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Universidad de la Frontera Facultad de Ingenier´ ıa, Ciencias y Admistraci´on Departamento de Matem´ atica y Estad´ ıstica Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden Profesores: A. Mansilla - E. Olivos 1. Trayectorias ortogonales Una ecuaci´ on diferencial de primer orden tiene asociada, en general, una familia uniparam´ etrica de curvas, las curvas integrales de la ecuaci´ on. Rec´ ıprocamente, toda familia uniparam´ etrica de curvas es la soluci´ on de alguna ecuaci´ on diferencial de primer orden. La manera de obterner tal ecuaci´ on a partir de la familia de curvas es derivando impl´ ıcitamente la ecuaci´ on que define la familia y combinar ambas ecuaciones para eliminar el par´ ametro. Aplicaremos este m´ etodo para resolver el problema de hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas. Definici´on 1 Sean C 1 y C 2 dos curvas en el plano y sea ( x 0 , y 0 ) un punto de intersecci´ on de ambas. 1. Se define el ´ angulo entre C 1 y C 2 como el menor ´ angulo que forman sus rectas tangentes en dicho punto. 2. Diremos que C 1 y C 2 son ortogonales en el punto ( x 0 , y 0 ) si sus rectas tangentes en dicho punto se cortan en ´ angulo recto. Definici´on 2 Dos familias de curvas Γ y Γ se dicen isogonales si cada curva perteneciente a la familia Γ corta a toda curva de la familia Γ seg´un un mismo ´ angulo constante. Si este ´ angulo constante es recto, las familias se dicen ortogonales . Ejemplo 3 Las familias, Γ : y 2 - x 2 = C y Γ : xy = C , son ortogonales. En efecto, las pendientes de cada curva de Γ y Γ , respectivamente, en un punto ( x, y ) son y = x/y e y = - y/x . El producto de ambas es - 1 , luego las rectas son perpendiculares. Luego, para que dos familias de curvas sean ortogonales, se requiere que en cada punto de intersecci´ on sus pendientes tengan producto - 1 . Este hecho motiva el siguiente Teorema 4 Sea Γ la familia de curvas definida por la ecuaci´ on diferencial F ( x, y, y ) = 0 , para ( x, y ) en una regi´on abierta D del plano XY . La familia Γ , ortogonal a Γ , est´ a definida por la ecuaci´ on diferencial F parenleftbigg x, y, - 1 y parenrightbigg = 0 . 1
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As´ ı, para encontrar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dadas, obtenemos primero la ecuaci´ on diferencial asociada; despu´ es sustituimos y por - 1 /y que corresponde a la ecuaci´ on diferencial asociada a la familia de trayectorias ortogonales y finalmente resolvemos esta ´ultima ecuaci´ on. Sea Γ la familia de curvas definida por la ecuaci´ on diferencial F ( x, y, y ) = 0 , para ( x, y ) en una regi´on abierta D del plano XY . La familia Γ , ortogonal a Γ , est´ a definida por la ecuaci´ on diferencial F parenleftbigg x, y, - 1 y parenrightbigg = 0 . Si la ecuaci´ on diferencial de la familia Γ est´ a dada en coordenadas polares, digamos F parenleftbigg θ, r, dr parenrightbigg = 0 , entonces la ecuaci´ on diferencial de la familia ortogonal, Γ , est´ a dada por la ecuaci´ on F ( θ, r, - r 2 dr ) = 0 .
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