MAT1112_ch2_v2007 - CHAPITRE 2 Fonctions de plusieurs...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 2 Fonctions de plusieurs variables r eelles, d eriv ees partielles. Tr` es souvent les fonctions rencontr ees sont d ependantes non pas dune seule variable, mais plut ot de plusieurs. Par exemple, si nous frappons sur la membrane dun tambour, elle vibrera et son d eplacement u ( x,y,t ) sera une fonction de trois variables: x , y , t , o`u ( x,y ) correspond ` a un point de la membrane et t au temps. Premi` erement, nous verrons comment repr esenter graphiquement des fonctions r eelles de deux et trois variables. Par la suite, nous d efinirons la notion de d eriv ees partielles de fonctions r eelles de plusieurs variables. Dans des chapitres subs equents, nous discuterons comment utiliser ces d eriv ees partielles pour r esoudre certains probl` emes doptimisation. Nous noterons par R n , lensemble des n-tuplets ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) dont toutes les entr ees x i sont des nombres r eels. Dans le cas de R 2 , nous ecrirons plut ot ces el ements sous la forme ( x,y ) o`u x , y sont des nombres r eels; alors que, pour R 3 , ces el ements seront not es sous la forme ( x,y,z ) o`u x , y et z sont des nombres r eels. Il est possible de repr esenter graphiquement R 2 comme lensemble des points du plan et R 3 comme lensemble des points de lespace ` a trois dimensions. Nous avons illustr e ceci dans les figures 2.1 et 2.2 ci-dessous. x x y y z ( a , b ) a b a b c ( a , b , c ) figure 2.1 figure 2.2 Noter la fa con de d esigner les axes de R 3 dans la figure 2.2. Nous avons orient e R 3 en utilisant la r` egle de la main droite. Nous utiliserons toujours cette orientation de R 3 par la suite. Une fonction r eelle f : D R de n variables r eelles est une r` egle bien d efinie qui associe ` a tout n-tuplet ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) dun ensemble D contenu dans R n un nombre bien d efini f ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) de R . On dit alors que D est le domaine de la fonction et que la fonction f est d efinie sur D . Dans ces notes , D sera g en eralement un ouvert de R n , cest-` a-dire que pour chaque point ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) de D , il existe un nombre r eel > 0 (d ependant de notre point ( x 1 ,x 2 ,...,x n )) tel que si un n-tuplet ( y 1 ,y 2 ,...,y n ) de R n satisfait la condition suivante: x i- < y i < x i + pour tout i = 1 , 2 ,...,n , alors ( y 1 ,y 2 ,...,y n ) est aussi un point de D . Nous abuserons parfois en ne pr ecisant pas le domaine D dune fonction f ; dans ce cas, le domaine D sera lensemble des n-tuplets de R n pour lesquels la r` egle d efinissant f est applicable. Nous n ecrirons souvent que f ( x 1 ,x 2 ,...,x n ) pour d esigner la fonction f ....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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