solpep1 - SOLUCION PRIMERA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES...

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Unformatted text preview: SOLUCION PRIMERA PRUEBA ECUACIONES DIFERENCIALES Ingenier´ ıa Civil C´ odigo 10008-11039-19003 Primer Semestre 2006 Problema 1 . Para y 6 = 0 considere la ecuaci´ on diferencial 2 y dy dx = 5 + 2 x- 2 y 2 . a) Encuentre la soluci´ on general impl´ ıcita usando factores integrantes. b) Encuentre la soluci´ on particular que pasa por el punto (0 , √ 5) y el inter- valo m´ aximo donde est´ a definida. Soluci´on . a) La ecuaci´ on se puede poner de la forma M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy = 0 , con M ( x,y ) = 5 + 2 x- 2 y 2 y N ( x,y ) =- 2 y . Entonces ∂M ∂y- ∂N ∂x ! ( x,y ) =- 4 y y la ecuaci´ on no es exacta, pero 1 N ∂M ∂y- ∂N ∂x ! ( x,y ) = 1- 2 y (- 4 y ) = 2 , depende solo de x . Luego μ ( x,y ) = e R 2 dx = e 2 x , es un factor integrante y la ecuaci´ on (5 + 2 x- 2 y 2 ) e 2 x dx- 2 y e 2 x dy = 0 es exacta. Buscamos entonces una funci´ on potencial de la forma u ( x,y ) = Z- 2 y e 2 x dy =- e 2 x y 2 + h ( x ) . Calculamos h ( x ) de la igualdad ∂u ∂x ( x,y ) = (5 + 2 x- 2 y 2 ) e 2 x . Por lo tanto tenemos- 2 e 2 x y 2 + h ( x ) = (5 + 2 x- 2 y 2 ) e 2 x que implica h ( x ) = (5 + 2 x ) e 2 x ....
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