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Unformatted text preview: 1. Ecuaciones lineales de orden superior Definici´ on 1.1 Operador diferencial lineal. Sea C n [ I ] el espacio vectorial de todas las funciones reales que admiten derivadas continuas en I al menos hasta el orden n , C [ I ] , el espacio vectorial de las funciones continuas en I . Una transformaci´ on lineal L : C n [ I ] → C [ I ] se dice que es un operador diferencial lineal de orden n si puede expresarse de la forma: L = a n ( x ) D n + a n- 1 ( x ) D n- 1 + ... + a 1 ( x ) D + a ( x ) donde a n , a n- 1 ,..., a 1 , a , son funciones reales continuas en alg´un intervalo I y a n ( x ) 6 = para todo x ∈ I . Ejemplo 1.2 Si L = 2 D 3- 3 xD + 5 sen x , entonces L ( y ) = 2 y 000- 3 xy + 5 sen x . Ello significa que si, por ejemplo, y = e 2 x , entonces L ( y ) = 16 e 2 x- 6 xe 2 x + 5 sen x . Los operadores diferenciales lineales con coeficientes variables no se pueden multiplicar algebraicamente usando las propiedades usuales del ´algebra de polinomios. En cambio, cuando tienen s´ olo coeficientes constantes se comportan como si fueran polinomios en D . Ejemplo 1.3 Uno esperar´ ıa que los tres operadores lineales siguientes fueran equiva- lentes: ( D- x )( D + x )( y ) = ( D- x )( y + xy ) = y 00 + y- x 2 y ( D + x )( D- x )( y ) = ( D + x )( y- xy ) = y 00- y + x 2 y ( D 2- x 2 )( y ) = y 00- x 2 y . Ejemplo 1.4 Notemos la diferencia con el ejemplo anterior cuando los coeficientes son constantes: ( D- 1)( D + 1)( y ) = ( D- 1)( y + y ) = y 00- y ( D + 1)( D- 1)( y ) = ( D + 1)( y- y ) = y 00- y ( D 2- 1)( y ) = y 00- y . Definici´ on 1.5 Ecuaci´on lineal de orden superior. Una ecuaci´ on diferencial lineal de orden n es una ecuaci´ on de la forma L ( y ) = f ( x ) , donde L es un operador diferencial lineal definido en alg´un intervalo real I y f una funci´ on real definida en I . Si f ≡ en I , decimos que la ecuaci´on es homog´ enea . Para una ecuaci´ on lineal de orden n un P.V.I. tiene adem´ as n condiciones y ( x ) = y , y ( x ) = y 1 ,..., y ( n- 1) ( x ) = y n- 1 1 Ejemplo 1.6 L = 2 D 3- 3 xD + 5 sen x = 0 que equivale a 2 y 000- 3 xy + 5 sen x = 0 es una ecuaci´on lineal homog´ enea de orden 3. Ejemplo 1.7 2 y 000- 3 xy + 5 sen x = 0 , y (0) = 1 , y (0) = 0 , y 00 (0) = 1 es un P.V.I. de tercer orden. Ejemplo 1.8 y 000 y + y sen y 00 = 0 es una ecuaci´ on de tercer orden, pero no es lineal. Teorema 1.9 Teorema de existencia y unicidad. Sea L un operador diferencial lineal definido en un intervalo real I . El P.V.I. L ( y ) = f ( x ) sujeto a las condiciones iniciales y ( i ) ( x ) = y i , i = 0 ,...,n- 1 , tiene una ´unica soluci´ on y ( x ) en el intervalo I . Ejemplo 1.10 Es f´acil comprobar que la funci´ on y = sen x satisface el P.V.I....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course ECONOMICS 1291 taught by Professor Sasami during the Spring '11 term at Aarhus Universitet.

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