p2_2009_1sem - SEGUNDA PRUEBA DE OPTIMIZACION 1er Semestre...

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Unformatted text preview: SEGUNDA PRUEBA DE OPTIMIZACION 1er. Semestre. Curso 2009 Nombre ________________________________ Carrera _________________________________ 1)(2,5 puntos) Considere el siguiente problema: ( PL 1) B B B B @ max z = 2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 + x 4 s:a: 3 x 1 + x 2 + x 3 + 4 x 4 & 12 ; x 1 ¡ 3 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 & 7 ; 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 ¡ x 4 & 10 ; x i ¢ ; i = 1 ; 2 ; 3 ; 4 : 1 C C C C A a) Compruebe que el vector & X t = & ; 52 5 ; ; 2 5 ¡ es soluci&n &ptima de ( PL 1) , hallando la tabla (&ptima) del mØtodo Simplex correspondiente a & X . b) ¿Entre quØ valores puede variar el coe¡ciente c 4 = 1 de la variable x 4 , de modo que el vector & X siga siendo soluci&n &ptima de ( PL 1) ? c) Si en ( PL 1) el vector b t = (12 ; 7 ; 10) se cambia por ~ b t = (8 ; 7 ; 10) , halle la soluci&n &ptima del nuevo problema a partir de la tabla ¡nal Simplex corre- spondiente a & X hallada en a). 2) Se tiene un problema de transporte con 4 almacenes A i ; i = 1 ;::; 4 ; con existencias 100 ; 150 ; 200 ; 150 y con 5 clientes C j ; j = 1 ;:::; 5 ; con demandas 200 ; 100 ; 100 ; 100 ; 100 respectivamente. La matriz de costos unitarios viene dada por: ( c ij ) = B B @ 1 8 1 5 2 2 2 9 7 1 4 8 2 6 3 9 6 5 1 4 1 C C A : Como siempre, las variables x ij representan la cantidad de mercanc¢as que debe enviar el almacen A i al cliente C j . a) Escriba la matriz A del modelo de transporte asociado a este problema. b) Justi¡que por quØ los siguientes valores de¡nen una soluci&n factible bAsica del problema. ¿Es una soluci&n degenerada? x 11 = 100 ; x 22 = 50 ; x 25 = 100 ; x 31 = 100 ; x 33 = 100 ; x 42 = 50 ; x 44 = 100 : c) Empezando por la soluci&n inicial dada en b) aplique el mØtodo stepping- stone para hallar la soluci&n &ptima del problema. 1 3) Para la funci&n no lineal, dependiente del parAmetro & : f ( x;y ) = x 3 & 3 &xy + y 3 a) Halle todos los vectores ( x ( & ) ;y ( & )) t que satisfacen condiciones necesarias de 1er. orden (para mAximo o m¡nimo) de f . b) ¿Para quØ valores de & , los vectores hallados en a) son mAximos y para cuAles son m¡nimos?. 4) La f&rmula para la distancia entre dos puntos ( x;y ) , (& x; & y ) del plano es la siguiente: d [( x;y ) ; (& x; & y )] = p ( x & & x ) 2 + ( y & & y ) 2 ; y la menor distancia de un punto ¢jo (& x; & y ) a una curva C del plano estA de¢nida por el problema de optimizaci&n no lineal siguiente: ( PNL 1) & min d [( x;y ) ; (& x; & y )] s:a: ( x;y ) 2 C : ¡ Como la ra¡z cuadrada es una funci&n creciente, para resolver el problema ( PNL 1) se puede obviar la ra¡z de la funci&n d . En particular, si la curva plana C es una circunsferencia de centro en el origen y radio R , tendremos que el problema ( PNL 1) es simplemente un problema no lineal con una restricci&n de igualdad: ( PNL 2) & min ( x & & x ) 2 + ( y & & y ) 2 s:a: x 2 + y 2 = R 2 : ¡ a) £plicando las condiciones de optimalidad de 1er. orden, halle la soluci&na) £plicando las condiciones de optimalidad de 1er....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course ECONOMICS 1291 taught by Professor Sasami during the Spring '11 term at Aarhus Universitet.

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