MAT1112_ch7_v2007 - CHAPITRE 7 Rappel sur l’int´ egrale simple Les prochains chapitres traiteront de l’int´ egration Dans un premier temps

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Unformatted text preview: CHAPITRE 7 Rappel sur l’int´ egrale simple. Les prochains chapitres traiteront de l’int´ egration. Dans un premier temps, nous rappellerons ce qu’est l’int´ egrale simple (l’int´ egration pour les fonctions d’une seule variable r´ eelle), ainsi que le th´ eor` eme fonda- mental du calcul. Ensuite nous d´ efinirons les int´ egrales multiples, surtout les int´ egrales doubles et triples; nous verrons comment les calculer au moyen d’int´ egrales it´ er´ ees, le th´ eor` eme de changement de variables pour les int´ egrales multiples, en particulier pour les coordonn´ ees cylindriques et sph´ eriques. Dans ce chapitre, nous traiterons de l’int´ egrale simple. Soient deux nombres r´ eels a,b avec a < b et une fonction f ( x ) r´ eelle d´ efinie et born´ ee sur l’intervalle ferm´ e [ a,b ], alors l’int´ egrale d´ efinie de f sur [ a,b ], que l’on note Z b a f ( x ) dx, est la limite lim n →∞ max { δ i | 1 ≤ i ≤ n }→ n X i =1 f ( x i ) δ i , pour laquelle nous consid´ erons toutes les subdivisions de l’intervalle [ a,b ] en n sous-intervalles [ a i- 1 ,a i ], dont la longueur de chacun de ceux-ci est not´ ee δ i = ( a i- a i- 1 ), en y laissant n , le nombre de ces sous-intervalles, devenir de plus en plus grand et le maximum max { δ i | 1 ≤ i ≤ n } des longueurs de ces sous-intervalles devenir de plus en plus pr` es de z´ ero; de plus, dans cette d´ efinition pour chaque i , x i peut ˆ etre n’importe quel point de l’intervalle [ a i- 1 ,a i ]. Il faut noter que l’int´ egrale d’une fonction n’existe pas toujours. En d’autres mots, la limite d´ efinissant l’int´ egrale n’existe pas toujours. Cependant il est possible de d´ emontrer que si la fonction ` a int´ egrer f ( x ) est continue sur l’intervalle [ a,b ], alors l’int´ egrale d´ efinie R b a f ( x ) dx existe. Ce que nous avons d´ efini est l’int´ egrale de Riemann et la somme ∑ n i =1 f ( x i ) δ i est une somme de Riemann. Il existe d’autres types d’int´ egrales, notamment l’int´ egrale de Lebesgue. Elles ne sont pas trait´ ees dans ces notes. Nous nous concentrerons que sur les int´ egrales d´ efinies de Riemann et, au dernier chapitre, sur les int´ egrales impropres de Riemann. Dans la partie grise de la figure 7.1, nous avons illustr´ e la somme ∑ n i =1 f ( x i ) δ i pour une subdivision de [ a,b ]. Si f ( x ) est une fonction continue sur l’intervalle [ a,b ], alors il est possible d’interpr´ eter l’int´ egrale R b a f ( x ) dx comme l’aire sign´ ee de la partie du plan comprise entre le graphe de f ( x ) et l’axe des x , la partie au-dessus de l’axe des x correspondant ` a une aire positive, la partie au-dessous de l’axe des x correspondant ` a une aire n´ egative. Nous avons illustr´ e ceci ` a la figure 7.2. Noter que l’int´ egrale d’une fonction peut ˆ etre positive, n´ egative ou nulle....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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