MAT1112_ch1_v2007 - CHAPITRE 1 Rappels sur le calcul diff´...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 1 Rappels sur le calcul diff´ erentiel ` a une variable. C’est ` a Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646 – 1716) et ` a Isaac Newton (1642 – 1727) que nous devons l’invention du calcul diff´ erentiel et int´ egral. D´ ej` a depuis ses d´ ebuts, il s’est av´ er´ e un outil indispensable pour formuler des ph´ enom` enes en sciences, en g´ enie et en sciences sociales, ainsi que pour calculer les cons´ equences de ceux-ci. Par exemple, Newton utilisa le calcul infinit´ esimal pour obtenir de sa th´ eorie de l’attraction universelle les trois lois de Kepler pour les mouvements plan´ etaires. Dans ces notes, nous travaillerons avec l’ensemble R des nombres r´ eels. On dit aussi la droite r´ eelle pour R et qu’on repr´ esente par une ligne droite: Une fonction r´ eelle f : D → R d’une variable r´ eelle est une r` egle qui associe ` a tout nombre r´ eel x d’un ensemble D contenu dans R un nombre bien d´ efini y = f ( x ) de R . On dit alors que D est le domaine de la fonction et que la fonction f est d´ efinie sur D . Dans ces notes, le domaine D consistera en g´ en´ eral d’une r´ eunion finie d’intervalles. Nous abuserons parfois en ne pr´ ecisant pas le domaine D d’une fonction f ; dans ce cas, le domaine D sera l’ensemble des nombres r´ eels pour lesquels la r` egle d´ efinissant f est applicable. Nous n’´ ecrirons souvent que f ( x ) pour d´ esigner la fonction f . Exemples 1.1 : a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x- 1 b) g ( x ) = sin( x- 1 ) c) h ( x ) = ( x + 3) / ( x 2 + 4 x- 5) a), b) et c) sont des exemples de trois fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle. Le domaine de chacune de celles-ci est respectivement R , R \{ } (c’est-` a-dire tous les nombres r´ eels ` a l’exception de 0 ) et R \{- 5 , 1 } (c’est-` a-dire tous les nombres r´ eels ` a l’exception de- 5 et 1) La r` egle d´ efinissant une fonction f peut ˆ etre explicite comme ci-dessus ou encore implicite. Exemples 1.2 : a) L’´ equation x = e 2 y d´ efinit implicitement y comme une fonction de x . Explicitement nous avons y = (ln( x )) / 2 et le domaine D est l’intervalle (0 , ∞ ) (c’est-` a-dire l’ensemble des nombres r´ eels positifs) b) L’´ equation xy- x + 2 y + 1 = 0 d´ efinit aussi implicitement y comme une fonction de x . Explicitement nous avons y = ( x- 1) / ( x + 2) et le domaine D est R \{- 2 } c) L’´ equation ( x + y ) 2 = 1 ne d´ efinit pas implicitement y comme une fonction de x . Car il y a deux solutions possibles pour y (en terme de x ) ` a cette ´ equation, soit y = 1- x ou soit y =- 1- x , il faudrait ajouter des conditions ` a l’´ equation ( x + y ) 2 = 1 pour d´ efinir correctement y en fonction de x ....
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