p2_2010_1sem - SEGUNDA PRUEBA OPTIMIZACI&N...

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Unformatted text preview: SEGUNDA PRUEBA OPTIMIZACI&N Nombre _________________________________ Carrera _____________________ M¡dulo _____ 1) (3 puntos) El siguiente problema lineal: ( PL 1) B B B B @ max z = x 1 + 3 x 2 s:a: x 1 + 4 x 2 & 100 ; x 1 + 2 x 2 & 60 ; x 1 + x 2 & 50 ; x 1 ;x 2 ¡ : 1 C C C C A se escribi& en forma estAndar, a¡adiendo las variables de holgura x h 3 ;x h 4 ;x h 5 y se sabe que la SFB &ptima del problema en forma estAndar tiene asociada la base B; que tiene por inversa la matriz siguiente: B & 1 = @ ¢ 1 2 1 = 2 ¢ 1 = 2 1 = 2 ¢ 3 = 2 1 1 A : a) Halle la soluci&n &ptima & x de ( PL 1) asociada a B . b) Escriba el problema dual ( DL 1) de ( PL 1) y halle la soluci&n &ptima del dual ( DL 1) : c) Determine en quØ intervalo puede variar la segunda componente b 2 = 60 del vector b , manteniØndose &ptima la base B d) Suponga que el problema ( PL 1) se cambia por el ( PL 2) siguiente; ¿la soluci&n &ptima & x de ( PL 1) (a¡adiendo x 6 = 0 ) sigue siendo &ptima para ( PL 2) ?. En caso contrario halle la soluci&n &ptima de ( PL 2) . ( PL 2) B B B B @ max z = x 1 + 3 x 2 + 6 x 6 s:a: x 1 + 4 x 2 + 5 x 6 & 100 ; x 1 + 2 x 2 + 4 x 6 & 60 ; x 1 + x 2 + 2 x 6 & 50 ; x 1 ;x 2 ;x 6 ¡ : 1 C C C C A 2) (3 puntos) La tabla siguiente muestra los costos unitarios, las existencias y las demandas de un problema de transporte: C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 Existencias ¢ 1 8 6 3 7 5 20 ¢ 2 5 10 8 4 7 30 ¢ 3 6 3 9 6 8 30 Demandas 25 25 20 10 20 1 a) Explique por quØ la soluci&n dada por los valores siguientes: x 15 = 20 ; x 21 = 25 ; x 24 = 5 ; x 32 = 25 ; x 34 = 5 ; x 43 = 20 ; x ij = ; para las otras variables, se puede considerar una SFB del problema de transporte propuesto, despuØs de estar balanceado. b) Escriba una base B asociada a la SFB dada. c) ¿La SFB dada es &ptima?. En caso contrario halle la soluci&n &ptima del problema y el valor del costo m¡nimo. d) ¿La soluci&n &ptima hallada en c) es mOltiple?. ¿Existe otra SFB &ptima diferente?. 3) (3 puntos) En el siguiente problema no lineal: opt f ( x:y ) = 2 x 3 + &y 3 + 6 x 2 y & 3 y; a) Halle todos los puntos ( x ( & ) ; y ( & )) ; con & 2 R ; & ¡ , que satisfagan condiciones necesarias de 1er. orden para mAximo o m¡nimo local. b) ¿Para cuAles valores de & ¡ los puntos hallados en a) son m¡nimos locales? ¿Para cuAles son mAximos locales?...
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