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Unformatted text preview: ECUACIONES DIFERENCIALES PROBLEMAS RESUELTOS ANG ´ ELICA MANSILLA - ELENA OLIVOS 19 de marzo de 2011 2 Cap´ ıtulo 1 Ecuaciones de primer orden Definici´on 1.1 Una ecuaci´on diferencial es cualquier relaci´on en la que interviene una o m´as variables dependientes y alguna(s) de sus derivadas con respecto a una o m´as variables independientes. Una ecuaci´on diferencial es una Ecuaci´on Diferencial Ordinaria si en ella in- tervienen solo derivadas de funciones de una variable. De lo contrario, dec- imos que la ecuaci´on diferencial es una Ecuaci´on Diferencial en Derivadas Parciales. El orden de una ecuaci´on diferencial est´a dado por la derivada de orden m´as alto que aparezca en ella. Una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n se representa mediante la identidad F ( x , y , y ′ , . . . , y ( n ) ) = Definici´on 1.2. Soluci´on ( o integral) de una ecuaci´on diferencial ordinar- ia . Una funci´on real y = ϕ ( x ) con al menos n derivadas definida en un inter- valo I es una soluci´on expl´ ıcita de la ecuaci´on F ( x , y , y ′ , . . . , y ( n ) ) = 0 en I si y solo si se cumple que F ( x , ϕ ( x ) , . . . , ϕ ( n ) ( x )) = 0. Una relaci´on G ( x , y ) = 0 es una soluci´on impl´ ıcita de la ecuaci´on F ( x , y , y ′ , . . . , y ( n ) ) = 3 4 CAP ´ ITULO 1. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN en un intervalo I si y solo si existe al menos una funci´on y = ϕ ( x ) que sat- isface la relaci´on G y la ecuaci´on diferencial en I . Por lo general una soluci´on de una ecuaci´on diferencial tiene una o m´as constantes arbitrarias, tantas como indique el orden de la ecuaci´on, es de- cir, es una familia n-param´etrica de soluciones. Cuando damos un valor a las constantes obtenemos una soluci´on particular de la ecuaci´on. Si to- da soluci´on de la ecuaci´on se obtiene asignando valores a las constantes de la familia n-param´etrica, decimos que ella es la soluci´on general de la ecuaci´on. Una soluci´on singular es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial que no puede obtenerse asign´andole valores a las constantes de la familia n-param´etrica de soluciones. Definici´on 1.3. Problemas de valor inicial. Un Problema de valor inicial (P.V.I.) es una ecuaci´on diferencial para la cual se especifican los valores de la funci´on y algunas de sus derivadas en cierto punto llamado punto inicial. Un Problema de contorno o de frontera es una ecuaci´on diferencial en la cual se dan valores por lo menos para dos puntos de la funci´on o alguna de sus derivadas. Teorema de Picard. Existencia y unicidad de las soluciones. Teorema 1. Si f ( x , y ) y f y ( x , y ) son funciones continuas sobre un rect´angulo cerrado R, entonces por cada punto ( x , y ) del interior de R pasa una y solo una curva integral (o curva soluci´on) de la ecuaci´on y ′ = f ( x , y ) Variables Separables....
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