 잘 이해하기 위해서는 먼저 원운동을 기술하는 방법에 익숙해지는 것이 유리하 다. 그런데 원운동을 기술하는 방법과 직선운동을 기술하는 방법이 매우 유사하다. 두 가지 운동이 모두 단 한 개의 좌표로 기술되는 1차원 운동이기 때문이다. 그래서 직선운동에서 이용되는 식들을 그대로 원운동에서도 같이 이용될 수 있다. 다만 직 선운동을 기술하는 물리량에 대응하는 원운동을 기술하는 물리량을 찾아내기만 하면 된다. 나는 이 방법을 직선운동으로부터 원운동으로 번역하는 방법이라고 부른다. 직선운동과 원운동을 비교하기 위하여 직선운동은 그림 22.1에 보인 직교좌표계 를 이용하여 표현하고 원운동은 그림 22.2에 보인 극좌표계를 이용하여 표현하자. 직선운동은 그림 22.1에 보인 직교좌표계에서 일정 이라고 놓고 좌표 만으로 248 22. 원운동과 구심력 기술되는 운동이고 원운동은 그림 22.2에 보인 극좌표계에서 일정 이라고 놓고 좌표 만으 로 기술되는 운동이다. 그러므로 직선운동에서 물체의 위치는 좌표 값만으로 결정된다. 한편 원운동에서 물체의 위치 는 값만으로 결정된다. 그리고 직선운동에서 물 체가 한 위치 에서 다른 위치 로 이동하였다 면 이 물체의 변위 는 그림 22.1 직교좌표계 (22.1) 과 같이 위치를 나타내는 두 좌표 사이의 차이로 주어진다. 그림 22.2 극좌표계 이와 마찬가지로 원운동에서 물체가 각도를 표 시한 한 위치 에서 다른 위치 로 이동하였다면 이 물 체의 이동을 (22.2) 과 같이 원운동에서 위치를 나타내는 두 각도 사이의 차이 로 주어지는데 여기서 를 회전각이라고 부른다. 각도 는 주로 와 같은 그리스 문자로 표시되는데, 그림 22.3d 그림 22.3 회전각의 정의 보인 회전각 는 그 회전각에 대응하는 원호의 길이 을 원의 반지름 로 나눈 것으로 (22.3) 에 의해 정의된다. 이렇게 정의된 회전각을 표시하는 단위를 라디안이라 하고 라고 표기한다. (22.3)식의 우변에 나오는 과 이 모두 길이를 나타내므로 회전 각 는 길이를 길이로 나눈 것이다. 그래서 회전각의 단위를 라디안이라고 표시하 지만 라디안은 차원을 갖는 단위가 아니다. 그러므로 물리량이 길이나 시간 또는 질 량의 차원을 갖는다는 식으로 말할 때 회전각은 아무런 차원도 갖지 않는다고 말한 249 제8주 강의 다. 이렇게 직선운동에서 위치 를 원운동에서 각도 와 대응시키면 직선운동에서 변 위 는 원운동에서 회전각 와 대응된다. 이제 계속해서 직선운동을 기술하는 물리량과 원운동을 기술하는 물리량 사이에 어떤 대응관계가 있는지 살펴보자. 그러 면 직선운동을 기술하는데 이용된 물리량들 사이의 관계식이 그대로 원운동에서 대 응되는 물리량들 사이의 관계식으로 이용된다는 사실을 보게 될 것이다. 그런데 직선 운동과 원운동 모두에서 똑같은 물리량이 사용되는 경우로 딱 두 가지가 있다. 하나 는 시간이고 다른 하나는 에너지이다. 그러면 직선운동에서 속도에 해당하는 원운동의 물리량은 무엇일까? 직선운동에 서 시간간격 동안에 물체는 만큼의 변위를 이동했다면 그 물체의 속도 는 (22.4) 로 정의된다. 이 식에서 변위 에 대응하는 원운동의 물리량은 회전각 이다. 그 리고 시간은 직선운동이나 원운동 모두에서 동일하게 이용되므로 그대로 두면 된다. 그래서 직선운동에서 이용되는 (22.4)식을 원운동에서 이용되는 물리량으로 바꾸면 (22.5) 가 된다. 이렇게 정의된 를 각속도라고 부른다. 여기서 각속도는 직선운동에서 속 에 대응하는 원운동의 물리량이다. 마지막으로 직선운동에서 가속도에 해당하는 원운동의 물리량을 구하자. 가속도 란 시간간격 동안에 물체의 속도가 만큼 변했다면 (22.6) 로 정의된다. (22.5)식을 구할 때와 마찬가지로, 직선운동의 가속도를 정의한 (22.6)식에서 에 해당하는 원운동의 물리량은 이므로, 원운동에서는 (22.7) 250 22. 원운동과 구심력 라고 쓸 수 있다. 직선운동에서 변위, 속도, 그리고 가속도의 방향은 어떻게 결정되는가? 직선운동 에서 각 물리량이 가리키는 방향은 좌표축의 +방향과 -방향 두 가지 뿐이다. 그래 서 변위 가 0보다 크다면 축 방향을 가리키고 0보다 작다면 축 방향을 가 리킨다. 그리고 변위가 축을 가리킨다고 하는 것은 물체가 축 방향으로 이동 하였음을 의미한다. (22.4)식으로 주어지는 속도의 방향은 변위의 방향과 같음을 알 수 있다. 그래서 속도 가 0보다 크다면 축 방향을 가리키고 0보다 작다면 축 방향을 가리킨다. 그리고 변위와 마찬가지로 속도가 축 방향을 가리킨다고 하 는 것은 물체가 축 방향으로 이동하고 있음을 의미한다. 직선운동에서 가속도 가 0보다 크면 가속도는 축 방향을 가리키고 0보다 작 으면 가속도는 축 방향을 가리킨다는 점에서는 변위나 속도와 마찬가지이다. 그 러나 7장에서 자세히 논의되었던 것처럼, 가속도의 방향이 축을 가리킨다고 해서 물체가 축 방향으로 이동한다는 의미는 아니다. 물체가 축 방향으로 이동하 고 있는데 빠르기가 점점 더 증가한다면 가속도는 축 방향을 향하고 빠르기가 점 점 더 감소한다면 가속도는 축 방향을 향한다. 그리고 물체가 축 방향으로 이 동하고 있는데 빠르기가 점점 더 증가한다면 가속도는 축 방향을 향하고 빠르기 가 점점 더 감소한다면 가속도는 축 방향을 향한다. 원운동에서 회전각, 각속도, 각가속도 등의 방향은 어떻게 결정될까? 물체가 그림 22.4에 보인 것처럼 평면 위에서 좌표계의 원점을 중심으로 원운동을 한다고 하자. 그러면 원의 중심을 지나고 원운동하는 평면에 수직인 직선을 이 원운동의 회전축이라고 한 다. 그림 22.4에 보인 원운동의 회전축은 축이다. 회전축이 고정된 원운동에서는 직선운동에서와 마찬 가지로 회전각, 각속도, 각가속도 등이 향하는 방향 은 단 두 가지뿐이다. 그림 22.4 원운동의 방향 물체가 그림 22.4에 보인 화살표의 방향으로 이동 하면서 원운동을 한다고 하자. 이런 방향으로 원운동을 하면 회전각 가 0보다 크 며 이때 이 회전각은 그림 22.4에서 축 방향을 향한다고 말한다. 이 방향은 물체 251 제8주 강의 가 회전하는 방향으로 오른나사를 돌릴 때 나사가 진행하는 방향과 같다. 이렇게 원 운동과 관련된 물리량의 방향은 회전축의 +방향 또는 -방향을 향한다고 말한다. 그 래서 각속도 가 0보다 큰 경우에 각속도의 방향은 그림 22.4에서 축을 향하며 0보다 작은 경우에는 축 방향을 향한다. 원운동에서 각가속도 가 0보다 크면 각가속도는 그림 22.4에서 축 방향을 가리키고 0보다 작으면 축 방향을 가리킨다는 점에서는 회전각이나 각속도와 마 찬가지이다. 그러나 직선운동에서 가속도의 경우와 마찬가지로, 각가속도의 방향이 축을 가리킨다고 해서 물체가 그림 22.4의 위에서 보았을 때 시계 반대방향으로 회전한다는 의미가 아니다. 물체가 시계 반대방향으로 원운동하고 있는데 그 빠르기 가 점점 더 증가한다면 각가속도는 축 방향을 향하고 빠르기가 점점 더 감소한다 면 각가속도는 축 방향을 향한다. 그리고 물체가 위에서 볼 때 시계 방향으로 회 전하고 있는데 물체의 빠르기가 점점 더 증가한다면 각가속도의 방향은 축 방향 을 향하고 점점 더 감소한다면 축 방향을 향한다. 지금까지는 원운동하는 물체의 운동을 회전각, 각속도, 그리고 각가속도로 기술하 였다. 이제 원운동하는 물체의 운동을 물체가 움직인 거리, 속도, 각속도 등으로 기술 하려면 어떻게 되는지 알아보자. 그림 22.3에서 물체가 회전각 만큼 움직였다면 물체가 이동한 거리 은 회전각의 정의인 (22.3)식에 의해서 (22.8) 가 됨을 알 수 있다. 그리고 (22.8)식의 양변을 물체가 만큼 이동하는데 걸린 시 간간격 로 나누면 → (22.9) 가 된다. 다시 말하면 물체가 원운동하는 속력 는 각속도 에 원운동의 반지름 을 곱하면 나온다. 원운동하는 물체의 가속도를 알아보는 문제는 간단하지 않다. 먼저 등속원운동의 경우를 보자. 등속원운동이란 물체의 속력 가 일정하게 유지되는 원운동이다. 등속 원운동에서는, (22.9)식에서 알 수 있는 것처럼, 가 일정하게 유지되면 각속도 도 역시 일정하게 유지된다. 그러므로 이고 따라서 각가속도 이다. 등속원 252 22. 원운동과 구심력 운동의 경우에 비록 각가속도 는 0이지만 등속원운동이 등속도운동은 아니다. 다 시 말하면 가속도가 0은 아니라는 의미이다. 등속원운동을 하는 물체를 보인 그림 22.5에서 명백하듯 ′ 이, 비록 물체가 원운동하면서 속도의 크기인 속력은 일정하 게 유지되더라도 속도의 방향 이 끊임없이 바뀌므로 물체는 ′ 등속도운동을 하지 않는다. 등 속원운동에서 가속도의 크기를 구하기 위하여 그림 22.5의 왼 그림 22.5 등속원운동의 가속도 구하기 쪽에 보인 두 개의 반지름 과 원호 로 이루어진 이등변삼각형과 그림 22.5의 오른쪽에 보인 두 속도 와 ′ 그 리고 속도의 차이인 로 이루어진 이등변삼각형을 비교하자. 두 이등변삼각형의 사잇각이 로 같으므로 두 이등변삼각형은 닮은꼴이고 따라서 (22.10) 이 성립한다. 여기서 물체는 등속원운동을 하고 있으므로 두 속도 와 ′ 의 크기는 모두 임을 이용하였다. (22.10)식을 이용하면 등속원운동의 가속도 를 구할 수 있다. 이 가속도는 그림 22.5에서 볼 수 있듯이 원의 중심 방향을 향한다. 중심을 향한다는 의미에서 이 가속 도를 특별히 구심가속도라고 부르고 영어로는 centripetal acceleration이라고 하며 가속도를 표시한 에 아래첨자 를 붙여서 구심가속도임을 표시한다. 구심가속도의 크기 는 시간간격 동안에 속도의 변화량이 라면 (22.11) 이 된다. (22.11)식의 두 번째 등식은 (22.10)식을 이용한 결과이며 세 번째 등식은 (22.9)식에서 를 이용한 결과이고 네 번째 등식도 역시 (22.9)식에서 253 제8주 강의 를 이용한 결이다. 지금까지는 각가속도 가 0인 등속원운동만을 고려하였다. 이제 물체가 원운동을 하지만 움직이는 빠르기가 점점 더 증가한다고 하자. 그러면 가속도의 방향은 원의 접선방향을 향하므로 이 방향을 향하는 가속도 성분을 접선가속도라고 부르고 영어 로는 tangential acceleration이라고 하며 가속도 에 아래첨자 를 붙여서 로 표 시한다. 물체가 원운동할 때 접선가속도 는 (22.12) 로 주어진다. 즉 각가속도 에 원의 반지름 을 곱하면 접선가속도를 구할 수 있다. (22.12)식에서 첫 번째 등식은 (22.6)식을 이용한 것이고 두 번째 등식은 (22.9)식 을 이용하여 얻은 것이다. (22.11)식과 (22.12)식은 물체가 원운동할 때의 가속도는 두 방향의 성분으로 나 눌 수 있는데, 하나는 원의 중심방향을 향하는 구심가속도이고 다른 하나는 원의 접 선방향을 향하는 접선가속도임을 말해준다. 원운동을 하는 물체는 항상 속력의 제곱 을 원의 반지름으로 나눈 것과 같은 구심가속도를 가지고 운동한다. 그렇지만 접선가 속도의 경우에는 등속원운동이 아닌 경우에만 존재한다. 이것은 극좌표계를 이용하 여 속도와 가속도를 구한 8장에서 이미 얻은 결과와 동일하다. (8.24)식에서 가 구심가속도에 해당하며 가 접선가속도에 해당한다. 특별히 반지름이 인 원운동을 하는 경우에 (8.24)식에 (22.13) 를 대입하면 구심가속도 와 접선가속도 는 각각 (22.14) 가 되고 이것은 바로 (22.11)식 그리고 (22.12)식과 동일한 결과이다. (22.14)식에 나온 첫 번째 식 우변에 마이너스 부호가 붙은 것은 이 가속도의 방향이 의 방향과 반대방향 즉 원의 중심을 향하는 방향이라는 의미이다. 254 22. 원운동과 구심력 예제 1 지구는 반지름이 인 구형이라고 보아도 좋다. 지구는 남극과 북 극을 잇는 선을 축으로 하루에 한 번씩 자전한다. 적도에 놓인 물체가 자전에 의 해서 움직이는 속력과 각속도를 구하라. 적도에 놓인 물체는 지구의 반지름과 같은 반지름의 원둘레 위를 24시간마다 한 바퀴씩 등속원운동을 한다. 따라서 이 물체의 속력 는 × × 이다. 다시 말하면 적도에 가만히 놓인 물체가 단지 지구가 자전하기 때문에 우리나 라 고속철 기차가 낼 수 있는 최고 속력의 여섯 배에 해당하는 속력으로 움직이고 있 다는 것이다. 한편, 이 물체의 각속도 는 (22.9)식을 이용하여 속력을 반지름으로 나누어 × × 가 된다. 이 문제는 24시간 동안에 회전각이 한 바퀴 즉 이라는 사실을 이용 해서도 구할 수 있으므로 × × × 이 되는데, 이것은 예상과 마찬가지로 전과 동일한 결과이다. ◆ 등속원운동을 하는 물체의 예로 인공위성을 들 수 있다. 인공위성은 지구 주위를 등속원운동하면서 회전하고 있다. 그런데 간혹 다음과 같은 의문을 갖는 사람도 있 다. 인공위성에는 지구가 인공위성을 잡아당기는 만유인력이 작용하는 것이 분명한 데 인공위성은 왜 떨어지 않고 계속 하늘에 떠 있는 것일까? 인공위성은 떨어지지 않는 동력장치를 사용하고 있는 것일까? 255 제8주 강의 인공위성이 지구로부터 만유인력을 받고 있지만 만유인력의 역할이 인공위성을 지 구로 떨어뜨리게 만드는 것이 아니다. 등속원운동은 (22.11)식으로 주어지는 구심가 속도로로 움직이는 가속도 운동이기 때문에 그러한 가속도 운동을 하기 위해서는 뉴 턴의 운동방정식에 의해서 그 가속도에 물체의 질량을 곱한 것과 같은 힘을 받아야 만 한다. 다시 말하면 등속원운동을 계속하기 위해서는 물체는 원의 중심을 향하는 방향으로 계속 힘을 받고 있어야 한다. 이렇게 등속원운동을 하게 만드는 원의 중심 을 향하는 힘을 구심력이라고 한다. 인공위성의 경우에는 지구가 인공위성을 잡아당 기는 만유인력이 구심력의 역할을 한다. 그래서 인공위성이 등속원운동을 하기 위해 서는 구심력만 받으면 되지 다른 동력장치가 필요한 것이 아니다. 그런데 물리를 좀 안다는 사람도 인공위성에서는 지구가 잡아당기는 구심력과 원 심력이 평형을 이루어 떨어지지 않고 하늘에 떠있다고 말하는 경우가 있다. 이 문제 에 대해서는 이미 11장에서 관성계와 관성력에 대해 공부하면서 자세히 설명되었다. 인공위성에 작용하는 힘은 만유인력 하나뿐이며 만유인력이 구심력으로 작용하여 인 공위성은 등속원운동을 계속한다. 그런데 인공위성에 부착된 기준계에서 보면 인공 위성의 가속도는 0이어서 인공위성에 작용하는 합력이 0이어야 한다고 생각되며 그 래서 그런 기준계에서는 실제 힘이 아닌 원심력이 작용하고 있다고 잘못 생각하는 것이다. 256 23. 토크와 각운동량 ∙ 직선운동을 기술하는 물리량인 변위, 속도, 가속도와 원운동을 기술하는 물리량 인 회전각, 각속도, 각가속도 사이에는 대응관계가 성립한다. 직선운동을 기술하 는 식과 원운동을 기술하는 식 사이의 대응관계를 알아보자. ∙ 직선운동에 적용되는 뉴턴의 운동방정식을 원운동에 적용되도록 바꾸어 쓰면 어떻게 될까? 다시 말하면 뉴턴의 운동방정식에 나오는 가속도를 각가속도로 바 꾸어 쓰거나 선운동량을 각운동량으로 바꾸어 쓸 수 있을까? ∙ 직선운동에 적용되는 선운동량 보존법칙을 원운동에 적용되도록 바꾸어 쓰면 어떻게 될까? 다시 말하면, 선운동량에 대응하는 각운동량을 정의하면 어떤 조 건 아래서 각운동량 보존법칙이 성립할까? 지난 22장에서는 직선운동을 기술하는 변위, 속도, 가속도와 원운동을 기술하는 회전각, 각속도, 각가속도 사이의 관계에 대해 알아보았다. 직선운동을 기술하는 물 리량들 사이에 성립하는 관계식의 형태가 원운동을 기술하는 물리량들 사이에 성립 하는 관계식의 형태와 같음을 확인하였다. 이때 직선운동의 물리량에 대응하는 원운 동의 물리량을 찾아내기만 하면 되었다. 예를 들어 직선운동에서 속도를 나타내는 관 계식은 원운동에서 각속도를 나타내는 관계식과 ↔ (23.1) 와 같이 동일한 형태를 가지고 있었고, 속도 는 각속도 와, 변위 는 회전각 와 대응한다는 것만 알면 되었다. 그러면 이번에는 직선운동에서 질량에 대응하는 원운동의 물리량이 무엇일지 알아 보자. 질량은 아주 기본적인 양이므로 원운동에서도 역시 질량일 것처럼 생각되기도 한다. 그러나 그렇기 않다. 이미 이야기한 것처럼, 동일한 물리량이 직선운동과 원운 동 모두에서 동일한 역할을 하는 것은 시간과 에너지 가지 밖에 없다. 직선운동의 질량에 대응하는 회전운동의 물리량이 무엇인지 알아보기 위해 운동에너지에 대한 257 제8주 강의 표현식을 보자. 운동에너지는 직선운동과 원운동에서 모두 동일하게 이용되기 때문 에 도움이 될지도 모른다. 이제 질량이 인 물체가 반지름이 인 원을 따라 속력 로 움직인다고 하자. 그러면 이 물체의 운동에너지 는 (16.11)식에 의해 (23.2) 으로 주어진다. 그런데 원운동을 하는 물체의 속력 는 각속도 와 (22.9)식으로 주어지는 것처럼 (23.3) 인 관계에 있다. 그러므로 (23.2)식의 자리에 (23.3)식을 대입하면 (23.4) 이라고 쓸 수가 있는데, 여기서 마지막 우변은 원운동을 대표하는 물리량만으로 표현 된 것으로 직선운동의 물리량으로 표현한 (23.2)식과 비교될 수 있다. 그러한 비교 로부터 직선운동의 속도는 원운동의 각속도와 대응하고 직선운동의 질량은 원운동의 와 대응함을 할 수 있다. (23.4)식으로부터 는 (23.5) 으로 정의되는데, 이 물리량이 직선운동에서 질량에 대응하는 원운동의 물리량으로 회전관성이라고 불린다. 그러면 원운동에서 이용되는 회전관성이라는 물리량이 무엇을 의미하는지 살펴보 자. 그렇게 하기 위해 먼저 직선운동에서 이용되는 질량의 의미를 복습하자. 질량은 뉴턴의 운동방정식 에 나오고 이 질량은 물체의 관성을 대표한다고 하였다. 그리고 이때 관성은 물체의 속도를 그대로 유지하려는 성질이다. 이것을 그대로 원운 동에 대한 것으로 바꾸어 써보면 회전관성은 물체의 각속도를 그대로 유지하려는 성 질이라고 말하면 그럴듯할 것 같다. 정말 그렇다. 회전관성이란 물체가 원운동할 때 물체의 각속도를 그대로 유지하려는 성질이라고 말하면 딱 맞다. 다음에는 직선운동에서 선운동량이 원운동에서 어떤 물리량에 해당하는지 알아보 258 23. 토크와 각운동량 자. 선운동량은 (19.8)식에 의해 (23.6) 라고 정의된다. 이제 질량 에 대응하는 원운동의 물리량은 회전관성 이고 속도 에 대응하는 원운동의 물리량은 각속도 임을 알았으므로 (23.6)식으로부터 선운 동량 에 대응하는 원운동의 물리량을 각운동량 이라고 부른다면 각운동량을 (23.7) 라고 정의하면 딱 좋으리라고 예상된다. 이번에는 직선운동에서 힘에 대응하는 원운동의 물리량이 무엇인지 알아보자. 그렇게 하기 위해서 그림 23.1에 보인 것과 같이 아주 가벼운 막대기 에 연결된 질량 이 반지름이 인 원운동을 한다 고 하자. 그림 23.1에서 시간이 일 때 질량 이 놓인 각이 라면 원호의 길이 는 각의 정의 인 (22.3)식으로부터 (23.8) 이다. 그러면 질량 의 속력 와 각속도 사이 그림 23.1 토크의 설명 에는 (23.9) 의 관계에 있고, 질량 의 접선가속도 와 각가속도 사이에는 (23.10) 인 관계에 있다. 이제 그림 23.1에 보인 것과 같이 물체에 원의 접선방향으로 힘 를 작용할 때 259 제8주 강의 이 물체에게 적용할 뉴턴의 운동방정식을 쓰면 접선방향의 성분은 (23.11) 가 된다. 이 식의 우변에 나오는 질량 대신에 회전관성을 그리고 가속도 대신에 각가속도 를 쓰면 그것이 바로 원운동에서 힘에 대응하는 물리량에 해당되며 토크 라고 불리는 물리량이다. 다시 말하면 토크 는 (23.12) 가 된다. 토크가 어떤 양인지 알아보기 위하여 회전관성 에는 (23.5)식을 그리고 각가속도 에는 (23.10)식을 대입하면 (23.13) 가 됨을 알 수 있다. 즉 토크의 크기는 힘의 크기 에 회전축에서 질량 까지의 거 리 을 곱한 것과 같다. 힘이 벡터양인 것처럼 (23.12)식으로 정의되는 토크도 역시 벡터양이다. 그러면 토크의 방향은 어떻게 결정되는지 알아보자. 그림 23.1에서 힘 가 질량 을 지면 위에서 보았을 때 시계 반대방향으로 회전하게 하므로 토크의 방향은 이 회전하는 방향으로 오른나사를 돌릴 때 오른나사가 진행하는 방향 즉 지면에서 위로 올라오는 방향이다. 따라서 과 를 곱한 것이 토크의 크기이고 방향이 지면에서 위로 올라오 는 방향이라면 그림 23.1에서 토크 를 × (23.14) 라고 쓸 수 있음을 알 수 있다. 그림 23.1에서는 과 사이의 사잇각이 이므로 토크의 크기 는 이고 두 벡터의 벡터곱의 정의로부터 (23.14)식으로 주어진 토크는 지면 위로 올라오 는 방향임을 알 수 있다. 그런데 (23.14)식으로 정의된 토크는 과 사이의 사잇각이 뿐 아 니라 어떤 각에서나 일반적으로 성립한다. 예를 그림 23.2 과 가 평행인 경우 260 23. 토크와 각운동량 들어, 그림 23.2에 보인 것처럼 과 사이의 사잇각이 라면 (23.14)식으로 구 한 물체에 작용하는 토크는 0이다. 힘이 그림 23.2에 보인 것처럼 작용하면 물체가 회전하지 못할 것이므로 (23.14)식의 표현은 그럴듯하다고 느껴진다. 지난 19장의 (19.11)식에서 선운동량을 이용하여 뉴턴의 운동방정식을 (23.15) 라고 표현할 수 있으며 이 표현이 오히려 더 일반적으로 성립함을 알았다. 이제 (23.15)식에 나오는 양들을 원운동에서 이용되는 양으로 바꾸어 쓰면 → (23.16) 이 된다. 여기서 오른쪽에 나온 식은 원운동에 적용되는 뉴턴의 운동방정식이라고 말 하여도 좋다. 그런데 (23.16)식의 왼쪽에 나온 식의 양변을 왼쪽에서 로 벡터곱하 고 (23.14)식을 이용하면 × × (23.17) 가 된다. 그런데 다음 식 × × × × (23.18) 가 항상 성립하는데, 이것은 × × × (23.19) 이 항상 성립하기 때문이다. 그러므로 (23.18)식을 (23.17)식에 대입하면 × × (23.20) 261 제8주 강의 가 되는데 여기서 마지막 등식은 (23.16)식에 나오는 오른쪽 식을 이용한 것이다. 이 결과로부터 우리는 각운동량 을 × (23.21) 라고 정의할 수도 있음을 알게 된다. 각운동량에 대한 두 가지 표현인 (23.7)식과 (23.21)식이 동일한 내용이어야만 한다. 먼저 두 표현으로부터 각운동량의 크기를 비교하여 보자. 물체가 그림 23.1에 보인 것과 같이 운동하는 경우에, 각운동량의 크기 는 (23.7)식을 이용하면 (23.22) 이고 (23.21)식을 이용하면 (23.23) 이므로 두 경우의 결과가 동일함을 알 수 있다. 그리고 물체가 역시 그림 23.1에 보 인 것과 같이 운동하는 경우에 (23.7)으로 주어진 각운동량의 방향은 각속도의 방향 과 같으므로 지면 위로 올라가는 방향이고 (23.21)식으로 주어진 각운동량의 방향 은 의 방향으로부터 의 방향으로 오른나사를 돌렸을 때 오른나사가 진행하는 방 향도 역시 지면 위로 올라가는 방향이다. 그러므로 각운동량 에 대해 (2.37)식과 (23.21)식으로 주어진 두 가지 표현은 동일한 내용임을 확인할 수 있다. 선운동량 보존법칙은 뉴턴의 운동방정식을 (23.15)식과 같이 표현함으로써 성립 하는 것을 알았다. 즉 물체에 작용하는 외력 가 0이면 선운동량 는 변하지 않고 일정하게 유지된다는 것이다. 그러므로 원운동에서 성립하는 뉴턴의 운동방정식인 (23.16)을 이용하면 똑같은 방법으로 각운동량 보존법칙에 도달할 수 있다. 각운동 량 보존법칙은 만일 물체에 작용하는 토크 가 0이면 물체의 각운동량 은 변하지 않고 일정하게 유지된다고 말한다. 그런데 토크는 (23.14)식에 의해 주어지므로 토 크 가 0이 될 수 있는 방법은 힘 가 0이거나 이 0이거나 또는 과 사이의 사잇각이 등 세 가지가 존재한다. 다시 말하면 물체에 작용하는 힘이 0이 아니더 라도 특별한 조건 아래서는 토크가 0이 되고 각운동량 보존법칙이 선운동량 보존법 칙보다 더 넓은 영역에서 성립함을 알 수 있다. 262 23. 토크와 각운동량 예제 1 그림과 같이 줄에 연결된 질량이 인 물체가 속력 로 반지름이 인 원을 따라 등 속원운동을 하고 있다. 이제 내가 대롱을 통 해 줄을 아래로 잡아당겨서 물체는 반지름이 인 원을 따라 등속원운동을 하고 있다고 하자. 그러면 물체의 속력 는 어떻게 변하 겠는가? 내가 줄을 아래로 잡아당기면 줄이 물체를 원의 중심방향으로 잡아당기는 셈이 된 다. 이 힘에 의한 토크 는 줄이 물체를 잡아당기는 힘 와 위치벡터 사이의 사잇 각이 이므로 × 이다. 따라서 질량이 인 물체의 각운동량은 보존된다. 줄을 잡아당기기 전의 각운 동량 과 반지름이 ′ 로 짧아졌을 때의 각운동량 ′ 은 각각 , ′ ′ 이므로 각운동량 보존법칙에 의해 ′ ∴ ′ 가 된다. ◆ 263 24. 중심력을 받는 물체의 운동 ∙ 물체가 좌표계의 원점을 향하는 힘을 받을 때 이 힘을 중심력이라 한다. 두 물 체가 서로 상호작용하면서 운동할 때 중심력을 받는다고 말할 수 있는가? ∙ 중심력에 의한 토크는 항상 0이다. 중심력을 받는 물체의 운동에는 어떤 특징이 있을까? ∙ 케플러가 행성의 운동에 관한 세 가지 법칙을 알아내는데 수십 년이 걸렸다. 그 러나 우리는 거리의 제곱에 반비례하는 중심력을 받는 행성들은 케플러 법칙을 만족하며 운동하는 것을 증명는데 수십 분이면 충분하다. 크기가 일정한 구심력을 받고 움직이는 물체는 등속원운동을 한다. 구심력처럼 항 상 정해진 한 점을 향하는 힘을 중심력이라고 한다. 그 한 점을 원점으로 정한 좌표 계에서 중심력 는 (24.1) 이라고 표현된다. 대표적인 중심력으로 만유인력이 있다. 그러므로 태양 주위를 회전 하는 지구도 중심력을 받고 움직이는 운동이고 지구 주위를 회전하는 인공위성도 중 심력을 받고 움직이는 운동이다. 중심력을 받고 움직이는 물체의 운동에는 어떤 특징 이 있는지 알면 많은 도움이 된다. 이제 그림 24.1에 보인 것과 같이 질량이 각각 이는 경우를 어떻게 기술할지 보자. 두 물체는 태 양과 지구일 수도 있고 지구와 달 일수도 있다. 과 인 두 물체가 서로 상호작용하면서 움직 이 문제를 풀기 위해서는 먼저 두 물체에 대한 뉴 턴의 운동방정식을 세워야 한다. 질량이 인 물 체에 작용하는 힘을 그리고 질량이 인 물 체에 작용하는 힘을 라 하고 두 물체의 위치벡 그림 24.1 두 물체의 운동 264 24. 중심력을 받는 물체의 운동 터를 그림 24.1에 보인 것과 같이 각각 과 라고 하면 두 물체에 대한 뉴턴의 운 동방정식은 (24.2) 가 된다. 이제 이 두 물체의 운동을 위치벡터 과 대신 다음 (24.3) 와 같이 정의된 위치벡터 과 에 의해서 기술하기로 하자. 은 두 물체의 질량중 심을 대표하는 위치벡터이고 은 상대좌표라고 불리는 것으로 그림 24.1에 보인 것 과 같이 한 물체에서 다른 물체까지 그린 벡터이다. (24.2)에 나온 운동방정식의 과 를 과 로 바꾸기 위해 (24.3)식을 이용하여 과 를 과 로 표현하자. 두 질량의 합을 (24.4) 이라고 놓으면 그 결과는 (24.5) 이다. 한편 그림 24.1에 표시된 질량이 인 물체에 작용하는 힘 과 질량이 인 물 체에 작용하는 힘 는 서로 작용 반작용의 관계에 있다. 그러므로 과 는 크기 가 같고 방향이 반대이다. 따라서 두 힘을 (24.6) 이라고 쓸 수 있다. 여기서는 두 힘이 가리키는 방향이 (24.3)식에서 정의된 상대좌 표의 방향과 같음을 이용하였다. 이제 (24.5)식과 (24.6)식을 뉴턴의 운동방정식인 265 제8주 강의 (24.2)식에 대입하면 (24.7) 를 얻는다. 그런데 이 두 식을 더하면 질량중심 좌표 만에 대한 운동방정식이 나오 는데 그 결과는 (24.8) 이다. 그리고 (24.7)식의 첫 번째 식을 으로 나누고 두 번째 식을 로 나누어 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 상대좌표 만에 대한 운동방정식이 나오는데 그 결과는 → (24.9) 이 된다. 여기서 는 두 질량 과 의 환산질량이라고 불리는 양으로 (24.10) 로 정의된다. 두 물체 운동을 질량중심 좌표 과 상대좌표 로 표현하여 얻은 결과인 (24.8) 식과 (24.9)식은 매우 유익한 성질을 가지고 있다. (24.8)식과 (24.9)식은 서로 연 관되지 않고 독립적으로 성립된다. 이것은 두 물체의 운동이 질량중심의 운동과 상대 운동으로 구분하여 기술될 수 있음을 의미한다. 그리고 질량중심에 놓인 총질량의 운 동을 기술하는 (24.8)식을 보면 총질량에 작용하는 힘은 0이므로 질량중심은 등속 도 운동을 한다는 것을 알 수 있다. 이것은 우리가 이미 20장에서 배운 것과 동일하 다. 여러 물체의 운동에서 질량중심에 놓인 총질량은 계에 작용하는 외력의 합력을 받고 움직인다. 그림 24.1에 보인 두 물체 문제에서는 외력을 고려하지 않았으므로 (24.8)식에서 총질량에 작용하는 힘이 0인 것은 당연하다. 질량중심 좌표계에서 두 물체의 운동을 보면 두 물체의 질량중심은 원점에 고정되 266 24. 중심력을 받는 물체의 운동 어 있다. 태양의 주위를 회전하는 지구에 대해 말할 때 우리는 흔히 태양은 고정되어 있고 지구가 태양 주위를 회전한다고 생각한다. 물론 지구의 질량에 비하여 태양의 질량이 대단히 크며 그래서 질량중심이 태양의 위치와 거의 일치하기 때문에 그렇게 말하여도 크게 틀리지는 않는다. 그러나 일반적으로는 두 물체가 서로 상호작용하며 운동하면 두 물체의 질량중심 주위를 두 물체 모두가 회전한다. 두 물체의 운동을 질량중심의 운동과 상대좌표의 운동으로 구분하면, 질량중심의 운동은 질량중심 좌표계에서는 질량중심에 정지해 있는 싱거운 운동에 불과하다. 그 러므로 두 물체 운동에 대한 의미를 지닌 정보는 모두 상대좌표에 대한 운동에서 나 온다. (24.9)식은 질량이 두 물체 질량의 환산질량 인 물체가 상대좌표에서 두 물 체 사이에 작용하는 힘을 받고 움직일 때 적용되는 식이다. 만일 두 물체의 질량 중 하나가 다른 하나보다 몹시 커서 ≫ 이라면 환산질량 는 → (24.11) 과 같이 과 같아진다. 그래서 태양과 질량의 운동에서 가 태양의 질량이고 이 지구의 질량이라면 (24.9)식으로 주어진 운동방정식은 환산질량 가 지구 질량 에 해당하는 운동방정식이 된다. 두 물체의 위치벡터 과 대신 질량중심 좌표 과 상대좌표 을 이용하면 다 른 물리량들도 질량중심에 관한 항과 상대좌표에 관한 항으로 나누어진다. 예를 들 어, 두 물체의 총선운동량 는 (24.12) 가 된다. 여기서는 (24.5)식을 이용하여 267 (24.13) 제8주 강의 임을 이용하였고 여기서 와 는 각각 질량중심의 속도와 상대좌표의 속도로 (24.14) 를 의미한다. 총선운동량에 대한 결과인 (24.12)식은 우리가 이미 잘 알고 있는 결 과로 총선운동량은 질량중심에 총질량이 놓여 있으면서 운동할 때의 선운동량과 같 다고 말해준다. 다음으로 두 물체의 총 운동에너지를 보자. 총운동에너지는 ⋅ ⋅ (24.15) 가 된다. 이 식의 마지막 등식에서 명백하듯이 총운동에너지는 질량중심에 총질량이 놓인 운동의 운동에너지에 환산질량이 상대좌표에 놓인 운동의 운동에너지를 더한 것과 같다. 그리고 질량중심이 정지해 있는 질량중심 좌표계에서 보면 두 물체의 총 운동에너지는 상대좌표의 운동에너지와 같다. 이와 같이 서로 상호작용하는 두 물체의 운동은 마치 질량이 두 물체 질량의 환산 질량과 같은 물체의 한 물체 운동으로 기술될 수 있으며 이때 작용하는 힘은 (24.9) 식에서 명백히 알 수 있듯이 중심력이다. 그런데 중심력을 받고 움직이는 물체는 아 주 중요한 성질을 가지고 있다. 중심력에 의해서 이 물체에 작용하는 토크 는 (24.15) × 이다. 다시 말하면 중심력에 의한 토크는 그 중심력이 어떤 종류의 힘이건 항상 0이 라는 것이다. 그리고 중심력을 받고 움직이는 물체에 작용하는 토크는 0이기 때문에 지난 23장에서 구한 결과에 의해 물체의 각운동량 이 보존된다. 각운동량 이 보존된다는 것은 단순히 각운동량 값이 변하지 않고 일정하다는 것 이상의 의미를 지닌다. 각운동량 은 (23.21)식에 의해 268 24. 중심력을 받는 물체의 운동 × (24.16) 로 정의된다. 그런데 각운동량이 보존된다 는 것은 각운동량의 크기뿐 아니라 각운동 량의 방향도 일정하게 유지된다는 의미이 다. 그런데 각운동량 은 그림 24.2에 보 인 것처럼 두 벡터 과 의 벡터곱으로 정 의되기 때문에 두 벡터 과 는 모두 각운 그림 24.2 각운동량 보존 동량 벡터 과 수직인 방향을 향한다. 다시 말하면 과 는 모두 과 수직인 평면 위에 놓여있다. 그리고 물체가 이동하는 변위의 방향은 속도의 방향과 같기 때문에 선운동량의 방향과도 같다. 다시 말하면 각운동량이 보존되면서 물체가 이동하기 위 해서는 반드시 각운동량 벡터에 수직인 평면에서만 이동하여야 한다. 따라서 각운동 량이 보존되는 운동을 하는 물체의 운동은 평면에 국한되어 움직인다. 다시 말하면 3 차원 공간을 여기 저기 다 움직이는 것이 아니라 반드시 평면 위에서만 움직인다는 것이다. 각운동량이 보존되면서 움직이는 물체는 평 면 위에서만 운동한다는 증거를 가장 극적으로 보여주는 예가 바로 그림 24.3에 보인 태양계 이다. 이 그림으로부터 우리는 태양계에 속한 행성들이 모두 한 평면 위에서 움직이는 것을 알 수 있다. 이것은 바로 행성들에게 작용하는 힘이 만유인으로 중심력이며 중심력을 받고 움직이는 물체의 각운동량이 보존되기 때문이 다. 그림 24.3 태양계의 모습 이제 어떤 물체가 중심력을 받고 움직인다면 그 물체의 운동을 기술하기 위해서 3 차원 좌표계를 이용할 필요가 없다. 그 물체는 반드시 평면 위에서만 움직인다고 확 신할 수 있기 때문이다. 그러면 한번 태양과의 만유인력에 의해 움직이는 행성의 운 동을 극좌표계에서 풀어보자. 태양의 질량을 그리고 행성의 질량을 이라고 한 다면 행성과 태양의 상대좌표에 대한 뉴턴의 운동방정식은 269 제8주 강의 (24.17) 이 된다. 그리고 8장에서 구한 극좌표계에서 가속도에 대한 표현인 (8.23)식을 이용 하면 (24.18) 이다. 이 식에서는 (8.23)식에서 라고 표현한 것을 이라고 썼고 라고 표현한 것 을 라고 썼다. 그러면 (24.18)식을 (24.17)식에 대입하여 (24.19) 를 얻는다. 이 식의 양변을 비교하면 방향 성분과 방향 성분으로 나누어 , (24.20) 와 같은 두 식을 얻게 된다. 위의 (24.20)식에 나온 두 번째 식의 양변에 를 곱하여 (24.21) 이라고 쓸 수 있다. 그러면 우리는 즉시 (24.22) 일정 임을 알 수 있다. (24.22)식의 좌변에 나온 양이 일정하게 보존되므로 이 계의 각운 동량 인 (24.23) 270 24. 중심력을 받는 물체의 운동 가 일정하게 유지되는 상수이다. 다시 말하면 뉴턴의 운동방정식 중에서 방향 성분 인 (24.20)식에 나온 두 번째 식으로부터 각운동량이 보존됨을 알게 되었다. 다음으로는 (24.20)식에 나온 첫 번째 식인 뉴턴의 운동방정식 중에서 방향 성 분을 풀 차례이다. (24.23)식으로부터 좌표의 시간에 대한 미분을 (24.24) 이라고 표현하고 이것을 (24.20)식의 첫 번째 식에 대입하면 → (24.25) 이 된다. 그래서 방향 성분의 뉴턴의 운동방정식은 마치 질량이 인 물체가 ′ (24.26) 인 중심력을 받으며 운동하는 문제와 같아졌다. (24.26)식으로 주어진 힘을 유효힘 이라고 부른다. 이 식을 풀기 위하여 (24.27) 라고 놓고 (24.25)식의 두 번째 식을 (24.28) 이라고 쓰자 (24.28)식으로 주어진 1차 미분방정식은 적분에 의해서 풀 수 있는 형태이다. 양 변에 을 곱하고 양변을 적분하면 ′ ′ 271 (24.29) 제8주 강의 이 된다. 여기서 좌변의 적분은 바로 수행될 수 있으며 그 결과는 ′ ′ ′ (24.30) 인데 는 일 때의 지름방향 운동에너지이고 ′ 은 ′ 일 때의 지름방향 운 동에너지이다. 여기서 지름방향 운동에너지 이란 운동에너지 를 ⋅ ⋅ (24.31) 와 같이 두 성분으로 나눌 수 있는데 그 중에서 첫 번째 항을 말하며, 두 번째 항인 는 각방향 운동에너지라고 한다. (24.31)식을 유도하면서 우리는 극좌표계에서 속도를 표현한 (8.19)식을 이용하였다. (24.29)식의 우변에 나오는 적분은 다음 ′ ′ ∞ ∞ (24.32) 와 같이 유효퍼텐셜에너지를 정의하면 쉽게 표현될 수 있다. 유효퍼텐셜에너지란 (24.26)식으로 정의된 유효힘을 대표하는 퍼텐셜에너지를 말한다. 그러면 (24.29) 식의 우변에 나오는 적분은 ′ ∞ ∞ ′ ′ ′ ′ ∞ ′ ∞ (24.33) 이 된다. 여기서 ′ 은 에서 유효퍼텐셜에너지이고 ′ ′ 은 ′ 에서 유 효퍼텐셜에너지이다. 이제 (24.29)식의 양변을 적분한 결과인 (24.30)식과 (24.33)식을 (24.29)식에 272 24. 중심력을 받는 물체의 운동 대입하자. 그러면 그 결과는 (24.34) ′ ′ ′ ′ 이 된다. 이 식이 바로 역학적 에너지 보존법칙을 나타낸다. 이 식의 좌변에 있는 ′ 을 우변으로 보내고 우변에 있는 ′ 을 좌변으로 보내면 (24.35) ′ ′ ′ ′ 이 된다. 이것은 18장에서도 강조하였지만 놀라운 결과이다. 이 식은 물체가 에 위치할 때 지름방향 운동에너지와 유효퍼텐셜에너지의 합은 물체가 ′ 에 있을 때 지름방향 운동에너지와 유효퍼텐셜에너지의 합과 같다고 말한다. 그런데 과 ′ 이 물체가 움직이는 경로에서 어떤 특별한 두 위치가 아니다. 그러므로 어떤 다른 위치를 선택하더라도 (24.35)식이 성립한다. 따라서 (24.35)식을 (24.36) ′ 일정 이라고 쓸 수 있다. 이번에는 (24.36)식으로 정의된 지름방향 운동에너지 과 유효퍼텐셜에너지 ′ 의 합이 무엇을 의미하는지 보자. 지름방향 운동에너지 에 대한 표현인 (24.30)식과 유효퍼텐셜에너지에 대한 표현인 (24.32)식을 (24.36)식에 대입하면 ′ (24.37) 임을 알 수 있다. 이 식의 세 번째 등식과 같이 유효퍼텐셜에너지에 나오는 첫 번째 항을 지름방향 운동에너지와 더하면 그 결과는 (24.31)식으로 주어지는 운동에너지 가 된다. 그리고 유효퍼텐셜에너지의 두 번째 항은 바로 (17.20)식에서 주어진 만 유인력에 대한 퍼텐셜에너지임을 알 수 있다. 그러므로 (24.36)식으로 주어지는 는 바로 (18.5)식으로 정의된 역학적 에너지임이 분명하다. 이제 (24.36)식을 이용하여 을 구하자. 그 결과는 273 제8주 강의 ′ ∴ ′ 가 된다. 한편 (24.32)식으로 정 의된 유효퍼텐셜에너지 ′ 을 ′ (24.38) 그래프로 그리면 그림 24.4와 같 아진다. 유효퍼텐셜에너지는 0보 다 큰 각방향 운동에너지와 0보 다 작은 퍼텐셜에너지의 합으로 구성되어 있다. 그런데 이 매우 작을 때 각방향 운동에너지는 ∞ 로 접근하고 퍼텐셜에너지는 ∞ 로 접근한다. 그렇지만 각방 향 운동에너지가 퍼텐셜에너지보 다 더 빨리 ∞ 로 접근하기 때문 에 이들 둘을 더하면 매우 작은 값에서 유효퍼텐셜에너지는 그림 그림 24.4 유효퍼텐셜에너지 24.4에 보인 것과 같이 ∞ 가 된다. 또한 매우 큰 값에서 각방향 운동에너지는 0보다 큰 수에서 0으로 접근하고 퍼텐셜에너지는 0보다 작은 수에서 0으로 접근하는데 각방향 운동에너지가 퍼텐셜 에너지보다 더 빨리 0으로 접근하기 때문에 유효퍼텐셜에너지는 이 매우 클 때 0보 다 작은 수로부터 0으로 접근한다. 중심력인 만유인력을 받고 움직이는 행성들이 어떤 운동을 하는지는 그림 24.4에 그려놓은 유효퍼텐셜에너지 그래프를 보면 대략 추측할 수 있다. 행성의 운동에서는 앞에서 본 것처럼 각운동량 과 역학적 에너지 가 보존된다. 한번 각운동량 값과 역학적 에너지 값이 결정되면 행성이 움직이는 동안 그 값이 변하지 않고 일정하게 유지된다는 의미이다. 그래서 행성의 각운동량 과 역학적 에너지 값이 무엇이냐에 따라 행성이 어떤 운동을 하는지가 결정된다. 각운동량 값은 그림 24.4에서 볼 수 있는 것처럼 유효퍼텐셜에너지의 형태를 결 정한다. 그리고 (24.38)식에서 분명하듯이 역학적 에너지에서 유효퍼텐셜에너지를 뺀 ′ 의 값이 0보다 작다면 지름방향 속도 성분인 이 존재할 수 없다. 그 274 24. 중심력을 받는 물체의 운동 러므로 그림 24.4에서 만일 역학적 에너지 값이 와 같다면 가능한 값은 하나 밖에 없다. 그러므로 행성의 역학적 에너지가 이면 행성은 반지름이 인 원궤도 를 그리며 운동한다. 또한 그림 24.4에서 만일 역학적 에너지 값이 와 같다면 행 성은 ≦ ≦ 인 값에서만 움직일 수가 있다. 그러므로 행성은 짧은 반지름의 길이가 이고 긴 반지름의 길이가 인 타원을 그리며 운동한다. 그림 24.4에서 역 학적 에너지 와 는 모두 0보다 작은 값이다. 만일 역학적 에너지가 이거 나 또는 와 같이 0보다 큰 값이면 행성은 태양으로부터 무한 멀리 진행해 나갈 수 있다. 엄격하게 말하면 일 때 행성은 포물선 궤도를 그리며 움직이고 일 때는 쌍곡선 궤도를 그리며 움직인다. 275 ...
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