12주강의

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Unformatted text preview: 제12주 강의 크리스찬 호이겐스 (네덜란드, 1629-1695) 지난 주에 우리는 고체의 변형과 진동에 대해 공부하였습니다. 고체가 힘을 받으 면 그 고체의 성질에 따라 많게 또는 적게 변형하는데, 고체의 변형에 관한 후크 법 칙에 의하면 탄성한계 내에서 고체의 변형은 변형력에 비례합니다. 위의 문장에서 변 형이라는 말이 어떤 경우에는 단순히 모양이 바뀌었다는 의미로도 쓰이고 또 다른 경우에는 변화한 길이를 원래의 길이로 나는 변형이라고 특별히 정의된 물리량을 나 타내는 의미로 쓰였음을 유의하기 바랍니다. 한편 변형된 물체에 연결된 다른 물체는 탄성력이라는 힘을 받고 운동하는데 이때 탄성력은 그 크기가 물체가 이동한 변위의 크기에 비례하고 그 방향은 변위의 방향 과 반대방향을 가리키는 힘을 말합니다. 그리고 탄성력이라는 힘을 받으면서 운동하 는 물체는 특별히 단순조화진동이라 불리는 운동을 한다는 것을 알았습니다. 변형하 면 탄성력을 작용하는 고체를 나타내는 대표적인 경우가 바로 용수철입니다. 그래서 용수철에 매달린 물체의 운동이 바로 단순조화진동의 대표적인 경우입니다. 또한 우 리는 지난 주 공부로부터 반드시 고체의 변형에 의한 탄성력이 아니라고 하더라도 변위에 비례하는 복원력 형태의 함을 받으면 항상 단순조화진동을 한다는 것도 알았 습니다. 지난 주에 탄성력을 받고 움직이는 물체의 운동을 구하면서 뉴턴의 운동방정식을 381 제12주 강의 푸는데, 미분방정식의 풀이를 직접 구하는 방법을 이용하였습니다. 뉴턴의 운동방정 식은 원래 미분방정식입니다. 그렇지만 지금까지는 미분방정식을 푸는 방법을 이용 하지 않았습니다. 미분방정식을 푸는 것은 아주 어렵기 때문에 어떻게 해서든지 미분 방정식을 직접풀지 않고 해결할 방도를 찾았습니다. 일정한 힘을 받는 물체의 경우에 는 단순히 적분에 의해서 가속도로부터 속도를 구하고 속도로부터 위치벡터를 구하 는 방법을 이용하였습니다. 일정하지 않고 변하는 힘을 받는 경우에는 일과 운동에너 지라는 물리량을 도입하여 역시 미분방정식을 직접 풀지 않고 문제를 해결하는 방도 를 찾아내었습니다. 그런데 지난 주에는 탄성력을 받고 움직이는 물체의 경우 미분방 정식을 직접 푸는 방법을 연습하여 보았습니다. 탄성력을 받고 움직이는 물체에 적용되는 미분방정식은 2차 선형 동차 미분방정식 으로 각 미분 앞의 계수가 상수인 특별한 미분방정식이었습니다. 선형 동차 미분방정 식 중에서 계수가 상수인 미분방정식을 풀 수 있는 일반적인 방법이 있다는 것도 알 았습니다. 그리고 그 방법에 의해서 탄성력을 받는 물체의 운동을 기술하는 미분방정 식을 풀어보니 그 풀이는 변위가 시간에 대해 코사인함수 또는 사이함수로 변한다는 것을 알았습니다. 그렇게 시간에 대해 코사인함수 또는 사인함수처럼 변하며 움직이 는 운동을 단순조화진동이라 부른다는 것도 알았습니다. 이번 주에는 파동에 대해 배웁니다. 파동은 진동과 밀접하게 관련되어 있습니다. 그래서 진동과 파동을 서로 혼동하는 경우도 있습니다. 진동과 파동을 잘 구별할 수 있어야 합니다. 진동은 한 물체가 어떤 평형 위치 주위에서 동일한 운동을 계속하는 것을 말합니다. 파동은 연달아 놓여있는 수많은 물체들이 함께 진동하는 현상을 말합 니다. 그렇지만 수많은 물체들이 제각각 진동을 한다면 그것을 파동이라고 부르지는 않습니다. 수많은 물체들을 하나씩만 본다면 모두다 똑같은 모양의 진동을 합니다. 그런데 인접한 물체가 진동하는 모습을 보면 운동하는 순서가 조금씩 차이가 납니다. 그래서 마치 물체가 진동하는 모습이 한 곳에서 다른 곳으로 이동하는 것처럼 보입 니다. 물체들이 실제로는 한 장소에서 진동만 하고 있지만 진동하는 모습이 한 쪽에 서 다른 쪽으로 이동하는 것처럼 보이는 것이 파동입니다. 이번 주에는 파동 현상을 기술하는 방법과 파동이 지니고 있는 성질들에는 무엇이 있는지 살펴볼 것입니다. 그 리고 대표적인 파동 중의 하나인 음파에 대해 자세히 공부할 예정입니다. 앞에서 사 진으로 소개된 호이겐스는 파동의 성질을 설명하는 호이겐스 원리를 제안한 네덜란 드 출신의 유명한 과학자입니다. 382 34. 파동을 기술하는 방법 ∙ 파동에는 종파와 횡파가 존재한다. 종파와 횡파는 어떻게 구별되고 종파의 예와 횡파의 예에는 무엇이 있는가? ∙ 매질에서 파동이 진행되는 속력은 매질의 성질에 의해서 결정된다. 파동의 속력 은 어떻게 정해지는가? ∙ 진동은 진폭, 주기, 진동수 등으로 기술되는가 하면 파동을 기술하는데는 그 외 에도 파장, 파수 등이 이용된다. 진동과 파동을 기술하는 물리량들은 서로 어떤 관계에 있는가? 우리는 지난 주 강좌를 통하여 용수철에 연결된 물체는 단순조화진동이라는 특별 한 운동을 한다는 것을 알았다. 그리고 단순조화진동은 용수철에 연결된 물체뿐 아니 라 변위에 비례하며 변위의 방향과 반대방향으로 작용하는 힘을 받는 물체는 어느 것이나 모두 단순조화진동을 한다는 것을 알았다. 이제는 진동과 연관되며 지금까지 공부한 물체의 운동과는 좀 다른 현상으로 파동에 대해 공부하려고 한다. 파동은 진 동과 긴밀히 연결되어 있지만 새로운 자연현상이다. 물체가 진동한다고 이야기할 때는 하나의 물체가 관심의 대상이다. 마치 공중으로 던져져서 중력을 받는 물체가 포물선운동을 하고 만유인력을 받는 물체가 타원궤도 를 따라 움직이듯이, 탄성력을 받고 움직이는 물체는 단순조화진동을 한다. 그런데 파동을 이야기할 때는 하나의 물체가 대상이 아니다. 그래서 한 물체를 보고 파동운 동을 한다고 말하지 않는다. 파동이란 여러 물체 또는 물체의 연속된 부분들의 운동 을 한꺼번에 부르는 이름이다. 실제로 파동을 이루고 있는 물체들 하나하나를 보면 진동을 하고 있다. 그런데 그 물체들 전체를 보면 진동하는 모습이 한쪽으로 진행하 는 것처럼 보인다. 이것을 파동이라고 한다. 파동의 예로 가장 많이 등장하는 것이 수면파이다. 잔잔한 호수에 돌멩이를 던지 면 호수 표면을 따라 물결이 퍼져 나간다. 이것이 바로 수면파라고 불리는 파동이다. 꼭 물결이 멀어져 가는 것처럼 보이지만 물이 실제로 멀리 옮겨가는 것은 아니다. 수 383 제12주 강의 면파를 만드는 물분자들이 움직이는 모습을 그린 그림 34.1을 보자. 짧은 시간 간격으로 나누어 시간이 흐름에 따라 물분자의 위치가 어떻게 바뀌는지를 그린 것이다. 물 표면의 물결이 오른쪽으로 가고 있는 것처럼 보이지만 실제로 물분자는 자기중심 위치에서 진동하고 있을 뿐이 다. 여기서 물론 물분자 하나만 놓고 보면 그 물분자는 자신이 받는 힘에 의해 뉴턴의 운동법칙이 정해주는 바에 따라 정해진 자리 주위에서 진동을 계속할 따름이다. 그 리고 물분자 하나는 중심이 되는 위치 주위로 진동을 계 속하고 있음으로 어떤 종류의 복원력을 받고 움직이는 것 임에 틀림없을 것이다. 그런데 물 전체로 보면, 그리고 특별히 수면 부을 보 면, 움직이는 모습이 오른쪽으로 이동한다. 그리고 이 현 상은 단순히 물결이 오른쪽으로 이동하는 것처럼 우리 눈 에 일어나는 착각에 지나지 않는 것이 아니라 실제로 오 른쪽으로 이동하는 물리량이 있음을 나타낸다. 그런 현상 을 파동이라 부른다. 이를 더 잘 이해하기 위해 이번에는 긴 줄을 한번 확 낚아챘을 때 줄에 생긴 충격파가 전달되어 나가는 모습을 그림 34.1 수면파에서 물분자들의 운동 보자. 그림 34.2에 그려놓은 것처럼, 줄은 움직이지 않고 그대로 있는데 낚아챈 모양만 오른쪽으로 전달해 나간다. 그리고 줄을 한 번만 낚아채는 대신 줄을 잡고 계속 흔들 어 주면 줄은 사인곡선 모양의 형태가 되고 그 형태가 계 속 오른쪽으로 진행해 나간다. 줄은 그곳에 그대로 있고 줄의 각 부분은 제자리에서 진동을 계속하는데 줄의 전체 적인 형태가 오른쪽으로 이동한다. 이런 현상을 파동이라 고 한다. 이와 같이 파동이란 실제 운동하고 있는 수많은 입자들 은 제자리에서 진동만 반복하지만 많은 입자들이 전체적 으로 진동하는 모습이 한쪽으로 이동되는 현상이다. 그래 384 그림 34.2 줄에 생긴 충격파 34. 파동을 기술하는 방법 서 지금까지는 뉴턴의 운동 방정식을 적용하여 운동을 기술하는데 물체 하나하나에 관심을 두고 물체 하나하나의 위치가 시간에 따라 어떻게 이동하는지를 알기 위하여 그 물체의 위치벡터 가 시간의 함수로 바뀌는 모습을 구하는 것이 목표이었지만 파동에서는 입자하나 하나가 운동을 기술하는 대상이 아니고 많은 입자들이 움직이 는 모습 전체가 운동을 기술하는 대상이다. 이처럼 파동에서는 물체가 직접 한 장소에서 다른 장소로 이동하지 않고 많은 입 자가 진동하는 형태만 이동한다. 그래서 파동이 존재하려면 그 형태를 이동시켜줄 매 개 물체가 꼭 필요하다. 이것을 파동의 매질이라고 부른다. 파동은 파동을 전달해주 는 매질이 진동하는 방향과 파동이 진행하는 방향사이의 관계에 따라 횡파와 종파 두 가지로 나눈다. 횡파는 매질을 구성하는 입자 하나하나의 진동 방향과 진동하는 전체 모습인 파동의 진행방향이 서로 수직인 경우이고, 종파는 매질을 구성하는 입자 하나하나의 진동 방향과 진동하는 전체 모습인 파동의 진행 방향이 서로 평행한 경 우이다. 앞의 그림 34.1에서 본 수면파 나 그림 34.2에서 본 줄에 생기 변위 는 파동은 횡파의 예이다. 그런데 음파는 종파에 속한다. 그림 34.3 을 보면 스피커에서 나온 소리에 의해서 공기분자들이 어떻게 진 동하는지를 보여준다. 그림에 짙 게 표시된 부분은 공기분자들이 압력 밀하게 모여있기 때문이고 옅게 표시된 부분은 공기분자들이 듬 성듬성 모여있기 때문이다. 그래 그림 34.3 음파를 전달하는 공기분자들이 진동하는 모습 서 음파를 압력파라고도 부른다. 위치에 따라서 압력이 높고 낮은 부분이 반복되며 파동이 전달되기 때문이다. 그림 34.3에서 명백한 것처럼, 음파에서는 공기분자들의 진동방향이 파동의 진행방향과 같으며 그래서 음파는 종파 중 하나이다. 그 밖에 지진도 역시 파동에 의해 전달되는 데 지진을 전달하는 지진파에는 종파와 횡파 두 가지가 모두 존재한다. 그리고 빛도 역시 파동인데, 파동 중에서도 횡파이다. 385 제12주 강의 우리는 음파가 공기 중에서 의 속력으로 전달된다는 것을 잘 알고 있다. 그런데 엄밀히 말하면 음파는 공기의 온도에 의존하여서 공기의 온도가 높아지면 음 파의 속도가 증가하 온도가 낮아지면 속도가 감소한다. 파동의 속력은 그 파동을 전달하는 매질의 성질에 의해 결정되기 때문이다. 다른 예로, 줄에 생기는 파동의 경 우에도 파동이 전달되는 속력은 그 파동의 매질인 줄의 성질에 속하는 줄에 걸리는 장력 , 줄의 질량 , 그리고 줄의 길이 에 따라 정해진다. 그리고 줄에 생기는 파 동의 속력을 놀랍게도 지난 2장에서 배운 차원해석 방법에 의해 줄에 걸리는 장력과 줄의 질량 그리고 줄의 길이에 어떻게 의존하는지를 알아낼 수 있다. 줄에 생기는 파 동의 속력 가 와 그리고 에 의해 (34.1) 로 주어진다.고 하자. 여기서 멱수 와 그리고 가 우리가 구할 목표이다. 이제 와 , , 그리고 의 차원이 (34.2) 인 것을 이용하면 (34.1)식의 좌변과 우변에 나오는 양의 차원은 (34.3) 가 되고, 따라서 (34.3)식에 나오는 좌변과 우변의 차원을 비교하면 길이 차원 : (34.4) 시간 차원 : 질량 차원 : 를 얻는다. 그러므로 이 세 식들을 연립으로 풀면 (34.5) 가 됨을 알 수 있다. 결과적으로 줄에 생기는 파동의 속력 는 386 34. 파동을 기술하는 방법 (34.6) 가 된다. 2장에서 설명했던 것처럼, 차원해석으로 식에 나오는 비례상수까지 정확하 게 알아낼 수는 없다. 그러나 줄에 생기는 파동의 경우에는 좀 더 정확한 방법으로 구하더라도 (34.6)식이 정확히 옳은 식이라는 결과가 나온다. 한편 (34.6)식에 이용 한 줄의 길이는 줄을 구성하는 물질의 성질이라고 볼 수는 없다. 그런데 줄의 질량을 그 줄의 길이로 나눈 (34.7) 은 줄의 선밀도를 나타내는데 그래서 줄의 선밀도 를 이용하여 (34.6)식을 (34.8) 로 표현하면 줄의 길이가 얼마이든지 줄에 걸리는 장력과 줄의 선밀도만으로 그 줄 에 생기는 파동의 속력 가 결정됨을 알 수 있다. 줄에 생기는 파동의 속력이 (34.8)식으로 결정되는 것을 정성적으로 이해하자면 다음과 같다. 파동이란 매질의 한 부분의 진동이 인접한 다른 부분의 진동으로 전달 되는 현상이다. 마치 용수철에 연결된 물체는 용수철이 진동하면 그 진동이 물체에 전달되는 것과 마찬가지이다. 용수철에 연결된 물체가 진동하려면 탄성력이 작용하 여야 하는데, 줄에 생기는 파동의 경우 매질인 줄이 진동하도록 탄성력이 작용하는데 기여하는 것이 바로 줄에 걸리는 장력 이다. 그리고 줄의 선밀도는 줄이 탄성력을 받았을 때 얼마나 잘 따라 움직일 것인가를 나타내는 관성의 정도를 알려준다. 그래 서 (34.8)식에 의하면 줄에 생기는 파동의 속력은 탄성력과 관성 사이의 비에 의해 서 결정됨을 알 수 있다. 또한 (34.8)식에서 줄의 장력 가 크다는 것은 줄이 팽팽하게 잡아당겨져 있다는 말이고 선밀도 가 크다는 말은 선이 굵고 무겁다는 의미이다. 그래서 줄이 팽팽할 수록 줄에 생기는 파동의 속력이 빨라지고 줄이 무겁고 둔탁할수록 줄에 생기는 파 동의 속력이 느려지는 것으 알 수 있다. 나중에 그 이유를 더 자세히 알게 되겠지만, 그림 34.4에 보인 것과 같이, 기타 줄 중에서 높은 음을 내는 줄은 가늘고 더 단단하 387 제12주 강의 며 팽팽하게 매여있지만 낮은 음을 내는 줄은 두껍고 덜 단단 하며 상대적으로 느슨하게 매 여있다. 높은 음을 내는 줄에서 는 줄에 생기는 파동의 속력이 다른 줄보다 더 빠르고 낮은 음 그림 34.4 기타줄의 굵기와 장력 을 내는 줄에서는 속력이 더 느 리기 때문이다. 공기중에서 전달되는 종파인 음파의 속력도 줄에 생기는 횡파인 파동의 속력과 비 슷하게 결정된다. (34.8)식으로부터 줄에 생기는 파동의 속력은 줄에서 복원력을 나 타내는 장력 와 줄의 관성을 나타내는 선밀도 의 비의 제곱근에 의해 결정된다. 그리고 장력 는 줄이 얼마나 팽팽하게 당겨져 있는가를 나타낸다. 한편 액체와 기 체 등 유체의 경우에 변형 에 의해서 압력차이 가 얼마나 작용하는지는 (31.11)식에 의해 (34.9) 로 주어진다. 여기서 는 해당 유체의 부피탄성률인데, 이것은 그 유체가 압력이 전 달되는데 얼마나 단단하게 행동하는지를 나타내는 지표가 된다. 그러므로 유체에서 음파의 속력을 결정하는데 를 복원력의 정도를 나타내는 양으로 이용하면 좋다. 또 한 유체에서는 관성의 정도를 그 기체의 밀도 로 대표할 수 있으므로 유체에서 음 파의 속력 는 (34.10) 에 의해 결정된다. 실제로 앞에서 줄의 경우에 했던 것처럼 차원해석 방법을 이용하 더라도 (34.10)식과 동일한 결과를 얻는다. (34.10)식은 액체와 기체를 포함한 어떤 유체에서든지 음파가 전달되는 속력을 구하는데 이용될 수 있다. 특별히 기체에서는 (34.10)식을 좀 더 간단하게 만들 수 있다. 밀도가 너무 크지 않은 기체에서는 대부분 기체의 부피탄성률 가 밀도 와 388 34. 파동을 기술하는 방법 기체의 절대온도 의 곱에 비례한다는 것이 잘 알려져 있다. 그래서 (34.10)식을 ∝ ∝ ∴ (34.11) 라고 쓸 수 있다. (34.11)식에 의하면 기체에서 음파의 속력은 그 기체의 절대온도 에 비례한다고 말할 수 있다. 다만 (34.11)식의 비례상수를 구하는 일은 간단하지 않으므로 여기서는 생략하기로 한다. 그렇다고 하더라도 어떤 한 온도 에서 음파 의 속력이 라면 어떤 다른 온도 에서 음파의 속력 와 사이에는 ∴ (34.12) 가 성립한다. 예를 들어, 에서 음파의 속력이 라는 것이 잘 알려 져 있으므로 (34.12)식을 이용하여 어떤 다른 온도에서라도 공기중에서 음파의 속 력을 계산할 수 있다. 음파는 유체에서뿐 아니라 고체에서도 전달된다. 예를 들어 가늘고 긴 고체에 음 파가 전달되어 진행한다면 그 속력을 유체에서 구한 (34.10)식과 유사하게 구할 수 있다. 유체에서 음파는 압력파로 진행하며 유체가 압력을 받으면 유체의 변형은 (34.9)식으로 주어졌다. 그런데 가늘고 긴 고체에서 음파가 진행한다면 음파는 고체 를 약간 늘렸다 줄였다 할 것이다. 그러한 변형에 대한 후크 법칙은 (31.4)식에 의해 (34.13) 로 주어진다. 다시 말하면, 이 고체의 단단한 정도는 영률 에 의해 결정된다. 그러 므로 가늘고 긴 고체에서 음파의 속력은 (34.10)식에서 부피탄성률 대신에 해당 고체의 영률 를 이용하여 (34.14) 에 의해 결정된다. 그리고 유체 부피탄성률 와 유체의 밀도 사이의 비와 비교하 여 고체의 영률 와 고체의 밀도 사이의 비가 훨씬 더 크므로, 유체에서 음파의 속 력에 비해 고체에서 음파의 속력이 훨씬 더 빠르다. 기체, 액체, 고체를 포함한 몇 가 389 제12주 강의 표 34.1 음파의 속력 (따로 표시 안되면 와 1기압에서) 매질 속력( ) 매질 속력( ) 이산화탄소기체 259 바닷물 ( ) 1533 공기 331 콩크리트 3100 질소 기체 334 구리 3560 헬륨 기체 972 알루미늄 5100 수은( ) 1450 파이렉스 유리 5640 물 ( ) 1493 철 5790 지 매질에서 음파의 속력을 표 34.1에 표시해 놓았다. 우리는 지난 주에 특별히 후크 법칙으로 주어지는 탄성력을 받고 움직이는 운동인 단순조화진동은 진동을 공부하는데 여러 가지로 편리하게 이용되는 것을 알았다. 우 리가 잘 아는 사인과 코사인이라는 함수로 그 운동을 잘 설명할 수 있기 때문이다. 그런데 매질의 입자 하나하나가 모두 단순조화진동을 하여 만들어지는 파동도 역시 파동을 공부하는데 특별히 편리하게 이용된다. 그러한 파동은 사인함수나 코사인함 수를 이용하여 편리하게 설명될 수 있기 때문이다. 입자들이 단순조화진동을 하며 전달되는 파동을 어느 한 순간에 사진 찍는다면 그림 34.5에 보인 것과 같은 사인곡선 또는 코사 인곡선이 된다. 그리고 이 곡선을 식으로 쓰 면 그림 34.5 어느 한 순간에 파동의 모습 , 여기서 는 고정 (34.15) 가 된다. 이것은 줄을 흔들었을 때 줄에 생기는 파동의 모습을 대표한 것이라고 보면 좋다. 이 식에서 는 줄을 흔들지 않았을 때 줄을 구성하는 각 입자의 위치이다. 그 리고 는 에 위치한 입자가 진동하느라고 움직인 변위를 대표한다. 따라서 를 모든 값에 대해 한꺼번에 보면 바로 파동의 모습을 나타내는 것이다. 그리 고 이 식에서 는 입자가 진동하는 최대 변위를 나타내는데 이를 파동의 진폭이라 고 부른다. 390 34. 파동을 기술하는 방법 그림 34.5에서 에 놓인 입자의 변위는 이다. 그리고 그보다 약간 오 른쪽에 놓인 입자는 위쪽으로 약간 진동한다. 그런데 그림 34.5에서 라고 표 시된 곳에 놓인 입자의 변위는 다시 0이고 그보다 약간 더 오른쪽에 놓인 입자는 아 래쪽으로 약간 진동한다. 그리고 라고 표시된 곳에 놓인 입자의 변위는 또다시 0이다. 이렇게 파동에서 매질 입자의 변위가 원래 모습으로 돌아갈 때까지의 거리를 파장이라고 하고 파장을 보통 그리스 문자 로 표시한다. 그림 34.5에서 굵은 선으로 그린 곡선이, 예를 들어 때와 같이, 어느 순간에 사진을 찍은 파동의 모습이라면 가는 선으로 그린 곡선은, 를 진동의 주기라 하고 예를 들어 때와 같이, 약간의 시간이 흐른 뒤 사진을 찍은 파동의 모습이다. 그래서 이 그림을 보면 에 놓인 입자는 약간의 시간이 지난 뒤 아래쪽으로 진동 하고 원래 에 놓여있던 입자는 위쪽으로 진동하는 것을 볼 수 있다. 그리고 이번에는 어떤 한 가지 값으로 대표되 는 파동 중의 한 위치에서 매질 입자가 움직이는 모양을 시간의 함수로 그린다면 그림 34.6에 보 인 것처럼 되는데 이것도 역시 사인곡선을 그린 다. 이 그림에서 입자는 때 변위가 에서 시작하여 위쪽으로 움직이므로 앞의 그림 34.5에 그림 34.6 매질의 한 입자가 진하는 모습 서 에 놓인 입자가 진동하는 모습이라고 할 수 있다. 이 곡선을 식으로 쓰면 역시 사인 함수로 , 여기서 는 고정 (34.16) 가 되는데 이 식에서 는 진동의 주기이다. 앞의 그림 34.5는 어느 한 순간에 찍은 사진을 나타내는 곡선이므로 변위 가 매질 입자의 위치 의 함수이었지만 이번 그 림 34.6에서는 한 입자의 진동을 나타내므로 변위 가 시간 의 함수임에 유의하자. 이제 파동을 어느 한 순간에서만 보거나 어느 한 위치에서만 보지 말고 파동을 한 꺼번에 모두 본다면 어떻게 표현할 수 있을까? 매질을 구성하는 모든 입자의 변위를 모든 시간에 대해 표현하면 (34.17) 391 제12주 강의 가 된다. 이 식에 를 대입하면 t = 0 이라는 순간에 사진을 찍은 파동의 모습이 되고, 이 식에 를 대입하면 그 위치에서 입자의 진동을 묘사하는 식이 된다. 파동이 어떤 방향으로 움직이는지 알려면 파동 중에서 어떤 한 크기의 변위가 어 떻게 움직이는지 보면 된다. 예를 들어, (34.17)식의 괄호 내의 값이 (34.18) 일 때를 보자. 이 식의 값이 0으로 유지되려면 시간이 흐를수록, 즉 값이 커질수록, 값도 함께 커져야 된다. 다시 말하면 동일한 변위를 유지하는 위치는 시간이 흐를 수록 점점 더 커진다는 뜻이다. 따라서 이 식은 오른쪽 즉 방향으로 움직이는 파 동을 나타낸다. 우리는 (32.35)식으로부터 가 각진동수 와 같음을 알았다. 각진동수란 단 위시간 동안에 포함된 진동의 수인 진동수에 를 곱한 것이다. 비슷한 의미로 에도 이름이 부여되어 있다. 는 단위 시간에 포함된 진동의 수를 나타낸 것처럼 는 단위 길이에 포함된 파동의 수를 나타낸다. 그래서 를 파동수라고 부르고 는 파동수에 를 곱한 각파동수라고 부르면 그럴듯할까? 그런데 실제로 물리 에서는 파동수와 각파동수를 구별하지 않고 그저 (34.19) 라고 쓰고 를 파수(波數)라고 부른다. 파수를 영어로는 wave number라고 한다. 파수는 파동수와 같은 의미라고 생각된다. 아마 를 의미하는 진동수와는 달리 라는 양이 물리에서 특별히 이용되는 경우가 없기 때문에 파수만을 정의해 사용 하는가보다. 파수 와 각진동수 를 이용하여 파동을 표현하면 (34.17)식은 (34.20) 라고 훨씬 더 간단하고 보기 좋게 표현된다. 이것이 우리가 흔히 대학교 물리 교과서 에서 파동을 표현할 때 보는 식이다. 각진동수 의 차원은 시간 분의 1이고 파수 의 차원은 길이 분의 1이다. 392 35. 파동의 성질 ∙ 자연에 존재하는 현상은 입자와 파동 두 가지 중에 하나에 속한다. 어떤 현상이 입자인지 파동인지를 쉽게 구분할 수도 있으나 그렇기 않은 경우도 있다. 이때 파동은 중첩원리를 만족하는 것으로 입자와 구별된다. 중첩원리란 무엇인가? ∙ 파동의 성질은 중첩원리와 호이겐스 원리를 이용하면 잘 설명된다. 파동의 반사 법칙은 호이겐스 원리에 의해 어떻게 설명될까? ∙ 파동이 서로 다른 매질을 통과하면 각 매질 내에서 진행하는 속력이 바뀌게 된 다. 이렇게 속력이 바뀌는 두 매질의 경계면을 통과할 때 파동은 특별한 굴절법 칙을 만족하며 경로가 꺾인다. 굴절법칙을 호이겐스 원리로 설명하라. 이번 주에 새로 공부하는 파동은 지난 주까지 공부한 대상과는 좀 다르다. 자연현 상에서 관찰되는 대상은 어떤 것이나 입자 아니면 파동 둘 중의 하나이다. 좀 더 쉽 게 설명한다면 자연현상에서 무엇이 한 장소에서 다른 장소로 이동하는 것을 관찰하 였다면 그것의 본성은 입자 아니면 파동이다. 지난 주까지는 모두 본성이 입자인 것 에 대해서만 공부하였다. 이번 주에 공부하기 시작한 파동은 입자와 분명하게 구별된 다. 무엇이 이동하였는데 그 이동이 물질의 이동을 수반하면 그것을 입자라 하고 물 질의 이동을 수반하지 않으면 그것을 파동이라 한다. 그리고 논리적으로도 물질의 이 동을 수반한다와 수반하지 않는다는 것 이외에 다른 경우는 없으므로 자연현상에서 무엇이 이동한다면 그것은 반드시 입자 또는 파동 둘 중의 하나이어야만 한다. 대부분의 경우에 우리는 무엇이 이동하는 자연현상을 보고 그것이 입자인지 또는 파동인지 바로 구분할 수 있다. 간단한 예로 야구공이 날아가면 그것은 입자의 이동 임을 바로 알 수 있다. 야구공이 이동하면 질량도 함께 이동하기 때문이다. 또한 수 면파가 퍼져나가면 그것은 파동이 이동한다고 바로 판단할 수 있다.수면파를 전달해 주는 매질인 물질은 이동하지 않고 매질이 진동하는 모습만 이동한다는 것을 알기 때문에 그렇게 판단한다. 그런데 자연현상 중에는 우리 눈으로 보고 바로 그것이 입 자인지 파동인지 구분하지 못하는 경우도 있다. 역사적으로 빛이 바로 그런 대상이 되었다. 393 제12주 강의 빛의 본성이 무엇인가에 대한 고민은 17세기에 뉴턴이 시작하였다. 뉴턴은 빛의 본성이 입자라는 입자설을 주장하였다. 사실 빛은 우리 주위에서 항상 관찰되는 존재 이지만 그것이 입자인지 파동인지를 바로 구분하는 것은 쉽지 않은 일이다. 그렇지만 눈으로 보고 바로 판단할 수 없다고 하더라도 입자와 파동을 바로 구분할 수 있는 좋 은 방법이 있다. 그것은 두 개가 도착할 때 어떻게 되느냐에 따라 구분된다. 한 장소 에 입자가 두 개 도착하면 그냥 더 해주면 된다. 그러나 파동이 두 개 도착하면 마치 벡터를 더해주듯이 더해주어야 한다. 우리가 잘 아는 것처럼 동일한 두 벡터를 더하면 아 예 없어져 버리는 경우도 있다. 파 동에서 이렇게 두 파동이 만나면 변 위를 벡터처럼 더해주는 것을 파동 은 중첩원리를 만족한다고 말한다. 매질의 한 위치에 두 파동이 도 착하면 그 위치에 존재하는 매질을 구성하는 입자는 두 파동에서 요구 하는 변위만큼 따로 진동하는 것이 아니라 두 파동에서 요구하는 두 변 위를 벡터처럼 더한 변위로 진동한 다. 한 예로 그림 35.1에 보인 줄에 생긴 두 충격파가 진행하는 모습을 보자. 그림 35.1에는 좀 높은 충격 파 가 왼쪽에서 오른쪽으로 그리 고 좀 낮은 충격파 가 오른쪽에서 그림 35.1 줄에 생긴 두 충격파의 진행 왼쪽으로 진행하고 있다. 그런데 이 들이 줄의 동일한 위치에 도달하면 줄이 진동하는 모습은 두 충격파의 변위를 벡터 처럼 더한 변위로 진동하는 것을 볼 수 있다. 두 충격파가 이렇게 더해지며 진행하는 것은 파동이 중첩원리를 만족하기 때문이다. 파동의 중첩원리를 식으로 표현하기 위해 동일한 시간 때 매질에서 동일한 위치 394 35. 파동의 성질 에 놓인 매질 입자가 진동하도록 그리고 (35.1) 로 정의된 파동 와 가 도달한다고 하자. 그러면 에 존재하는 매 질 입자가 시간이 때 진동할 변위 는 두 변위 과 를 더하여 (35.2) 에 의해 결정된다. 이것을 파동의 중첩원리라 한다. 두 파동이 매질의 동일한 위치에 동시에 도착하였을 때 파동을 (35.2)식과 같이 더하는 중첩원리 때문에, 예를 들어 두 파동의 변위가 크기가 같고 방향이 반대인 극단적인 경우에는 두 파동이 도달하 였는데 그 결과로 생기는 파동이 없어져 버릴 수도 있다. 두 파동이 중첩원리에 의해 더해져 나타나는 이러한 성질을 파동의 간섭이라 한다. 그리고 중첩원리를 만족한다 는 것이 파동임을 말하는 중요한 성질이 되었다. 다시 말하면 어떤 현상이 중첩원리 를 만족하여 간섭과 같은 현상을 나타낸다면 그것의 본성은 파동임이 분명하다는 것 이다. 지난 31장에서 간단히 언급했던 것처럼, 17세기에는 빛의 본성이 입자라고 주장 한 뉴턴의 입자설과 빛의 본성이 파동이라고 주장한 후크와 호이겐스 등의 파동설 사이에 논쟁이 계속되었다. 그러나 뉴턴의 확고한 위상 때문에 빛이 파동이라는 구체 적인 증거에도 불구하고 오랫동안 빛의 입자설이 더 설득력을 가지고 있었다. 그러나 그로부터 근 100년 뒤 이중 슬릿을 이용해 영이 뚜렷이 보여준 빛의 간섭실험 결과 는 빛이 파동임을 분명하게 증명하여 주었다. 그뒤 전자기학이 발달하면서 19세기 말에 이르러야 비로소 빛은 파동 중에서도 전자기파에 해당한다는 것이 밝혀졌다. 자연현상을 만드는 대상은 입자와 파동 두 가지 중에서 하나인데, 입자가 움직이 는데는 물질의 이동을 수반하지만 파동이 움직이는데는 물질이 함께 이동하지 않는 다고 하였다. 그렇다면 파동이 이동할 때 따라 움직이는 물리적인 실체는 무엇일까? 그것은 바로 에너지이다. 그런데 입자의 움직임에서도 이동되는 것은 에너지라고 말 할 수 있다. 질량도 역시 에너지의 한 형태이기 때문이다. 그리고 입자의 움직임에서 도 단지 질량만 함께 이동하는 것이 아니라 다른 형태의 에너지도 역시 이동한다. 예를 들어 그림 35.2에 보인 것처럼 야구공을 주고받는 경우와 양쪽에 줄을 잡고 395 제12주 강의 줄을 흔드는 경우를 비교해보자. 그림 35.2의 위쪽에서 사람이 야구공을 던지면 서 일을 하면 그 일은 야구공의 운동에너지 형태로 공을 받는 사람에게까지 전달된다. 그림 35.2의 아래쪽에서도 마찬가지로 왼 쪽 사람이 줄을 흔들면서 일을 하면 그 일 은 줄에서 파동형태로 전달되는데 파동이 그림 35.2 입자와 파동에서 에너지의 이동 나르는 에너지가 오른쪽 사람에게까지 전 달된다. 줄을 통해서 에너지가 전달된 것은 충격파가 도달하면 줄을 잡고 있는 손이 흔들리는 것으로부터 알 수 있다. 그런데 그림 35.2의 위쪽에서는 에너지가 움직이 는 야구공이라는 질량 자체에 의해 전달되었지만 아래쪽에서는 두 사람 사이에 존재 하는 줄은 여전히 여전히 그곳에 그대로 있고 줄에 생긴 파동이라는 형태의 이동에 의해서만 전달되었다. 파동을 (35.1)식과 같이 표현한다면 파동에 의해서 에너지가 전달되는 비율은 파 동의 세기에 의해 결정되는데, 파동의 세기는 다시 파동의 진폭 의 제곱인 에 비례한다. 그래서 만일 (35.1)식의 두 파동 와 가 동일한 파동이어서 (35.3) 라면 (35.2)식으로 주어진 와 가 중첩된 는 ∴ ′ (35.4) 로 되어 의 진폭 ′ 은 원래 두 파동의 진폭 의 두 배이고 그러므로 중첩된 새로운 파동의 세기 ′ 은 원래 각 파동의 세기인 의 네 배가 된다. 이처럼 두 파동이 만나면 간섭에 의해서 파동이 없어질 수도 있고 세기가 원래 파동의 4배인 파동이 될 수도 있다. 이것은 입자에서는 도저히 관찰될 수 없는 성질로 파동만이 지 닌 특징이다. 한편 파동이 지닌 대표적인 성질로는 반사와 굴절 그리고 간섭과 회절 이 있다. 이중에서 반사는 입자에게서도 관찰될 수 있는 성질이지만 그 밖에 세 가지 는 모두 파동만 지니고 있는 독특한 성질들이다. 파동은 매질이 바뀌지 않으면 원래의 진행방향으로 계속 전파된다. 그런데 매질이 갑자기 바뀌어서 파동의 속력이 크게 변하면 반사가 일어나 파동의 일부는 원래 방 396 35. 파동의 성질 (a) (c) (b) (d) 그림 35.3 파동의 반사 향과 반대 방향으로 진행하게 된다. 파동이 진행하면 에너지도 함께 이동하는데, 서 로 다른 매질의 경계에서 파동이 나르고 있는 에너지의 일부는 방향을 바꾸어 오던 방향과 반대방향으로 전달되는 현상을 파동의 반사라 한다. 파동이 서로 다른 매질에서 반사되는 모습을 설명하기 위해 그림 35.3에 그린 줄 에 생긴 충격파의 반사를 보자. 그림 35.3의 (a)에 보인 것은 한쪽 끝이 고정된 줄의 왼쪽에서 충격파가 오른쪽으로 진행해 들어오는 경우이다. 이때 충격파는 고정점에 서 반사되면서 변위가 원래 방향과 반대로 뒤집에져서 다시 왼쪽으로 진행해 나간다. 한편 그림 35.3의 (b)에 보인 것은 한쪽 끝이 자유롭게 움직일 수 있도록 만들어진 줄의 왼쪽에서 충격파가 오른쪽으로 진행해 들어오는 경우이다. 이때는 그림에 보인 것처럼 반사되는 충격파의 변위 방향이 원래 들어오는 충격파의 변위 방향과 동일함 을 알 수 있다. 그림 35.3의 (a)의 경우를 보통 닫힌 끝이라고 하고 (b)의 경우를 보 통 열린 끝이라고 한다. 그래서 줄에 생기는 파동이 닫힌끝에서 반사된 파동은 원래 파동과 비교하여 위상이 바뀌고 열린 끝에서는 위상이 바뀌지 않고 반사된다. 그림 35.3의 (a)와 (b)처럼 줄이 중간에 끝나는 경우에만 반사하는 것은 아니다. 그림 35.3의 (c)와 (d)에 보인 것처럼 선밀도가 다른 두 줄이 연결된 부분에서도 파 동의 일부가 반사된다. 그런데 그림 35.3의 (c)와 같이 파동이 선밀도가 작은 줄에 서 선밀도가 큰 줄로 진행해 들어가면 반사된 파동의 변위는 원래 파동과 반대 방향 을 향하여 의 위상변화를 보인다. 그것은 한쪽 끝이 닫힌 그림 35.3의 (a)와 비슷한 결과이다. 그런데 그림 35.3의 (d)와 같이 파동이 선밀도가 큰 줄에서 선밀 도가 작은 줄로 진행해 들어가면 반사된 파동의 변위는 원래 파동과 같은 방향을 향 397 제12주 강의 하며 따라서 위상의 변화도 없다. 이 경우는 한쪽 끝이 열린 그림 35.3의 (b)와 비슷 한 결과를 나타낸다. 파동이 서로 다른 매질의 경계를 지나더라도 그 파동의 진동수는 바뀌지 않는다. 진동수란 단위시간 동안 매질이 진동하는 횟수를 말한다. 그런데, 한 예로 그림 35.3 의 (c)나 (d)에 보인 것처럼 선밀도가 다른 두 줄이 연결되어 있다면 파동이 연결부 분을 지나면서 단위시간 동안 줄이 아래위로 진동하는 횟수는 바뀌지 않아야 한다. 이것이 한 파동이 서로 다른 매질로 진행하더라도 진동수는 바뀌지 않는 이유이다. 한편 파동이 진행하는 속력 는 그 파동의 진동수 와 주기 그리고 파장 에 의해 (35.5) 로 주어진다. 이런 관계가 성립하는 것은 파동을 정의한 (34.17)식인 (35.6) 로부터 쉽게 알 수 있다. 파동의 속력을 알기 위해서는 (35.6)식의 우변에 나오는 괄 호 안의 양이 일정하게 유지되는 점 즉 (35.7) 일정 이 얼마나 빨리 움직이나 관찰하여야 한다. 그리고 (35.7)식의 양변을 시간 로 미 분하면 ∴ (35.8) 임을 알 수 있다. 다시 말하면, 파동의 파장을 주기로 나누거나, 같은 말이지만, 파동 의 파장과 진동수를 곱하면 그 파동의 속력이 된다. 파동이 서로 다른 매질을 따라 진행하는 경우에 서로 다른 매질에서 파동의 진동 수 는 바뀌지 않지만 34장에서 공부한 것처럼 서로 다른 매질에서 파동의 속력 398 35. 파동의 성질 는 바뀐다. 따라서 (35.8)식 에 의해 서로 다른 매질에서 파동의 파장이 바뀌는 것을 공기 알 수 있다. 그런데 파동이 한 매질에서 다른 매질로 진 행하면 파동의 속력 와 파 공기 장 만 바뀌는 것이 아니라 유리 파동이 진행하는 방향도 바 뀐다. 예를 들어, 그림 35.4 에 보인 것처럼, 빛이 공기에 그림 35.4 서로 다른 매질에서 빛의 굴절 서 유리로 들어가면 빛이 진 행하는 방향이 바뀐다. 이것을 빛의 굴절이라 하는데, 빛 뿐 아니라 모든 파동은 서 로 다른 매질의 경계를 지나면서 이처럼 굴절한다. 파동의 성질을 직관적으로 이해하는데 크게 도움을 주는 것으로 호이겐스 원리가 있다. 호이겐스는 뉴턴과 같은 17세기에 활약한 네덜란드 출신의 과학자로 12주 강 의를 시작하면서 사진으로 소개한 바로 그 사람이다. 전자기학이 발달하여 빛이란 전 자기파의 일종이라고 알려지면서 빛에 대해 자세히 알게 된 19세기보다 훨씬 전에 호이겐스는 빛이 매질을 통하여 어떻게 이동하는지를 기하적으로 설명할 수 있는 방 법을 알아내었다. 호이겐스 원리를 설명하기 전에 먼저 파동을 묘사하는데 필요한 몇 가지 용어들을 소개하자. 파동이 처음 시작되는 곳을 파원(波源)이라고 한다. 호수에 돌을 덜지면 호수면에서 돌이 떨어진 곳이 수면파의 파원이다. 손으로 줄을 잡고 흔들면 줄을 처 음 흔든 곳이 바로 줄에 생기는 파동의 파원이다. 전등은 전등에서 나오는 빛이라는 파동의 파원이다. 빛의 파원을 특별히 광원(光源)이라고 하기도 한다. 파동이 진행되는 모습을 기하적으로 표시하는데는 두 가지 방법이 이용된다. 하나 는 그림 35.4에 보인 것처럼 파동이 진행하는 방향을 따라 선으로 표시하는 것이다. 다른 하나는 파동에서 진동하는 변위가 동일한 점들을 연결한 뒤 그것이 어떻게 이 동하는지를 표시하는 것이다. 파동에서 진동하는 변위가 동일한 점들을 위상이 같은 점들이라고 말하기도 한다. 그리고 위상이 동일한 점들을 연결하여 이루어진 면을 파 동의 파면(波面)이라고 한다. 일정한 시간 간격마다 파면을 그려서 파동이 진행되는 399 제12주 강의 모습을 표시하기도 한다. 그림 35.5의 (a)에 보인 것은 파원 한 점으로부터 나온 파동의 파면이 진 행되는 모습이다. 이런 파동의 파 면은 파원을 중심으로 하는 구의 표면과 같다. 그래서 이러한 파동 (b) 평면파 (a) 구면파 을 구면파라고 한다. 한편 그림 그림 35.5 파동의 파면 35.5의 (b)에 보인 파동은 파원이 무한히 멀리 있는 곳에서부터 진행되어 온 파동의 파면이 진행되는 모습이다. 이런 파동의 파면은 평면을 이루고 있다. 그래서 이러한 파동을 평면파라고 한다. 그런데 그림 35.6의 (a)에 보인 것처럼 평면파가 진행하고 있는 곳에 조그만 구멍 이 뚫린 장애물이 있다고 하자. 그러면 장애물의 구멍을 통과한 파동은 그림 35.6 (a)의 오른쪽에 보인 것처럼 구면파의 파면과 같은 파면을 가지고 진행해 나간다. 이 결과는 마치 장애물의 구멍이 있는 장소가 새로운 파동이 되어 만들어진 파동이 진 행해 나가는 모습과 같다. 바로 이 사실을 호이겐스 원리라 한다. 호이겐스 원리에 의하면 파면 위의 모든 점들은 새로운 파원처럼 행동한다. 그래서 호이겐스 원리에 의하면, 그림 35.6의 (b)에 보인 것처럼, 파면 위의 모든 점에서 만들어지는 작은 파 동들의 파면들이 중첩원리에 의해 더해져서 새로운 파면이 형성된다. 파동의 반사와 굴절, 간섭과 회절 등은 중첩 원리와 함께 이 호이겐스 원리를 적용하면 모두 잘 이 해될 수 있도록 설명된다. 그러면 그림 35.7을 보면서 파동의 반사법칙을 호이겐스 원리로 설명해보자. 파동 의 입사각 와 반사각 은 그림 35.7 (a)에 보인 것처럼 파동이 입사하거나 반사 (b) 새로운 파면의 형성 (a) 구멍을 통과하는 파동 그림 35.6 호이겐스 원리에 대한 설명 400 35. 파동의 성질 (b) 파면의 진행 (a) 입사각과 반사각 그림 35.7 반사법칙의 설명 한 방향과 반사면에 그린 수선(垂線) 사이의 각으로 정의된다. 파동의 반사법칙은 그 래서 (35.9) 이라고 쓸 수 있는데 이것은 그림 35.7(b)에 보인 파면이 진행하는 모습을 보면 이 해될 수 있다. 그림 35.7(b)에 보인 입사파의 파면 중에서 왼쪽 부분이 먼저 반사면 에 도달하여 호이겐스 원리에 의해 새로운 파동을 형성하여 반사해 나간다고 하자. 그렇지만 그림 35.7(b)에 보인 입사파의 파면 중에서 오른쪽 굵게 그린 부분은 아직 반사면에 도달하지 않았다. 그런데 입사파와 반사파가 모두 동일한 매질에 있기 때문 에 파동의 전달 속력이 동일하다. 그러므로 입사파의 오른쪽 굵게 그린 부분이 반사면에 도달하는 동안 진행한 거리와 그 시간 동안 에 반사파의 왼쪽 굵게 그린 부분이 진행한 거리가 같다. 파동이 반사할 때 파면이 어떻 게 진행사는지를 보면 그림 35.8에 보인 것 과 같게 된다. 그러므로 입사각 와 반사각 그림 35.8 평면파의 반사에서 파면의 진행 이 같을 수 밖에 없다. 서로 다른 매질에서 파동은 반사할 뿐 아니라 한 매질로부터 다른 매질로 진행한 파동은 경계면에서 굴절한다. 이것은 그림 35.9(a)에 보인 것과 같이 파동이 경계면 으로 들어가는 입사각 과 파동이 경계면을 통과하고 다른 매질로 들어가는 굴절각 는 같지 않고 다르다는 의미이다. 여기서 입사각 과 굴절각 도 역시 경계면의 수선(垂線)과 입사방향 또는 굴절방향 사이의 각으로 정의된다. 그리고 입사각 과 401 제12주 강의 (b) 굴절법칙의 설명 (a) 입사각과 굴절각 그림 35.9 굴절법칙의 설명 굴절각 가 다른 이유는 서로 다른 매질에서 파동의 진행 속력이 다르기 때문이다. 호이겐스 원리를 이용하여 굴절법칙을 찾기 위해 그림 35.9(b)를 보자. 그림에서 사잇각이 이고 두 변의 길이가 각각 와 인 삼각형을 이용하면 매질 1에서 입 사각 과 입사파의 파장 사이에는 (35.10) 가 성립하고 또한 같은 그림의 아래쪽 사잇각이 이고 두 변의 길이가 각각 와 인 삼각형을 이용하면 매질 2에서 굴절각 와 투과파의 파장 사이에는 (35.11) 가 성립함을 알 수 있다. 그런데 (35.10)식과 (35.11)식에서 는 그림 35.9(b)에 서 명백하듯이 동일한 값을 가지므로 이 두 식으로부터 입사각 과 굴절각 사이 에는 (35.12) 가 성립하는데, 이것을 파동의 굴절법칙이라 한다. (35.12)식의 두 번째 등식은 402 35. 파동의 성질 (35.8)식에 의해 파동의 속력 는 진동수 와 파장 의 곱과 같은데 파동이 서로 다른 매질을 지나면서 진동수 는 변하지 않기 때문에 속력 는 파장 에 비례한다 는 사실을 이용하여 얻었다. 한편 파동이 빛인 경우에는 진공중에서 빛의 속력을 라 하고 어떤 매질에서 빛의 속력을 라고 할 때 그 매질의 굴절률 이 (35.13) 로 정의되므로 (35.12)식을 → (35.14) 라고 쓸 수 있는데, 이것을 스넬 법칙이라 부른다. 그림 35.10에 보인 네덜란드 출신의 스넬은 그의 아버지의 뒤를 이어 라이덴 대학의 수학교수가 되었으며 원에 내접한 다각 형으로부터 의 값을 소수점 아래 일곱자리까지 구한 사람 이다. 그는 이미 1621년이라는 이른 시기에 기하광학의 기 본이 되는 빛의 굴절법칙을 발견하였으나 논문으로 남겨놓 지 않았고 호이겐스가 1703년에 발표한 그의 논문에 스넬 법칙을 설명하여 비로소 알려지게 되었다. 403 그림 35.10 빌브로드 스넬 (네덜란드, 1580-1626) 36. 음파 ∙ 소리는 음파에 의해 전달된다. 음파는 어떤 성질을 가졌는가? ∙ 사람은 목청에 의해서 소리를 내고 귀로 소리를 듣는다. 사람과 음파 사이에는 어떤 관계가 존재하는가? ∙ 소리는 진동수에 의해 고저(高低)가 구분된다. 그런데 소리의 공급원이나 또는 소리의 관찰자가 서로 상대방에 대해 움직이고 있다면 공급되는 진동수와 관찰 되는 진동수가 일치하지 않으며 이것을 도플러 효과라 부른다. 도플러 효과를 설 명하라. 파동 중에서 소리와 빛은 인간과 밀접한 관계를 맺고 있다. 이들 두 파동에 대한 측정기를 인간이 가지고 있기 때문이다. 소리는 인간의 귀에 의해 측정되고 빛은 인 간의 눈에 의해 측정된다. 공기와 같은 매질을 통하여 전달되는 소리는 매질 입자들 이 역학적인 이유에 의해 진동하면서 진행한다. 이에 반하여 빛은 전자기파의 일종으 로 전기장과 자기장의 세기가 커졌다 작아졌다 하는 진동이 계속되면서 진행한다. 인 간과 특별히 밀접한 관계를 맺고 있는 소리와 빛 중에서 빛에 대해서는 전자기학을 공부한 뒤에 다시 체계적으로 다룰 예정이다. 여기서는 음파에 대해 좀 더 자세히 공 부해보자. 음파는 34장에서 설명 된 것처럼 종파이다. 그래 서 매질 입자가 진동하는 변위의 방향이 파동의 진 행방향과 평행하다. 종파 인 음파의 경우에도 파동 이 진행하는 위치 의 함 수로 그 부분의 매질 입자 가 진동한 변위 를 (34.15)식에 의해 그림 36.1 종파의 표현 404 36. 음파 (36.1) 라고 쓸 있다. 그리고 (36.1)식에 나오는 를 의 함수로 그래프를 그리면 그림 36.1의 아래쪽에 보인 것과 같이 되지만, 실제 매질 입자들이 이동한 상태는 그림 36.1의 위쪽에 보인 것과 같다. 그래서 종파의 경우에는 매질 입자들이 듬성듬성 존 재하는 부분과 빽빽하게 존재하는 부분이 반복된다. 이때 매질 입자들이 듬성듬성 존 재하는 부분을 보통 소(疏)한 부분이라 하고 빽빽하게 존재하는 부분을 보통 밀(密) 한 부분이라 한다. 그래서 음파가 진행될 때 매질이 소한 부분의 압력은 낮고 밀한 부분의 압력은 높게 된다. 그런 까닭에 음파와 같은 종파를 소밀파(疏密波)라고 부르 기도 하고 압력파라고 부르기도 한다. 34장에서 자세히 설명된 것처럼 (36.1)식으로 표현된 파동은 어느 한 순간에 매 질에서 매질을 구성하는 입자들이 평형위치를 얼마나 벗어나 있는지를 보여준다. 파 동이 시간이 흐름에 따라 진행되는 모습은 (34.20)식에 의해 (36.2) 와 같이 표현된다. 음파도 역시 (36.2)식으로 기술된다. 그런데 소리는 여러 가지 성 질을 가지고 있다. 큰 소리와 작은 소리도 있고 높은 소리와 낮은 소리도 있으며 아 름다운 소리도 있고 구성진 소리도 있다. 소리 즉 음파를 설명하는 (36.2)식 중에서 어떤 부분이 어떻게 소리의 여러 가지 성질을 나타내는 것일까? 소리의 성질 중에서 가장 궁금한 것이 아마도 소리의 크기이다. 소리의 크기는 음 파를 나타내는 (36.2)식으로부터 어떻게 알아낼 수 있을까? 소리의 크기는 음파의 세기와 관계된다. 그리고 음파의 세기는 음파가 단위시간 동안 단위면적을 지나는 음 파가 나르는 에너지를 말한다. 단위시간 동안 지나가는 에너지를 일률이라 부른다. 또 단위면적을 지나가는 에너지는 에너지의 면밀도가 된다. 그러므로 음파의 세기는 음파가 나르는 에너지의 일률 밀도와 관계된다고 말할 수 있다. 꼭 음파가 아니더라 도 일반적으로 파동의 세기는 그 파동이 단위시간 동안 나르는 에너지 즉 일률 (power)과 관계되는데 그러한 파동의 일률은 파동을 나타낸 (36.2)식에서 진폭의 제곱인 에 비례한다. 왜 그렇게 되는지 줄에 생기는 파동을 예로하여 자세히 알아 보자. 405 제12주 강의 그림 36.2는 줄에 생긴 파동이 진행하는 모습을 보여준다. 파동 중에서 한 파장 내 에 포함된 에너지를 라고 하면 한 파장에 에너지 주기 동안에 지나가므로 파동이 나르는 에 너지의 일률 는 를 로 나누어 파장 (36.3) 그림 36.2 파동이 나르는 에너지 로 구하면 된다. 그러면 를 계산하기 위해 한 파장의 운동을 좀 더 자세히 그려놓은 그 림 36.3에서 에 위치한 작은 부분 를 보 자. 이부분의 질량 은 선밀도 에 길이 를 곱하여 (36.4) 이다. 먼저 이 작은 질량 의 운동에너지 그림 36.3 파동의 운동에너지와 퍼텐셜에너지 와 퍼텐셜에너지 를 계산하자. 이 파 동을 (36.2)식으로 나타낸다면, 평형위치가 인 의 속도 는 (36.5) 이다. 그러므로 질량 의 운동에너지 는 (36.6) 가 된다. 또한 질량 의 퍼텐셜에너지 는 406 (36.7) 36. 음파 가 된다. (36.7)식의 두 번째 등식에서는 질량 이 탄성률이 인 줄에 연결되어 있을 때 자유각진동수 를 결정하는 (32.5)식에 의해 (36.8) 임을 이용하였다. (36.6)식과 (36.7)식으로 얻은 와 를 더하면 작은 질량 의 총에너지 가 되므로 는 (36.9) 이다. 그러므로 그림 36.2에서 파동 중에서 한 파장이 나르고 있는 에너지 는 (36.9)식으로 구한 를 한 파장에 속한 질량들에 대해 모두 더하면 구할 수 있고 그 결과는 한 파장 (36.10) 가 된다. 따라서 줄에 생긴 파동이 단위시간 동안 나르는 에너지인 일률 는 (36.3)식의 에 (36.10)식을 대입하여 (36.11) 가 되는데, 여기서 는 줄에 생긴 파동이 전달되어 나가는 속력이다. 그리고 이 결과 로부터 분명한 것처럼, 줄에 생긴 파동이 나르는 일률은 파동의 진폭을 제곱한 에 비례함을 알 수 있다. 소리 즉 음파의 세기 도 (36.11)식으로 줄에 생긴 파동에서 구한 일률과 비슷하 게 구할 수 있다. 줄에 생긴 파동과 음파 사이의 차이점은 줄에 생긴 파동은 줄을 따 라서만 전달되지만 음파는 공간의 유한한 면적을 통하여 전달된다는 점이다. 따라서 음파의 세기 는 단위 단면적을 지나는 일률로 정의되어 407 제12주 강의 (36.12) 로 주어진다. 이 식에서 는 음파가 진행하는 매질의 밀도로, 질량을 부피로 나눈 양 인데, 질량을 길이로 다눈 것을 다시 단면적으로 나누면 (36.13) 로 되는 것을 이용하였다. (36.12)식으로 주어지는 음파의 세기 는 일률을 넓이로 나눈 것과 같으므로 음파의 세기 단위로는 이 이용된다. 여기서 는 와트로 를 말한다. 소리가 얼마나 큰가를 나타내는 양이 (36.12)식으로 주어지는 음파의 세기 이지 만 사람의 귀는 소리를 음파의 세기 에 비례하여 감지하지 않고 배수의 로그 값에 의해 감지한다. 로그함수의 성질에 의하면 두 수의 곱의 로그는 각 수의 로그의 합과 같아서 임의의 두 수를 와 라고 할 때 (36.14) 가 된다. 그래서 음파의 세기가 제곱, 세제곱, 네제곱 이렇게 늘어난다면 사람이 듣는 소리의 크기는 처음 크기의 두 배, 세 배, 네 배 등으로 늘어난다. 바로 그런 이유 때 문에 소리의 크기를 나타내는데 소리의 세기 라는 양을 도입하고 어떤 소리를 나르 는 음파의 세기를 그리고 기준이 되는 음파의 기를 라고 할 때 를 (36.15) 로 정의한다. 여기서 소리의 세기를 정의하는 기준이 되는 음파의 세기는 값은 (36.16) 으로 음파의 세기가 와 같거나 더 작으면 사람이 그 소리를 들을 수 없다고 알려진 값이다. (36.15)식에 나오는 은 데시벨이라고 부르는데 소리의 세기를 나타내는 단위로 0 이면 사람이 듣지 못하고 세기가 의 10배인 음파의 소리 세기는 408 36. 음파 표 36.1 여러 가지 소리의 음파 세기 와 소리 세기 소리 임계소리 소리 0 승용차 내부 70 80 나뭇잎소리 10 혼잡한 거리 속삭임 20 지하철 내부 90 도서관 소음 30 고장난 자동차 100 거실 소음 40 공사현장 110 사무실 소음 50 고통스런 소리 120 버스 내부 60 제트엔진 130 이 된다. 또한 (36.15)식으로부터 음파의 세기가 인 소리의 세기를 이라고 할 때 음파의 세기가 두 배가 되어 인 음파의 소리 세기 ′ 은 ′ (36.17) 로 원래 소리크기 보다 만큼 더 커진다. 그래서 소리의 세기가 만큼 더 커 진다는 것은 음파의 세기가 두 배로 된다는 이야기와 같다. 몇 가지 대표적인 소리에 대한 음파의 세기 와 소리 세기 들이 표 36.1에 소개되어 있다. 두 소리가 더해지면 소리의 크기는 어떻게 될까? 두 소리를 더할 때는 35장에서 중첩원리를 소개하면서 설명한 것처럼 두 파동의 매질이 진동하는 변위 과 를 더하는 경우도 있고 두 파동의 세기 과 를 더하는 경우도 있다. 그래 서 중첩원리에서처럼 변위를 더하는 경우에는 파동의 간섭이 일어나서, 예를 들어 동 일한 두 파동이 더해지면 진폭이 두 배가 되어 세기는 네 배가 되거나 진폭이 0이 되 어 세기가 0으로 된다. 이런 경우를 두 파동이 간섭을 일으킨다고 하며, 두 파동이 간섭을 일으키기 위해서는 두 파동이 결맞는 파동이어야 한다. 결맞는 파동이란 파동 의 위상이 동일한 방법으로 변화하는 두 파동을 말한다. 그런데 만일 두 파동이 결맞 지 않는 파동이라면 동일한 두 파동이 만나더라도 세기는 두 배가 된다. 예를 들어, 양쪽에서 두 사람이 고함을 치면 소리의 세기는 한 사람이 고함을 칠 때보다 대략 2 배가 되고 소리의 크기는 만큼 증가한다. 그런데 진동수가 약간 다른 두 소리굽 쇠를 진동시키면 맥놀이를 들을 수 있다. 전자(前者)의 경우 두 사람의 고함소리는 결맞지 않은 음파이고 후자(後者)의 경우 소리굽쇠에서 나오는 두 소리는 결맞는 음 409 제12주 강의 파이기 때문에 그런 차이가 발생한 것이다. 다른 종류의 파동인 빛에서도 비슷한 현 상을 경험할 수 있다. 빛의 밝기는 빛의 세기 에 비례한다. 그런데 동일한 전력의 전 등 두 개를 켜면 하나를 켰을 때보다 밝기가 대략 두 배가 된다. 두 전등에서 나오는 빛은 결맞지 않는 파동이기 때문이다. 그런데 물위에 떠있는 얇은 기름막을 보면 아 름다운 색깔이 출렁거린다. 그것은 기름막의 바깥쪽 막에서 반사된 빛과 안쪽 막에서 반사된 빛 더해져서 간섭을 일으키기 때문에 그렇게 보인다. 이때 바깥쪽 막에서 반사된 빛과 안쪽 막에서 반사된 빛은 서로 결맞는 파동이다. 소리의 고저(高低)는 오직 음파의 진동수에 의해서만 결정된다. 소리의 세기 는 (36.12)식에서 알 수 있는 것처럼 음파의 진폭의 제곱에 비례할 뿐 아니라 음파의 진동수의 제곱에도 의존하고 음파의 속도 그리고 매질의 밀도에도 의존한다. 그런데 소리의 높고 낮음을 말해주는 소리의 고저는 음파를 결정하는 많은 인자들 중에서 단지 진동수 하나에 의해서만 결정된다는 사실이 흥미롭다. 그런데 사람이 소리의 고 저를 감지할 때는 진동수 값에 비례하여 판단하는 것이 아니라 소리의 크기에서와 마찬가지로 진동수 값의 로그를 취한 것에 비례하여 판단한다. 악기를 연주하면 악기에서 나오는 소리의 고저를 조절할 수 있다. 그것은 악기마 다 그 악기에서 만들 수 있는 소리의 진동수가 정해져 있기 때문이다. 먼저 기타나 바이올린과 같이 줄을 진동시켜서 소리를 내는 악기의 경우에 악기에서 나오는 소리 의 진동수가 어떻게 정해지는지 보자. 그림 36.4에 보인 것과 같이 동일한 두 파동이 서로 반대방향으로 진행한다고 하 자. (36.2)식을 이용하면, 진폭 와 파수 그리고 각진동 수 가 동일하지만 반대방향으로 진행하는 두 파동 와 를 (36.18) 라고 쓸 수 있다. 그림 36.4에서 오른쪽 방향을 방향이 락 정한다면 (36.18)식의 는 그림에 나온 오른쪽으 로 진행하는 파동을 나타내고 는 왼쪽으로 진행하는 파동을 나타낸다. 그러면 줄에 생기는 파동 는 두 파 동 과 를 중첩원리에 의해 더해서 410 그림 36.4 정상파 36. 음파 (36.19) 이 된다. 그런데 사인함수에 대한 공식인 ± ± (36.20) 를 이용하면 (36.19)식을 (36.21) 라고 쓸 수 있게 된다. 그런데 (36.21)식에 의해 표현된 파동은 더 이상 진행하는 파 동이 아니라 줄의 각 부분이 제자리에서 진동하는 파동이다. 그래서 (36.21)식으로 대표되는 것과 같은 파동을 움직이지 않고 가만히 있는 파동이라는 의미에서 정상파 (定常波)라고 한다. (36.21)식으로부터 알 수 있는 것처럼, 정상파에서는 어떤 평형 위치 에서나 매질 입자들은 동일한 각진동수에 의해 모두 똑같이 로 진동한 다. 다만 에 따라서 진폭이 다른데 정상파의 진폭 는 (36.21)식에서 (36.22) 로 주어짐을 알 수 있다. 이때 모 든 위치 에서 다 똑같이 로 진동한다는 의미는 줄 위의 입 그림 36.5 정상파에서 줄의 입자들이 진동하는 모습 자들이 예를 들어 그림 36.5에 보인 것처럼 진동한다는 의미이다. 그림 36.5에 보인 것은 줄의 양쪽 끝이 고정되어 있을 때 만들어지는 정상파 중의 하나이다. 이 그림에 보인 줄의 길이가 이라면 줄에는 반파장 정상파만 형성되어 있으므로 줄에 생긴 정상파의 파장 와 진동수 그리고 줄의 길이 사이에는 ∴ → (36.23) 인 관계가 성립한다. 그러므로 이 줄로부터 발생하는 소리의 진동수 중에 하나는 (36.23)식으로 주어지는 이다. 411 제12주 강의 그런데 양쪽이 고정된 줄에 생기는 정상파의 모습이 그림 36.5에 보인 것과 같은 한 가지 경우만 존재하는 것은 아니다. 정상파에서 전혀 진동하지 않는 위치를 마 디라 하고 최대 진폭으로 진동하는 위치를 배라 하는데, 줄의 양쪽 끝이 마디가 되기만 하면 줄에는 그림 36.6에 보인 것과 같이 어떤 모양의 정상파든지 생길 수 있다. 그리고 줄의 길이가 이라고 할 때 그림 36.6에 보인 것 처럼 개의 반파장이 포함된 정상파가 생겼다면 줄의 길 이 과 파장 그리고 진동수 사이에는 (36.23)식 과 유사하게 ∴ → 그림 36.6 양쪽이 고정된 줄에 생기는 정상파 (36.24) 여기서 ⋯ 인 관계가 성립함을 알 수 있다. 이처럼 양쪽이 고정된 줄에 의해서 발생하는 소리의 진동수는 (36.23)에 의해 주어지는 진동수가 인 소리와 또한 의 배수로 이루어 진 진동수가 인 소리를 만들어 내는 것을 알 수 있다. 이때 줄이 만들어낼 수 있는 소리의 진동수들 중에서 가장 작은 을 줄의 기본진동수라 하며 기본진동 수의 배로 주어지는 을 줄의 번째 조화진동수라 한다. 참고로 (36.24)식에서 파동의 속도 는 줄의 선밀도 와 줄에 걸리는 장력 에 의해서 (34.8)식에서 구한 것과 같이 (36.25) 로 주어진다는 것을 잊지 말자. 양쪽 끝이 고정된 줄에 생기는 정상파는 양쪽 끝에서 마디를 이루었지만 그림 36.7 에 보인 것과 같이 줄의 한쪽 끝은 고정되 었으나 다른 쪽 끝은 자유롭게 움직일 수 있는 열린 끝이라면 고정된 끝에는 마디가 그림 36.7 한쪽이 열린 줄에 생기는 줄의 파동 412 36. 음파 그리고 열린 끝에는 배가 되는 정상파가 만들어진다. 그 래서 한쪽 끝은 고정되고 다른 끝은 열린 줄에 생기는 정상파는 그림 36.8에 보인 것처럼 한쪽 끝이 마디이고 다른 쪽 끝은 배이기만 하면 어떤 모양이든 생길 수가 있다. 그래서 이런 줄에 생길 수 있는 가장 긴 파장의 정 상파는 그림 36.8의 맨 위에 보인 것처럼 줄의 길이가 1/4파장과 같아서 ∴ → (36.26) 그림 36.8 한쪽은 고정되고 다른 쪽은 열린 줄에 생기는 정상파 인 관계가 성립한다. 그밖에도 그림 36.8에 보인 것처럼 길이가 인 줄에는 개의 반파장과 하나의 1/4 파장이 생길 수 있으므로 → ∴ (36.27) 여기서 ⋯ 인 관계가 성립함을 알 수 있다. 이처럼 한쪽은 고정되고 다른 쪽은 열린 줄에 의해 서 발생하는 소리의 진동수는 (36.26)식에 의해 주어지는 진동수가 인 소리와 또 한 의 홀수배로 이루어진 진동수가 인 소리를 만들어 내는 것 을 알 수 있다. 이때 이 줄이 만들어 낼 수 있는 소리의 진동수들 중에서 가장 작은 을 이 줄 기본진동수라 하며 기본진동수의 홀수배로 주어지는 을 줄의 번째 조화진동수라고 한다. 악기 중에서 관악기는 관 내부에 형성되는 음파가 정상파를 만들어 각 악기에서 나는 소리의 진동수를 결정한다. 그런데 마 치 줄에 생기는 정상파에서 줄의 끝이 고정 되어 있느냐 또는 열려 있느냐에 따라 정상 파의 마디 또는 배가 생긴 것처럼, 관에 생 기는 정상파에서는 관의 끝이 닫혀 있느냐 또는 열려 있느냐에 따라 관의 끝에 정상파 413 그림 36.9 양쪽 끝이 열린 관의 정상파 제12주 강의 의 마디 또는 배가 형성된다. 그림 36.9에 보인 것은 양쪽 끝이 열린 관에 만들어지 는 정상파 중의 하나이다. 이 그림에 보인 관의 길이가 이라면 관 내부에는 반파장 에 해당하는 정상파만 형성되어 있으므로 그 정상파의 파장 와 지동수 그리고 줄의 길이 사이에는 ∴ → (36.28) 인 관계가 성립한다. 이 식은 양쪽 끝이 고정된 줄에 생기는 정상파에 대한 (36.23) 식과 똑같다. 그런데 양쪽이 열린 관에 생기는 정상파의 모습이 그림 36.9 에 보인 한 가지 경우만 존재하는 것은 아니다. 그림 36.10에 보인 것처럼 관의 양쪽 끝에 배가 생기기만 하면 어떤 모양의 정상파든지 형성될 수가 있다. 그래서 관의 길이를 이라고 할 때 그림 36.10에 보인 것처럼 개의 반파장이 포함된 정상파 가 생겼다면 줄의 길이 과 파장 그리고 진동수 사이에 는 ∴ 그림 36.10 양쪽 끝이 열린 관에 생기는 정상파 여기서 ⋯ (36.29) 가 되는데, 이 식도 역시 양쪽 끝이 고정된 줄의 경우에 성립하는 (36.24)식과 똑같 다. 양쪽이 열린 관에서도 (36.28)식으로 결정되는 을 관의 기본진동수라 하고 (36.29)식에 의해 결정되는 기본진동수의 배인 을 관의 번째 조화진동수라 한 다. 물론 (36.28)식과 (36.29)식에 나오는 는 관속에 형성된 음파의 속도로 관 내 부에 들어있는 공기의 밀도 과 공기의 부피탄성률 에 의해 (34.10)식에서 주어 진 것처럼 (36.30) 로 결정된다는 것을 잊지 말자. 한편 한쪽 끝은 열려있지만 다른 끝은 닫힌 관에 생기는 정상파에서 관의 열려 있 414 36. 음파 는 쪽에는 배가 형성되고 닫혀 있는 쪽에는 마디가 형성된다. 따라서 이 경우는 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝은 열린 줄에 생기는 정상파에 대한 식을 그대로 가져 다 쓸 수 있다. 즉 한쪽 끝은 열려 있고 다른 쪽 끝은 닫혀 있는 관의 길이가 이라 면 이 관에 생기는 정상파의 기본진동수 은 (36.26)식과 똑같이 (36.31) 이고 이 관에 생기는 조화진동수는 여기서 ⋯ (36.32) 로 기본진동수의 홀수배로 주어짐을 알 수 있다. 소리의 높낮이는 그 소리를 전달하는 음파의 여러 성질 중에서 오직 진동수 에 의해서만 결정된다고 하였다. 그런데 소리를 내는 음원(音源)에서 원래 발생시킨 진 동수 와 그 소리를 듣는 관찰자가 감지하는 진동수 가 다른 경우가 있다. 그래서 원래 발생한 소리의 높이와 듣는 소리의 높이가 다른 경우가 있다는 이야기이다. 이 런 경우를 우리는 흔히 경험하는데, 예를 들어 기차가 정차하지 않는 기차역에서 기 차가 그냥 지나 때면 기차가 기적을 울리는데 기차가 다가올 때는 히- 라고 기적 소리가 높게 들리지만 기차가 지나가 버린 다음에는 호- 라고 기적소리가 낮게 들린 다. 그래서 이 효과를 히호효과라고도 한다. 소리를 내는 음원과 소리를 듣는 관찰자 사이의 상대속 도에 의해 듣는 소리의 진동수 가 내는 소리의 진동수 와 달라진다는 히호효과는 원래 그림 36.11에 보인 오스 트리아에서 출생한 과학자 도플러에 의해 19세기 중엽에 발견되었다. 그래서 이것을 도플러 효과라고 부른다. 도플 러 효과는 꼭 음파에서만 성립하는 것이 아니라 어떤 파동 에서나 모두 성립한다. 특히 빛에 대한 도플러 효과는 우주 가 팽창한다는 것을 발견하는데 아주 중요하게 기여하였다. 도플러 효과는 음원과 관찰자가 상대적으로 이동할 때 일어난다. 다시 말하면 관찰자는 가만히 서 있는데 음원이 415 그림 36.11 크리스티안 도플러 (오스트리아, 1803-1853) 제12주 강의 관찰자를 향해 다가오거나 멀어질 때, 또는 음원은 정지해 있는데 관찰자가 음원을 향해 가까이 가거나 음원으로부터 멀어질 때 일어난다. 그렇지만 음원과 관찰자가 모 두 동일한 속도로 움직여서 그들 둘 사이의 상대속도에 변화가 없을 때는 도플러 효 과가 일어나지 않는다. 먼저 그림 36.12에 보인 것처럼 정지해 있는 관찰자에 대해 속력 로 다가오거 나 멀어지는 경우를 생각하자. 이 그림에 서 왼쪽은 정지한 음원이 발생하는 음파의 원래 파장을 나타내며 오른쪽은 동일한 음 원이 오른쪽으로 속력 로 움직일 때 양 쪽으로 퍼져 나가는 파장을 나타낸다. 그 그림 36.12 정지한 관찰자에 대해 음원이 움직일 때 도플러 효과 림 36.12에서 분명한 것처럼, 음원의 오른쪽에서 다가오는 음원으로부터 측정하는 관찰자는 원래 파장보다 더 짧은 파장의 소리를 듣고 음원의 왼쪽에서 멀어지는 음 원으로부터 측정하는 관찰자는 원래 파장보다 더 긴 파장의 소리를 듣는다. 이제 음파의 속력을 , 음원에서 나오는 소리의 진동수와 주기 그리고 파장을 각 각 , , 라고 하면 이들 사이에는 (36.33) 인 관계가 성립한다. 그런데 그림 36.12에서 음원의 오른쪽에서 다가오는 음원을 관 찰하면, 음원에서 한 파면을 발생시키고 뒤에 다른 파면을 발생시키면 처음 파면 은 만큼 진행하고 음원도 만큼 진행하므로 관찰자가 측정하는 파장 는 (36.34) 가 된다. 그러므로 관찰자가 측정하는 진동수 는 : 음원이 로 다가올 때 (36.35) 가 된다. 그런데 그림 36.12에 보인 오른쪽으로 움직이는 음원의 왼쪽에서 측정하는 관찰자에게는 처음 파면이 만큼 진행하는 동안 음원은 만큼 더 멀어지므로 416 36. 음파 관찰자가 측정하는 파장 는 (36.36) 가 되고, 그러므로 관찰자가 측정하는 진동수 는 : 음원이 로 멀어질 때 (36.37) 가 된다. 이번에는 음원은 정지해 있고 관찰자가 음원을 향해 의 속력으로 다가가는 경우 를 생각하자. 이때 음원이 발생시키는 음파의 진동수와 주기 그리고 파장을 각각 , 그리고 라고 하면 이들 사이에는 여전히 (36.33)식이 만족된다. 그리고 음원 쪽으로 다가가는 관찰자가 측정하는 파장 도 역시 와 같다. 다만 음원 쪽으로 속력 로 다가가는 관찰자에게는 음파의 속력이 가 아니라 ′ (36.38) 로 측정된다. 그러므로 관찰자에게 들리는 소리의 진동수 는 ′ : 관찰자가 로 다가갈 때 (36.39) 가 된다. 두 번째 등식에서는 (36.33)식으로부터 (36.40) 임을 이용하였다. 그렇지만 만일 음원은 정지해 있고 관찰자가 음원과 반대방향으로 의 속력으로 멀어지는 경우에는 음원을 다가갈 때와 똑같은 방법으로 관찰자가 측 정하는 음파의 속력이 가 아니라 ′ (36.41) 로 측정된다. 그러므로 관찰자에게 들리는 진동수 는 417 제12주 강의 ′ : 관찰자가 로 멀어질 때 (36.42) 가 된다. 지금까지 구한 도플러 효과를 나타내는 식들인 (36.35)식과 (36.37)식, (36.39) 식 그리고 (36.42)식을 한꺼번에 ± ∓ (36.43) : 모든 경우 라고 쓸 수 있다. 이 식의 분자에 나오는 ± 와 분모에 나오는 ∓ 기호에서 위쪽 것은 모두 음원과 관찰자가 상대적으로 가까워져서 음원의 진동수 보다 측정하는 진동 수 가 더 큰 경우이고 아래쪽 것은 모두 음원과 관찰자가 상대적으로 더 멀어져서 음원의 진동수 보다 측정하는 진동수 가 더 작은 경우이다. 그래서 한 예로 관찰 자가 음원 쪽을 향하여 의 속력으로 다가가고 음원은 관찰자와 반대방향을 향하여 속력 로 멀어져 가고 있다면 (36.43)식 중에서 : 관찰자는 로 다가가고 음원은 로 멀어질 때 를 이용하여야 한다. 418 (36.44) ...
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This note was uploaded on 11/08/2011 for the course CHEM 202 taught by Professor Idk during the Summer '08 term at Korea University.

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