MAT1112_ch1_v2007 - CHAPITRE 1 Rappels sur le calcul diff...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 1 Rappels sur le calcul diff erentiel ` a une variable. Cest ` a Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646 1716) et ` a Isaac Newton (1642 1727) que nous devons linvention du calcul diff erentiel et int egral. D ej` a depuis ses d ebuts, il sest av er e un outil indispensable pour formuler des ph enom` enes en sciences, en g enie et en sciences sociales, ainsi que pour calculer les cons equences de ceux-ci. Par exemple, Newton utilisa le calcul infinit esimal pour obtenir de sa th eorie de lattraction universelle les trois lois de Kepler pour les mouvements plan etaires. Dans ces notes, nous travaillerons avec lensemble R des nombres r eels. On dit aussi la droite r eelle pour R et quon repr esente par une ligne droite: Une fonction r eelle f : D R dune variable r eelle est une r` egle qui associe ` a tout nombre r eel x dun ensemble D contenu dans R un nombre bien d efini y = f ( x ) de R . On dit alors que D est le domaine de la fonction et que la fonction f est d efinie sur D . Dans ces notes, le domaine D consistera en g en eral dune r eunion finie dintervalles. Nous abuserons parfois en ne pr ecisant pas le domaine D dune fonction f ; dans ce cas, le domaine D sera lensemble des nombres r eels pour lesquels la r` egle d efinissant f est applicable. Nous n ecrirons souvent que f ( x ) pour d esigner la fonction f . Exemples 1.1 : a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x- 1 b) g ( x ) = sin( x- 1 ) c) h ( x ) = ( x + 3) / ( x 2 + 4 x- 5) a), b) et c) sont des exemples de trois fonctions r eelles dune variable r eelle. Le domaine de chacune de celles-ci est respectivement R , R \{ } (cest-` a-dire tous les nombres r eels ` a lexception de 0 ) et R \{- 5 , 1 } (cest-` a-dire tous les nombres r eels ` a lexception de- 5 et 1) La r` egle d efinissant une fonction f peut etre explicite comme ci-dessus ou encore implicite. Exemples 1.2 : a) L equation x = e 2 y d efinit implicitement y comme une fonction de x . Explicitement nous avons y = (ln( x )) / 2 et le domaine D est lintervalle (0 , ) (cest-` a-dire lensemble des nombres r eels positifs) b) L equation xy- x + 2 y + 1 = 0 d efinit aussi implicitement y comme une fonction de x . Explicitement nous avons y = ( x- 1) / ( x + 2) et le domaine D est R \{- 2 } c) L equation ( x + y ) 2 = 1 ne d efinit pas implicitement y comme une fonction de x . Car il y a deux solutions possibles pour y (en terme de x ) ` a cette equation, soit y = 1- x ou soit y =- 1- x , il faudrait ajouter des conditions ` a l equation ( x + y ) 2 = 1 pour d efinir correctement y en fonction de x ....
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