MAT1112_ch6_v2007 - CHAPITRE 6 Maximums et minimums...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 6 Maximums et minimums relatifs, optimisation. Nous allons initialement consid´ erer dans ce chapitre que des fonctions de deux variables pour l’optimisa - tion sans contrainte. Cependant la th´ eorie peut ˆ etre pr´ esent´ ee dans un cadre plus g´ en´ eral, mais alors il faut utiliser des outils d’alg` ebre lin´ eaire, en particulier la classification des formes quadratiques r´ eelles, qui d´ epassent le cadre de ce cours. ` A la fin du chapitre, nous discuterons d’optimisation avec contrainte en pr´ esentant la m´ ethode du multiplicateur de Lagrange (1736 - 1813) et nous consid´ ererons alors des fonctions de plusieurs variables. Soit f ( x,y ), une fonction r´ eelle de deux variables r´ eelles. On dit que f poss` ede un maximum relatif au point P = ( a,b ) s’il existe un rectangle R dont l’int´ erieur contient P tel que f ( x,y ) ≤ f ( a,b ) pour tout ( x,y ) ∈ R . On dit que f poss` ede un minimum relatif au point P = ( a,b ) s’il existe un rectangle R dont l’int´ erieur contient P tel que f ( x,y ) ≥ f ( a,b ) pour tout ( x,y ) ∈ R . Nous avons illustr´ e ceci aux figures 6.1 et 6.2. Si les d´ eriv´ ees partielles f x et f y existent en tout point d’un domaine D , il est alors possible de donner une condition n´ ecessaire pour qu’une fonction ait un maximum ou minimum relatif. Cette condition est pr´ esent´ ee dans la proposition suivante. Proposition 6.1 : Si f satisfait aux conditions du paragraphe pr´ ec´ edent et si f a un maximum ou minimum relatif au point P = ( a,b ), alors ∇ f P = ∂f ∂x P , ∂f ∂y P = (0 , 0) . On dira d’un point P tel que ∇ f | P = (0 , 0) qu’il est un point critique de f . Preuve: Il suffit de consid´ erer la fonction d’une variable F ( x ) = f ( x,b ). Si ( a,b ) est un maximum ou minimum relatif, alors F a un maximum ou minimum relatif au point x = a . Donc F ( a ) = 0 et ceci se traduit par f x ( a,b ) = 0. De fa¸con similaire, nous avons que f y ( a,b ) = 0. Il suffit dans ce cas de consid´ erer la fonction G ( y ) = f ( a,y ). x y f ( x, y ) maximum relatif figure 6.1 39 x y f ( x, y ) figure 6.2 minimum relatif Exemples 6.1 : a) Si f ( x,y ) = x 3- xy 2 + x + y , alors pour d´ eterminer les points critiques de f , il suffit de r´ esoudre simultan´ ement les deux ´ equations suivantes: ∂f ∂x = 3 x 2- y 2 + 1 = 0 et ∂f ∂y =- 2 xy + 1 = 0 . Noter que la seconde ´ equation nous permet d’affirmer que x 6 = 0. De cette seconde ´ equation, nous pouvons donc conclure que y = 1 / 2 x . En substituant ceci dans la premi` ere ´ equation, nous obtenons 3 x 2- 1 2 x 2 + 1 = 0 ⇒ 12 x 4- 1 + 4 x 2 = 0 ⇒ 12( x 2 ) 2 + 4 x 2- 1 = 0 ⇒ x 2 =- 4 ± √ 16 + 48 24 ....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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