9주강의

9주강의 -

Info iconThis preview shows page 1. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: 제9주 강의 각운동량 보존의 예 이번 주에 공부할 대상은 강체입니다. 크기를 갖고 있지만 모양은 결코 변하지 않 는 물체를 강체라고 합니다. 세상에 완벽한 강체는 존재하지 않지만 우리 주위에서 흔히 보는 고체를 강체로 다루어도 큰 무리가 없습니다. 이번 주에 강체는 강체의 운동을 기술하는 방법에 대해 공부합니다. 그러나 우리 가 강체의 운동에 대해 공부하는 이유는 강체에 특별한 관심이 있어서가 아닙니다. 방금 위에서 이야기하였듯이 강체란 실제로는 존재하지 않습니다. 그런데도 강체를 대상으로 삼은 이유는 물체의 운동을 기술하는데 물체의 크기가 운동에 영향을 미치 는 경우를 다루기 위해서입니다. 지난주까지는 물체의 운동을 기술하는데 물체의 크기를 전혀 고려하지 않았습니 다. 물체의 크기와는 전혀 관계가 없는 운동만을 다루었기 때문입니다. 물체의 운동 을 기술하는데 그 크기를 생각할 필요가 없는 경우로 두 가지가 있습니다. 하나는 문 제에서 물체의 크기가 상대적으로 매우 작아서 점이나 마찬가지인 경우입니다. 예를 들어 태양 주위를 회전하는 행성의 문제를 푼다고 할 때 태양에서 행성들까지의 거 리에 비하여 행성들의 크기는 점이나 마찬가지입니다. 다른 하나는 물체가 병진운동 을 할 때입니다. 크기를 갖는 물체가 병진운동을 하면 물체의 서로 다른 부분들이 모 두 다 똑같은 변위에 의해서 이동합니다. 그래서 물체에서 한 위치를 정하고 그 위치 에 물체의 질량이 모두 다 모여 있다고 생각하고 문제를 풀어도 똑같은 결과가 나옵 니다. 그래서 위의 두 경우는 물체의 크기를 고려할 필요가 전혀 없습니다. 277 제9주 강의 크기를 갖는 물체의 운동은 병진운동과 회전운동으로 구분됩니다. 그리고 크기를 갖는 물체의 운동은 순수한 병진운동과 순수한 회전운동을 나누어 묘사할 수 있습니 다. 순수한 병진운동이란 물체의 각 부분들의 운동이 서로 평행한 선을 이루는 운동 을 말합니다. 그리고 순수한 회전운동이란 물체가 움직이더라도 물체에 속한 어떤 한 점은 위치를 바꾸지 않고 그대로 있는 운동을 말합니다. 그런데 물체가 한 위치에서 다른 위치로 아무렇게나 움직이면 그 운동을 물체가 한 위치에서 다른 위치로 병진 운동을 한 뒤에 마지막 위치에서 회전운동을 한 것과 똑같은 결과라고 볼 수 가 있습 니다. 그것을 물체의 운동은 순수한 병진운동과 순수한 회전운동으로 나누어 묘사할 수 있다고 말합니다. 크기를 갖는 물체가 병진운동을 하면 물체에 속한 부분들이 모두 똑같은 변위에 의해서 기술되기 때문에 물체의 크기가 운동을 설명하는데 기여하지 않는다고 했습 니다. 그런데 크기를 갖는 물체가 회전운동을 하면 물체에 속한 부분들이 동일한 변 위에 의해서 기술되지 않고 모두 다른 변위에 의해서 기술됩니다. 회전운동을 하더라 도 위치가 변하지 않는 점에서 멀어질수록 더 큰 변위로 이동하기 때문입니다. 그런 데 크기를 갖는 물체가 회전운동을 할 때 물체의 이동을 회전각으로 표시한다면 물 체에 속한 부분들이 모두 동일한 회전각으로 기술됩니다. 그래서 회전운동도 병진운 동이나 마찬가지로 간단하게 기술할 수 있습니다. 우리는 지난주에 이미 직선운동과 원운동을 비교하면서 직선운동을 기술하는데 필 요한 물리량들과 원운동을 기술하는데 필요한 물리량들 사이에 어떻게 대응되는지 그리고 직선운동을 기술하는데 적용된 관계식들에 나오는 물리량들을 단순히 원운동 에서 대응되는 물리량로 바꾸어 쓰기만 하면 원운동을 기술하는데 적용되는 관계 식이 만들어지는 것을 보았습니다. 이제 원운동을 기술하는데 이용된 물리량들을 크 기를 갖는 물체의 회전운동을 설명하는데 이용할 것입니다. 앞에 보인 그림은 피겨 스케이팅을 하는 사람이 빨리 회전하는 묘기를 부리는 모 습입니다. 그렇게 빨리 회전하기 위해서 발을 빨리 움직여서 돌도록 하지 않습니다. 그림 (a)에 보인 것처럼 처음에는 팔과 발을 최대한 옆으로 벌리고 천천히 회전합니 다. 그 뒤에 팔과 발을 최대한 오므리면 사람은 저절로 빨리 회전하게 됩니다. 이것 은 각운동량 보존법칙이 적용되기 때문입니다. 이번 주에는 이처럼 물체의 크기가 회 전운동에 어떠한 영향을 주는지에 대해서 공부할 것입니다. 278 25. 강체의 운동 I ∙ 크기를 갖는 물체의 운동은 병진운동과 회전운동으로 구분할 수 있다. 병진운동 의 특징과 회전운동의 특징은 무엇인가? ∙ 병진운동의 관성을 나타내는 질량은 물체가 어떤 운동을 하거나 같다. 그러나 회전운동의 관성을 나타내는 회전관성은 회전축에 따라 달라진다. 강체의 회전 관성을 어떻게 구하나? ∙ 뉴턴의 운동방정식은 병진운동에서나 회전운동에서나 똑같이 적용된다. 다만 병진운동에서는 병진운동을 기술하는 물리량으로, 그리고 회전운동에서는 회전 운동을 기술하는 물리량으로 뉴턴의 운동방정식을 표현하면 된다. 회전운동에 뉴턴의 운동방정식을 적용하는 방법을 익히자. 지금까지는 물체의 운동을 다루면서 물체의 크기나 모양에 대해서는 전혀 고려하 지 않았다. 그동안 우리가 물체의 운동을 기술하기 위해 사용한 뉴턴의 운동방정식에 도 관심의 대상이 되는 물체의 질량만 포함되어 있었지 물체의 크기나 모양에 대한 정보는 들어있지 않았다. 이제 물체의 크기와 물체에서 질량이 어떻게 분포되어 있는 가가 물체의 운동을 기술하는데 영향을 주는 운동에 대해 공부할 때가 되었다. 그러나 우선 물체가 크기 를 갖고 있다고 하더라도 강체라고 불리는 이상적인 경우에 대해서만 생각하자. 크기를 갖는 물체는 그 물체를 구성하는 많은 입자들의 모임이라고 생각할 수 있는데, 그림 25.1에 보인 것처럼 그 물체를 구 성하는 어떤 두 입자들 사이의 거리도 모두 절대로 바뀌지 않을 때 그러한 물체를 강체라고 부른다. 그림 25.1 구성 입자들 사이의 거리가 고정된 강체 강체란 실제로는 존재하지 않는 이상적인 경우의 물체를 말한다. 물질의 세 가지 상태인 기체, 액체, 고체 중에서 고체의 움직임을 기술하기 위하여 강체라는 이상적 인 경우를 생각하지만, 실제로는 고체를 구성하는 분자들도 고체 내부에서 매우 격렬 하게 움직이고 있다. 단지 분자 하나하나가 움직일 수 있는 범위가 정해져 있을 뿐이 279 제9주 강의 그림 25.2 강체의 병진운동 설명 다. 그렇지만 비록 실제로 존재하지는 않는다고 하더라도 강체라는 이상적인 물체를 생각하면 크기를 갖는 물체의 운동을 기술하는 방법이 무척 간단해 진다. 또한 대부 분의 고체의 경우에는 강체라고 취급하여도 그 결과가 실제 고체라고 취급한 경우로 부터 크게 어긋나지 않는다. 강체의 운동은 병진운동과 회전운동 등 두 가지로 구분된다. 병진운동과 회전운동 이라는 용어는 크기를 갖는 물체에게만 적용되는 말이다. 그래서 물체의 크기를 고려 하지 않았던 지금까지는 우리도 병진운동이나 회전운동이라는 용어를 사용하지 않았 다. 그림 25.2에서 맨 왼쪽 그림의 경우가 순수한 병진운을 보여준다. 강체가 병진 운동을 하면 강체의 각 부분이 이동하는 변위가 이 그림에 보인 것처럼 모두 같다. 따라서 만일 강체가 병진운동만 한다면 강체의 움직임을 기술하는데 강체 중에서 단 지 한 부분의 변위만을 가지고 기술하더라도 강체 전체의 운동을 기술할 수가 있다. 그러므로 강체의 크기나 모양을 고려할 필요가 없다. 그림 25.2의 가운데 그림은 물체가 비록 직선을 따라 움직이고 있다고 하더라도 순수한 병진운동을 하지 않는 경우이다. 이 그림에서 물체는 병진운동과 회전운동을 겸하면서 직선을 따라 움직이고 있다. 이런 경우에 강체의 운동을 한 번에 기술하는 것은 매우 복잡하다. 그런데 그림 25.2에서 맨 오른쪽에 보인 경우는 비록 물체가 직 선 운동을 하지는 않지만 병진운동을 하는 경우이다. 그림에 25.3보인 것처럼 강체가 순수한 병진운동 을 한다고 하자. 그러면 강체의 일부를 구성하는 아 무렇게나 선정한 두 부분의 질량 과 가 이동 한 변위가 똑같이 이다. 그래서 두 질량에 대해 뉴턴의 운동 방정식을 써보면 질량이 과 인 부분에 대해서 각각 그림 25.3 순수한 병진운동 280 25. 강체의 운동 I (25.1) 가 되고 이 두 식을 더하면 (25.2) 가 된다. 이 결과는 강체 전체를 동일한 하나의 변위 로 기술할 수 있고, 이 때 뉴 턴의 운동방정식에는 강체의 총질량과 강체가 받는 외력의 합만 포함됨을 알려준다. 그리고 우리가 이미 잘 아는 것처럼, 강체의 각 부분 사이에 작용되는 내력의 합은 0 이다. 바로 그런 이유 때문에 지금까지 물체의 병진운동을 다룰 때는 물체의 크기나 모양은 고려하지 않고 단지 물체의 총 질량만을 생각하였다. 한편 크기를 갖는 물체의 순수한 회전운동이란 물체의 특정한 부분은 이동하지 않고 물체가 움직이는 운동을 말한다. 가장 일반적인 회전운동은 물체의 한 점이 고 정되고 물체가 움직이는 경우이다. 그런데 물체 중에서 직선에 해당하는 모든 부분은 이동하지 않고 나머지 부분만 움직일 수도 있다. 이런 회전운동의 경우에 움직이지 않는 부분을 회전축이라 한다. 물체에 속한 부분 중 직선 부분이 이동하지 않는 순수한 회전 회전각 운동을 그림 25.4에 그려 놓았다. 이 그림에서 굵은 점으로 표 시된 곳이 움직이지 않는 직선 부분의 단면을 표시하는데, 이것 이 회전축이다. 그림 25.4에는 지면에 수직하게 회전축이 놓여 있다. 이 회전축을 중심으로 물체가 회전하면 그림 25.4에 보인 것과 같이 물체의 각 부분이 이동한 변위는 서로 다르다. 이것 이 순수한 병진운동과 다른 점이다. 그래서 물체의 회전운동을 한 개의 변위로 기술할 수 없으므로 언뜻 보기에 크기를 갖는 물체의 회전운동을 설명하려면 수많은 변위가 필요할 것으로 생각된다. 그림 25.4 순수한 회전운동 그런데 만일 변위 대신에 회전각 를 이용하면 물체의 모든 부분을 이 동일 한 회전각으로 설명될 수 있음을 알 수 있다. 그림 25.4에 보인 것과 같이 물체를 회 전 시켰을 때 물체의 각 부분들이 모두 다 동일한 회전각 만큼 회전한다. 이것은 281 제9주 강의 순수한 병진운동에서 물체가 이동하면 물체의 모든 부분을 동일한 변위 로 기술 할 수 있는 것과 똑같다. 그래서 회전동을 기술하는데 적당한 물리량을 찾으면 강 체의 회전운동도 어렵지 않게 기술할 수 있을 것 같은 예감이 드는 것 같다. 고정된 회전축 주위의 회전운동은 병진운동에서 직선운동처럼 기술될 수가 있다. 회전운동을 기술하는데 적당한 물리량만 찾아내면 병진운동에서 사용한 것과 똑같은 형태의 식들을 가지고 회전운동을 기술할 수가 있다. 그리고 바로 그렇게 적당한 물 리량들이 바로 지난 22장에서 원운동을 기술하기 위하여 도입한 회전각 , 각속도 , 각가속도 , 회전관성 , 토크 , 그리고 각운동량 등이다. 또한 지난 22장과 23장에서 본 것처럼, 회전운동을 설명하기 위하여 구태여 적용할 식들을 새로 찾아 낼 필요조차도 없다. 병진운동의 식들을 그대로 가져다 이용할 수 있다. 다만 병진운 동의 물리량에 대응하는 회전운동의 물리량을 찾아내기만 하면 된다. 물체의 병진운동에 적용되는 뉴턴의 운동방정식을 회전운동에 적용하도록 바꾸면 (23.12)식에서 구한 것 처럼 → (25.3) 가 되는데 여기서 물체에 작용하는 외력의 합이 일 때 물체에 작용하는 토크 는 (23.14)식에 의해서 × (25.4) 그림 25.5 강체에 작용하는 토크 로 정의된다. 그림 25.5에 보인 것과 같이, 회전축을 지나는 한 점 를 원점으로 정 하고 강체의 라고 표시된 부분에 외력 가 작용한다면 원점 에서 힘이 작용하는 점까지의 위치벡터가 (25.4)식에 나온 이다. 그림 25.5에 보인 것처럼 위치벡터 과 강체에 작용하는 외력 사이의 사잇각이 라면 (25.4)식으로 주어지는 토크의 크기 는 (25.5) 와 같다. 여기서 는 회전축에서 힘 의 작용선까지 수선을 그어서 만나는 점 사이 의 거리이다. 282 25. 강체의 운동 I 또한 (25.3)식에 나오는 회전관성 는 (23.5)식에 의 회전축 해 (25.5) 에 의해 정의되지만 이것은 회전축으로부터 거리가 인 곳에 놓인 질점에 적용되는 정의이다. 그림 25.6에 보인 것처럼 세 개의 질점으로 이루어져 있지만 질점들 사이의 거리는 고정된 물체가 있다면 그 물체의 회전관성 는 그림 25.6 회전관성 계산 (25.6) 이 된다. 일반적으로 질량들 사이의 거리가 고정된 개의 질량 , , ⋯ , 으로 이루어져 있는 물체 에서 각 질량마다 회전축과의 거리가 , , ⋯ , 이라면 그 물체의 회전관성 는 (25.7) 으로 정의된다. 그리고 그림 25.7에 보인 것과 같이 질량이 연속적으로 분포된 물체가 있고 물체의 밀도 분포가 이라면 회전축으로부터 거리가 인 곳의 회전축 그림 25.7 질량이 연속적으로 분포된 물체의 회전관성 계산 조그만 부피요소 에 포함된 질량은 이고 의 회전관성은 이므로 이런 물체의 회전관성 는 적분에 의하여 (25.8) 라고 쓸 수 있다. 병진운동에서 질량의 역할을 하는 회전운동의 물리량이 회전관성이라고 하였다. 그런데 병진운동에서 물체의 질량은 물체가 어떻게 움직이느냐에 따라 바뀌지 않았 지만 회전운동에서 물체의 회전관성은 (25.6)-(25.8)식에서 분명한 것처럼 동일한 물체라고 하더라도 회전축이 어디냐에 따라 다른 값을 갖는다. 회전관성이 다르다. 283 제9주 강의 그리고 (25-6)-(25.8)식에 나오는 은 회전축에서 질량 까지 거리이다. 원점으 로부터의 거리가 아니라는데 주의해야 한다. 그러므로 회전관성에 대한 정의를 말로 한다면, 크기를 갖는 물체의 회전관성이란 물체의 각 부분을 이루는 질량에 회전축에 서부터 그 부분까지의 거리의 제곱을 곱한 것을 모두 더한 값과 같다가 된다. 그러므 로 동일한 물체라고 하더라도 회전축이 바뀌면 회전관성이 달라진다. 간단한 예로, 그림 25.8에 보인 아령의 회전관성을 계산해보자. 두 쇠공을 연결한 부분의 질량을 무시하면 그림 25.8에서 L m m 아령이 회전축 를 중심으로 회전한다고 A B 할 때 아령의 회전관성은 그림 25.8 회전축과 회전관성 (25.9) 이고, 회전축 를 중심으로 회전한다고 하면 아령의 회전관성은 (25.10) × 이다. 이와 같이 동일한 물체라도 회전축에 따라 회전관성이 다르다. 이번에는 (25.8)식을 이용하여 질량이 연속적으로 분 포된 물체의 회전관성을 계산해 보자. 첫 번째로 그림 25.9에 보인 것과 같이 질량이 이고 반지름이 인 얇 은 반지모양의 물체를 반지의 중심을 지나고 반지 면에 수직인 회전축에 대한 회전관성을 구하자. 반지처럼 물 체의 모양이 선을 이루고 있을 때는 전체 질량 을 선 그림 25.8 반지의 회전관성 의 길이 로 나눈 선밀도 를 (균일한 질량분포) 또는 (25.11) 라고 정의하면 편리하다. 그림 25.9에 보인 반지의 경우에 질량이 반지를 따라 균일 하게 분포되어 있다면 선밀도 는 284 25. 강체의 운동 I 반지모양의 선밀도 : (25.12) 이 된다. 그러면 그림 25.8에 보인 것처럼, 반지 중에서 짧은 선분요소 에 포함된 질량 은 (25.11)식에 의해 이므로 반지의 회전관성은 (25.8)식을 이 용하여 (25.13) 임을 알 수 있다. 이 식에서 세 번째 등식은 가 상수임을 이용하였고 네 번째 등 식은 반지름이 인 원의 둘레는 임을 이용하였으며 마지막 등식은 (25.12)식 을 이용하여 구한 것이다. 반지름이 이고 질량이 인 반지의 회전 관성이 인 것을 이용하면 그림 25.9에 보인 것과 같이 반지름이 인 원판에 질량 이 균일하게 분포된 접시의 회전관성도 쉽게 구할 수 있다. 질량이 면 위에만 분포되어 있 을 때는 전체 질량 을 면의 넓이 로 나눈 면밀도 를 그림 25.9 원판의 회전관성 (균일한 질량분포) 또는 (25.14) 라고 정의하면 편리하다. 이제 그림 25.9에 보인 원판의 회전관성을 계산해 보자. 먼 저 그림 25.9에 보인 반지름이 이고 두께가 인 반지를 먼저 고려하면, 이 반지모 양의 질량에 대한 회전관성 는 (25.15) 이다. 여기서 반지모양의 회전관성을 라고 쓴 것은 원판의 단지 일부분만을 대표 하는 회전관성이기 때문이다. 이제 원판을 반지름이 서로 다른 많은 반지모양으로 나 누고 다 더하면 원판의 회전관성 를 구할 수 있는데, 그렇게 하는 것이 바로 다음 적분으로 그 결과는 285 제9주 강의 (25.16) 가 된다. 원판의 회전관성인 (25.16)식을 쉽게 구할 수 있었던 것은 회전축이 원판의 중심 을 지나가기 때문이다. 만일 회전축이 원판의 가장자리를 지나간다면 (25.16)식과 유사한 적분을 수행하기가 보통 어려운 일이 아니다. 그런데 만일 물체의 질량중심을 지나가는 회전축 주위의 회전관성 을 알고 있다면 질량중심을 지나는 그 회전축 과 평행한 어떤 다른 회전축에 대한 회전관성도 아주 쉽게 구하는데 이용될 수 있는 평행축정리라는 이름의 정리가 있다. 질량이 인 물체에서 어떤 회전축 에 대한 회전관성을 라고 하고 이 축에 평행이고 질량중심을 지나는 회전축에 대한 회전관 성을 이라고 하자. 그리고 두 회전축 사이의 거리를 라고 하면 (25.17) 인 관계가 성립한다. 이 식을 평행축정리라고 부른다. 예를 들어, 그림 25.10에 보인 것과 같이 원판의 가장 자리를 지나는 회전축에 대한 회전관성 를 계산하자. 질량중심에 대한 회전관성 은 이미 (25.16)식에 의 해 주어짐을 알고 있으므로 평행축정리인 (25.17)식을 그림 25.10 평행축정리 이용하여 (25.18) 가 됨을 알 수 있다. 평행축정리는 다음과 같이 간단히 증명된다. 그림 25.11에 보인 것과 같이 질량중심이 있는 곳을 원점으로 정하고 축과 축을 그리자. 그 그림 25.11 평행축정리의 증명 286 25. 강체의 운동 I 리고 질량중심을 지나는 회전축에 대한 회전관성을 이라 하고 이 회전축과 평행 하고 점을 지나는 회전축에 대한 회전관성을 라고 하자. 그림 25.11에 보인 것처 럼, 질량중심인 원점에서 점을 지나는 회전축까지 위치벡터를 , 원점에서 질량 까지 위치벡터를 이라고 하면, 점을 지나는 회전축에서 질량 까지 변위는 이다. 따라서 점을 지나는 회전축 주위의 회전 관성 는 (25.8)식에 의해 (25.19) 가 된다. 여기서 세 번째 등식의 첫 항은 질량중심을 원점으로 정하였으므로 질량중 심을 지나는 회전축에 대한 회전관성 을 나타낸다. 세 번째 등식의 세 번째 항과 네 번째 항에 나오는 식은 각각 질량중심의 좌표와 좌표인 과 을 정의하 는 식으로 (20.6)식으로부터 (25.20) 이 된다. (20.6)식은 질점들의 모임에서 질량중심을 구하는 식인데, 그 식에서 더하 기 기호를 적분으로 바꾸면 (25.20)식과 같이 질량이 연속적으로 분포된 물체의 질 량중심을 구하는 식이 된다. 그런데 우리는 질량중심을 점으로 정해서 도 0이 고 도 0이므로 (25.19)식의 세 번째 등식의 세 번째 항과 네 번째 항은 모두 0 이 된다. (25.19)식의 마지막 결과가 바로 평행축정리이다. 이제 회전운동에 대한 뉴턴의 운동방정식인 (25.3)식 에 나오는 토크 와 회전관성 그리고 각가속도 에 대 해 잘 이해하게 되었다. 그러면 회전운동에 대한 운동방 정식을 실제 문제에 적용해보자. 그림 25.12식에 보인 것은 도르래에 감겨있는 줄의 다른 쪽 끝에 질량이 인 상자가 매달려 있다. 이 상자가 내려오는 가속도 를 구 하자. 도르래는 반지름이 인 균일한 원판으로 질량은 287 그림 25.12 도르래에 매달린 물체의 가속도 제9주 강의 라고 하자. 먼저 질량이 인 물체에 적용할 뉴턴의 운동방정식을 쓰자. 연직 아랫방향을 + 방향으로 정하면, 이 물체에는 중력 와 장력 가 작용하므로 뉴턴의 운동방정식 은 (25.21) 가 된다. 도르래에는 장력 가 작용하므로 이 장력에 의한 토크는 (25.22) 이다. 그리고 질량이 이고 반지름이 인 균일한 원판의 회전관성은 (25.16)식에 의해 (25.23) 이다. 그러므로 도르래에 적용할 뉴턴의 운동방정식은 → ∴ (25.24) 이다. 여기서 줄이 늘어나거나 줄어들지 않는다면 도르래의 각가속도 는 상자의 가 속도 와의 사이에 (25.25) 인 관계가 성립하는 것을 이용하였다. 그러면 이제 (25.21)식과 (25.24)식을 연립 으로 풀면 답을 구할 수 있다. 먼저 (25.24)식을 (25.21)식에 대입하면 ∴ 를 얻는다. 이 결과를 (25.24)식에 대입하면 장력 도 구할 수 있다. 288 (25.26) 26. 강체의 운동 II ∙ 회전운동에서도 병진운동에서와 마찬가지로 일-에너지 정리가 성립한다. 병진 운동에서 배운 일과 운동에너지가 회전운동에서는 어떻게 표현될까? ∙ 원통이 경사면을 따라 내려온다고 하자. 경사면과 원통사이에 마찰이 없다면 미 끄러져 내려오고 마찰이 있다면 굴러 내려온다. 두 운동 사이에는 어떤 차이가 있는가? ∙ 크기를 갖는 물체의 회전운동에서는 각운동량이 보존되는 경우가 많다. 각운동 량이 보존되는 조건은 무엇이고 각운동량 보존법칙이 적용되는 경우에는 어떤 것들이 있는가? 우리는 지난 16장에서 (16.3)식에 의해 물체에 힘 를 작용하며 로부터 까지 이동하였을 때 물체가 받은 일이 (26.1) 라고 정의하였다. 이 식을 회전 운동의 물리량으로 번역하면 (26.2) 가 된다. 일은 병진운동이나 회 전운동에서 동일하게 이용되고 힘 대신에 토크를 변위 대신에 회전각을 쓴 결과이다. (26.2) 식으로 주어지는 일이 어떤 의 미인지 그림 26.1을 보면서 알 아보자. 그림 26.1에 보인 강체 그림 26.1 토크에 의해 한 일 289 제9주 강의 에서 는 회전축이고 힘 는 점 에 작용되고 은 회전축에서 점 까지의 위치 벡터이다. 이제 이 힘을 받으며 강체가 만큼 회전하였다면 힘 를 통해 강체에 한 일 는 ⋅ (26.3) 가 된다. 이 식에서 네 번째 등식은 힘 에 의한 토크 의 크기가 × (26.4) 임을 이용하였다. (26.3)식에서 분명한 것처럼 회전하는 강체에 힘 를 작용하면서 강체가 만큼 이동하였을 때 강체가 받은 일은 바로 와 같음을 알 수 있다. 그 러므로 일을 정의한 (26.1)식을 강체의 회전운동에 적용한다면 힘 대신에 토크 를 그리고 변위 대신에 회전각 를 쓰면 된다는 것을 알 수 있다. 이번에는 강체의 병진운동에 대한 운동에너 지와 회전운동에 대한 운동에너지가 어떻게 다르게 표현되는지 보자. 그림 26.2에서 상대 거리가 고정된 세 질량이 병진운동을 한다고 하자. 이 그림에 표시된 강체가 병진운동을 한 다는 것은 세 질량의 속도가 모두 같아서 그림 26.2 병진운동하는 강체 (26.5) 라는 의미이다. 이 강체의 운동에너지 는 세 질량의 운동에너지 합과 같으므로 (26.6) 이 된다. 이 식의 두 번째 등식은 (26.5)식을 이용한 결과이고 마지막 등식에서 은 이 강체의 총질량을 의미한다. 이처럼 강체의 병진운동에서는 강체를 구성하는 질 량이 강체 내에서 어떻게 분포되어 있는지에는 상관없이 총질량만 알면 된다. 그러나 그림 26.3에 보인 것과 같이 역시 상대 거리가 고정된 세 질량이 회전운동 을 하는 경우를 보자. 이 그림에서 강체는 회전축 를 중심으로 회전한다. 그리고 290 26. 강체의 운동 II 그림에서 분명한 것처럼 세 질량의 속도인 , , 는 모 두 다르다. 그렇지만 세 질량의 속도는 회전축으로부터 각 질량까지의 거리를 각각 , , 라고 하면 , , (26.7) 인 관계를 만족한다. 그리고 이 회전운동의 운동에너지 는 세 질량의 운동에너지 합과 같으므로 그림 26.3 회전운동하는 강체 (26.8) 이 됨을 알 수 있다. 이 식의 두 번째 등식에서는 (26.7)식을 이용하였고 마지막 등 식은 (25.7)식으로 정의된 회전관성을 이용하였다. 이처럼 강체가 회전운동할 때는 강체 내에서 질량이 어떻게 분포되어 있는지가 운동에너지를 결정하는데 회전관성을 통하여 영향을 준다. 이렇게 회전운동에서 토크를 통하여 물체에 한 일과 회전 운동에너지를 정의하면, 일-에너지 정리를 회전운동에 적용할 수가 있다. 16장에서 배운 일-에너지 정리에 의하면 합력에 의한 일은 운동에너지의 변화량과 같다. 이것을 강체의 회전운동에 적 용하면 일-에너지 정리는 합력에 의한 토크가 한 일은 회전운동에너지의 변화량과 같아서 (26.9) 라고 쓸 수 있다. 예를 들어, 그림 26.4에 보인 것처럼 회전관성이 이 며 각속도 을 회전하고 있는 반지름이 인 도르래에 감은 줄을 힘 로 계속 잡아기면서 줄의 길이가 만 큼 풀렸을 때 도르래의 각속도 는 얼마일까? 이 힘이 도르래에 작용하는 토크 는 그림 26.4에서 명백하듯 이 그림 26.4 일-에너지 정리 응용 291 제9주 강의 (26.10) 이다. 그리고 줄이 길이 만큼 아래로 내려왔다면 도르래가 회전한 회전각 는 (26.11) 이가. 그러므로 이 토크가 도르래에 한 일 는 (26.12) 이다. 이 결과는 이미 예상할 수 있는 것처럼 힘 를 작용하면서 만큼 이동했을 때 의 일과 같다. 그러면 도르래의 마지막 각속도 는 (26.9)식에 의해 ∴ (26.13) 이 된다. 병진운동과 회전운동에서 운동에너 지를 다루는 방법을 비교하기 위하여 그림 26.5에 보인 경우를 보자. 그림 26.5의 위에 보인 것은 마찰이 없는 수평면 위에서 질량이 인 상자를 일 정한 힘 로 잡아끄는 경우이고 아래 보인 것은 질량이 이고 반지름이 그림 26.5 미끄러지는 운동과 굴러가는 운동 이며 회전관성이 인 원통을 역시 힘 로 잡아 끄는데 여기서는 원통과 수평면 사이에 마찰이 있어서 원통이 미끄러지지 않고 굴러가는 경우이다. 두 경우 모두 수평방향으로 거리 만큼 끌고 갔다면 물체 에 해준 일은 (26.14) 이다. 두 경우 모두 상자와 원통이 정지상태에서 출발했다고 하자. 그러면 상자의 경 292 26. 강체의 운동 II 우에는 일-에너지 정리에 의해서 거리 만큼 진행한 뒤에 상자의 운동에너지 와 마지막 속력 는 ∴ (26.15) 이 된다. 한편 원통의 경우에 미끄러지지 않고 굴러간다면 원통의 운동을 질량중심이 만큼 진행한 병진운동과 가운데 회전축을 중심으로 회전한 회전운동의 합으로 기 술할 수 있다. 그래서 원통이 수평거리 만큼 진행한 뒤의 운동에너지 는 (26.16) 과 같이 두 항으로 이루어진다. 여기서 는 원통의 질량중심이 수평방향으로 이동하 는 속력이고 는 원통의 중심축을 회전축으로 회전하는 각속도이다. 그런데 원통이 미끄러지지 않고 굴러간다면 와 사이에는 (26.17) 인 관계가 성립한다. 또한 원통의 중심축을 회전축으로 하는 원통의 회전관성 를 (26.18) 와 같이 표현할 수 있다. 여기서 는 차원이 없는 수로 원통에서 질량이 어떻게 분포 되어 있는지에 따라 결정된다. 예를 들어, 25장에서 계산해본 것처럼, 질량이 모두 원통의 바깥면에만 존재한다면 값은 1이 되고 질량이 원통 전체에 균일하게 분포 되어 있다면 값은 1/2이 된다. 그러므로 일-에너지 정리를 이용하면 (26.16)식과 (26.17)식 그리고 (26.18)식으로부터 ∴ (26.19) 가 된다. 그래서 (26.15)식과 (26.19)식을 비교하면 똑같은 일을 받았을 때 질량이 동일한 미끄러지는 상자와 굴러가는 원통 중에서 미끄러지는 상자의 마지막 속력이 더 빠른 것을 알 수 있다. 293 제9주 강의 일-에너지 정리를 이용하여 굴러가는 원통 문제를 쉽게 풀었는데, 이번에는 왜 그 런 결과가 나왔는지를 자세히 이해하기 위해 뉴턴의 운동방정식을 직접 적용하는 방 법으로 똑같은 문제를 다시 풀어보자. 그림 26.5의 위쪽 미끄러지는 상자의 경우 수 평방향으로 일정한 힘으로 잡아당기므로 상자의 가속도 는 (26.20) 이고 따라서 상자가 거리 을 진행하는 데 걸리는 시간 는 ∴ (26.21) 이다. 그러므로 정지상태로부터 출발하여 (26.20)식으로 주어진 가속도 에 의해서 (26.21)식으로 주어진 시간 만큼 가속되면 상자의 마지막 속력 는 (26.22) 인데 이것은 일-에너지 정리로 구한 결과인 (26.15)식과 동일하다. 그림 26.5의 아래쪽에 보인 원통 문제에서는 병진운동과 회전운동 각각에 대해 뉴 턴의 운동방정식을 세울 수 있다. 원통에 작용하는 수평방향 힘으로는 내가 잡아당기 는 힘 와 마찰력 가 있다. 그러므로 원통의 병진운동에 대한 뉴턴의 운동방정식은 (26.23) 이다. 한편 원통에는 두 힘 와 이외에도 연직 아랫방향으로 작용하는 중력 와 연직 윗방향으로 작용하는 수직항력 이 있다. 그런데 내가 수평방향으로 잡아당 기는 힘 와 중력 그리고 수직항력 모두 힘의 작용선이 회전축을 지난다. 그 러므로 이들 세 힘은 원통의 회전운동에 기여하지 않는다. 다시 말하면 이들 세 힘에 의한 토크는 0이다. 그러므로 원통의 회전운동에 대한 뉴턴의 운동방정식은 → ∴ 294 (26.24) 26. 강체의 운동 II 가 된다. 따라서 이제 (26.23)식과 (26.24)식을 연립으로 풀어 와 를 구하면 된 다. 여기서 주의할 점이 있다. 원통에 작용하는 마찰력 는 운동마찰력이 아니라 정 지마찰력이다. 또한 이 정지마찰력은 최대 정지마찰력이 아니기 때문에 과 같은 형태로 주어지지 않고 단순히 (26.23)식과 (26.24)식을 만족하도록 결정된다. 간단히 (26.24)식을 (26.23)식에 대입하면 (26.25) ∴ 이고 이 결과는 마치 병진운동에 대한 결과인 (26.20)식에서 질량 을 로 바꾼 것과 같다. 그래서 원통의 마지막 속력 도 (26.22)식의 질량 을 똑같이 바 꾸어 쓰면 되리라는 것을 예상할 수 있는데, 그 결과는 바로 일-에너지 정리로 얻는 (26.19)식으로 주어지는 것과 동일하다. 예제 1 그림과 같이 경사각이 인 경사면에 반 지름이 이고 회전관성이 인 원통이 내려온다. 경사면과 원통 사이에 마찰이 없어 서 원통이 미끄러져 내려올 경우와 마찰이 있 어서 굴러 내려올 경우 중 어느 경우가 더 빨 리 내려오는가? 마찰이 없어서 미끌어져 내려올 경우에 원통은 병진운동만 하므로 적용될 뉴턴의 운동방정식으로부터 미끄러져 내려오는 가속도 을 구하면 ∴ 이 된다. 그런데 굴러 내려오는 경우에는 적용될 운동방정식이 병진운동에 대한 것과 회전운동에 대한 것 두 가지로 , → → 이며 이 두 식으로부터 원통이 굴러 내려오는 경우의 가속도 를 구하면 295 제9주 강의 ∴ 가 된다. 그런데 항상 이므로 항상 이고 미끄러져 내려오는 경우가 굴 러 내려오는 경우보다 더 빨리 내려온다. ◆ 병진운동에 대한 뉴턴의 운동방정식을 (26.26) 등 두 가지로 표현되는 것처럼 회전운동에 대한 뉴턴의 운동방정식도 (26.27) 등 두 가지 방법으로 표현된다. 그리고 (26.26)식의 두 번째 식으로 표현된 뉴턴의 운동방정식으로부터 만일 어떤 계에 작용하는 외력의 합이 0이면 그 계의 총선운동 량은 보존된다는 선운동량 보존법칙이 성립한 것처럼, (26.27)식의 두 번째 식으로 표현된 뉴턴의 운동방정식으로부터 만일 어떤 계에 작용하는 외력에 의한 토크의 합 이 0이면 그 계의 총각운동량은 보존된다는 각운동량 보존법칙이 성립한다. 각운동량 보존법칙은 선운동량 보존법칙보다 더 광범위하게 성립된다고 말할 수 있다. 선운동량은 외력이 0이어야 보존되지만 토크 는 × (26.28) 로 주어지기 때문에 외력 가 0이면 토크도 물론 0이지만 가 0이 아니더라도 과 가 평행하거나 힘 의 작용선이 회전축을 지나면 토크는 0이 되므로 선운동량이 보존되는 조건보다 훨씬 더 다양한 조건 아래서 각운동량이 보존된다. 또한 각운동량 은 회전관성 에 의해서 (26.29) 296 26. 강체의 운동 II 로 주어지기 때문에 크기를 갖는 물체가 회전운동을 하는 중에 회전관성이 바뀐다면 각운동량을 일정하게 유지하기 위하여 각속도가 저절로 바뀐다. 예를 들어, 자유롭게 회전할 수 있는 회전의자에 사람이 앉아서 양손에 아령을 들고 팔을 옆으로 쫙 벌린 뒤에 각속도 로 회전하던 중간에 팔을 안쪽으로 움츠리면 회전의자는 저절로 더 빨리 회전하여 각속도 로 된다. 사람이 아령을 들로 팔을 벌렸을 때의 회전관성이 이고 팔을 오므렸을 때의 회전관성이 라면 각운동량 보존법칙에 의해 (26.30) ∴ 가 된다. 다시 말하면 팔을 벌렸을 때 회전관성 가 오므렸을 때 회전관성 의 2배 라면 나중 각속도 는 처음 각속도 의 두 배가 된다. 사람이 팔을 오므릴 때 작용 하는 힘의 작용선은 회전축을 지나가므로 이 힘이 작용하는 토크가 0이기 때문에 각 운동량이 보존되는 것이다. 예제 1 그림에 나온 것은 질량이 이고 반지름이 인 바퀴가 수평면에서 각속도 로 회전하고 있다. 그림에 보인 점에는 질량이 인 쥐가 바퀴와 함 께 회전하고 있다. 이제 이 쥐가 움직이기 시작하여 점으로 이동하였다면 바퀴가 회전하는 각속도는 어떻게 바뀌겠는가? 단, 바퀴의 질량 은 모두 바 퀴의 맨 바깥쪽에 위치한다고 하자. 바퀴와 쥐가 각속도 로 회전운동할 때 각운동량 는 이다. 여기서 질량이 이고 반지름이 인 반지 모양의 회전관성은 임을 이용 하였다. 그런데 이제 쥐가 쪽으로 걸어간다면 쥐가 바퀴에 작용하는 힘의 작용선은 회전축을 지나기 때문에 토크에 기여하지 않는다. 이제 쥐가 에서 까지 기어간 뒤에 바퀴의 각속도가 라고 하자. 그러면 이때 297 제9주 강의 의 각운동량 는 가 된다. 여기서 질량이 인 쥐가 회전축인 에 도달면 회전관성에 기여하지 않 는다는 점을 이용하였다. 그러면 각운동량 보존법칙으로부터 → 가 된다. ◆ 298 ∴ 27. 강체의 운동 III ∙ 크기를 갖은 물체가 움직이지 않고 정지해 있을 조건은 무엇일까? 물리학자들 은 물체가 움직이지 않고 정지해 있을 조건이라고 말하는 대신에 물체가 평형상 태에 있을 조건이라고 말한다. 물체가 평형상태에 있을 조건은 무엇일까? ∙ 평형문제는 물체에 여러 힘이 작용할 경우 물체가 평형상태에 있기 위해서 어떤 힘이 작용하는지 알아내는 문제를 말한다. 평형문제를 푸는 요령은 무엇일까? ∙ 강체에 작용하는 토크가 0이면 각운동량이 보존된다. 각운동량은 벡터이므로 각운동량의 크기뿐 아니라 방향도 보존된다. 각운동량의 방향이 보존되는 현상 을 뚜렷이 보여주는 예로 무엇이 있을까? 우리는 흔히 물체가 전혀 움직이지 않고 가만히 있으면 그 물체는 평형상태에 있 다고 말한다. 그리고 물체가 움직이지 않는다는 것은 그 물체가 병진운동도 하지 않 고 회전운동도 하지 않는다는 의미이다. 그런데 여러분도 이제 잘 알고 있겠지만 물 리적으로는 물체가 정지해 있을 조건과 등속도 운동을 할 조건이 구별되지 않는다. 사실 정지해 있다는 것은 0인 속도가 계속 유지되는 등속도 운동이라는 것과 같다. 그리고 물체가 등속도 운동을 할 조건은 물체에 작용하는 외력의 합이 0이라는 것이 다. 마찬가지로 회전운동에서 물체가 회전하지 않을 조건과 동일한 각속도로 계속 회 전할 조건이 다르지 않다. 즉 물체의 각속도가 일정하게 유지될 조건은 물체에 작용 하는 외력에 의한 토크의 합이 0이라는 것이다. 똑같은 이야기지만 물체가 평형상태에 있을 조건을 이렇게 말할 수도 있다. 크기 를 갖는 물체가 평형상태에 있을 조건은 그 물체에 작용하는 외력의 합 와 외력 에 의한 토크의 합 가 (27.1) 와 같이 0이어야만 한다는 것이다. 물체에 작용하는 외력의 합 이 0이면 병진운 동에 대한 뉴턴의 운동방정식 299 제9주 강의 (27.2) 에 의해서 물체의 선운동량은 일정하게 유지되고 그러므로 물체는 등속도 운동을 계 속하는데 만일 물체가 처음에 정지해 있었다면 물체는 계속 정지해 있게 된다. 그리 고 물체에 작용하는 외력에 의한 토크의 합 가 0이면 회전운동에 대한 뉴턴의 운 동방정식 (27.3) 에 의해서 물체의 각운동량이 일정하게 유지되고 그래서 물체는 일정한 각속도로 움 직이는 운동을 계속하는데 만일 물체가 처음에 회전하지 않고 있었다면 물체는 계속 회전하지 않고 정지해 있게 된다. 그러므로 어떤 시간에 정지해 있던 물체가 계속 정 지해 있을 조건은 (27.1)식으로 주어지며 이 조건을 물체가 정지해 있을 조건 또는 물체가 평형상태에 있을 조건이라고 말할 수 있다. 물체가 평형상태에 있을 조건을 이용하여 평형상 태에 있는 물체가 어떤 힘을 받고 있는지를 알아 낼 수가 있으며 이 방법은 실제로 건축이나 각종 기계 의 제작 토목공사 등 여러 분야에서 널리 활용되고 있다. 그런 문제의 전형적인 예로 그림 27.1에 보 인 것과 같이 벽에 걸쳐서 세워둔 사다리 위에 사람 이 올라가 있는 경우를 보자. 이 사다리에 작용하는 힘들을 모두 구하는 것이 문제이다. 질량이 균일하게 분포된 사다리의 질량이 총질량 이 이고 사다리에 올라가 있는 사람의 질량이 이라고 하자. 사람은 사다리 위에서 사다리 길이의 3분의 1이 되는 지점에 올라서 있다고 하자. 그러 그림 27.1 벽에 기대놓은 사다리에 작용하는 힘 면 사다리에 작용하는 힘은 그림 27.1에 보인 것과 같이 사람이 서 있는 곳에 연직 아래 방향으로 의 힘이 작용하고 있으며 사다리 의 질량중심에 역시 연직 아래 방향으로 의 힘이 작용하고 있다. 그리고 사다리 와 접촉한 바닥과 벽이 사다리에 힘을 작용하고 있다. 면이 물체에 작용하는 힘은 두 300 27. 강체의 운동 III 가지로 나눌 수 있다. 하나는 수직항력이고 다른 하나는 마찰력이다. 수직항력은 항 상 면에 수직한 방향으로 작용하며 마찰력은 항상 면에 평행한 방향으로 작용한다. 그래서 면과 접촉한 물체에 힘이 작용하면 면에 수직한 성분은 수직항력 그리고 면 과 평행한 성분은 마찰력이라고 할 수 있다. 그림 27.1에서는 바닥이 사다리에 작용 하는 힘을 마찰력 와 수직항력 으로 표시하였고 벽이 사다리에 작용하는 힘은 단지 수직항력 로만 표시하였다. 그래서 벽과 사다리 사이의 마찰력은 없다고 가 정한 셈이다. 이 문제에서는 두 중력 와 는 주어지고 두 수직항력 과 그리고 마찰 력 를 구하는 것이 문제이다. 전에도 여러번 설명한 것과 같이 수직항력을 미리 알 려주는 힘의 법칙은 없다. 수직항력은 문제를 풀면서 결정된다. 또한 이 문제에서 작 용하는 마찰력 는 정지마찰력인데 최대 정지마찰력일 이유가 없으므로 에 대해서 도 역시 미리 정해주는 어떤 힘의 법칙도 존재하지 않는다. 이제 사다리가 평형상태에 있을 조건을 적용하자. 먼저 사다리에 작용하는 힘들의 합이 0이어야 하므로 수평방향 : (27.4) 연직방향 : 이 성립해야 한다. 또한 이 힘들에 의한 토크의 합이 0이라는 조건을 이용하자. 토크 를 계산하려면 먼저 회전축을 정해주어야 한다. 움직이지 않는 물체의 회전축은 어디 로 정하는 것이 좋을까? 사다리가 움직이지 않기 위해서는 사다리의 어떤 부분을 회 전축으로 하더라도 토크의 합이 0이어야 한다. 다시 말하면, 회전축을 마음대로 정할 수가 있다. 그런 경우에는 힘의 작용선이 가장 많이 지나가는 부분을 회전축으로 정 하는 것이 편리할 때가 많다. 그 힘들에 대한 토크가 0이 되기 때문이다. 그래서 그 림 27.1에 나온 경우에는 사다리가 바닥과 접촉하는 곳을 회전축으로 정하자. 그러 면 사다리에 작용하는 각 힘에 대한 토크는 힘의 크기에 회전축에서 힘의 작용선까 지 그린 수선의 거리를 곱한 것과 같다. 그리고 회전축을 중심으로 +방향의 회전을 정해 놓으면 그 반대방향의 회전의 경우에는 토크에 -부호를 붙여주면 된다. 이 문 제에서는 회전축을 중심으로 시계 반대방향으로의 회전을 +방향 회전이라고 하자. 그러면 마찰력 와 수직항력 에 의한 토크는 0이고 두 중력 와 에 의한 토 크는 +부호를 갖으며 수직항력 에 의한 토크는 -부호를 갖는다. 따라서 토크의 301 제9주 강의 합이 0이라는 조건은 × × × (27.5) 가 된다. 따라서 (27.4)식과 (27.5)식으로부터 , , 를 구하면 , (27.6) 임을 알 수 있다. 그림 27.1에 보인 사다리 문제가 물체가 평형상태에 있을 조건으로부터 물체에 작 용하는 힘들을 구하는 전형적인 예이다. 이러한 문제를 특별히 평형문제라고 한다. 평형문제는 다음과 같은 과정으로 풀면 쉽게 해결된다. 첫째, 평형문제에 나오는 여러 물체들 중에서 특별히 평형상태에 있을 조건을 적 용할 물체를 찾는다. 예를 들어, 그림 27.1에 보인 문제에는 사다리와 사람 벽, 마루 등 여러 물체가 나오지만 그 중에서 평형상태에 있을 조건을 적용하는 물체는 사다 리이다. 둘째, 평형상태의 조건을 적용할 물체에 작용하는 힘을 모두 그린다. 이때 힘이 작 용하는 작용점도 정확히 그려야 한다. 중력의 경우에는 물체의 질량중심에 연직 아랫 방향으로 작용한다고 그리면 된다. 셋째, 문제에 적당하게 좌표축을 정해서 좌표계를 그리고 외력을 각 좌표축 성분 으로 나누어 그 합이 0이라는 조건을 이용한다. 예를 들어, 앞의 그림 27.1에 나온 사다리 문제의 경우 수평방향을 축 그리고 연직방향을 축으로 하는 좌표계를 이 용하였다. 넷째, 토크를 계산하기 위하여 적당한 회전축을 정한다. 회전축은 어느 곳이나 마 음대로 정할 수 있으므로 토크를 계산하는데 가장 편리하게 정하면 좋다. 예를 들어 외력의 작용선이 가장 많이 지나가는 점이 회전축으로 편리하다. 왜냐하면, 작용선이 회전축을 통과하면 그 힘의 토크는 0이기 때문이다. 다섯째, 회전축에 대한 방향은 +방향과 -방향 두 가지 뿐이다. 회전축을 정한 다 음 적당한 한 방향을 +방향으로 정한다. 토크를 계산할 때 +방향으로 회전하게 만 302 27. 강체의 운동 III 드는 토크에게는 +부호를 그리고 -방향으로 회전하게 만드는 토크에게는 -부호를 부여한다. 여섯째, 회전축을 꼭 하나만 정해야 되는 것은 아니다. 만일 더 편리하다면 다른 회전축을 또 정해서 조건을 구해도 된다. 그런데 구해야 하는 힘의 수보다 식의 수가 더 많다면 그것은 구한 식들 중에서는 동일한 내용을 담은 것이 포함되어 있다는 의 미이다. 예제 1 그림과 같이 폭이 이고 높이가 인 캐 비넷을 올려놓은 판자를 경사각이 가 될 때 까지 들어올렸다. 캐비넷이 쓰러지기 직전의 경사각 를 구하라. 캐비넷과 바닥 사이의 마 찰계수는 충분히 커서 판자를 들어올리더라 도 캐비넷이 미끄러져 내려오지 않는다. 그리 고 캐비넷에는 질량이 균일하게 분포되어 있 다고 가정하라. 이 문제에서 평형조건을 적용할 물체는 바로 캐비넷이다. 캐비넷에 작용하는 힘은 캐비넷의 질량이 이라고 할 때 캐비넷에 작용하는 중력 와 판자가 캐비넷을 들 어 올리는 수직항력 그리고 캐비넷에 작용하는 마찰력 가 있다. 특히 캐비넷이 쓰러지기 직전에는 아래 그림에 보인 것과 같이 과 가 캐비넷의 왼쪽 모퉁이에 작용한다고 생각하면 좋다. 그리고 중력 는 캐비넷의 중심에 작용한다. 이 그림에 보인 것처럼 중력을 판자에 평행인 성분과 판자에 수직인 성분으로 나누면 나중에 중 력에 대한 토크를 계산하는데 편리하다. 이제 캐비넷에 평형조건을 적용하자. 그 런데 토크를 계산하기 위해 그림에서 수직 항력과 마찰력이 작용하는 캐비넷의 왼쪽 모퉁이를 회전축으로 정하면 편리하다. 그 러면 그 크기를 아직 알지 못하는 수직항력 과 마찰력 에 의한 토크가 0이 되기 때 303 제9주 강의 문이다. 그러면 중력에 의한 토크를 계산하는데 회전축을 중심으로 시계방향으로 회 전하면 +방향이고 시계 반대방향으로 회전하면 -방향이라고 하자. 그러면 만일 토 크가 0보다 크면 캐비넷은 쓰러지지 않고 토크가 0보다 작으면 캐비넷은 쓰러지게 된다. 그러므로 캐비넷이 쓰러지기 직전의 경사각 는, 수직항력 과 마찰력 에 의한 토크는 이미 0이므로, 중력에 의한 토크가 0일 조건으로부터 구할 수 있다. 중력에 의한 토크를 구하는데, 그림에 보인 것처럼 중력을 판자에 평행인 성분과 수직인 성분으로 나누어서 계산하자. 그러면 회전축으로부터 판자에 수직인 중력 성 분까지의 거리는 이고 판자에 평행인 중력 성분까지의 거리는 이므로 중력에 의한 토크 가 0이 될 조건은 × × ∴ 이다. 경사각 가 이 각보다 더 크면 캐비넷은 쓰러지게 된다. ◆ 예제 2 그림과 같이 두 개의 동일한 기둥 위에 균일한 밀도를 갖는 콘크리트 판을 얹어 놓은 다리가 있다. 이 다리 위를 자동 차가 지나갈 때 기둥이 받는 힘은 다리에 수직하다. 자동차의 질량을 그리고 콘 크리트 판의 질량을 이라고 하고 기둥 이 놓인 위치와 자동차의 위치는 그림과 같을 때 다음 물음에 답하라. (a) ≦ ≦ 일 때 왼쪽 기둥이 받는 힘의 최대값은 얼마인가? (b) ≦ ≦ 일 때 두 기둥이 받는 힘을 구하라. (a) 이 문제를 풀기 위해 평형조건을 적용할 물체는 콘크리트 판으로 한다. 콘크리 트 판에 작용하는 힘을 모두 표시하면 그림에 보인 것과 같다. 콘크리트 판의 질량에 304 27. 강체의 운동 III 의한 중력 은 콘크리트 판의 질량중심에 작 용하고 과 는 각각 왼쪽 기둥과 오른쪽 기둥이 콘크리트 판을 들어올리는 수직항력이 다. 이 두 힘은 각각 왼쪽 기둥과 오른쪽 기둥 이 콘크리트 판으로부터 받는 힘의 반작용이므 로 과 를 구하면 바로 기둥이 받는 힘을 구한 것이나 마찬가지이다. 이제 평형조건을 적용하자. 그런데 문제에서 의 최대값을 물어보았으므로 평형조건 중에서 을 구할 수 있는 식만 구하면 된다. 그러므로 오른쪽 기둥이 받치고 있는 곳을 회전축으 로 정하고 토크의 합을 구하자. 시계방향으로의 회전을 +방향으로 정한다. 그러면 토크의 합 는 × × × ∴ 가 된다. 그러므로 의 최대값은 일때 이다. (b) 차가 두 기둥 사이에 있을 때 콘크리트 판이 받는 힘은 그림에 보인 것과 같다. 그리고 두 기둥이 받는 힘을 구하는 것이 목표이므로 문제를 쉽게 해결하기 위해서는 먼저 가 작 용하는 곳을 회전축으로 하여 을 구하고 다 음에 이 작용하는 곳을 회전축으로 정하여 를 구하면 된다. 그러면 먼저 가 작용하는 곳을 회전축으로 정할 때 토크의 합을 구하면 × × × ∴ 305 제9주 강의 이고 다음으로 이 작용하는 곳을 회전축을로 정할 때 토크의 합을 구하면 × × × ∴ 가 된다. 이번에는 시계 반대방향의 회전을 +방향으로 정하였다. ◆ 물체가 평형일 조건으로 물체에 작용하는 외력의 합이 0이고 외력에 의한 토크의 합이 0이라는 것을 이용하였다. 물론 이 조건은 선운동량이 보존되고 각운동량이 보 존되는 조건이기도 하다. 외력의 합이 0이어서 선운동량이 보존된다고 하는 것은 선 운동량의 방향과 크기가 모두 보존된다는 이야기이가도 하다. 그래서 한 물체의 선운 동량이 보존되는 경우에 그 물체는 직선운동을 한다. 그러면 외력에 의한 토크의 합이 0이 되어 각운동량이 보존되는 경우는 어떠할 까? 그런 경우에도 역시 각운동량의 방향 과 크기가 모두 보존되어야 한다. 예를 들어, 그림 27.2에 보인 것과 같이 원판 이 회전한다고 하자. 원판의 회전관성이 이고 각속도가 라고 하면 원판의 각운 동량 은 그림 27.2 각운동량이 방향 (27.7) 이고 이때 각속도 와 각운동량 의 방향은 그림 27.2에 보인 것과 같다. 이 방향은 오른나사를 원판이 회전하는 방향으로 돌렸을 때 오른나사가 진행하는 방향과 같다. 회전관성이 큰 원판을 매우 빨리 회전시켜서 회전축이 한 방향으로 유지되도록 만든 장치를 자이로스코프라고 부른다. 자이로스코프는 비행기라든지 잠수함 그리고 우주 선 등에서 일정한 방향을 유지하는 장치로 아주 요긴하게 그림 27.3 장난감 자이로스코프 이용된다. 우리 주위에서 흔히보는 장난감 자이로스코프가 그림 27.3에 나와 있다. 306 27. 강체의 운동 III 그림에 보인 것처럼 장난감 자이로스코프에 포함된 원판을 빨리 회전시킨 다음에 줄 위에 세워놓으면 넘어지지 않고 그대로 서 있는 것을 관찰할 수 있다. 이렇게 빨리 회전하여 각운동량이 큰 물체가 회전축을 일정하게 유지하는 것은 각운동량의 방향 을 바꾸려면 상당히 큰 토크가 필요하기 때문이다. 그것은 마치 매우 큰 선운동량으 로 움직이는 물체가 운동하는 방향을 바꾸게 만들기가 어려운 것과 똑같은 이치이다. 각운동량 보존법칙에 의해서 각운동량의 크기뿐 아니라 방향도 일정하게 보존되는 것을 이용한 경우는 그 밖에도 많이 찾아볼 수 있다. 예를 들어, 총을 쏠 때 탄환은 총신을 나오면서 빨리 회전하도록 총신의 내부에 홈이 파여져 있다. 그래서 탄환은 빨리 회전하면서 앞으로 진행한다. 그런 이유 때문에 탄환이 앞으로 진행할 때는 탄 환의 뾰쪽한 앞부분이 항상 전방을 향하면서 움직인다. 만일 탄환이 회전하지 않고 진행한다면 공기 저항과 같은 작은 힘에 의한 토크 때문에 탄환이 앞으로 진행하면 서 아무렇게나 돌게 되고 그러면 탄환의 적중률이 떨어지게 된다. 307 ...
View Full Document

This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

Ask a homework question - tutors are online