10주강의

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Unformatted text preview: 제10주 강의 다니엘 베르누이 (스위스, 1700-1782) 지난 주에는 강체에 대해 공부하였고 이번 주에는 유체에 대해 공부할 예정입니다. 여러분도 잘 알고 있듯이 물질의 상태는 고체, 액체, 그리고 기체로 나뉩니다. 강체는 고체의 운동을 기술하기 위하여 도입된 이상적인 물체입니다. 고체에 힘을 가하였을 때 고체 전체가 운동하는 모습을 기술하기 위하여 강체를 가정한 것입니다. 고체에 힘을 가하면 고체 전체의 운동상태가 바뀌기도 하고 고체가 변형하기도 합니다. 고체 가 변형하는 경우는 다음 주에 다루게 됩니다. 지난 주에는 고체 전체가 힘을 받고 운동하는 모습을 설명하기 위하여 강체를 도입한다고 설명하였습니다. 지난 주에 우 리는 고체가 전체로 하는 운동은 강체라고 가정한 경우나 실제의 경우나 거의 비슷 하기 때문에 기왕이면 강체라고 가정하고 문제를 쉽게 해결한다고 하였습니다. 고체와 액체 그리고 기체의 형태만 보면 고체와 액체가 기체에 비하여 더 가깝다 고 생각할 법 합니다. 그런데 물체의 운동에 관한한 액체와 기체가 고체에 비하여 더 가깝다고 할 수 있습니다. 그래서 액체와 기체를 합하여 유체라 부르고 지난 주의 강 에의 운동을 기술하는 방법에 이어서 이번 주에는 유체의 운동을 기술하는 방법을 배웁니다. 유체는 강체와 성질이 정 반대인 상태라고 생각할 수 있습니다. 강체란 외부에서 아무리 큰 힘을 받더라도 강체를 구성하는 입자들 사이의 거리가 바뀌지 않는 물체 를 말합니다. 이에 반하여 유체의 경우에는 아무리 조그만 힘을 받더라도 형태가 바 뀝니다. 그래서 강체는 외부에서 힘을 받으면 물체 전체가 움직이는데 반하여 유체의 309 제10주 강의 경우에는 힘을 받는 부분이 먼저 변형하고 나머지 부분은 상대적으로 바뀌지 않고 그대로 있습니다. 유체라고 한꺼번에 부르는 액체와 기체는 다른 면도 많지만 운동을 기술할 때는 똑같이 취급해도 좋습니다. 뉴턴의 운동방정식을 적용할 때 액체와 기체를 취급하는 방법이 비슷하기 때문입니다. 그래서 액체와 기체의 운동을 기술할 때는 모두 유체의 운동이라는 제목으로 설명하는 것입니다. 그리고 유체의 운동을 기술할 때도 역시 지 금까지 쭉 그래온 것처럼 새로운 자연법칙이 필요하지 않습니다. 뉴턴의 운동방정식 이면 충분합니다. 그런데 뉴턴의 운동방정식을 유체에 적용하기 위해서 어떻게 할지 궁금하지 않습니까? 역시 지금까지 해온 방법과 마찬가지입니다. 또 다른 물리량을 도입하여 유체를 기술하기에 편리하도록 뉴턴의 운동방정식을 표현합니다. 유체의 움직임을 설명하는 식으로 베르누이 방정식이 유명합니다. 여기서 베르누 이는 앞에 나온 사진의 주인공으로 네덜란드에서 태어난 스위스의 수학자입니다. 베 르누이는 자신뿐 아니라 그의 아버지와 숙부 그리고 그의 형제들이 모두 17세기 말 과 18세기 초에 걸쳐서 수학과 물리학에 크게 기여한 학자들이었습니다. 베르누이 시대에 유체의 움직임을 설명하는 베르누이 방정식을 알아낸다는 것은 매우 대단한 일입니다. 그러나 오늘날에도 그렇다고 말할 수는 없습니다. 베르누이 방정식이 유체 에만 적용되는 특별히 새로운 법칙은 아니기 때문입니다. 베르누이 방정식도 역시 지 금까지 우리가 배운 물체의 운동에 관한 다른 법칙이나 방정식들과 마찬가지로 뉴턴 의 운동방정식으로부터 바로 유도됩니다. 310 28. 유체의 운동 I ∙ 유체는 그 특성상 유체의 일부분에 힘을 작용하더라도 유체 전체의 운동상태에 영향을 주지 못한다. 유체의 운동을 기술하기 위해서 힘 대신에 어떤 다른 물리 량이 이용될까? ∙ 정지한 유체 내부에서는 어디서나 압력이 유체 표면으로부터 깊이에만 의존한 다. 이것을 파스칼의 원리라고 한다. 파스칼의 원리를 이용한 예에는 무엇이 있 을까? ∙ 유체에 담긴 물체에는 연직 아랫방향으로 중력이 작용하고 연직 윗방향으로 부 력이 작용한다. 고대 그리스시대에 아르키메데스 원리로 알려지게 된 부력이 작 용하는 이유는 무엇일까? 유체란 기체와 액체를 함께 부르는 이름이다. 그리고 유체의 성질은 강체의 성질 과는 정 반대라고 말할 수 있다. 강체는 아무리 큰 외력을 받더라도 구성 입자들 사 이의 거리가 바뀌지 않아서 조금도 변형되지 않는 물체를 말한다. 그에 반하여 유체 는 아무리 조그만 외력을 받더라도 바로 변형되는 성질을 가직 있다. 그래서 강체는 외력을 받으면 물체 전체의 운동상태가 바뀌는데 반하여 유체의 경우에는 힘을 받는 부분만 먼저 변형한다. 이렇게 아주 약한 힘을 받더라도 변형하는 유체의 성질 때문에 강체의 운동을 기 술할 때 사용한 것과 동일한 물리량을 가지고 유체의 운동을 기술할 수가 없다. 그래 서 유체의 운동을 기술하기 위하여 또 새로운 물리량을 도입하여야 된다. 유체의 운 동을 기술하는 자연법칙이 다른 것으로 바뀌지는 않지만 새로운 현상을 편리하게 기 술하기 위하여 새로운 물리량을 정의하게 된다. 가장 먼저 고려하여야 할 것이 질량이다. 우리는 지금까지 물체의 총질량을 생각 하였다. 병진운동에서는 물체가 받은 힘을 총질량으로 나눈 것이 물체의 가속도가 된 다. 그리고 회전운동에서는 물체의 회전관성이 병진운동에서 질량의 역할을 맡았다. 그런데 유체는 힘을 받으면 유체 전체의 운동상태가 바뀌지 않고 유체의 일부분만 311 제10주 강의 변형한다. 유체의 이런 성질을 다루기 위하여 유체에서는 유체로 이루어진 물체 전체 의 질량 대신에 밀도라는 물리량을 이용한다. 밀도는 단위 부피당의 질량으로 정의되 며 보통 그리스 문자 로 표시하는데, 부피가 이고 질량이 인 유체에 대해 밀도 를 식으로 쓰면 (28.1) 이 된다. 유체의 운동을 기술하기 위해 질량 대신 밀도를 사용함과 동시에 또한 힘 대신 압 력을 사용한다. 유체는 조그만 힘을 작용하더라도 바로 힘이 작용하는 부분의 형태가 바뀌는 성질을 가지고 있기 때문에 유체 전체의 운동을 조절하기 위해서는 유체의 단지 일 부분에 힘을 작용하는 방식을 이용할 수가 없다. 그래서 용기의 면으로 하여 금 유체를 전체적으로 밀도록 하며, 그때 면을 통하여 유체에 작용한 힘을 면의 넓이 로 나눈 압력이라는 물리량을 힘 대신 이용한다. 압력은 단위 넓이 당 작용하는 힘이다. 식으로는 유체의 어떤 면에 작용한 힘을 , 면의 넓이를 , 그리고 압력을 라고 할 때 (28.2) 이다. 그래서 압력을 알고 그 압력이 작용하는 면의 넓이를 알면 압력에 면의 넓이를 곱하여 면 전체를 통하여 작용하는 힘을 구할 수 있다. 그런데 여기서 주의할 것이 있다. 정지한 유체와 접한 면에 작용하는 압력은 항상 면에 수직한 방향으로만 작용 한다. 만일 압력이 면에 수직한 방향으로 작용하지 않는다면 용기면과 접한 유체는 압력 중에서 면에 평행인 방향의 성분에 의해서 면을 따라 이동하게 된다. 그러므로 정지한 유체에 작용하는 압력은 항상 면에 수직한 방향으로만 작용한다. 압력의 단위 는 힘의 위를 넓이의 단위로 나눈 것과 같다. 실용단위계에서 압력의 단위는 인데 이 단위를 파스칼이라고 부르고 로 표시한다. 그러므로 (28.3) 이다. 312 28. 유체의 운동 I 용기에 담은 유체 중 용기면과 접촉하는 부분에서 유체에 작용하는 압력은 용기의 면 중에서 단위 넓이의 면이 유체를 미는 힘이다. 이 압력은 유체를 담은 용기면이 유체를 미는 힘을 용기면의 넓이로 나누어 구한다. 그런데 유체 내부의 한 점에서도 압력을 생각할 수가 있다. 용기 내의 유체가 정지 상태라면 이 점에서는 모든 방향으 로 다 똑같은 압력이 작용한다. 만일 어떤 한 방향으로 작용하는 압력이 다른 방향보 다 더 크다면 유체가 그 방향으로 이동할 것이기 때문이다. 유체 내부의 한 점에 작용하는 압력을 구하기 위해서는 유체 내부의 이 점을 지나 는 가상의 조그만 면 조각을 상상한다. 그리고 이 면 조각이 유체를 미는 힘을 이 면 조각의 넓이로 나눈 것이 유체 내부의 한 점에 작용하는 압력이다. 또 다른 방향으로 작용하는 압력을 구하려면 가상으로 넣은 면 조각의 방향을 바꾸어주면 될 것이다. 우리 주위를 둘러싸고 있는 공기도 역시 유체이다. 그래서 공기에 작용하는 압력 도 생각할 수 있다. 특히 우리 주위의 공기에 작용하는 압력을 대기압이라고 부르는 데, 대기압은 지면에서 높이가 얼마인지에 따라 결정되며 높이가 같은 곳에서는 대기 압도 같다. 해수면에서의 평균 대기압을 1기압이라고 부르는데 1기압을 파스칼로 표 현하면 (28.4) 1기압= × 이다. 여기서 두 번째 등식은 1기압을 파스칼이라는 단위로 표시하면 매우 큰 수이므 로 100파스칼을 말하는 헥토파스칼( )이라는 단위를 이용한 것이다. 우리나라 기상청에서는 1993년부터 실용단위계인 헥토파스칼을 이용하여 기압을 표시하였지 만 그 전에는 cgs 단위계 단위인 바( )를 이용하기도 하였다. 그래서 1993년 이 전에는 바와 파스칼 사이에는 다음 (28.5) 인 관계가 성립하여 1바의 1,000분의 1인 라는 단위가 주로 이용되었다. 유체에서는 질량 대신 밀도를, 힘 대신 압력을 사용하며 밀도와 압력이 어떻게 정 의된 것인지를 잘 이해하였으면 이제 유체의 운동을 기술할 수 있는 준비가 된 셈이 다. 유체에 대해서는 정지한 유체와 흐르는 유체 두 경우로 나누어 다루면 편리하다. 그러면 먼저 정지한 유체에 대해 알아보자. 만일 유체의 무게가 없다면 정지한 유체 313 제10주 강의 내의 모든 부분에서 압력은 모두 다 같다. 대기압이 고도에 따라 달라지는 것은 공기 의 무게 때문이다. 그리고 만일 유체가 든 용기를 우주 한복판으로 가지고 간다면 유 체 내부의 어느 점에서나 압력은 같을 것이다. 지상에서라고 할지라도 유체의 밀도가 아주 작아서 무게를 무시할 수가 있다면 역시 유체 내부의 모든 점에서 압력이 같다 고 볼 수 있다. 아주 작은 힘을 받더라도 바로 이동하는 유체의 성질상 만일 어느 두 점의 압력이 조금이라도 다르다면 압력이 같아질 때까지 유체는 계속 이동한다. 그러나 유체의 밀도가 무시될 수 없을만큼 크다면 유 체 내부의 압력은 높이 또는 유체 표면으로부터의 깊이 에 따라 다르게 된다. 그림 28.1에 그려놓은 정지한 유 체를 보자. 유체의 내부에 위치한 한 점인 A에서 압력 은 얼마일까? 이 점에 유체가 움직이지 않으려면 그 림 28.1에 가상으로 그려놓은 위쪽 상자에 든 유체가 밀도 역시 가상으로 그려놓은 아래쪽 상자에 든 유체를 내리 누르는 힘과 아래쪽 상자에 든 유체가 위쪽 상자에 든 그림 28.1 정지한 유체 내부의 압력 유체를 올려 받치는 힘이 서로 같아야 한다. 그런데 아 래쪽 상자에 든 유체가 위쪽 상자에 든 유체를 올려 받치는 힘을 계산할 수 있는 방 법이 잘 생각나지 않는다. 그렇지만 위쪽 상자에 든 유체가 아래쪽 상자에 든 유체를 내리 누르는 힘을 계산하기란 어렵지 않다. 그것은 위쪽 상자에 든 유체에 작용하는 중력 즉 위쪽 상자가 포함하고 있는 유체의 무게라고 말할 수 있다. 그런데 곰곰이 생각하면 한 가지 빠뜨린 것이 있다. 위쪽 상자의 위 부분을 공기가가 대기압과 같은 압력으로 누르고 있다는 점이다. 그래서 위쪽 상자에 든 유체가 아래쪽 상자에 든 유 체를 누르는 힘은 위쪽 상자에 든 유체의 무게에 위쪽 상자 위에서 대기가 위쪽 상자 를 누르는 힘을 더한 것과 같다. 그러면 작용 반작용 법칙에 의해 아래쪽 상자에 든 유체가 위쪽 상자에 든 유체를 들어 받치는 힘은 위쪽 상자에 든 유체가 아래쪽 상자 에 든 유체를 내리 누르는 힘과 크기가 같고 방향이 반대이어야 한다. 위쪽 상자의 윗면의 넓이를 라고 하자. 대기압 가 위쪽 상자를 내리 누르는 힘 는 압력 곱하기 넓이와 같으므로 (28.6) 이다. 그리고 위쪽 상자에 든 유체의 질량은 밀도 곱하기 부피 즉 밀도 곱하기 윗면 314 28. 유체의 운동 I 의 넓이 곱하기 높이와 같고 이 질량에 중력가속도를 곱한 것이 위쪽 상자에 든 유체 에 작용하는 중력이므로 (28.7) 이다. 그래서 위쪽 상자에 든 유체가 아래쪽 상자에 든 유체를 내리 누르는 힘은 (28.6)식으로 주어진 힘 와 (28.7)식으로 주어진 중력 를 더하여 (28.8) 이다. 이 힘을 위쪽 상자의 밑면의 넓이 로 나누면 점 A에서 유체의 압력 는 (28.9) 이다. 이 결과가 바로 파스칼의 원리라고 알려져 있다. 식으로 표현한 이 결과를 말 로 한다면 다음과 같다. 정지한 유체 내부의 어떤 점에서든지 그 점에서의 압력은 유 체 표면으로부터 깊이에만 의존함을 알 수 있다. 즉 유체의 표면으로부터 깊이가 같 은 곳은 모두 압력이 같다. 우리는 파스칼의 원리인 (28.9)식을 구하면서 유체의 성질 과 뉴턴의 역학적 원리를 이용하였다. 그런데 이런 것을 전혀 모르던 17세기 중반에 그림 28.2에 보인 프랑스의 천재 수학 자이자 물리학자인 파스칼은 밀폐된 유체에 작용하는 압력은 유체의 모든 부분에 동일하게 전달된다는 사실을 깨닫고 파스 칼의 원리를 제안하였다. 그 시대에 사람들은 대기압은 물론 진 공이 존재하는지에 대해서도 잘 모르고 있었다. 파스칼은 진공 이 존재함을 보이는 실험을 수행하였고 유체에 관해서도 많은 실험을 하였다. 그리고 그는 유체의 평형에 대하여 라는 제목의 논문을 발표하였는데 그 논문에서 파스칼은 다음과 같은 내용 그림 28.2 블레즈 파스칼 (프랑스, 1623-1662) 을 제안하였다. 그림 28.3에 보인 것과 같이 밀폐된 용기의 위쪽은 상하로 자유롭게 이동할 수 있 도록 만들었다고 하자. 파스칼은 만일 자유롭게 이동할 수 있는 왼쪽 좁은 영역에 추 를 놓아 힘 으로 밀어준다면 역시 자유롭게 이동할 수 있는 오른쪽 넓은 영역에서 315 제10주 강의 는 훨씬 더 큰 힘 와 평형을 이룬다고 주 장하였다. 힘 가 힘 보다 훨씬 더 큰 이유는 표면에서 깊이가 같은 두 점에서는 압력이 같기 때문이다. 그림 28.3에서 왼쪽 부분의 넓이가 이고 오른쪽 부분의 넓이 가 왼쪽보다 훨씬 더 넓은 라면 두 부분 에 작용하는 힘은 압력에 넓이를 곱하여 , (28.10) 가 된다. 그래서 그림 28.3에 보인 것과 같 이 작은 힘으로도 아주 무거운 물체를 들어 그림 28.3 파스칼의 원리 설명 올릴 수가 있다. 물론 여러분이 잘 알다시 피 넓은 영역을 들어올리는 높이는 좁은 영 역을 내려 미는 깊이보다 훨씬 더 작다. 그래서 왼쪽의 작은 힘이 한 일 즉 에 왼 쪽 추가 내려온 깊이를 곱한 결과는 오른쪽의 큰 힘이 한 일 즉 에 오른쪽 물체가 올라간 높이를 곱한 결과와 같게 된다. 그러므로 비록 힘에서는 이득을 얻었지만 일 에서만큼은 왼쪽과 오른쪽의 두 경우가 똑같다. 압력을 측정하는 장치인 액주압력계는 정지한 유체의 압력에 대한 (28.9)식을 이 용한다. 그림 28.4로부터 액주압력계가 동작하는 원리를 살펴보자. 이 그림에 보인 유리로 만든 U자관에는 수은이 들어있다. 그런데 왼쪽의 경우와 같이 U자관의 양쪽 기체 수은 그림 28.4 액주압력계의 원리 316 28. 유체의 운동 I 구멍이 모두 공기중에 열려있으면 양쪽 관의 수은 높이는 동일하다. 그러나 오른쪽 경우와 같이 압력을 측정하려는 기체에 왼쪽관을 연결하면 양쪽 관의 수은 높이는 차이가 나게 된다. 이제 그림 28.4에 보인 오른쪽 그림에서 유체 내 와 그리고 점에서의 압력을 각각 , , 그리고 라고 하면 대기압을 라고 할 때 이들 사이에는 (28.9)식으로부터 , (28.11) 인 관계가 성립함을 알 수 있다. 여기서 는 수은의 밀도이다. 그림 28.4에 보인 것과 같은 액주압력계에서는 두 수은기둥의 높이차인 로부터 기체의 압력을 읽는데, 이렇게 구한 기체의 압력을 계기압력 계기 라 부르고 (28.11)식으로부터 계기 절대 여기서 절대 (28.12) 가 된다. 다시 말하면 액주압력계에서 측정하는 계기압력 계기 는 기체의 실제 압력인 절대 로부터 대기압을 뺀 압력이 그림 28.5 기압계 원리 다. 그러면 대기압은 어떻게 측정하면 좋을까? 그림 28.4 에 보인 액주압력계를 가지고 대기압을 측정할 수 있다. 관의 한쪽은 대기를 향하게 하고 다른 한쪽은 압력이 0이 되도록 만들면 된다. 그렇게 하기 위해서는 그림 28.5에 보인 것처럼 수은이 들어있는 한쪽이 막힌 유리관을 거꾸 로 세우면 된다. 이렇게 대기압을 측정하는 압력계를 기 압계라고 부른다. 그림 28.5에 보인 것과같은 원리를 이 용한 기압계는 17세기 초에 이태리의 과학자 토리첼리에 의해 발명되었다. 그림 28.6에 보인 토리첼리는 비록 부 모가 노동자인 가정에 태어났으나 과학과 수학에 뛰어난 능력을 보였다. 그러나 아깝게도 39세의 나이에 장티프 그림 28.6 이반젤리스타 토리첼리 (이태리, 1608-1647) 스에 걸려서 일찍 생을 마감하고 말았다. 만일 그가 더 살았더라면 뛰어난 수학적 발견들을 남겼을 것이라고 안타까워 하는 사람들이 많다. 그가 발견한 기압계를 기념하기 위해 수은기둥의 높이가 인 압력을 1토르 317 제10주 강의 ( )라고 부른다. 압력의 단위로는 앞에서 설명한 과 이외에도 수은기둥 높이 의미하는 와 가 있다. 이 단위들 사이에는 (28.13) 인 관계가 성립한다. 예제 1 U자관으로 된 수은 액주압력계를 어떤 기체통에 연결하였더니 기체통에 연결된 쪽의 수은 기둥이 아무것도 연결하지 않았을 때보다 올라갔다. 기 체통에 들어있는 기체의 계기압력과 실제 압력을 구하라. 기체통 쪽의 수은 기둥이 원래보다 더 올라갔다는 것은 기체통의 압력이 대기압보 다 더 낮다는 것을 의미한다. 한쪽의 수은 기둥이 만큼 올라갔으므로 (28.11) 식에서 는 에 해당한다. 그러므로 (28.12)식에 의해서 계기압력 계기 는 계기 × 이 된다. 여기서는 (28.13)식으로부터 의 압력은 에 해당하는 것 을 이용하였다. 그러면 기체통의 실제 압력 는 (28.12)식에 의해 계기 압력에 대 기압을 더하면 되므로 계기 이다. ◆ 정지한 유체 내부의 압력에 관한 (28.9)식은 부력을 설명하는데도 이용된다. 부력 이란 유체에 담긴 물체가 연직 윗방향으로 받는 힘을 말한다. 그림 28.7에 보인 것과 같이 밀도가 인 유체에 질량이 이고 밑면의 넓이가 , 높이가 인 물체가 잠겨 있다고 하자. 이 물체에 작용하는 힘으로는 물체의 중력 mg 와 유체가 물체의 각 면 을 미는 압력에 의한 힘이 있다. 유체가 물체의 옆면을 미는 압력에 의한 힘은, 유체 의 표면으로부터 깊이가 같은 곳의 압력은 같기 때문에 서로 상쇄된다. 단지 윗면을 318 28. 유체의 운동 I 아래로 누르는 압력에 의한 힘과 밑면을 위로 올리는 압력에 의한 힘은 윗면과 밑면이 유체 표면으로부터 깊 이가 서로 다르기 때문에 같지 않다. 그러면 윗면과 밑 면에 작용하는 이 압력 차이가 물체 전체에 어떤 힘을 작용하게 되는지 알아보자. 밀도 물체의 윗면에서 압력에 의해 물체를 아래로 누르는 힘 은 그림 28.7에 보인 깊이 에서 압력 에 면 그림 28.7 부력에 대한 설명 의 넓이 를 곱해서 (28.14) 이다. 여기서 을 구하는데 (28.9)식을 이용하였다. 한편 밑면에서 압력에 의해 유 체가 물체를 위로 올리는 힘 는 을 구할 때와 같은 방법으로 (28.15) 이다. 따라서 이들 두 힘을 합한 합력 는, 의 방향과 의 방향이 반대이므로 (28.16) 이 된다. 이 식에서 는 물체의 부피와 같고 는 용기 속에 든 유체의 밀도이므로, 이 힘은 물체와 동일한 부피의 유체의 무게와 같은데, 이것이 바로 위쪽 방향으로 작 용하는 부력이라고 불리는 힘이다. 부력의 원리는 고대 그리스 시대에 아르키메데스에 의해 처음으로 알려졌다. 그림 28.8에 보인 아르키메 데스는 고대 그리스 시대의 최고 수학자이자 철학자 이었는데, 왕으로부터 금관에 은이 섞여있는지를 관 을 부수지 않고 알아내라는 명령을 받고 고민하다가 목욕탕에 들어가 물이 넘쳐흐르는 것을 보고 아르키 메데스 원리와 부력을 발견하여 금관 문제를 해결하 였다는 일화가 전해 내려온다. 아르키메데스 원리는 물체가 유체에 잠겨있으면 물체가 밀어낸 유체의 무 319 그림 28.8 아르키메데스 (그리스, 기원전 287-212) 제10주 강의 게와 동일한 힘을 위쪽으로 받는다고 말한다. 예제 2 배가 항해중에 빙하를 발견하면 매우 조심해야 한다. 물 밖에 노출되어 있 는 부분보다 물 속에 잠겨 떠있는 부분이 훨씬 더 크기 때문이다. 빙하의 경우에 는 전체 질량의 몇 퍼센트가 물 밖에 노출되어 있는가? 바다에 떠있는 빙하에 작용하는 힘은 연직 아랫방향으로 작용하는 빙하의 중력과 연직 윗방향으로 작용하는 부력이다. 빙하가 바다에 떠 있는 것은 이 중력과 부력이 평형을 이루기 때문이다. 즉 중력의 크기와 부력의 크기가 같기 때문이다. 바닷물의 밀도를 얼음의 밀도를 라고 하자. 또한 빙하의 전체 부피를 그 리고 바다속에 잠긴 부분의 빙하 부피를 라고 하자. 그러면 빙하의 중력 는 이고, 빙하에 작용하는 부력 는 바다에 잠긴 빙하 부피에 해당하는 바닷물의 중력 과 같으므로 이다. 따라서 → ∴ 이고 빙하가 바다 위에 나와있는 부분의 비는 으로 단지 전체 빙하의 10%만 물 밖으로 나와있다. 여기서는 얼음과 바닷물의 밀도 로 과 을 이용하였다. ◆ 320 29. 유체의 운동 II ∙ 실제 흐르는 유체의 운동을 기술하기란 매우 복잡하다. 그래서 우선 이상유체를 가정하고 이상유체의 운동에 대해 먼저 공부한다. 이상유체는 어떻게 정의될까? ∙ 이상유체가 흐를때 유체의 유선은 결코 교차되지 않는다. 그런 이유로 유체의 흐름에서는 연속방정식이 성립한다. 유체에서 성립하는 연속방정식을 응용하는 예에는 무엇이 있을까? ∙ 이상유체가 흐를때 유체의 두 부분에서 유체의 압력과 속력 그리고 높이 사이에 성립하는 관계를 베르누이 방정식이라 한다. 베르누이 방정식으로 쉽게 설명되 는 자연현상에는 무엇이 있을까? 지난 28장에서는 정지된 유체에 대해 공부하였다. 이 장에서는 흐르는 유체의 경 우를 살펴보자. 유체의 흐름에 대해 연구하는 분야를 특히 유체역학이라 부른다. 유 체역학이 적용되는 현상은 광범위하다. 예를 들어, 우리가 항상 겪는 기상변화는 우 리 주위의 대기의 운동과 긴밀한 관계를 맺고 있고 우리 몸의 혈관에서 피가 어떻게 흐르는지를 설명하는데 유체역학이 필요하다. 유체가 실제로 흐르는 모습은 매우 복잡하다. 예를 들어, 모닥불에서 불꽃의 흔들 림이라든지 홍수가 난 강물이 격렬하게 흐르는 모습 등을 기술하는 것이 얼마나 복 잡할지 상상할 수 있다. 그래서 유체의 흐름을 분석할 때는 먼저 간단히 기술되는 경 우인 이상유체를 가정한다. 이상유체란 압축되지 않아서 유체가 흘러가면서 유체의 부피와 밀도가 바뀌지 않고, 유체가 흐를 때 점성이라고도 불리는 마찰이 작용하지 않는유체를 말한다. 점성이 없는 유체의 경우에는 유체가 흐르 면서 역학적 에너지가 열로 손실되지 않는다. 이 장에서는 우 선 점성이 없는 이상유체를 다루고 다음 30장에서는 점성이 있는 경우에 대해 살펴볼 예정이다. 이상유체가 흐를 때는 흐름선을 형성하면서 진행한다. 흐름 선이란 유체를 구성하는 입자들 하나하나가 움직이는 경로를 그림 29.1 유체의 흐름선 321 제10주 강의 말한다. 그림 29.1에 보인 것은 유체 내부에 구형 장애물이 있을 때 이 유체의 흐름 선을 보여준다. 이상유체의 경우, 흐름선의 가장 큰 특징은 두 흐름선이 절대로 서로 교차하지 않는다는 것이다. 만일 두 흐름선이 교차한다면 교차점에 도달한 두 입자는 자기가 어떤 흐름선을 따라 가야할 지 알 수 없게 된다. 두 흐름선이 절대로 교차하 지 않는다는 것은 자연에서는 절대로 그런 일이 벌어지지 않는다는 점을 알려준다. 즉 자연에서는 어떤 일이 이렇게 벌어질까 저렇게 벌어질까 망설이는 일이 일어나지 않는다. 이상유체의 흐름에서는 또한 흐름관을 생각할 수 있다. 흐름관이란 유체의 흐름에 서 흐름선으로 이루어진 관을 말한다. 어떤 두 흐름선도 절대로 교차하지 않으므로 어떤 흐름관에서도 흐름관 내부의 유체가 흐름관 바깥으로 나가지 않는다. 그 점을 이용하면 이상유체의 흐름에서 아주 중요하고 유용한 연속방정식이 성립함을 알 수 있다. 그림 29.2에 보인 것처럼 흐름관의 한쪽 끝에서 넓이가 인 단면을 유체가 의 속력 으로 흐른다고 하자. 그러면 짧은 시간간격 동안 이 단면을 지나간 유체의 질량 은 유체의 밀도 에 유체의 부피 를 곱한 (29.1) 가 된다. 그런데 흐름관의 다른 쪽 끝에서 이 그림 29.2 흐름관에서 성립하는 연속방정식 보다 더 좁은 넓이가 인 단면을 유체가 의 속력으로 지나간다고 하면 이 단면을 지나간 유체의 질량 는 위에서와 같은 방법으로 (29.2) 가 된다. 그런데 흐름관 내부의 유체는 결코 흐름관 바깥으로 나갈 수 없으므로 위 두 단면을 지나간 유체의 질량이 같아야 하며, 그래서 → (29.3) 322 29. 유체의 운동 II 이 성립한다. 이 식에서 양변을 로 나누면 이상유체의 흐름에서 성립하는 연속방 정식인 (29.4) 일정 을 얻는다. 이 연속방정식은 동일한 유체가 넓은 단면을 통과하며 흘러갈 때의 속력 은 좁은 단면을 통과하며 흘러갈 때의 속력보다 더 느리며 따라서 유체의 속력은 그 유체의 단면의 넓이에 반비례함을 말해준다. 위에서 (29.4)식을 유도하면서 본 것처 럼, 이상유체의 흐름에서 성립하는 연속방정식은 이상유체의 흐름에서 형성되는 흐 름관을 흘러들어가는 질량과 흘러 나가는 질량은 같아야 한다는 일종의 질량 보존법 칙이라고 할 수 있다. 유체의 연속방정식은 유체가 관 내부에서 흐르는 경우에 유 체의 속력의 관의 단면에 반비례한다는 식으로 적용할 수도 있지만 유체가 관을 따라 흐르지 않을 때도 역시 적용된다. 예 를 들어, 그림 29.3에 보인 것처럼 수도꼭지에서 흘러내리는 물을 보자. 여기서 떨어지는 물은 자유낙하 운동을 한다. 그러 므로 떨어지면서 중력가속도 인 가속도로 속력이 점점 더 빨 라진다. 물줄기가 내려오면서 떨어지는 속력이 증가함과 동시 에 그림 29.3에서 확인할 수 있는 것처럼 물이 흐르는 단면이 감소하는 것을 볼 수 있다. 이렇게 수도꼭지에서 흘러 떨어지 는 물에 연속방정식을 적용하여 떨어진 거리의 함수로 물줄기 그림 29.3 흐르는 물에 적용된 연속방정식 단면의 넓이를 계산할 수가 있다. 예제 1 심장은 몸 전체를 순환하고 돌아온 피를 다시 대동맥으로 내보내는 역할을 한다. 그리고 대동맥은 다시 32개의 간선 동맥과 연결되어 있다. 대동맥에서 피 가 흐르는 속력이 대략 시속 정도라고 다. 그렇다면 간선 동맥에서 피가 흐르는 속력은 얼마이겠는가? 피가 이상유체라고 가정하고 대동맥의 반지름은 이며 간선 동맥의 반지름은 라고 하자. 대동맥과 간선 동맥의 반지름을 각각 과 라고 놓자. 그러면 피가 대동맥을 흐 323 제10주 강의 르는 단면의 넓이 와 간선 동맥을 흐르는 단면의 넓이 는 이 된다. 그리고 피가 대동맥과 간선 동맥을 흐르는 속력을 각각 과 라고 하면 (29.4)식으로 주어진 연속방정식에 의해서 가 성립하고 따라서 피가 간선 동맥을 흐르는 속력 는 ≈ × 이다. 이와 같이 비록 간선 동맥의 단면이 대동맥의 단면보다 더 작지만 간선 동맥의 수가 많기 때문에 간선 동맥을 흐르는 피의 속력은 대동맥을 흐르는 피의 속력보다 더 느려진다. ◆ 이상유체의 흐름에 적용되는 연속방정식은 유체의 흐름 중에서 서로 다른 두 위치 에서 유체의 속력 사이의 관계만 이야기해 준다. 그러나 유체가 흐르는 속력이 어떻 게 결정되는지에 대해서는 이야기해주지 않는다. 그런 이야기를 해 주는 방정식이 베 르누이 방정식이다. 베르누이 방정 식은 흐르는 유체의 각 부분에서 압 력, 속도, 위치 사이의 관계를 알려 주는 식으로 유명하다. 베르누이 방정식을 설명하기 위하 여, 그림 29.4에 보인 것처럼, 아래 쪽 위치가 인 곳에서 넓이가 인 단면을 통과하는 유체의 속력이 이고 이 단면에 수직하게 작용하는 압력이 이라고 하자. 그리고 이 단면을 지나간 유체의 입자들이 모 그림 29.4 베르누이 방정식의 설명 324 29. 유체의 운동 II 두 위쪽 위치가 인 곳에서 넓이가 인 단면을 통과하는데 그때 유체의 속력이 이고 이 위쪽 단면에 수직하게 작용하는 압력이 라고 하자. 그러면 이들 사이에 일정 (29.5) 이 성립한다. 그리고 바로 이 식이 베르누이 방정식이다. 베르누이 시대에 베르누이 방정식을 알아낸다는 것이 매우 대단한 일이었다고 아 니할 수 없다. 그러나 오늘날에는 그렇지 않다. 베르누이 방정식이 무슨 유체에만 적 용되는 새로운 법칙은 아니기 때문이다. 베르누이 방정식도 역시 지금까지 우리가 배 운 다른 법칙이나 방정식들과 마찬가지로 뉴턴의 제2법칙을 이용하여 바로 유도된 다. 그렇게 하기 위해서는 그림 29.4의 아래쪽 위치가 인 곳에서 압력 을 통해 유체에 하는 일과 위쪽 위치가 인 곳에서 압력 를 통해 유체에 하는 일이 같다 는 조건과 유체의 속력은 단면의 넓이에 반비례한다는 연속방정식만 이용하면 된다. 그리고 유체의 단면에 작용한 압력에 의한 힘이 한 일에 대한 법칙은 무슨 다른 법칙 이 아니라 뉴턴의 운동방정식에 불과하다. 그러므로 베르누이 방정식이 유체에 성립 하는 특별한 자연법칙이라고 말하기보다는 뉴턴의 운동방정식을 유체에 적용하도록 바꾸어 쓴 것이라고 말하는 것이 더 적절하다. (29.5)식은 미리 선정한 과 라는 두 위치에서 식에 나온 세 항을 비교하였지 만 그렇게 선정한 두 위치를 특별히 고른 것은 아니다. 다시 말하면 유체의 흐름에서 어떤 다른 두 위치를 선정하더도 (29.5)식이 성립한다. 그래서 (29.5)식을 좀 더 일반적으로 (29.6) 일정 라고 쓸 수 있으며, 이 식은 이제 좌변의 물리량이 바뀌지 않는다는 보존법칙의 형태 로 표현된 베르누이 방정식이다. 그리고 이 식의 양변에 유체가 흘러간 작은 부피를 곱하면 좌변의 첫 항은 압력에 의한 힘이 한 일이 되고 두 번째 항은 중력 퍼텐셜에 너지가 되며 세 번째 항은 운동에너지가 된다. 그래서 베르누이 방정식인 (29.6)식 은 역학적 에너지 보존법칙을 유체에 적용한 결과임을 짐작할 수 있다. 이제 여러 가지 경우를 가정하여 (29.6)식의 의미를 음미해 보기로 하자. 이 식을 325 제10주 강의 28장에서 다룬 정지한 유체에 적용해보자. 그렇게 하 기 위해서는 베르누이 방정식인 (29.6)식에서 속도 v 를 0으로 놓으면 된다. 그 결과는 (29.7) 인데 이것은 정지한 유체에서 성립한 파스칼 원리인 밀도 일정 (28.9)식과 동일한 내용이다. 그것을 보이기 위해 그림 29.5에서 에서 압력 와 에서 압력 그림 29.5 정지한 유체에 적용한 베르누이 방정식 를 비교하자. 그러면 (29.7)식에 의해 (29.8) ∴ 가 되고 이 결과는 (28.9)식과 동일하다. (29.7)식과 같은 결과는 단지 정지한 유체 에서만 성립하는 것이 아니라 유체가 모두 동일한 속력 로 움직인다면 (29.6)식에 서 좌변의 세 번째 항은 변하지 않고 일정할 것이므로 역시 (29.7)식이 성립함을 알 수 있다. 이번에는 베르누이 방정식인 (29.6)식에서 일정 인 경우를 생각해 보자. 즉 흐 르는 유체에서 동일한 높이에서 유체의 압력 와 속력 를 측정하면 일정 일때 일정 (29.9) 이 성립한다. 다시 말하면 유체의 높이가 같다면 유체가 빨리 움직이는 곳에서의 압 력은 천천히 움직이는 곳에서의 압력보다 더 낮다. 이 결과는 우리 주위에서 관찰되 는 다양한 현상이 일어나게 된 경위를 이해하는데 도움을 준다. 예를 들어, 그림 29.6에 보인 것처럼, 비행기의 날개와 같은 유선형의 물체가 흐르는 유체 내부에 담겨져 있는 경우를 보자. 유선형 물체 주위에서 유체의 흐름 선은 그림 29.6에 보인 것과 같게 된다. 그런데 유체의 흐름선이 그림 29.6에 보 인 물체의 위쪽과 같이 촘촘하게 그려져 326 그림 29.6 양력의 설명 29. 유체의 운동 II 있으면 통과하는 단면의 넓이가 작다는 뜻이므로 흐름선이 듬성듬성 그려진 물체의 아래쪽보다 속력이 더 빠르다는 것을 알 수 있다. 그림 29.6에서 왼쪽에 그린 점들에 해당하는 유체 입자들은 물체를 통과한 뒤에 그림 29.6의 오른쪽에 그린 점들의 위 치까지 모두 동시에 도착하는데, 유선형인 물체의 모양에 의해서 물체 위쪽을 통과하 는 거리가 아래쪽을 통과하는 거리보다 더 길고, 그래서 물체의 위 부분을 통과한 흐 름선의 속도가 아래쪽 흐름선의 속도보다 더 빠름을 알 수 있다. 그리고 유선형 물체 의 위쪽 속도가 아래쪽 속도보다 더 크므로 베르누이 방정식에 의해 위쪽 부분의 압 력이 아래쪽 부분의 압력보다 더 작게 된다. 그래서 물체는 위로 향하는 힘을 받는 데, 이렇게 베르누이 방정식으로 설명되는 힘이 비행기가 뜨는 힘 중에 일부를 제공 한다. 날아가는 비행기가 받는 힘을 네 방 향의 성분으로 정리하면 그림 29.7에 보인 것과 같이 앞 방향과 뒷 방향으로 는 각각 추력과 항력을 리고 아랫방 향과 윗방향으로는 각각 중력과 양력을 받게 된다. 비행기에 앞방향으로 작용하 그림 29.7 날아가는 비행기가 받는 힘 는 추력은 비행기의 추진장치에 의해 비행기에 작용되며 뒷방향으로 작용하는 항력은 물체가 유체를 지나갈 때 받는 마찰 력에 의해 작용된다. 추력과 항력의 크기가 같다면 비행기는 등속도로 항진하고 추력 이 항력보다 더 크면 비행기는 가속되고 그 반대이면 감속된다. 비행기에 작용하는 힘 중에서 가장 쉽게 결정되는 중력은 여러분이 잘 아는 것처 럼 비행기의 총질량에 중력가속도를 곱한 것과 같은 크기로 연직 아랫방향으로 작용 한다. 반면에 연직 윗방향으로 작용하는 양력은 비행기가 공기라는 유체 내부에서 움 직이기 때문에 작용하며 양력이 작용하는 모습을 자세히 설명하자면 꽤 복잡해진다. 양력이 작용하는 여러 가지 원인 중의 하나가 그림 29.6에 보인 유체 속에서 움직이는 유선형 물체에 의해 설명한 베르누이 방정식에 의한 압 력의 차이 때문이다. 그러나 베르누이 방정식은 이상유체에 성립하기 때문에 실제 비행기 문제 에 나오는 양력의 원인이 오로지 유선형 날개 상하의 압력 차이로만 설명되는 것은 아니다. 327 그림 29.8 공기가 비행기에 부딪치는 받음각 제10주 강의 압력 차이와 함께 비행기에 작용하는 양력을 설명하는 다른 방법으로 그림 29.8에 보인 것과 같이 유선형 날개가 공기의 진행방향과 받음각이라 불리는 각도 를 이룰 때 공기가 비행기를 위로 들어 올리는 힘이 작용된다고 말한다. 베르누이 방정식인 (29.9)식을 이용하는 또 다른 예로 그림 29.9에 보인 분무기를 보자. 분무기의 펌프를 동작시 키면 공기가 빠른 속력으로 움직인다. 병에 담긴 액체의 표 면에서 압력은 대기압과 같고 액체에 연결된 가는 관 위의 압력은 그 위를 지나가는 공기의 속력이 빠르므로 대기압 보다 훨씬 더 작아진다. 그래서 병속에 담긴 액체는 관을 따라 위로 올라와서 뿌려지게 된다. 베르누이 방정식인 (29.9)식이 적용되는 마지막 예로 그 림 29.10에 보인 벤츄리 계기를 들 수 있다. 벤츄리 계기는 그림 29.9 분무기에 적용한 베르누이 방정식 관을 흐르는 유체의 속도를 측정하는 장치로 그림 29.10에 보인 것처럼 관을 통과하는 중에 단면적이 각각 과 로 다른 두 부분에 수직관을 세워 놓는다. 유체의 흐름에 성립하는 연속방정식인 (29.4)식에 의해 단면의 넓이가 넓은 인 곳을 흐르는 유체의 속도 은 좁은 인 곳을 흐르는 유체의 속도 보 다 더 느리게 흐른다. 유체의 속력이 더 빠르면 베르누이 방정식인 (29.9)식이 알려 주는 것처럼 속력이 더 느린 곳의 유체에서보다 압력이 더 작다. 이 모양을 그림 29.10이 보여준다. 이 계기를 이용하면 그림 29.10에 빨간 점으로 표시한 위치 1과 위치 2의 좌표가 거의 같아서 ≈ 라고 할 때 이 두 점에서의 계기압력 과 1 2 그림 29.10 벤츄리 계기 328 29. 유체의 운동 II 는 벤츄리 계기에 세운 수직관에 올라온 유체의 높이 과 에 의해서 (29.10) 가 되고 따라서 (29.9)식에 의해서 유체의 높이 과 그리고 유체의 속력 과 사이에는 ∴ (29.11) 이 성립한다. 이 식을 이용하면 관속에 흐르는 유체의 속력을 측정할 수 있다. 예제 2 그림과 같이 물이 가득찬 물통의 아래 구멍에서 물이 흘러나오고 있다. 구멍에서 물이 찬 수면까지의 높이가 라고 할 때 구멍으로부터 물이 흘러나오는 속 력 를 구하라. 베르누이 방정식을 적용하면 이 문제를 풀 수 있다. 이 문제에서 비교할 두 위치는 그림에 보인 물통의 수면 위의 한 점이 과 아래 구멍에서 물이 흘러나오는 곳의 한 점 이다. 두 점 과 는 모두 공기와 접해 있으므로 두 곳에서의 압력 과 는 모두 대기압과 같은 이다. 그리고 물이 흘러나오는 구멍의 단면적에 비해 물통의 단면 적이 매우 크다면 연속방정식에 의해서 수면이 낮아지는 속력은 무시할 수 있고 따 라서 에서 물의 속력 은 0으로 놓을 수 있다. 그러면 베르누이 방정식에 의해 ∴ 가 된다. ◆ 329 30. 유체의 운동 III ∙ 이상유체에는 점성이 없다고 가정된다. 그래서 수평방향으로 흐르는 이상유체 의 속력은 바뀌지 않지만 실제 유체에서는 점성에 의해서 속력이 느려진다. 점성 을 가진 유체의 흐름에 대한 포아즈이유 법칙을 설명하라. ∙ 점성이 없는 이상유체 내에서 물체가 이동하면 유체로부터는 아무런 힘도 받지 않는다. 그러나 점성이 있는 실제 유체 내에서 움직이는 물체에게는 점성력이 작 용한다. 점성력에 대한 스토크스 법칙을 설명하라. ∙ 유체 중에서 액체의 표면에서는 특별히 표면장력이라는 힘이 작용한다. 표면장 력 때문에 관찰되는 자연현상에는 어떤 것들이 있는가? 29장에서는 이상유체에 적용되는 베르누이 방정식에 대해 공부하였다. 이상유체 란 운동하는 동안에 압축되지 않아서 밀도가 일정하고 점성이 없어서 유체가 흐를 때 역학적 에너지가 열에너지로 손실이 되지 않는 유체를 말한다. 엄격한 의미에서 이상유체는 존재하지 않는다. 그렇지만 많은 경우에 이상유체라고 가정하고 구한 결 과를 적용해도 크게 틀리지 않는다. 더 정확한 설명을 원한다면 그때 이상유체의 결 과로부터 어떤점을 수정하여야 될지 생각해보게 된다. 크기를 갖는 물체의 운동을 공부한 25장, 26장, 27장에서도 비슷한 경험을 하였 다. 고체의 운동을 다루는데 우리는 강체를 가정하였다. 강체란 아무리 큰 힘이 작용 되더라도 변형되지 않는 물체를 말한다. 그래서 강체를 구성하는 어떤 두 구성입자들 사이의 거리도 절대로 바뀌지 않는다. 물론 엄격한 의미에서 강체는 존재하지 않지만 강체라고 가정하면 그 운동을 기술하기가 아주 간단해진다. 그리고 실제로 대부분 고 체의 운동에 대한 결과는 그 고체가 강체라고 가정하고 얻은 것과 별반 다르지 않다. 혹시 더 정확한 설명을 원한다면 그때 강체라는 가정 중에서 어떤 부분을 수정해야 되는지 생각해보면 된다. 고체를 강체라고 가정하고 기술한 경우와 유체를 이상유체라고 가정하고 기술한 경우를 비교한다면, 고체보다는 유체의 경우에 실제 문제를 다룰 때 수정되어야 할 부분이 더 많다. 그래서 강체를 다룰 때는 강체가 아닌 경우를 생각해 보지 않았지만 330 30. 유체의 운동 III 유체를 다룰 때는 유체의 점성을 무시할 수가 없다. 이상유체를 다루는 베르누이 방 정식을 적용하면 수평방향으로 놓인 단면적이 동일한 관을 흐르는 유체의 압력은 일 정하게 유지된다. 그러나 우리 주위에서 관찰되는 거의 모든 유체에서는 그런 일이 벌어지지 않는다. 다시 말하면 비록 유체가 흐르는 관이 수평으로 놓여있고 관의 단 면적이 일정하다고 하더라도 유체가 흐르는 방향으로 유체의 압력이 점점 감소한다. 점성이 있는 실제유체가 흐를 때 압력이 감소 하는 것은 마찰력이 작용하기 때문이다. 유체에 작용하는 마찰력은 유체가 그림 30.1에 보인 것 과 같은 흐름층을 구성하며 흐른다고 설명하면 쉽게 이해될 수 있다. 흐름층이란 유선의 모임인 유관에서 동일한 속도로 흐르는 유선들로 이루 어진 층을 말한다. 그림 30.1 유체의 흐름층 예를 들어 유체가 단면적이 원 모양인 관을 따 라 흐른다면 그 유체의 흐름층은 원통모양을 하 고 있는데, 점성을 가진 유체의 경우에는 관과 접 촉된 흐름층의 속력은 0이고 관으로부터의 거리 가 증가할 수록 흐름층의 속력이 증가한다. 그래 서 그림 30.2의 (a)에 보인 것처럼, 이상유체의 (a) 점성이 없는 이상유체 경우에는 유체의 흐름을 구성하는 흐름층들이 움 직이는 속력이 모두 같지만 그림 30.2의 (b)에 보인 것처럼, 점성이 있는 실제유체의 경우에는 흐름층의 위치가 관과 접촉된 부분으로부터 얼마 나 멀리 떨어져 있느냐에 따라 흐름층이 움직이 (b) 점성이 있는 실제유체 는 속력이 달라진다. 그림 30.2 이상유체와 실제유체의 속력 유체의 점성이 어느정도인지는 그 유체의 점성 계수로 표현된다. 유체가 흐를 때 흐름층에 작용 하는 마찰력 는 흐름층의 넓이 에 비례하며 인접한 흐름층의 속력이 얼마나 바뀌는지에 따라 결정된다. 이때 유체의 점성계수가 어떻게 정의 되는지 이해하기 위해 그림 30.3을 보자. 그림 그림 30.3 점성계수의 정의 331 제10주 강의 표 30.1 몇 가지 유체의 점성계수 물질 기체 온도 수증기 공기 점성계수( ⋅ ) × 물질 액체 온도 점성계수( ⋅ ) 물 × × × × × × × × × 아세톤 × × 메타놀 × × 에타놀 × × 글리세린 × × 액체 × 혈액 기름 × 30.3에는 유체의 흐름을 구성한 두 흐름층을 보여준다. 그러면 아래쪽 흐름층에 대 하여 위쪽 흐름층이 받는 점성에 의한 마찰력 는 (30.1) 로 주어진다. 여기서 는 두 흐름층 사이의 간격이며 는 아래쪽 흐름층과 위 쪽 흐름층의 속력 차이인데 이 식에서 비례상수 를 유체의 점성계수라고 한다. (30.1)식으로부터 점성계수 의 차원이 무엇인지 보면 압력 ⋅ 시간 (30.2) 이 됨을 알 수 있다. 그래서 유체의 점성계수 단위로는 파스칼-초(⋅ )가 이용된 다. 몇 가지 유체의 점성계수가 표 30.1에 나와있다. 우리가 쉽게 예상할 수 있는 것 처럼, 유체 중에서 기체의 점성계수는 액체의 점성계수보다 훨씬 더 작다. 또한 유체 의 점성계수는 온도에 따라 변화한다. 그런데 표 30.1에서도 확인할 수 있는 것처럼, 기체의 점성계수는 온도가 높아질수록 증가하는 반면 액체의 점성계수는 온도가 높 아질수록 감소한다. 기체의 경우에는 온도가 높아질수록 기체분자들의 운동이 더 격 렬해지므로 점성계수가 온도와 함께 증가하지만 액체의 경우에는 온도가 낮아지면 332 30. 유체의 운동 III 분자들 사이의 인력이 더 커지므로 점성계수는 온도가 낮 아질수록 더 커진다. 점성을 가지고 있는 실제 유체가 관을 통해 흐르면 유체 는 그림 30.1에 보인 것처럼 흐름층을 형성하면서 흐른다. 흐름층을 형성한다는 것은 관에서 위치에 따라 유체가 흐 르는 속력이 달라진다는 것을 의미한다. 유체가 흐르는 관 이 수평방향으로 놓여 있을 때 점성이 있는 유체가 관의 단면을 단위시간동안 흘러나오는 비율을 유량률 (30.3) 그림 30.4 장-루이 포아즈이유 (프랑스, 1797-1869) 로 기술하면 편리하다. 여기서 는 시간간격 동안 유체가 흐르는 관의 단면을 통과하는 유체의 부피이다. 유체의 유량률 는 유체가 흐르는 방향으로 압력이 얼마 나 빠르게 감소하는지와 점성계수에 의존한다. 그런데 19세기 초 프랑스의 의사였던 그림 30.4에 보인 포아즈이유는 혈관을 흐르는 혈액에 대해 연구하면서 점성이 있는 유체의 유량률 가 혈관 반지름의 네제곱에 비례하는 것을 발견하였다. 그래서 유체 의 유량률 를 (30.4) 라고 표현할 수 있는데, 이것을 포아즈이유 법칙이라고 부른다. 포아즈이유는 이 법 칙을 발견하였을 뿐 아니라 요즈음 흔히 보는 수은액주를 이용한 혈압계를 처음 사 용하기 시작한 사람이라고 알려져 있다. (30.3)식에서 은 관의 반지름을, 는 점 성계수를 그리고 은 흐름층의 길이를 나타낸다. 그래서 은 단위 길이당 압력 이 감소한 비율을 말한다. 유체가 흐르는 비율을 말하는 유량률이 관의 반지름의 네제곱에 비례하는 것처럼, 관의 반지름이 조금만 차이가 나더라도 유량률이 크게 변한다는 사실은 자연현상에 서 아주 중요한 결과를 가져온다. 예를 들어 동맥경화증을 앓고 있는 환자의 동맥이 좁아졌다고 하자. 신체의 각 부분에 필요한 혈액이 전과 마찬가지로 공급되기 위해서 는 혈압이 더 높아지는 방법 밖에 없다. 동맥경화증에 의해 동맥의 반지름이 전보다 절반으로 줄었다면 포아즈이유 법칙인 (30.4)식에 의해 혈액 유출양 가 16분의 1 333 제10주 강의 로 감소할 것이고, 유출양 를 전과 마찬가지로 유지시키기 위해서 심장은 더욱 세 게 혈액을 내보내야 하며 그러면 결과적으로 혈압이 높아지게 되는데, 고혈압 자체도 건강상 매우 우려되는 증세이다. 예제 1 길이가 이고 반지름이 인 관을 따라 점성이 있는 유체가 흐른다고 하 자. 그런데 이번에는 똑같은 길이에 반지름이 인 관 두 개를 통하여 동일한 유체가 흐른다고 하면 유량률 는 원래 경우 유량률의 몇 배가 되겠는가? 관 양 쪽 끝 사이의 압력 차이는 동일하다고 가정하라. 원래 유량률을 그리고 나중 유량률을 라고 하면 포아즈이유 법칙에 의해 × 가 된다. 그러므로 나중 유량률 는 원래 유량률 의 8분의 1이다. 이처럼 유량률 이 관의 반지름의 네 제곱에 비례한다는 사실이 반지름에 따라 유량률이 매우 급격 하게 변하는 결과를 초래한다. ◆ 지금까지는 점성을 갖는 유체가 흐를 때의 경우를 살펴보았다. 점성을 갖는 유체 가 흐르면 유체 내에서 흐르는 속력이 동일한 점들로 흐름층을 이루며 흐른다는 것을 알았다. 그리고 그런 경우에 주어진 관을 통해 흘러나오는 유량률은 관의 반지름의 네제곱에 비례하는 포아즈이유 법칙이 성립 함을 알았다. 이번에는 점성이 있는 유체 내부에서 다른 물체가 움직이면 어떻게 되는지 알아보자. 그런 문제에 대해 서는 아일랜드에서 태어나 영국에서 명성을 떨치며 케 임브리지 대학은 루카시안 교수로 활약하였던, 그림 30.5에 보인 스토크스에 의해서 실험적으로 면밀히 조사되었다. 유체 속에서 움직이는 물체의 속력이 그 334 그림 30.5 조지 게브리엘 스토크스 (영국, 1819-1903) 30. 유체의 운동 III 리 크지 않으면 물체 주위의 유체가 흐름층을 이루며 이동한다. 그런 경우에 유체의 점성 때문에 물체가 이동하는 방향과 반대방향으로 물체에 작용하는 힘을 점성항력 이라고 부른다. 스토크스는 면밀한 측정을 통하여 유체 내부에서 움직이는 반지름이 인 구형 물체에 작용하는 점성항력 는 유체에 대한 물체의 속력 에 비례하여 (30.5) 로 주어진다는 것을 발견하였다. (30.5)식이 오늘날 유체 내부를 움직이는 물체에 작용하는 점성항력에 대한 스토크스 법칙으로 알려져 있다. 이 식에서 는 유체의 점성계수이다. (30.5)식으로 주어지는 스토크스의 법칙은 유체에서 이동하는 물체의 속력 가 비교적 작을 땜나 성립한다. 만일 물체가 매우 빠른 속력으로 유체 내부에서 이동한 다면 물체 부근의 유체는 흐름층을 형성하고 움직이는 것이 아니라 제멋대로 움직이 는 난류(亂流)를 형성한다. 그런 경우에 물체에 작용하는 항력은 물체의 속력에 비례 하여 증가하기 보다는 속력의 제곱 또는 세제곱에 비례하여 급격히 증가한다. 29장 에서 그림 29.7에서 소개한 비행기에 작용하는 항력도 공기의 점성 때문에 발생한 다. 만일 비행기의 속력이 매우 커서, 예를 들어, 음속보다 더 커진다면 항력이 속력 의 제곱에 비례하면서 증가하기 때문에 대단히 큰 항력에 대비하기 위하여 초음속 비행기를 제작할 때는 특별히 외부의 유선형 모양을 효율적으로 설계하는데 큰 노력 을 기우린다. 스토크스 법칙에서 주어지는 것과 같이 속력에 비례하는 항력을 받으며 움직이면 그 물체의 속도는 결국 종단속도에 이르게 된다. 항력이 속력에 비례하므로 물체가 가속되면 항력도 증가해서 결국에는 항력이 원래 작용하는 힘과 크기가 같고 방향이 반대이도록 증가하게 되면 물체에 작용하는 합력은 0이 된다. 그러면 물체는 더 이상 가속되지 못하고 일정한 속력으로 움직인다. 이 속도를 종단속도라 부른다. 14장에 서 그림 14.4를 통해 살펴본 빗방울이 종단속도로 움직이는 것이 바로 한 예이다. 빗방울은 공기라는 유체 내부에서 연직 아랫방향으로 떨어진다. 이렇게 떨어지는 빗방울에 작용하는 힘으로는 연직 아랫방향으로 작용하는 중력, 그리고 연직 윗방향 으로 작용하는 부력과 점성항력이 있다. 그러나 빗방울의 부피가 너무 작으므로 빗방 울에 작용하는 부력은 무시해도 좋다. 빗방울이 이렇게 아래로 떨어지는 것은 빗방울 의 밀도가 유체인 공기의 밀도보다 크기 때문이다. 335 제10주 강의 일반적으로 유체 내에서 물체가 중력을 받고 움직일 때, 만일 물체의 밀도 가 유 체의 밀도 보다 더 크면, 즉 이면, 물체는 아래로 떨어진다. 그러면 물체에 는 연직 아랫방향으로는 중력을 그리고 연직 윗방향으로는 부력과 점성항력을 받는 다. 그런데 만일 물체의 밀도 가 유체의 밀도 보다 더 작으면, 즉 이면, 물체는 위로 올라간다. 헬륨가스를 채운 풍선이 위로 올라가는 것이 바로 그 때문이 다. 그런 경우에 물체는 연직 아랫방향으로는 중력과 점성항력을 그리고 연직 윗방향 으로는 부력을 받는다. 이처럼 점성항력은 마치 마찰력이 그렇듯이 유체 내에서 물체 가 이동하는 방향과 반대방향으로 작용된다. 예제 2 영국의 과학자 밀리컨은 20세기 초에 스토크스 법칙을 이용하여 전자(電 子)에 대전된 전하를 측정하였다. 밀리컨이 수행한 실험과 비슷하게, 공기중에 미세한 기름방울을 뿌리고 기름방울이 떨어지는 모습을 망원경으로 관찰한다고 하자. 기름방울들이 무척 작기 때문에 기름방울은 떨어지면서 즉시 종단속도에 도달한다. 만일 기름방울의 반지름이 × 이고 기름방울을 뿌리는 데 이용된 기름의 밀도는 이고 공기의 밀도는 이라면, 기름방울의 종단속도 를 구하라. 단, 실험을 할 때 공기의 온도는 라고 하자. 기름방울이 종단속도 에 도달하였을 때 기름방울에는 연직 아랫방향으로 중력 와 연직 윗방향으로 부력 그리고 점성항력 가 작용하는데, 이들의 합력이 0이어 한다. 이들 세 힘을 주어진 자료로부터 구하면 × × × × × × × × × × × × ⋅ × × × 336 30. 유체의 운동 III 이 된다. 여기서 온도가 일 때 공기의 점성계수는 표 30.1에 주어진 것을 이용 하였다. 그런데 이 세 힘을 모두 더하면 0이 되어야 하므로 로부터 구하는 종단속도 는 × × × × 가 된다. 이 계산에서 분명하듯이 기름방울의 종단속도를 구하는데 기름방울에 작용 하는 부력은 무시하여도 좋음을 알 수 있다. ◆ 마지막을 액체의 표면장력이라는 특별한 성질에 대해 알아보자. 그림 30.6에 보인 것처럼, 컵에 물을 가득 부으면 물이 컵의 가상자리보다 더 볼록하게 올 라가더다로 쏟아지지 않는다. 그리고 물위에 핀이나 클립 같은 것을 살짝 올려놓더라도 물 아래로 가라앉 지 않고 그림 30.6에 보인 것처럼 물의 표면 위에 그 대로 놓여있도록 만들 수 있다. 이것들이 모두 표면 장력이라 불리는 액체의 특별한 성질 때문에 가능해 진다. 그림 30.6 표면장력 액체의 표면장력 는 표면이 표면의 끝을 잡아당기는 힘으로 단위길이당 작용하 는 힘으로 주어진다. 그래서 표면장력의 단위로는 가 이용된다. 표면장력이 작 용하는 원인은 액체를 구성하는 분자력 때문이. 액체의 분자들 사이에 작용하는 분 자력은 짧은거리 힘이기 때문에 액체 내부에서 가장 가까이 놓인 분자들 사이에만 작용한다. 액체의 중심부에서는 어떤 분자 주위에 위치한 다른 분자들은 거의 모든 방향으로 대칭적으로 존재한다. 그래서 유체 내부의 어느 한 위치에서 한 분자에 작 용하는 분자력의 합은 0이다. 그런데 유체의 표면에서는 분자들이 표면으로부터 내 부에만 존재하고 외부에는 존재하지 않기 때문에 표면에 놓인 분자에 작용하는 분자 력의 합력은 유체의 내부쪽을 향한다. 337 제10주 강의 몇 가지 액체에 대한 표면장력이 표 30.2에 나와 있다. 이 표에서 알 수 있는 것처럼 물의 표면장력이 표 30.2 몇 가지 액체의 표면장력 액체 표면장력 액체 ( ) 표면장력 ( ) 아세톤 23.7 파라핀 26.0 수은을 제외한 다른 액체에 비하여 에틸알콜 22.3 물 74.9 월등히 크다는 것을 알 수 있다. 물 메틸알콜 22.6 물 74.2 의 표면장력이 이렇게 크기 때문에 벤젠 28.9 물 73.5 어떤 작은 곤충들은 물 위에서 걸 글리세린 64.0 물 72.8 수은 475 물 72.0 올리브기름 33.0 물 71.2 어다니기도 한다. 그리고 실제로 모기의 유충과 같은 작은 벌레들은 표면장력을 이용하여 물 위에 떠 있기도 한다. 338 ...
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