MAT1112_ch4_v2007 - CHAPITRE 4 Approximation lin´ eaire,...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 4 Approximation lin´ eaire, le gradient et les d´ eriv´ ees directionnelles. Soit y = f ( x ), une fonction r´ eelle d’une seule variable. La d´ eriv´ ee de f au point x = c est dy dx c = df dx c = lim h → f ( c + h )- f ( c ) h et ceci peut ˆ etre r´ ecrit Δ y = dy dx c h + h, o`u Δ y = f ( c + h )- f ( c ) et (d´ ependant de h et de c ) est tel que lim h → = 0. Cette derni` ere formule nous fournit une approximation lin´ eaire de y = f ( x ), c’est - ` a - dire que f ( c + h ) ≈ f ( c ) + dy dx c h si h est approximativement nul. Graphiquement nous avons repr´ esent´ e ceci pour f ( x ) = sin( x ) ` a c = π/ 4 dans la figure 4.1 . Dans ce cas, f ( π/ 4) = cos( π/ 4) = √ 2 / 2. 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 x approximation linéaire sin( x ) figure 4.1 Approximation linéaire pour sin( x ) p /4 Nous voulons premi` erement d´ ecrire un r´ esultat similaire d’approximation lin´ eaire pour les fonctions de deux variables, ensuite pour celles de trois variables et finalement pour celles de n variables. Dans la derni` ere partie de ce chapitre, nous d´ efinirons le gradient et les d´ eriv´ ees directionnelles d’une fonction de plusieurs variables et finalement nous d´ ecrirons la relation entre ces deux notions. Avant de poursuivre plus en avant notre discussion, nous aurons besoin du th´ eor` eme de la valeur interm´ ediaire pour une fonction r´ eelle f ( x ) d’une seule variable. Nous le rappellons ci-dessous. 21 Th´ eor` eme 4.1 (de la valeur interm´ ediaire): Soit une fonction f ( x ) une fonction r´ eelle ayant une d´ eriv´ ee ` a chacun des points de l’intervalle ouvert ( a,b ) et supposons aussi que f est continue aux points a et b . Alors il existe un nombre c ∈ ( a,b ) tel que f ( b )- f ( a ) b- a = f ( c ) . Nous avons illustr´ e ce th´ eor` eme ` a la figure 4.2. Noter que ( f ( b )- f ( a )) / ( b- a ) est la pente de la droite L passant par les points ( a,f ( a )) et ( b,f ( b )). L’´ enonc´ e dit qu’il existe une tangente au graphe de f ( x ) dont la pente est celle de L . 20 20 40 60 80 1 2 3 4 x graphe de x 3 droite de pente 21 passant par les deux points (1, 1) et (4, 64) droite tangente au graphe de x de pente 21 3 figure 4.2 Théor me de la valeur intermédiaire L’´ enonc´ e du th´ eor` eme d’approximation lin´ eaire pour les fonctions de plusieurs variables est l´ eg` erement plus complexe que celui des fonctions d’une variable. Il faut ajouter des hypoth` eses suppl´ ementaires sur la continuit´ e des d´ eriv´ ees partielles. Th´ eor` eme 4.2 (d’approximation lin´ eaire): Soient z = f ( x,y ), une fonction r´ eelle de deux variables r´ eelles x,y et ( a,b ) un point de R 2 . Supposons que les d´ eriv´ ees partielles f x et f y sont continues dans un rectangle R dont l’int´ erieur contient le point ( a,b )....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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