11주강의

11주강...

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Unformatted text preview: 제11주 강의 등속 원운동과 단순조화진동 지금 진행하고 있는 물리학 강좌는 두 학기 강의로 예정되어 있습니다. 두 학기 중 에서 첫 번째 학기에는 물리학 중에서 역학 부분을 그리고 두 번째 학기에는 물리학 중에서 전자기학과 현대물리 부분이 강의됩니다. 이제 물리학 1학기 강좌가 거의 끝 나갑니다. 그래서 지금까지 역학 부분이 어디까지 강의되었고 앞으로 어떤 내용이 더 남아있는지를 간단히 소개하는 것도 의미가 있을 것으로 생각됩니다. 물리학은 자연현상을 설명하는 가장 기본적인 법칙을 연구하는 분야라고 했습니 다. 그렇게 가장 기본적인 법칙 중 하나가 바로 운동법칙이고 운동법칙이란 힘에 의 해서 물체의 운동이 어떻게 바뀌는지를 알려주는 법칙입니다. 그리고 거시세계를 지 배하는 운동법칙이 바로 뉴턴의 운동방정식인 입니다. 물리학 강좌에서 첫 학기 강의내용에 해당하는 역학에서는 그래서 뉴턴의 운동방정식을 다양한 자연현상 에 어떻게 적용하는지에 대해 공부합니다. 이 강의를 시작하면서 나는 그래서 역학 부분에서는 나오는 법칙이 뉴턴의 운동방정식 하나뿐이라고 강조하였지요. 이제 여 러분은 나의 그런 주장에 동의합니까? 우리는 그동안 다루는 대상에 따라서 새로운 물리량을 도입하여서 원래는 뉴턴의 운동방정식인 를 어떻게 다른 형태로 표 현하였는지를 배웠습니다. 그렇게 함으로써 설명이 복잡하게 되는 경우도 다시 간단 히 해결될 수가 있음을 알았습니다. 처음에는 뉴턴의 운동방정식을 일정한 힘을 받는 한 물체의 운동에 적용하였습니 다. 그때는 를 그대로 적용하여 물체의 가속도만 구하면 문제가 다 해결되었 339 제11주 강의 습니다. 그런데 물체에 작용하는 힘이 일정하지 않고 물체가 이동하면서 바뀌면 일과 운동에너지라는 물리량을 도입하고 그러면 뉴턴의 운동방정식이 일-에너지 정리라 는 형태로 표현되는 것을 배웠습니다. 그리고 물체에 작용하는 힘이 보존력이라고 불 리는 퍼텐셜에너지로 대표될 수 있는 힘이라면 일-에너지 정리가 다시 역학적 에너 지 보존법칙으로 되는 것을 보았습니다. 그런데 마찰력을 제외하고는 거의 모든 힘이 보존력이므로 역학적 에너지 보존법칙은 아주 광범위하게 성립된다는 사실도 알았습 니다. 그리고 물체에 마찰력이 작용하는 경우에 마찰력이 한 일은 열에너지가 되는 데, 열에너지까지를 포함시키면 마찰력을 받고 움직이는 물체에 대해서도 에너지 보 존법칙이 적용된다는 것을 알았습니다. 그뿐 아니라 에너지란 물리량은 결코 새로 창 조되지도 않고 있던 것이 소멸되지도 않는 신통한 물리량이라는 것도 알게 되었습니 다. 다음으로 우리는 관심의 대상을 여러 물체의 운동으로 돌렸습니다. 그러면 물체들 에 작용하는 힘을 내력과 외력으로 구분할 수가 있으며 선운동량과 질량중심이라는 물리량을 도입하면 여러 물체의 운동이 아주 간단히 기술될 수 있음을 알았습니다. 여러 물체의 총 질량이 질량중심에 모여서 질량중심의 속도로 움직인다고 생각할 때 의 선운동량이 바로 여러 물체의 총선운동량과 같기 때문에 여러 물체의 운동이라고 할찌라도 질량중심에 모인 총질량의 운동과 질량중심 주위에서 여러 물체들이 상대 적으로 움직이는 운동으로 간단히 설명되는 것입니다. 여러 물체를 다룬 다음에 관심의 대상은 크기를 갖는 물체의 운동인데, 고체, 액체, 기체 중에서 고체의 운동이 바로 그것에 해당합니다. 그런데 고에 힘을 가하면 고 체 전체의 운동상태가 바뀌기도 하지만 고체가 변형하기도 합니다. 그리고 고체의 변 형과 고체 전체의 운동을 함께 다루려면 문제가 복잡해집니다. 그래서 먼저 아무리 큰 힘을 받더라도 물체가 변형되지 않는다 강체라는 실제로는 존재하지 않는 이상적 인 물체를 가지고 크기를 갖는 물체의 운동을 설명하였습니다. 강체의 운동은 병진운동과 회전운동으로 구분된다는 것도 배웠습니다. 그리고 병 진운동을 기술하면서 이용된 물리량에 대응하는 회전운동의 물리량을 정의한다면 병 진운동을 설명하면서 이용된 식들이 똑같은 형태로 회전운동을 설명하는데도 이용될 수 있음을 알았습니다. 고체, 액체, 기체 중에서 고체의 운동을 강체라는 이상적인 물체를 가정하여 설명 한 뒤에 우리는 액체와 기체의 운동을 한꺼번에 설명할 수 있음을 알았습니다. 그래 340 제11주 강의 서 액체와 기체를 한꺼번에 유체라고 부르고 유체의 운동을 기술하는 방법을 배웠습 니다. 그리고 유체의 경우에도 실제로는 존재하지 않는 이상유체를 가정하였습니다. 밀도가 바뀌지 않고 점성이 없는 유체를 말합니다. 이상유체라고 가정하면 유체의 운 동을 훨씬 더 간단히 설명할 수 있기 때문입니다. 그리고 유체의 경우에는 질량 대신 밀도라는 물리량을, 힘 대신 압력이라는 물리량을 이용하여야 된다는 것도 알았습니 다. 그러면 유체의 운동이 베르누이 방정식으로 간단히 기술되는 것을 배웠습니다. 한편 고체의 경우에는 실제 고체의 운동과 강체라고 가정하고 구한 결과 사이에 차이가 별로 크지 않습니다. 그래서 고체의 운동은 강체라고 가정하고 얻은 결과를 그대로 이용하여도 큰 무리가 없습니다. 그런데 유체의 경우에는 우리 주위에서 흔히 관찰되는 많은 현상에서 실제 유체가 가지고 있는 점성에 의한 효과가 크게 나타나 는 경우가 많습니다. 그래서 이상유체가 아니라 점성이 있는 유체의 운동에서는 포아 즈이유 법칙이 적용되고 점성이 있는 유체 내부에서 이동하는 물체에 작용하는 점성 항력은 스토크스 법칙에 의해 결정된다는 점도 배웠습니다. 여기까지가 지난 주까지 배운 내용입니다. 한 물체, 여러 물체, 강체, 유체까지 다 배우고서 그 다음에 또 배울 내용은 무엇이 남아있을 것으로 예상됩니까? 사실 별로 남아있는 내용이 없습니다. 그런데 지금까지는 운동법칙을 적용하는 대상을 바꾸어 가며 공부하였지만 앞으로 남은 시간 동안에는 자연에 존재하는 특별한 운동 자체에 대해 공부하려고 합니다. 그중에 하나가 진동과 파동이고 다른 하나가 수많은 물체들 의 무질서한 운동입니다. 진동은 고체의 변형과 관계가 있습니다. 고체를 변형시키면 그 고체는 원래의 모 습으로 돌아오려는 복원력을 받게 됩니다. 그런데 고체가 받는 복원력은 대부분 탄성 력인 경우가 많습니다. 탄성력은 고체가 변형하였을 때 받는 복원력의 크기가 변형된 변위에 비례하는 경우에 작용하는 힘을 말합니다. 다시 말하면 변형이 클 수록 그 변 형에 비례하여 복원력이 크게 작용한다는 의미입니다. 그런 힘을 받을 때 물체는 단 순좌화진동이라 불리는 특별한 운동을 하게 됩니다. 앞에 그린 그래프가 바로 단순조화진동을 보여줍니다. 단순조화진동의 변위를 시 간의 함수로 그리면 그래프의 모양이 사인함수 또는 코사인함수가 됩니다. 그래서 변 위가 시간에 대하여 사인 또는 코사인 함수처럼 변하는 운동을 단순조화진동이라고 부릅니다. 그리고 단순조화진동은 의 그림이 보여주는 것처럼 등속 원운동을 하는 물체의 운동을 옆에서 볼 때 하는 운동과 똑같습니다. 341 제11주 강의 단순조화진동은 후크의 법칙으로 알려진 형태의 힘을 받는 물체가 하는 운동입니다. 우리는 이 힘을 뉴턴의 운동법칙에 대입하면 바로 그런 힘을 받는 물체 는 단순조화진동을 하게 됨을 알 수 있습니다. 그리고 로 주어지는 힘이 바 로 변형된 고체에 의해서 작용하는 탄성력을 나타내는 힘의 법칙입니다. 그러므로 변 형된 고체는 모두 단순조화진동 운동을 할 것이라는 점을 예상할 수 있습니다. 이번 주에는 변형과 연관된 고체의 성질과 탄성력을 받는 물체의 단순조화진동에 대해 공부합니다. 그리고 탄성력을 받는 물체가 마찰력도 함께 받을 경우 단순조화진 동이 어떻게 바뀌는지에 대해서 배우며 단순조화진동을 하는 물체가 강체로 다른 진 동을 하도록 힘을 받을 경우의 운동은 어떤지에 대해서도 배웁니다. 다음 주에는 파동에 대해 공부합니다. 파동은 진동이 매질을 통하여 전달되어 나 가는 현상을 말합니다. 매질의 각 부분을 보면 진동을 계속하고 있는데 이렇게 진동 하는 모습이 한 방향으로 전달되면서 에너지도 함께 이동합니다. 매질의 각 부분이 진동하는 것이나 매질의 한 부분의 진동이 인접한 옆 부분의 진동을 만들어 내는 과 정 등은 모두 뉴턴의 운동방정식에 의해 설명됩니다. 그런데 매질을 통하여 진동이 전달되어 나가는 현상인 파동 자체는 나름대로 새로운 성질을 가지고 있습니다. 그리 고 자연현상 중에는 파동에 의해 설명되는 경우가 많이 존재합니다. 이번 학기의 마지막 두 주 동안은 열현상을 중심으로 굉장히 많은 물체들이 무질 서하게 벌이는 운동에 대해 공부합니다. 우리가 18장에서 열에너지를 공부하면서 간 단히 배운 것처럼, 열현상이란 수많은 구성입자들의 무질서한 운동의 결과로 나타나 는 현상입니다. 열현상을 다루는 분야를 열역학이라고 부릅니다. 열역학에 나오는 열 역학 법칙들이 처음에는 열현상에 대한 관찰로부터 수립되었습니다. 그런데 나중에 는 열현상을 일으키는 분자들의 무질서한 운동에 뉴턴 역학을 적용하고 그 결과를 통계적으로 다루면 열역학 법칙들이 저절로 나오게 된다는 것을 알게 되었습니다. 342 31. 고체의 변형과 탄성 ∙ 고체의 변형을 기술하기 위하여 변형이라는 물리량과 변형력이라는 물리량이 이용된다. 변형과 변형력은 어떻게 정의되는가? ∙ 고체를 변형시킬 때는 긴쪽으로 잡아당기는 장력변형과 긴쪽에서 옆으로 미는 층밀리기변형 그리고 부피를 축소시키거나 증가시키는 압축변형 등으로 구분할 수 있다. 이러한 변형들은 각각 어떻게 정의되고 어떤 법칙에 의해 설명되는가? ∙ 고체의 변형이 작용한 외력에 비례한다는 후크 법칙이 항상 성립하는 것은 아니 다. 외력이 너무 크면 달라질 수도 있다. 후크 법칙이 성립하지 않는 영역에서는 어떤 일이 벌어지는가? 고체는 힘을 받으면 운동상태가 변하거나 또는 형태가 변한다. 운동상태가 변한다 는 것은 속도가 변한다는 의미이다. 고체에 세게 힘을 가하면 운동상태와 형태의 변 화가 한꺼번에 일어난다. 예를 들어 야구 방망이로 야구공을 세게 치면 어떻게 될지 생각해보자. 야구공이 방망이에 맞는 순간 야구공은 한쪽으로 찌그러들면서 동시에 야구공은 날아오던 방향에서 반대쪽으로 방향을 바꾸어 날아간다. 그래서 야구 방망 이로 야구공을 치면 야구공의 형태와 운동상태가 께 바뀌는 것을 알 수 있다. 야구공의 경우에는 방망이로 맞으면 형태가 변하리라는 것을 어렵지 않게 상상할 수 있다. 그런데 야구공뿐 아니라 모든 고체가 힘을 받으면 형태가 변한다. 단지 야 구공처럼 그 변화를 눈에 띄게 알아볼 수 있는 경우도 있고 대부분의 다른 물체처럼 그 변화가 몹시 작아서 잘 알아보지 못하는 경우도 있다. 그런데 물체에 힘을 작용하여 운동상태와 형태가 변하는 것을 동시에 설명하려면 매우 복잡하다. 그래서 두 효과를 분리하여 설명한다. 우리는 이미 크기를 갖는 물체 의 운동을 공부할 때는 물체가 변형하는 효과를 제외시키고 단지 운동상태의 변화만 을 기술하기 위하여 강체라는 이상적인 경우를 가정하였다. 이번에는 물체의 운동상 태가 변화하는 효과는 제외시키고 단지 힘을 받고 물체가 변형하는 경우만을 기술하 고자 한다. 그렇게 하려면 또 다른 종류의 이상적인 물체를 가정하여야 할까? 이번에 343 제11주 강의 는 아니다. 우리가 잘 아는 것처럼, 물체에 여러 힘이 작용하더라도 만일 물체에 작 용하는 외력의 합이 0이면 병진운동에 의한 물체의 운동상태 변화는 없다. 또 만일 외력에 의한 토크의 합이 0이면 회전운동에 의한 물체의 운동상태 변화도 없다. 그래 서 힘에 의해 물체가 어떻게 변형하는지만을 살펴보려면 물체에 작용하는 외력의 합 이 0이고 또한 외력에 의한 토크의 합이 0인 경우를 조사해보면 된다. 운동상태는 변 하지 않는 이상적인 물체를 따로 가정할 필요는 없다. 예를 들어 그림 31.1에 보인 것처럼 왼쪽 끝이 벽에 고정된 물체를 오른쪽 방향을 향해 힘 로 잡아당기면 이 물 체의 운동상태는 변하지 못하고 늘어나 기만 할 것이다. 그런데 오른쪽을 향해 물체에 힘 를 작용시키면 벽도 물체 에 왼쪽 방향으로 힘 를 작용해 물 그림 31.1 물체가 변형하도록 작용하는 힘 체가 받는 외력의 합은 0이 된다. 이처럼 물체의 운동상태는 변하지 않고 형태만 바 뀌기 위해서는 물체에 작용하는 외력의 합이 0이어야 한다. 고체가 외력을 받고 어느 정도 변형하게 되는지는 고체를 이루고 있는 물질의 성 질이다. 예를 들어 고무줄과 같이 조그만 힘을 받고도 많이 변형하는 경우도 있고 다 이아몬드와 같이 큰 힘을 받고도 별로 변형하지 않는 경우도 있다. 그래서 각 물질마 다 힘을 작용하여 얼마나 변형하는지를 측정하는 방법으로 물질의 변형에 대한 성질 을 조사할 수 있다. 그런데 단순히 형태가 얼마만큼 바뀌는지를 측정하는 방법으로는 그 물질이 지닌 변형에 대한 성질을 직접 알 수 없다. 예를 들어 그림 30.2에 보인 것과 같이 똑같은 그림 31.2 고무줄 한 개와 두 개에 똑같은 힘 를 작용할 때 늘어난 길이 344 31. 고체의 변형과 탄성 굵기와 길이의 고무줄 한 개와 두 개를 똑같은 힘 로 잡아당길 때 한 개의 늘어난 길이가 이라면 두 개를 연결했을 때 늘어난 길이는 이 된다. 그것은 그림 31.2의 아래쪽에 보인 것처럼, 내가 두 번째 고무줄을 오른쪽 방향을 향해 힘 로 잡아당기면 첫 번째 고무줄은 두 번째 고무줄을 왼쪽 방향을 향해 같은 크기의 힘으 로 잡아당기고 두 번째 고무줄도 역시 첫 번째 고무줄을 오른쪽 방향을 향해 같은 크 기의 힘으로 잡아당기게 됨으로 두 고무줄이 모두 각각 씩 늘어날 것이기 때문이 다. 이처럼 동일한 힘이 작용할 때 늘어난 길이가 마인지만을 측정하는 방법으로는 고무줄이 얼마나 잘 늘어나는 성질을 가지고 있는지에 대해 알아낼 수가 없다. 그래서 물체가 변형하는 성질을 조사하기 위해서는 단순히 변형된 크기를 측정하 지 않고 변형된 크기를 전체 크기로 나누어서 단위 크기당 변형된 크기를 측정한다. 예를 들어 길이가 변하는 경우 늘어난 길이 을 원래 길이 로 나누어 단위 길이 당 늘어난 길이를 측정하면 물체의 크기와는 관계없이 그 물질이 얼마나 잘 늘어나 는 성질을 갖는지를 알 수 있다. 그리고 물리에서는 그 비를 특별히 변형 (31.1) 와 같이 변형이라고 부른다. 다시 말하면 물리에서는 변형이라는 용어를 물체가 단순 히 형태를 변한다는 의미가 아니라 물체가 전체 크기에 비해서 형태가 바뀐 상대적 정도를 표현하는 특별한 물리량의 이름으로 이용한다는 것이다. 영어에서는 이런 의 미의 변형을 strain이라는 특별한 단어를 이용한다. 그래서 영어로는 변형을 이야기 할 때 혼동이 별로 일어나지 않지만 우리는 변형이라는 말을 일반적인 의미로도 그리고 특별한 의미로도 함께 사용하고 있으므로 변형이라는 말이 나오면 어떤 의미로 이용 되었는지 유심히 문맥을 살펴보아야 한다. 그런데 이번에는 그림 31.3에 보인 것과 같이 고무줄의 길이는 같지만 고무줄을 옆 으로 두 개를 한꺼번에 잡아당기는 경우를 보자. 이때 아래쪽의 경우에는 오른쪽으로 잡아당긴 힘 가 고무줄 한 개당으로는 그림 31.3 고무줄 한 개와 두 개에 똑같은 힘 를 작용할 때 늘어난 길이 345 제11주 강의 씩 작용한 셈이 되어 비록 고무줄의 전체 길이는 위쪽 아래쪽이 모두 이라고 하더라도 아래쪽 고무줄이 늘어난 길이는 가 된다. 이처럼 물체가 변형되는 성 질을 조사하기 위해서는 단순히 물체에 작용된 힘이 얼마인지가 아니라 무엇인가 다 른 기준이 필요함을 알 수 있다. 그래서 물체가 변형하는 성질을 조사하기 위해서는 물체에 작용한 힘을 그 힘을 받는 물체의 면적으로 나눈 것을 측정하면 좋다. 예를 들어 동일한 물질로 만들어진 막대를 생각하자. 막대를 길이 방향으로 잡아당길 때 동일한 변형을 가져오기 위해서 단면적이 인 막대를 잡아당기면서 필요한 힘의 크기가 라면 단면적이 인 막대 를 잡아당기면서 필요한 힘의 크기는 가 되리라고 예상할 수 있다. 그런 의미에서 단위 면적당 잡아당긴 힘을 특별히 (31.2) 변형력 와 같이 변형력이라고 부른다. 다시 말하면 물리에서는 변형력이라는 용어를 단순히 물체를 변형시키는 힘이라는 의미가 아니라 단위 넓이당 작용한 힘을 표현하는 특별 한 물리량의 이름으로 이용된다. 영어에서는 이런 의미를 갖는 변형력을 stress라고 부른다. 그래서 영어로 stress를 받는 물체는 strain을 일으킨다고 말할 때 그 의미 는 물체에 단위 면적당 작용한 힘인 변형력을 작용하면 단위 길이당 변화한 크기인 변형을 가져온다라고 해석하면 된다. (31.1)식으로 정의된 변형은 길이를 길이로 나눈 것이므로 차원이 없는 양이다. 그러므로 변형을 나타내는 특별한 단위는 준비되어 있지 않다. 그런데 (31.2)식으로 정의된 변형력은 힘을 넓이로 나눈 양으로 그 차원은 압력의 차원과 같다. 그러므로 변형력의 단위는 압력의 단위와 같은 을 이용한다. 고체의 변형에 대한 법칙으로 유명한 것이 후크 법칙이다. 후크 법칙은 그 31.4 에 보인 것과 같이 물체가 늘어나지도 줄어들지도 않은 곳을 원점으로 정했을 때 힘 를 작용하여 물체를 잡아당길 때 물체가 늘어난 길이가 라면 와 는 비례하여 원점 (31.3) 그림 31.4 346 31. 고체의 변형과 탄성 와 같이 쓸 수 있다고 말한다. 이때 이 식의 비례상수 를 물체의 탄성률이라 한다. 만일 그림 31.4에 보인 물체가 용수철인 경우도 (31.3)식이 그대로 성립하는데, 용 수철에서는 를 용수철 상수라고도 한다. 그런데 앞에서도 설명하였듯이 물체에 작용한 외력과 늘어난 길이 사이의 관계를 이야기하는 후크 법칙인 (31.3)식의 비례상수 는 물체를 만드는 물질에 의해 결정 되기 보다는 그 물질에 의해 어떤 형태로 물체가 만들어졌는지에 의해 결정된다. 예 를 들어 똑같은 재질로 만든 동일한 종류의 용수철이라도 길이가 두 배로 된다면 동 일한 힘을 가했을 때 두 배로 더 많이 늘어날 것이기 때문에 용수철 상수가 두 배가 된다. 따라서 후크 법칙을 앞에서 (31.1)식과 (31.2)식으로 정의된 변형과 변형력에 의해서 변형력 ∝ 변형 → (31.4) 이라고 쓸 수 있다. 그래서 이 식도 역시 후크 법칙이라고 부른다. 그리고 (31.4)식 에 나오는 비례상수 를 영률이라고 부른다. 여기서 영률의 영은 물리학자인 사람의 이름을 딴 것이다. 그림 31.5에 보인 후크와 그림 31.6에 보인 영은 모두 영국 출신의 유명한 물리학 자들이다. 후크는 뉴턴과 같은 시대 과학자로 뛰어난 실험가인데 뉴턴과 비교되어서 덜 유명해진 사람이라고 생각할 수 있다. 후크는 탄성력에 대한 후크 법칙을 발견하 였을 뿐 아니라 현미경을 직접 제작하여 세포를 관찰한 것으로도 유명하다. 또한 후 크는 빛의 본성이 입자이냐 파동이냐를 두고 뉴턴과 논쟁 을 벌였는데 뉴턴은 빛의 입 자설을 주장하였고 후크 등은 빛의 파동설을 주장하였다. 한 편 영은 다재다능하여 14세에 이미 라틴어, 그리스어, 프랑 스어, 이태리어, 히브루어, 아 랍어, 그리고 페르시아어 등에 능통하였고 언어뿐 아니라 의 그림 31.5 로버트 후크 (영국, 1635-1703) 347 그림 31.6 토마스 영 (영국, 1773-1829) 제11주 강의 학과 자연 그리고 광학 등의 영역에서 아주 깊 은 수준까지 교육받고 훌륭한 의사와 물리학 표 31.1 몇 가지 물질의 영률 물질 영률 ( ) 물질 영률 ( ) 고무 0.002-0.008 벽돌 14-20 콩크리트 20-30 대리석 50-60 사람의 연골 0.024 자로 명성을 날렸던 사 사람의 척추 0.088-0.17 람이다. 또한 당시 뉴 사람의 힘줄 0.6 알루미늄 턴의 권위에 눌려서 후 나일론 2-6 주철 100-120 크 등이 제시한 빛이 거미줄 4 구리 120 파동이라는 뚜렷한 증 사람의 대퇴골 9.4-16 강철 200 나무 10-15 다이아몬드 거에도 불구하고 빛이 70 1200 입자라는 설이 우세하 다가 뉴턴 시대로부터 근 백년이 지난 뒤에야 비로소 영의 이중 슬릿에 의한 빛의 간 섭 실험 결과로 빛의 본성은 파동임이 명백하게 되었다. 후크 법칙을 (31.4)식처럼 표현할 때의 비례상수인 영률 는 물질의 성질을 나타 낸다. 그리고 (31.4)식으로부터 (31.3)식과 같이 표현된 후크 법칙을 구하면 ∴ (31.5) 와 같이 되어 길이가 이고 단면적이 인 물체의 영률이 라면 그 물체의 탄성률 는 영률에 단면적을 곱하고 길이로 나누면 나온다는 것을 알 수 있다. 표 31.1에 몇 가지 물질의 영률을 열거해 놓았다. 영률이 수록 형태를 바꾸기가 어려운 단단한 물질이고 영률이 작을수록 작은 힘에도 형태가 쉽게 바뀌는 연한 물질이다. 표 31.1 에서 분명히 알 수 있는 것처럼, 가장 단단하다는 다이아몬드의 영률은 고무줄의 영 률에 비해 수십만배나 더 크다. 예제 1 질량이 인 사람이 서 있을 때 대퇴골의 길이는 누워 있을 때보다 얼마나 더 짧아질까? 대퇴골의 평균 단면적은 이고 누워있을 때 대퇴골의 길이는 라고 가정하 자. 348 31. 고체의 변형과 탄성 대퇴골이란 그림에 보인 허벅다리 뼈를 말한다. 사람이 서 있으면 체중에 의해서 대퇴골을 압축한다. 대퇴골에 작용하는 힘 는 체중의 절반이라고 하면 × 이다. 그러면 대퇴골의 단면적이 이므로 대퇴골에 작용하는 변형력은 변형력 × × 이 된다. 이제 후크 법칙인 (31.4)식으로부터 대퇴골이 줄어든 길이 을 구하면 × × × × 를 얻는다. 다시 말하면 이 사람이 서 있을 때 대퇴골의 길이는 누워있을 때보다 정도 짧아진다. ◆ 지금까지는 그림 31.7의 (a)에 보인 것과 같이 물체에 작용하는 외력이 같은 작용 선 위에 있어서 물체의 길이가 늘어나거나 줄어드는 변형을 일으키는 경우만 고려하 였다. 이런 종류의 변형을 장력변형이라고 한다. 그런데 물체에 변형을 가져오게 힘 을 작용시키는 방법은 그림 31.7의 (b)에 보인 것처럼 두 힘이 같은 작용선 위에 있 지 않도록 할 수도 있다. 그러면 물체의 길이는 거의 그대로 유지되지만 물체가 옆으 로 변형한다. 이러한 종류의 변형을 층밀리기변형이라고 한다. 또한 마지막으로 그림 31.7의 (c)에 보인 것처럼 물체의 모든 면에 힘을 작용하여 물체의 부피가 바뀌도록 변형을 시키는 경우도 있다. 이런 종류의 변형을 부피변형이라고 한다. 이들 세 가지 변형을 기술하는 방법은 비슷하지만 약간씩 차이가 난다. 장력변형의 경우에 (31.1)식으로 정의된 변형과 비슷하게, 층밀리기변형에서도 변 형을 정의할 수 있다. 그런데 변형이라는 말이 하도 여러 가지 의미로 이용되어서 좀 혼동스럽다. 그래서 영어로 나타내면 좀 구분이 잘 될 수도 있다. 물체가 모양이 변 349 제11주 강의 (a) 장력변형 (b) 층밀리기변형 (c) 부피변형 그림 31.7 여러 가지 종류의 변형 한다는 의미의 변형이 영어로는 deformation이다. 그래서 장력변형을 영어라 말하면 tensile deformation이 된다. 또한 층밀리기변형을 영어로는 shear deformation이 라 한다. 마지막으로 부피변형을 영어로는 volume deformation이라 한다. 그리고 (31.1)식으로 정의된 tensile deformation에서 변형을 tensile strain이라 부르면 좀 더 잘 구분된다. 그리고 층밀리기변형 즉 shear deformation에서 변형을 영어로 는 shear strain이라 하고 층밀리기변형 (31.6) 로 정의된다. 여기서 는 그림 31.7 (b)에 나온 것과 같은 의미이다. 또한 shear deformation에서 변형력도 tensile deformation에서 (31.2)식으로 정의된 변형력 과 마찬가지로 정의된다. 그래서 층밀리기 변형력 즉 영어로 shear stress는 층밀리기 변형력 (31.7) 이다. 여기서 는 그림 31.7 (b)에서 길이 에 수직인 단면의 면적이다. 그러면 shear deformation에서도 역시 (31.4)식으로 주어진 것과 동일한 형태의 후크 법칙 이 성립하는데, 식으로 쓰면 350 31. 고체의 변형과 탄성 ∝ → (31.8) 이 되고, 여기서 는 층밀리기변형을 대표하는 층밀리기탄성률이라 불리는 상수로 물질마다 고유한 성질이 된다. 보통의 경우 동일한 물질의 층밀리기탄성률 는 그 물질의 영률 의 대략 3분의 1쯤 된다고 한다. 이번에는 그림 31.7의 (c)에 보인 부피변형 즉 volume deformation에 대해 살펴 보자. 이 경우에도 부피변형 즉 volume strain이 정의되는데 tensile strain이나 shear strain에서와 비슷하게 부피변형 (31.9) 와 같이 차원이 없는 양으로 정의된다. 그리고 부피변형력 즉 volume stress도 역시 tensile stress나 shear stress에서와 비슷하게 (31.10) 부피 변형력 로 정의된다. 여기서 는 물체의 표면을 압축하는 전체 힘을 말하며 는 물체 표면 의 넓이를 말한다. 그러므로 (31.10)식으로 정의된 volume stress는 바로 물체에 작용하는 압력과 같다. 그러면 volume deformation에서도 tensile deformation이 나 shear deformation에서 성립한 것과 동일한 형태의 후크 법칙이 성립하는데, 식 으로 쓰면 ∝ → (31.11) 이 되고 여기서 는 부피탄성률이라 불리는 상수로 물질마다 고유한 성질이 된다. 부피변형은 꼭 고체가 아니라 기체나 액체에서도 일어날 수 있다. 고체의 경우 부피 탄성률은 영률보다 조금 작은 값을 갖는다. 한편 (31.11)식에서 volume stress를 표현한 는 원래 물체의 표면에서 압력 와 물체를 압축시키기 위해 가한 나중 압력 ′ 사이의 차이로 (31.12) ′ 351 제11주 강의 로 주어진다. (31.4)식으로 주어진 후크 법칙을 보면 물체에 힘을 두 배로 가하면 늘어난 길이 도 두 배가 되는 것을 알 수 있다. 그렇지만 물체에 힘을 계속 더 세게 작용한다고 해 서 길이도 계속 힘에 비례해서 더 늘어나는 것은 아니다. 어느 정도에 이르면 변형력 과 변형 사이의 비례관계가 더 이상 성립하지 않게 된다. 그리고 변형력과 변형이 비 례하는 구간에서는 그 물체가 탄성을 가지고 있다고 말한다. 물체가 탄성을 가직 있 느 구간 내에서는 물체에 작용한 변형력을 제거하면 물체는 다시 원래 모양으로 돌 아온다. 그러나 변형력이 너무 커지면 변형력을 제거시키더라도 물체는 원래 모양이 되지 않는다. 물체가 원래 모양으로 돌아오는 경계를 탄성한계라고 부른다. 352 32. 단순조화진동 ∙ 후크 법칙인 로 주어지는 힘을 받는 물체는 단순조화진동을 한다. 뉴턴 의 운동방정식 에 나오는 힘 에 를 대입하면 단순조화진동이 되는 것을 보여라. ∙ 단순조화운동은 등속원운동과 밀접한 관계를 맺고 있다. 이들 두 운동 사이에는 어떤 관계가 존재하는가? ∙ 어떤 물체가 변위에 비례하는 복원력을 받으면 모두 단순조화운동을 하는 것을 알 수 있다. 단순조화운동을 하는 경우를 몇 가지 예를 들어 설명하라. 공중으로 던진 물체는 포물선을 그리며 움직이고 태양 주위를 회전하는 행성들은 타원궤도를 따라 공전한다. 이처럼 물체가 포물선 운동을 한다든지 타원 운동을 한다 는 것처럼 물체가 어떤 종류의 운동을 할지는 그 물체가 받는 힘에 의해 결정된다. 그리고 물체가 받는 힘은 물체들이 서로 상호작용하는 것을 나타내는 척도이다. 만일 물체들이 서로 전혀 상호작용하지 않는다면 물체들은 아무런 힘도 받지 않고 아무런 힘도 받지 않는 물체들은 그저 등속도운동을 할 뿐이다. 그리고 등속도운동이란 직선 위를 일정한 빠르기로 영원히 진행하는 운동을 말한다. 그래서 등속도운동을 하는 물 체는 결코 제자리로 돌아오지 않는다. 그래서 서로 상호작용을 하지 않는 물체들은 서로 스쳐지나가기만 할 뿐 물체들 사이에 어떤 관계도 맺지 못한다. 그런데 물체들 이 서로 힘을 주고받으면 또는 서로 상호작용을 하면 물체들이 모여서 계를 만들고 옹기종기 모여서 자연현상을 구성한다. 따라서 우리 주위에서 관찰되는 자연현상은 모두 그들 사이에 작용하는 상호작용이 그렇게 만들었다고 볼 수 있다. 그리고 물체들이 움직이는 모습이나 물체들이 형성하고 있는 계의 모습을 보면 그 물체가 어떤 상호작용아래 놓여있는지 짐작할 수 있다. 예를 들어, 포물선 운동을 하 는 물체를 보면 아 이 물체는 일정한 힘을 받고 있구나, 그리고 타원운동을 하는 물 체를 보면 아 이 물체는 거리의 제곱에 반비례하는 인력을 받는구나라고 알 수 있다. 여러분이 학교에서 학생들을 볼 때 모두 제 각각인지 아니면 옹기종기 모여서 정답 게 지내는지 보면 학생들 사이에 어떤 상호작용이 작용하고 있는지 짐작할 수 있는 353 제11주 강의 것이나 마찬가지라고 할 수 있을까? 우리 주위에서 관찰되는 물체는 대부분 중력 또는 만유인력을 받고 움직인다. 그 런데 우리가 존재하는지 눈치를 채고 있지는 않지만 중력과 만유인력을 받는 물체의 운동 이외에 주위에서 아주 흔하게 볼 수 있는 운동이 있다. 그것이 진동이다. 진동 이란 어떤 중심 위치 주위로 동일한 동작을 반복하는 운동을 말하는데, 놀랍게도 우 리 주위의 거의 모든 물체가 바로 진동을 하고 있다. 그러면 물체가 진동이라는 운동 을 하게 만드는 힘은 어떤 힘일까? 물체가 진동하도록 만드는 힘을 복원력이라고 부른다. 복원력이란 물체가 원래 위 치에서 벗어나면 제자리로 돌아오도록 작용하는 힘이다. 그래서 복원력은 항상 물체 가 이동한 변위의 방향과 반대 방향으로 작용하는 힘이다. 다르게 표현하면, 물체가 이동한 변위의 방향과 반대방향으로 작용하는 힘을 모두 한꺼번에 복원력이라 한다. 복원력 중에서 특별히 중요한 힘으로 후크 법칙이라고 알려진 (32.1) 에 의해 결정되는 탄성력이 있다. 여기서 는 물체의 원래 위치 로부터 이동한 변위를 나타낸다. 그래서 (32.1)로 주어지는 탄성력 의 크기는 변위 의 크기에 비례하며 탄성력의 방향은 변위의 방향과 반대방향을 향한다. 그런데 (32.1)식으로 주어지는 탄성력은 다른 힘이 아니라 바로 31장에서 공부한 탄성을 지닌 고체가 변 형될 때 작용하는 힘이다. 그 말의 의미가 무엇인지 알아보기 위해 그림 32.1을 보 자. 이해를 돕기 위해 변형될 고체에 단단하여 늘어나지 않지만 질량을 무시할 수 있 는 줄로 물체를 연결하고 그 물체가 그림에 보인 것과 같이 원래 평형 위치에서 축 의 +방향으로 만큼 이동되어 있다고 하자. 그러면 고체에는 오른쪽으로 힘 가 작용되고 물체에는 왼쪽으로 역시 힘 가 작용되는데 이 두 힘의 크기는 같 원점 그림 32.1 354 32. 단순조화진동 방향은 반대이다. 한편 고체에 작용하는 힘 의 크기는 후크 법칙인 (31.4)식에 의 해서 에 비례하고 (32.2) 로 주어진다. 그런데 물체에 작용하는 힘은 이 힘과 크기가 같고 방향이 반대이므로 (32.1)식으로 표현된다. (32.1)식에서 는 그림 32.1에 보인 것처럼 고체가 늘어난 길이 과 같다. 이처럼 물체에 (32.1)식으로 주어지는 탄성력이 작용한다고 말할 때는 물체에 변형된 고체가 연결될 때 물체가 받는 힘을 의미한다. 고체가 변형되어 탄성력이 작용하도록 만든 대표적인 물체가 용수철이다. 그래서 탄성력이 적용되는 운동의 예가 되는 대표 적인 경우로 그림 32.2에 보인 것과 같이 용수철에 연결된 물체의 운동을 들 수 있 다. 또한 (32.1)식에서 는 비례상수로 용 수철의 경우에는 이 상수를 용수철상수라 한다. 또는 그냥 고체의 경우에는 그 고체 를 이루는 물질의 영률 와 그 고체의 길 그림 32.2 탄성력을 받는 물체의 운동 이 그리고 단면적 에 의해서 (31.5)식 으로 주어지는 상수이다. 그림 32.2에서 오른쪽을 + x 축 방향이라고 하고 용수철이 늘어나지도 줄어들지 도 않은 위치를 원점으로 정하자. 물체가 원점에서 오른쪽으로 움직이면 는 0보다 크고 그러면 (32.1)식으로 정해지는 힘은 0보다 작아서 왼쪽 즉 원점 쪽으로 작용한 다. 그리고 물체가 원점에서 왼쪽으로 움직이면 는 0보다 작고 그러면 (32.1)식으 로 정해지는 힘은 0보다 커서 오른쪽으로 즉 역시 원점 쪽으로 작용한다. 그러므로 탄성력은 항상 원점쪽을 향해 다시 말하면 원래 물체가 있던 위치를 향해 작용한다. 이런 힘을 복원력이라 하는 것이다. (32.1)식으로 정의되는 탄성력은 제자리로 돌아오려는 복원력이라는 점과 함께 그 크기가 변위의 크기에 비례한다는 특징을 가지고 있다. 그래서 탄성력은 물체가 원래 위치에서 멀어지면 멀어질수록 더 큰 힘으로 멀리 못 가게 막도록 작용된다. 그 러므로 탄성력을 받고 움직이는 물체는 멀리 못 가서 방향을 바꾸어 되돌아오지 않 355 제11주 강의 을 수 없다. 그런데 이 힘의 특징은 또한 제자리에 돌아와서는 멈출 수가 없다는 것 이다. 제자리에서는 변위가 0이므로 힘도 역시 0이고 그래서 물체를 멈추게 할 수가 없고 원래 오던 방향으로 계속 갈 수밖에 없다. 그래서 후크 법칙으로 주어지는 탄성 력을 받고 움직이면 기준 위치를 중심으로 진동하는 운동을 하게 된다. 그러면 후크 법칙인 (32.1)식으로 표현되는 탄성력을 받는 물체는 구체적으로 어 떤 운동을 할까? 탄성력을 받고 움직이는 물체의 운동도 역시 뉴턴의 운동방정식을 풀어 구한다. 뉴턴의 운동방정식인 (32.3) 에서 좌변의 F 에 (32.1)식으로 주어진 탄성력을 대입하면 (32.3)식은 ∴ (32.4) 로 된다. (32.4)식의 오른쪽 식에서 는 뉴턴의 운동방정식에 나오는 용수철상수 k 와 질량 사이의 비를 ∴ (32.5) 라고 놓은 것으로, 는 각속도 또는 각진동수라고 부른다. 왜 이 양을 각진동수 또는 각속도라고 부르는지는 조금 더 있다가 설명하기로 하자. 그리고 (32.4)식으로 주어 진 운동방정식은 미분방정식으로 미분방정식을 푸는 방법을 배워서 알고 있지 않으 면 혼자서 풀이를 구하기란 쉽지 않다. 그렇지만 (32.4)식과 같은 형태의 미분방정 식은 미분방정식 중에서 풀기가 가장 쉬운 경우이다. 그러므로 미분방정식에 대한 기 초 지식을 조금 공부한 뒤에 (32.4)식을 풀어보기로 하자. (32.4)식에는 과 같은 미분이 포함되어 있기 때문에 미분방정식이라고 부 른다. 그리고 이 경우에 미분의 분자에 나온 변수를 종속변수, 분모에 나온 변수를 독립변수라 한다. (32.4)식에서는 변수 가 종속변수이고 변수 가 독립변수이다. 그리고 미분방정식에서는 독립변수의 함수로 표현된 종속변수를 구하는 것이 목표이 다. 그러므로 (32.4)식에서는 종속변수인 를 독립변수 의 함수로 표현된 를 356 32. 단순조화진동 구하는 것이 목표이다. (32.4)식을 2차 미분방정식이라고 부른다. 방정식에 포함된 2차 미분이 가장 높 은 차수의 미분이기 때문이다. 일반적으로 종속변수가 이고 독립변수가 인 가장 일반적인 형태의 차 선형 미분방정식을 정리하여 종속변수 가 포함된 항들은 모 두 좌변으로 보내고 그렇지 않은 항들은 모두 우변으로 보내면 ⋯ (32.6) 와 같이 쓸 수 있다. 이 미분방정식을 특별히 선형 미분방정식이라고 불렀는데, 선형 미분방정식의 경우에는 이 식에 나오는 계수들 , , ⋯ , 과 는 독립변수 의 함수일 수는 있지만 종속변수 를 포함하면 안된다. 선형 미분방정식이라는 이름에 서 선형은 종속변수의 1차 항만 포함되어 있다는 의미를 나타낸다. 그래서 미분방정 식에 예를 들어 다음과 같은 (32.7) 등의 항이 포함되어 있다면 그 미분방정식은 선형 미분방정식이 아니라 비선형 미분 방정식이라 불린다. (32.6)식으로 주어지는 선형 미분방정식의 좌변은 항상 종속변수인 만을 빼어내 고 다음 ⋯ (32.8) 과 같이 괄로로 묶을 수가 있고, 괄호로 묶은 것을 한꺼번에 ℒ이라고 표현하면 위에 서 (32.8)식으로 나타낸 내용을 간단히 (32.9) ℒ 라고 적을 수가 있는데 여기서 ℒ은 357 제11주 강의 ℒ ⋯ (32.10) 라고 정의된 미분연산자를 의미한다. 선형 미분방정식을 일반적으로 (32.9)식과 같 이 써 놓으면 선형 미분방정식의 성질을 논의할 때 쓸 식들이 무척 간단해진다는 잇 점이 있다. (32.9)식으로 주어지는 일반적인 선형 미분방정식 중에서 우변에 나오는 계수가 인 경우를 특별히 동차(homogeneous) 미분방정식이라고 부르고 ≠ 인 경 우를 비동차(non-homogeous) 미분방정식이라고 부른다. 동차 선형 미분방정식의 경우에는 항상 풀이를 구할 수 있는 방법이 존재한다. 그렇지만 비동차 미분방정식의 경우에는 가 독립변수에 대한 어떤 함수이냐에 따라 푸는 방법을 따로 찾아내어야 하거나 또는 푸는 방법을 전혀 찾아내지 못할 경우도 있다. 이제 (32.9)식으로 주어지는 선형 미분방정식 중에서 이어서 (32.11) ℒ 인 선형 동차 미분방정식이 있다고 하자. 어떤 두 함수 와 가 모두 이 선 형 동차 미분방정식의 풀이라면 그것은 두 함수를 모두 (32.11)식의 자리에 대입 하였을 때 ℒ 그리고 ℒ (32.12) 가 성립한다는 의미이다. 만일 그렇다면 이들 두 풀이 와 에 임의의 상수 를 곱해서 더한 제3의 함수인 (32.13) 도 역시 (32.11)식의 풀이가 된다는 것을 쉽게 보일 수 있다. (32.13)식을 (32.11) 식에 대입하고 (32.12)식을 이용하면 ℒ ℒ ℒ ℒ ⋅ ⋅ (32.14) 로 (32.11)식으로 주어진 미분방정식의 풀이가 된다. 여기서 와 는 상수인데, 임 358 32. 단순조화진동 의의 상수를 곱하여 (32.13)식처럼 더한 것을 선형조합(linear combination)이라 한다. 그래서 (32.14)식으로 얻은 결과를 말로 하면, 두 함수가 선형 동차 미분방정 식의 풀이라면 이 두 함수의 임의의 선형조합도 역시 동일한 선형 동차 미분방정식 의 풀이가 된다고 말할 수 있다. 그리고 (32.14)식과 같은 증명은 단지 두 함수의 선 형조합만으로 국한되어 성립하는 것이 아니다. 그래서 선형 동차 미분방정식에서는 만일 , , ⋯ 등이 (32.11)식으로 주어지는 선형 동차 미분방정식의 풀이 라면 이들의 임의의 선형조합인 ⋯ (32.15) 도 역시 동일한 선형 동차 미분방정식의 풀이가 되는데, 이것은 선형 동차 미분방정 식이 가지고 있는 아주 중요한 성질이다. 이제 (32.4)식으로 주어진 탄성력을 받는 물체에 적용되는 운동방정식 (32.16) 을 풀어보자. 이 식은 분명히 2차 선형 동차 미분방정식이다. 그런데 이 미분방정식 은 또 다른 특징도 가지고 있다. 이 미분방정식에 포함된 계수들이 모두 상수이다. (32.6)식으로 주어지는 일반적인 선형 미분방정식에서 , , ⋯ , 과 같은 계수 들은 모두 독립변수 의 함수일 수 있는데, 우리가 풀 예정인 미분방정식은 (32.16) 식은 선형이고 동차일 뿐 아니라 일반적인 2차 선형 미분방정식을 (32.17) 라고 표현하였을 때 미분방정식에 포함된 계수들이 (32.18) 과 같이 모두 상수이다. 그리고 이렇게 계수가 모두 상수인 선형 동차 미분방정식의 경우에는 항상 풀이를 구할 수 있는 특별한 방법이 존재한다. 즉 풀이를 (32.19) 359 제11주 강의 라고 놓고 풀이가 되는 상수인 값을 구하면 된다. 계수가 모두 상수인 선형 동차 미 분방정식의 풀이는 항상 (32.19)식과 같은 형태를 취하기 때문이다. 이제 (32.19) 식을 우리가 풀려는 미분방정식인 (32.16)식에 대입하자. 그러면 (32.20) 이기 때문에 (32.16)식으로부터 → ∴ ± (32.21) 를 얻는다. 그러므로 (32.16)의 풀이는 그리고 (32.22) 등 두 가지가 되고 앞에서 보인 선형 동차 미분방정식의 성질로부터 이들 두 함수의 선형조합인 (32.23) 가 우리가 구하는 일반적인 풀이이다. (32.23)식에서 와 는 임의의 상수인데, 실 제 문제에서는 두 상수의 값이 물체의 처음 위치가 어디이고 처음 속도가 얼마인지 와 같은 초기조건에 의해 결정된다. 예를 들어, 초기조건이 때 그리고 (32.24) 라고 하자. 이것은 스프링에 연결된 물체를 만큼 잡아당겼다가 가만히 놓았을 때 의 초기조건이다. (32.23)식에 이 초기조건을 대입하면 (32.25) 360 32. 단순조화진동 가 되는데, 이 두 식을 연립으로 풀어 와 를 구하면 (32.26) 가 되고 따라서 (32.24)식으로 주어지는 초기조건을 만족하는 (32.16)식의 풀이는 (32.27) 이다. 여기서는 삼각함수를 지수함수로 변환시키는 관계인 (32.28) 중에서 앞에 식을 이용하였다. 참고로 (32.28)식의 역변환으로 지수함수를 삼각함수 로 변환시키는 관계는 (32.29) 가 된다. 그런데 이번에는 초기조건이 (32.30) 라고 하자. 이것은 때 물체가 원점을 속도 로 지나가는 경우를 말하는 초기조 건이다. (32.23)식에 이 초기조건을 대입하면 (32.31) 가 되는데, 이 두 식을 연립으로 풀어서 와 를 구하면 361 제11주 강의 (32.32) 가 되고 따라서 (32.30)식으로 주어지는 초기조건을 만족하는 (32.16)식의 풀이는 (32.33) 이다. 여기서는 (32.28)식의 두 번째 식으로 주어진 사인함수 를 지수함수로 변환시키는 관계를 이용하였다. 이와 같이 탄성력을 받는 물체는 변위가 시간에 대하여 코 사인함수 또는 사인함수처럼 바뀌며 운동한다. 그래서 그림 32.3에 보인 것과 같이 탄성력을 받고 움직이는 물체의 운동 이 시간이 흐르면 어떤 모양을 그리나 가만히 보면 사인곡선 또는 코사인곡선을 그린다. 사인곡선과 코사인곡선은 모양이 그림 32.3 용수철에 연결된 물체의 운동 (코사인 곡선) 똑같다. 단지 처음에 0에서 시작하면 사인곡선이고 처음에 변 위의 최대값으로부터 시작하면 코사인곡선이다. 이와 같이 시간에 대하여 사인 함수 또는 코사인 함수에 의존하며 움직이는 진동 을 특별히 단순조화진동 또는 단순조화운동이라고 부른다. 그러니까, 단순조화진동 은 아무렇게나 왔다 갔다 하는 왕복운동이 아니라 특별히 사인곡선 또는 코사인곡선의 모양처럼 왔다 +y 갔다 하는 운동을 말하는 것이다. 그리고 변위에 비 례하는 탄성력을 받고 움직이면 꼭 단순조화운동을 A 하는 것을 알 수 있다. +x 그런데 단순조화운동은 등속원운동과 밀접한 관 계가 있다. 그림 32.4에 보인 것처럼 등속원운동을 하는 물체의 운동을 옆에서 본 운동이나 또는 등속 원운동을 하는 물체에게 옆에서 빛을 비추어주었을 때 그림자가 하는 운동은 단순조화진동과 똑같다. 362 그림 32.4 등속원운동과 단순조화진동 32. 단순조화진동 그것은 왕복 운동을 한다는 점에서 비슷하다는 뜻이 아니라 운동이 시간에 대해 코 사인함수나 사인함수 처럼 의존한다는 점까지 똑같다는 뜻이다. 등속원운동은 일정한 속력으로 원둘레를 따라 회전하는 운동이다. 그리고 등속원 운동의 속력 v 와 각속도 , 그리고 원의 반지름 R 사이에는, (22.9)식에 주어진 것 처럼 (32.34) 인 관계가 있다. 한편 원을 한바퀴 회전하는데 걸리는 시간 를 원운동의 주기라고 하는데, 등속원운동의 속력이 일 때 주기 는 (32.35) 로 주어진다. 주기란 원운동뿐 아니라 진동과 같이 동일한 동작을 반복할 때도 이용 되는데, 반복되는 동작을 한번 완성하는데 걸리는 시간을 모두 주기라고 부른다. 그리고 주기의 역수를 진동수라고 하는데, 그래서 주기 T 와 진동수 f 사이에는 (32.36) 인 관계가 있다. 진동수는 단위시간 동안에 동일한 동작을 반복한 회수를 나타낸다. 그리고 각속도와 주기 사이의 관계인 (32.35)식으로부터 각속도를 주기로 표현하고 다시 주기의 역수가 진동수라는 점을 이용하여 진동수로 표현해보면 (32.37) 가 된다. 즉 각속도 는 진동수 에 를 곱한 것과 같다. 이런 이유 때문에 각속도 를 각진동수라고도 부른다. 그러므로 각속도와 각진동수는 똑같은 양의 두 이름이다. 우리 주위를 가만히 살펴보라. 그러면 세상은 온통 정해진 위치 주위를 왔다 갔다 반복하는 진동하는 물체들로 꽉 차있는 것을 알 수 있다. 이렇게 물체들이 진동하려 면 그 물체들은 또 꼭 진동을 시켜주는 힘을 받고 있다는 사실도 기억하고, 어떤 힘 들이 그 물체들을 그와 같이 진동하게 만드는지 생각해보는 것도 재미있지 않을까? 363 제11주 강의 진동 중에서 특별히 단순조화진동을 하는 물체는 꼭 변위 에 비례하는 탄성력을 받고 움직인다. 따라서 물체가 받는 힘의 크기가 변위의 크기에 비례하고 그 방향은 변위의 방 향과 반대쪽을 향하면 그 물체는 단순조화진동을 한다고 확신할 수 있다. 단순조화진동을 하는 예로 단진자를 보자. 단진자란 그 림 32.5에 보인 것과 같이 질량을 무시할 수 있는 길이가 인 줄에 질량이 인 물체를 매달아 진동할 수 있게 만든 장치를 말한다. 다만 물체는 한 평면 위에서만 진동하고 진 동하는 각 가 매우 작을 때만 이 진자를 단진자라고 부른 그림 32.5 단진자의 운동 다. 그러면 이 단진자에 적용할 뉴턴의 운동방정식을 써보 자. 이 물체는 그림 32.5에 보인 점을 중심으로 회전운동을 한다고 생각할 수 있으 므로 (23.12)식에 나온 회전운동에 대한 뉴턴의 운동방정식인 (32.38) 을 이용하자. 이 식에서 는 외력에 의한 토크를 나타내고 는 단진자에 매달린 물체 의 회전관성을 나타낸다. 먼저 그림 32.5에 보인 물체에 작용하는 두 힘인 중력 와 장력 에 의한 토크를 계산하자. 중력에서 회전축까지의 거리는 이고 장력 에서 회전축까지의 거리는 0이므로 물체에 작용하는 토크 는 × × (32.39) 가 된다. 여기서는 그림 32.5에 보인 것처럼 시계반대 방향을 회전각 의 +방향으 로 정하였으므 시계방향으로 회전하도록 하는 중력에 의한 토크는 -방향을 향한 다는 사실을 이용하였다. 그리고 위의 경우에 장력 의 크기가 무엇인지 미리 정해 지지 않으므로 장력에 의한 토크를 계산해야 한다면 어려움이 닥칠뻔 했으나 다행스 럽게도 장력에 의한 토크는 0이 된다. 다음으로 줄에 매달린 물체의 회전관성 는 (32.40) 이므로, (32.39)식과 (32.40)식을 (32.38)식에 대입하면 364 32. 단순조화진동 → (32.41) 이다. (32.41)식으로 주어지는 2차 미분방정식에서 종속변수는 이고 독립변수는 이다. 그런데 이 방정식은 에 의존하기 때문에 선형 미분방정식이 아니다. 다만 물체가 회전하는 각 가 매우 작아서 (32.42) ≈ 로 놓을 수 있다면 (32.41)식을 (32.43) 라고 쓸 수 있고 그러면 (32.43)식을 이제 2차 선형 동차 미분방정식이라고 부를 수 있다. 그런 이유 때문에 가 작을 때에만 그림 32.5에 보인 진자를 단진자라고 부른 다. (32.43)식을 용수철에 연결된 물체에 대한 운동방정식인 (32.16)식과 비교하면 단진자의 각진동수 는 (32.44) 로 주어지고 그러므로 단진자의 주기 는 (32.35)식으로부터 (32.45) 임을 알 수 있다. 즉 단진자의 주기 는 단지 단진자의 길이 에 의해서만 결정되고 매달린 물체의 질량 과는 무관하다. 단순조화진동을 하는 다른 예로 그림 32.6에 보인 것처럼 균 일한 밀도 로 이루어진 질량구를 따라 뚫린 작은 구멍을 따라 질량 을 떨어뜨렸을 때 이 질량이 어떤 운동을 할지 살펴보 자. 이것은 지구에 지구 중심을 관통하는 터널을 뚫고 물체를 떨 어뜨리면 어떤 운동을 하는가라는 문제와 같다. 이 문제에서 질 365 그림 32.6 만유인력에 의한 운동 제11주 강의 량 에 작용하는 힘 는 구에서 질량이 위치한 곳을 지나는 반지름이 인 구 내부 에 포함된 질량이 중심에 놓여있을 때 그 질량과 질량 사이에 작용하는 만유인력 과 같다. 이것은 만유인력이 거리의 제곱에 반비례하는 힘이기 때문에 성립하는 성질 인데, 역시 거리의 제곱에 반비례하는 전기력인 쿨롱힘에 대해 배울 때 가우스 법칙 이라고 알려진 방법에 의해서 쉽게 구할 수 있는 결과이다. 반지름이 인 구 내부에 포함된 밀도가 인 물체의 질량 은 (32.46) 이므로 질량 에 작용하는 만유인력 는 (32.47) 로 중심으로부터의 거리 에 비례함을 알 수 있다. 그리고 이 힘은 중심 방향을 향하 므로 탄성력과 똑같이 행동하는 힘이다. 한편 (32.47)식과 후크 법칙을 비교하면 (32.47)식으로 주어지는 힘은 마치 탄성률 가 (32.48) 인 탄성력처럼 행동한다. 그러므로 그림 32.6에 보인 질량은 (32.5)식에 의해 구멍 내에서 각진동수 가 (32.49) 인 운동을 한다. 그러므로 이 물체가 단순조화진동을 하는 주기 는 (32.35)식에 의해 (32.50) 가 됨을 알 수 있다. 366 33. 감쇠진동과 강제진동 ∙ 탄성력을 받는 물체가 속도에 비례하는 마찰력 함께 받으면 원래 단순조화운 동의 진폭이 점점 감소하게 되는데 그런 운동을 감쇠진동이라 부른다. 뉴턴의 운 동방정식을 이용하여 감쇠진동을 설명하라. ∙ 탄성력을 받고 단순조화진동을 하는 물체에 외부에서 다른 진동수로 진동하는 힘을 가했을 때 운동을 강제진동이라고 부른다. 강제진동에서는 공명현상이 일 어난다. 공명현상은 언제 일어나는지 설명하라. ∙ 단순조화진동, 감쇠진동, 강제진동, 진동의 공명현상 등은 우리 주위에서 흔히 일어나는 현상을 설명하는데 이용된다. 이것들이 실제로 적용되는 예에는 무엇 이 있는지 설명하라. 앞의 32장에서 공부한 것처럼, 탄성력을 받는 물체가 하는 운동인 (32.27)식 또 는 (32.33)식으로 주어지는 단순조화진동은 일단 한번 시작되면 영원히 계속됨을 알 수 있다. 그렇지만 우리 주위에서 관찰되는 진동은 그렇지 않다. 단진자를 움직여 진동하게 만들어 놓고 가만히 놓아두면 진동의 진폭이 점점 작아져서 나중에는 정지 하고 만다. 용수철에 연결하여 진동하는 물체도 마찬가지 다. 처음에 진동시켜 놓고 가만히 기다리면 결국 그 운동 은 잦아들고 만다. 그 이유를 우리는 이미 잘 알고 있다. 32장에서는 물체에 작용하는 마찰력을 고려하지 않고 물 체에는 오직 탄성력만 작용한다고 너무 간단하게 생각하 였기 때문에 그러한 결과를 얻었다. 이제 탄성력과 함께 마찰력도 고려하기 위해서 그림 33.1에 보인 것과 같이 용수철에 연결된 물체가 점성이 큰 액체에 담겨있다고 생각하자. 그러면 이 물체에는 변 위에 비례하는 탄성력 (33.1) 367 그림 33.1 탄성력과 마찰력을 받고 운동하는 물체 제11주 강의 와 함께 점성이 있는 유체에서 물체가 움직일 때 스토크스 법칙인 (30.5)에 의해 받 는 점성항력 (33.2) 가 작용된다. (33.2)식 우변의 마이너스 부호는 점성항력이 물체의 속도가 가리키는 방향과 반대방향으로 작용한다는 것을 나타낸다. 물체에 작용하는 중력은 제외시키 기로 하자. 그림 33.1에 보인 것과는 달리 용수철과 물체가 수평방향으로 움직인다 고 생각하거나 질량이 작아서 다른 힘에 비해 중력을 무시할 수 있다고 생각해도 좋 다. 사실은 중력을 고려한다고 해도 이 물체가 수행하는 진동의 모습에는 별 영향을 주지 않는다. 그림 33.1에 보인 물체에 (33.1)식으로 주어지는 탄성력 와 (33.2)식으로 주 어지는 점성항력 가 작용한다면 물체에 작용하는 합력 는 (33.3) 가 된다. 이 힘을 뉴턴의 운동방정식 의 좌변 힘에 대입하면 그림 33.1에 나 온 물체에 적용할 운동방정식은 (33.4) 이 되는데, 이 식을 정리하여 여기서 , (33.5) 라고 쓰자. 그러면 속도에 비례하는 마찰력이 존재하는 경우 적용되는 운동방정식도 2차 선형 동차 미분방정식임을 알 수 있다. 그뿐 아니라 미분방정식의 계수들이 모두 상수이어서 32장에서 탄성력만 받는 물체에 대한 운동방정식인 (32.16)식을 풀 때 와 똑같은 방법을 사용할 수 있음도 알 수 있다. 그러면 32장에서 (32.19)식으로 했던 것과 마찬가지로 (33.5)식의 풀이를 368 33. 감쇠진동과 강제진동 (33.6) 라고 놓고 풀이가 되는 상수인 값을 구하자. (33.6)식을 (33.5)식에 입하면 (32.20)식에 의해 → ∴ ± (33.7) 를 얻는다. 다시 말하면 (33.5)식을 만족하는 값은 그리고 (33.8) 로 두 개임을 알 수 있다. 그러므로 (33.5)식의 풀이는 그리고 (33.9) 등 두 가지가 되고 이들 두 함수의 선형조합인 (33.10) 가 우리가 구하는 일반적인 풀이이다. (33.10)식에서 와 는 임의의 상수인데, 실 제 문제에서는 초기조건에 의해서 두 상수의 값이 결정된다. (33.10)식으로 주어지 는 운동은 시간이 흐르면서 단순조화진동의 진폭이 감소하는 진동이다. 이러한 운동 을 감쇠진동이라고 부른다. 감쇠진동은 점성항력의 세기를 나타내는 값과 각진동수 사이의 관계에 따라 몇 가지로 분류될 수 있다. 는 (33.5)식에서 과 같음을 알 수 있다. 즉 점성항력의 비례상수를 물체의 질량으로 나눈 것으로 질량에 비해 점성항력이 얼마나 센지를 말하는 상수로 흔히 감쇠계수라고 부른다. 그리고 는 마찰력은 작용하지 않고 탄성력만 받을 때 물체의 각진동수이다. 이 각진동수를 흔히 자유각진동수라고 부른다. 감쇠진동에서는 자유 각진동수로 진동하지 않고 다른 각진동수로 진동한다. 자유각진동수란 만일 마찰이 작용하지 않는다면 나타나는 각진동수를 말한다. 감쇠진동은 감쇠계수 와 자유각진 동수 사이에 어느 것이 더 크냐에 따라 작은감쇠진동, 임계감쇠진동, 그리고 과잉 369 제11주 강의 감쇠진동으로 나뉘는데 그렇게 구분되는 기준은 작은감쇠진동 : (33.11) 임계감쇠진동 : 과잉감쇠진동 : 와 같다. 자유각진동수가 감쇠계수보다 더 크면 작은 감쇠진동인데 이 경우에는 진동 의 진폭이 점점 줄어들면서 진동을 계속한다. 그러나 자유각진동수가 감쇠계수와 같 거나 더 작은 경우인 임계감쇠진동과 과잉감쇠진동에서는 실질적인 진동이 일어나지 않는다. 사실 자유각진동수와 감쇠계수가 같은 임계감쇠진동에서는 진동이 딱 한번 만 일어나는 경우이고 자유각진동수가 감쇠계수보다 더 작은 과잉감쇠진동에서는 진 동이 일어나지도 못하고 잦아드는 경우이다. 인 작은감쇠진동에서는 (33.8)식에 나오는 제곱근 부호 안이 음수가 된다. 그러므로 ′ 여기서 ′ (33.12) 로 놓으면 (33.8)식으로 구한 두 값을 ′ 그리고 ′ (33.13) 으로 놓을 수 있으므로 일반적인 풀이인 (33.10)식을 ′ ′ (33.14) 라고 쓸 수 있다. (33.14)식 중에서중에서 (32.29)식을 이용하여 지수함수를 삼각함수로 바꿔놓으 면 (33.14)식으로 주어지는 풀이가 어떤 운동을 대표하는지 더 잘 이해할 수 있다. 그렇게 하면 (33.14)식을 ′ ′ ′ ′ (33.15) ′ ′ 370 33. 감쇠진동과 강제진동 라고 쓸 수가 있는데 여기서 와 는 와 에 의해 (33.16) 로 주어지는 상수로 구체적인 문제에서는 역시 초기조건에 의해 결정된다. (33.15) 식을 한번 더 (33.17) ′ 라고 바꾸어 쓸 수 있다. 이것을 구하기 위해서는 코사인 덧셈법칙에서 성립하는 항 등식인 (33.18) ′ ′ ′ 를 이용하여 (33.15)식에 나오는 와 를 (33.19) 와 같이 와 로 바꾸어 쓰기만 하면 된다. 이렇게 인 작은감쇠진동에서는 운동방정식인 (33.5)식의 풀이가 (33.14)식 과 (33.15)식 그리고 (33.17)식의 세 가지로 표현될 수 있다. 세 식이 모두 동일한 운동을 나타낸다. 다만 초기조건에 의해 결정되는 상수를 결정하는 방법이 다를 뿐이 다. (33.14)식에서는 초기조건에 의해 두 상수 와 가 결정되고 (33.15)식에서는 두 상수 와 가 결정되며 (33.17)식에서는 와 가 결정된다. 그런데 작은감쇠 진동의 풀이를 (33.17)식 형태로 표현하는 것이 그 운 동을 이해하는데 가장 좋다. 초기조건으로 결정되는 상 수 와 가 운동의 모습을 설명해주는 의미를 지니고 있기 때문이다. (33.17)식 을 그래프로 표시하면 그림 33.2에 보인 것과 같게 된 그림 33.2 작은감쇠진동 371 제11주 강의 다. 이 그림으로부터 분명히 알 수 있듯히 작은감쇠진동은 진폭이 점점 감소하면서 진행되는 진동인데 (33.17)식으로부터 시간에 의존하는 진폭 는 (33.20) 로 쓸 수 있음을 알 수 있고, 여기서 는 시간이 때의 진폭으로 작은감쇠진동 의 최대진폭에 해당한다. 비록 시간이 흐름에 따라 진폭이 감소하지만 작은감쇠진동 에서는 진동이 계속 진행된다. 그러나 진동하는 각진동수는 자유진동수 와는 같지 않고 (33.12)식으로 주어진 자연각진동수인 ′ 와 같은데, ′ 은 에 비해 약간 작 다. 인 임계감쇠진동에서는 (33.8)식으로 구한 두 값이 (33.21) 로 모두 같다. 그러므로 (33.9)식으로 주어진 두 풀이도 그리고 (33.22) 로 서로 같다. 그러면 이들 두 풀이의 선형조합으로 이루어진 (33.10)식으로 주어진 일반풀이는 (33.23) 가 되는데, 이 경우는 단 한 개의 상수만 포함되어 있는 것과 마찬가지이다. (33.5) 식과 같은 2차 선형 동차 미분방정식은 반드시 초기조건에 의해 결정될 두 개의 임 의상수를 포함하여야 된다. 그러므로 (33.23)식으로 주어진 풀이는 아직 완전한 풀 이라고 말할 수 없다. 나머지 한 개의 풀이는 다음과 같이 찾는다. 계수가 상수인 2차 선형 동차 미분방 정식에서 한 풀이가 꼴이라면 (33.24) 도 역시 동일한 미분방정식의 풀이가 됨을 쉽게 증명할 수 있다. (33.24)식을 원래 372 33. 감쇠진동과 강제진동 미분방정식인 (33.5)식에 대입하여 그 식이 성립하는 것을 보이기만 하면 된다. (33.24)식을 (33.5)식에 대입하기 위해 먼저 (33.24)식의 1차미분과 2차미분을 구 하자. 그 결과는 (33.25) 이며, 이것을 (33.5)식에 대입하면 (33.26) 로 되어 (33.24)식으로 주어진 함수가 (33.5)식의 풀이가 됨을 알 수 있다. 그런데 (33.26)식에서 마지막 등식은 임계감쇠진동에서 임을 이용하였다. 이제 임계 감쇠진동에서는 (33.23)식과 (33.24)식으로 주어지는 와 가 두 풀이임을 알았으므로 임계감쇠진동에 대한 일반풀이는 이 두 함수를 선형조합으로 표현한 (33.27) 가 되며 여기서 두 상수 와 는 초기조건으로 결정된다. 그러나 아무튼 임계감쇠진 동에서는 진동을 일어나지 않으며 단순히 변위 가 시간이 흐름에 따라 지수함수적 으로 감소하는 운동임을 알 수 있다. 이제 마지막으로 인 과잉감쇠진동을 보자. 이 경우에는 (33.8)식에 나오는 제곱근 부호 안이 양수가 되므로 (33.28) ″ 이라고 놓자. 그러면 (33.8)식에서 구한 두 값을 ″ 그리고 ″ 라고 쓸 수 있으므로, (33.5)식의 일반풀이인 (33.10)식을 373 (33.29) 제11주 강의 (33.30) ″ ″ 라고 쓸 수 있다. 여기서도 두 상수 와 는 초기조건으로 결정된다. (33.30)식을 보면 예상할 수 있듯이 과잉감쇠진동에서도 임계진동에서와 마찬가지로 진동은 계속 적인 진동은 일어나지 않으며 구체적인 운동의 모양은 두 상수 와 가 결정되어야 알 수 있지만 과잉감쇠진동은 변위가 지수함수적으로 계속 감소하거나 처음에 잠시 증가하다가 곧 다시 감소하는 운동이다. 이제 (33.11)식에서 분류한 세 가지 감쇠진동에 대한 풀이 임계감쇠진동 를 모두 구하였다. 인 작 과잉감쇠진동 은감쇠진동의 풀이는 (33.17) 식으로 주어졌고 인 임계 감쇠진동의 풀이는 (33.27)식 으로 주어졌으며 인 과 잉감쇠진동의 풀이는 (33.30) 식으로 주어졌다. 이 세 식에 작은감쇠진동 의한 세 감쇠진동의 풀이를 그 그림 33.3 여러 가지 감쇠진동 래프로 그리면 그림 33.3에 보 인 것과 같게 된다. 여기서는 세 가지 감쇠진동은 모두 동일한 초기조건에서 시작된 다고 하고 계산되었다. 이 그림에서 알 수 있는 것처럼 임계감쇠진동과 과잉감쇠진동 이 모두 진동은 보이지 않고 변위가 계속 감소하는 운동이다. 그런데 과잉감쇠진동에 서보다 임계감쇠진동에서 더 빨리 평형위치인 에 도달하는 것을 볼 수 있다. 임계감쇠진동의 이러한 성질은 널리 적용된다. 예를 들어, 저울에 물건을 올려놓고 무게를 측정하는 경우를 보자. 어떤 경우에는 저울의 바늘이 평형점 주위를 계속 진 동하여서 바늘이 가리키는 눈금을 제대로 측정하지 못할 경우도 있다. 그것이 바로 작은감쇠진동을 나타낸다. 또는 저울의 마찰이 너무 커서 비록 바늘이 진동하지는 않 지만 평형점에 바로 도달하지 않고 오랫동안 기다려야 되는 경우도 있다. 그것은 바 로 과잉감쇠진동을 나타낸다. 저울이 임계감쇠진동으로 설계되어 있는 경우에 바늘 이 가장 빨리 가리켜야 될 눈금에 도달한다. 다른 예로, 자동차에는 그림 33.4에 보인 것과 같은 완충기(shock absorber)라 374 33. 감쇠진동과 강제진동 불리는 충격흡수 장치가 부착되어 있다. 자동차의 완충기는 그림 에 보인 것처럼 탄성력을 제공하는 강력한 용수철과 점성이 큰 기름이 들어있는 통 속에서 피스톤이 움직이도록 되어있다. 만일 완충기가 제대로 동작하지 못하면 자동차가 울퉁불퉁한 길을 달 릴 때 계속 상하로 진동하게 된다. 완충기는 임계감쇠진동을 하도 록 설계되어 있어서 자동차가 울퉁불퉁한 길을 지나가더라도 가 장 빠른 시간 안에 자동차가 평형위치로 돌아오도록 만든다. 그림 33.4 자동차의 완충기 앞의 두 예에서는 마찰력이 작용하는 감쇠진동이 유익하게 이 용되는 경우에 속한다. 그러나 우리 주위의 현상 중에는 진동이 줄어들어서 결국 않고 끝없이 계속되는 것이 바람직하지만 마찰 에 의해서 결국 정지하게 되는 경우도 많다. 그런 경우에 진동이 계속되기 위해서는 마찰에 의해서 흩어지는 에너지에 해당하는 양만큼 외부에서 계속 공급해주어야 한다. 예를 들어, 오늘날에는 거의 사라졌지만 예전에는 그림 33.5에 보인 것과 같은 태엽을 감아주는 괘종시계가 있었다. 괘종시계에 매달린 추는 단진동을 하면서 시계바늘이 일정한 빠르기로 진행하도록 조절한다. 괘종 시계에서 추가 한번 진동을 왕복하는 주기 는 (32.45)식으로 그림 33.5 괘종시계 주어진 결과처럼 오직 추까지의 길이에만 의존하므로 비록 마찰 에 의해서 추가 진동하는 진폭이 작아지더라도 바뀌지 않고 일정하게 유지된다. 이것 이 갈릴레이가 발견하였다는 유명한 진자의 등시성이다. 그런데 진자의 등시성에 의 해서 주기는 일정하게 유지된다고 하더라도 추가 진동하기를 멈춘다면 시계는 더 이 상 가지 않게 된다. 그래서 태엽을 감아서 추가 계속 진동하도록 만들어준다. 이렇게 외부에서 강제로 진동이 계속되도록 한 진동을 강제진동이라 한다. 강제진동의 또 다른 예로 그림 33.6에 보인 그네타기를 들 수 있다. 그네를 한번 밀고 가만히 놓아두면 그네는 결국 멈춰버리고 만다. 그네가 계속 움직이기 위해서는 이따금씩 뒤에서 밀어주어 야 한다. 그리고 이렇게 그네를 밀어주는 시간간격은 그네가 한번 왕복운동을 하는 주기와 같도록 하는 것이 좋다. 이렇게 강제진동 에서는 감쇠진동을 하는 물체에 탄성력과 점성항력에 더하여 주기 적으로 바뀌는 강제력을 작용시켜서 진동이 계속 진행되도록 만든 다. 그림 33.6 그네타기 375 제11주 강의 이제 (33.1)식으로 주어지는 탄성력과 (33.2)식으로 주어지는 점성항력에 더하여 물체에는 (33.31) 로 주어지는 강제력도 작용한다고 하자. 탄성력은 위치에 의존하는 힘이고 점성항력 은 속도에 의존하는 힘이라면 (33.31)식으로 주어지는 강제력은 시간에 의존하는 힘이다. 그리고 이 강제력은 그 크기가 시간에 대하여 각진동수 로 마치 단순조화 진동처럼 변화하는 힘이다. 그러면 물체에 작용되는 힘은 탄성력과 점성항력 그리고 강제력을 모두 합한 (33.32) 가 된다. 그러면 강제진동을 하는 물체에 대해 우리가 풀어야 할 운동방정식은 (33.33) 이 되고 이것을 선형 미분방정식을 표현하는 일반적인 모양으로 다시 쓰면 (33.34) 와 같다. 강제진동하는 물체에 대해서 우리가 풀어야 할 (33.34)식은 우변이 0이 아니므로 비동차 미분방정식이다. (33.34)식과 같은 비동차 미분방정식의 풀이는 특수풀이 와 동차풀이 의 합으로 (33.35) 와 같이 구성된다. 동차풀이 는 (33.34)식에서 우변을 0으로 놓은 동차 미분방 정식의 풀이로 우리가 이미 구한 (33.10)식과 같으며 두 개의 임의상수를 포함한다. 그리고 특수풀이 는 (33.34)식을 만족하는 특별한 풀이이다. 동차풀이 를 (33.34)식의 좌변에 나오는 자리에 대입하면 0이 될 것이므로 (33.35)식으로 주 376 33. 감쇠진동과 강제진동 어지는 가 (33.34)식의 풀이임은 분명하다. 그런데 (33.34)식의 풀이로 특수풀 이 에 더하여 동차풀이 를 포함시키는 것은 에 포함된 두 개의 임의 상수를 이용하여 초기조건을 만족하도록 하기 위해서이다. 그러면 이제 (33.34)식으로 주어진 비동차 미분방정식의 특수풀이 를 구해 보자. 특수풀이를 구하는데 이용되는 방법은 따로 없다. 다만 특수풀이 를 (33.34)식의 좌변에 나오는 자리에 대입하여 계산하면 (33.34)식의 우변이 나와 야만 한다는 것을 염두에 두고 특수풀이를 찾아내어야 한다. (33.34)식으로 주어진 비동차 미분방정식의 경우에는 우변이 코사인함수인데 좌변에는 특수풀이를 한번 미 분한 항도 있고 두 번 미분한 항도 있다. 코사인함수를 미분하면 사인함수가 되고 사 인함수를 미분하면 코사인함수가 되므로, (33.34)식의 좌변에 대입하여 코사인함수 가 만들어지기 위해서는 특수풀이 가 (33.36) 의 형태를 취하리라고 예상할 수 있다. 여기서 와 는 (33.36)식이 특수풀이가 되 도록 정해줄 상수이다. 그런데 (33.37) 이므로 (33.36)식과 (33.37)식을 (33.34)식에 대입하여 정리하면 (33.38) 가 된다. 그리고 이 식이 모든 값에 대해 항상 성립하려면 좌변과 우변에 나오는 의 계수가 서로 같아야 하고 또한 좌변과 우변에 나오는 의 계수가 서 로 같아야 한다. 다시 말하면 (33.39) 가 성립하여야 한다. 이 조건으로부터 두 상수 와 의 값이 정해진다. (33.39)식에 나오는 두 식을 연립으로 풀어서 두 상수 와 를 구하면 그 결과는 377 제11주 강의 (33.40) 이다. 그리고 이 결과를 (33.36)식에 대입하면 특수풀이 는 (33.41) 가 된다. 여기서 두 번째 등식은 (33.42) 를 이용하여서 구했고 여기서 와 는 , (33.43) 를 의미한다. 여기서 특별히 를 특수풀이의 위상각이라고 부른다. (33.43)식처럼 (33.41)식에 나오는 우변의 계수를 코사인과 사인으로 나타내는 것은 (33.43)식으 로 주어지면 (33.44) 이 성립되기 때문에 가능해졌다. 이제 강제진동의 동차풀이 와 특수풀이 를 모두 구하였다. 그래서 강제 378 33. 감쇠진동과 강제진동 진동의 풀이 를 (33.45) 라고 쓸 수 있다. 여기서 는 감쇠진동의 풀이로 작은감쇠진동인지, 임계감쇠진 동인지 또는 과잉감쇠진동인지에 따라 각각 (33.17)식, (33.27)식, 또는 (33.30)식 으로 주어진다. 그런데 어떤 경우건 감쇠진동의 동차풀이인 는 시간이 오래 흐 르면 모두 지수함수로 줄어들어 결국 없어지고 만다. 그래서 를 강제진동의 과 도풀이라고도 부른다. 다시 말하면 오랜 시간이 흐르면 강제진동의 풀이인 (33.45) 식 중에서 우변의 두 번째 항인 특수풀이만 남아있게 된다. 그래서 강제진동의 특수 풀이를 정상상태풀이라고도 부른다. 강제진동의 풀이인 (33.45)식의 우변에서 특수풀이인 두 번째 항을 보자. 거기에 나오는 는 으로 주어지는 자유각진동수이고 는 감쇠진동이 줄어들 지 않도록 외부에서 작용시킨 강제력의 각진동수이다. 그래서 강제진동의 특수풀이 는 각진동수가 인, 즉 외부에서 작용해준 강제력의 각진동수와 같은 각진동수로 진동하는 것을 알 수 있다. 그런데 이 특수풀이의 진폭 는 (33.46) 로 주어지는데 이 진폭이 외부에서 작용해준 강 제력의 각진동수 가 무엇이냐에 따라서 변하 는 것을 알 수 있다. 또한 (33.43)식에 의하면 특수풀이의 위상각 도 역시 에 의존하여 변하며 (33.47) 과 같다. (33.46)식으로 주어진 강제진동의 진 폭 와 (33.47)식으로 주어진 위상각 를 의 함수로 그리면 그림 33.7과 같 379 그림 33.7 특수풀이의 진폭과 위상각 제11주 강의 아진다. (33.47)식에서 알 수 있는 것처럼, 가 자유각진동수 와 같으면 탄젠트 값이 무한대가 되므로 는 가 된다. 그런데 그림 33.7에 보인 것처럼, 가 자 유각진동수 보다 약간 더 작은 과 같으면 특수풀이의 진폭 가 최대값을 갖게 된다. 이렇게 강제력의 각진동수가 자유진동수 와 비슷한 에서 특수풀이의 진폭 이 최대가 되는 현상을 강제진동의 공명이라고 하고 을 공명각진동수라고 한다. 그러므로 강제진동의 공명이 일어나는 명각진동수 을 찾으려면 진폭 가 최대값을 갖는 조건으로 (33.48) 를 만족하는 값을 계산하면 된다. 그런데 (33.46)식으로부터 (33.49) 로부터 공명이 일어나는 공명각진동수 은 (33.50) 로 자유각진동수인 보다 약간 작은 값임을 알 수 있다. 강제진동에서 작용하는 강제력의 진동수 가 공명각진동수 과 같으면 특수풀 이의 진폭이 매우 커진다는 사실은 경우에 따라서 좋은 결과를 가져오는 수도 있지 만 좋지 않은 결과를 가져올 수도 있다. 예를 들어, 라디오에서 어떤 방송진동수를 찾는다거나 악기에서 큰 소리를 내기 위해서는 강제진동의 공명현상을 잘 이용하면 좋다. 그러나 그와는 대조적으로 자동차에 부착된 완충기라든지 전기모터를 올려놓 은 용수철 받침대 등과 같은 것에서는 공명이 일어나서 큰 진폭으로 진동하게 되면 아주 바람직하지 못하다. 그런 환경에서는 진동의 전달을 최대한 줄이는 것이 목표가 되며 공명이 일어나지 않도록 설계에 조심해야 한다. 380 ...
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This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

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