MAT1112_ch8_v2007 - CHAPITRE 8 Int egrales doubles. Dans ce...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 8 Int egrales doubles. Dans ce chapitre, nous d efinirons lint egrale double dune fonction f ( x,y ) sur une r egion born ee du plan et nous pr esenterons quelques-unes de ces propri et es. Ensuite nous verrons comment calculer ces int egrales au moyen dint egrales it er ees. Nous conclurons ce chapitre en discutant des coordonn ees polaires et du th eor` eme de changement de variables pour lint egrale double dans ce cas particulier. Soient R , une r egion born ee de R 2 , cest-` a-dire que R est contenue dans un rectangle suffisamment grand, et f ( x,y ), une fonction d efinie et born ee sur R . On d efinit lint egrale de f ( x,y ) sur R , que lon note ZZ R f ( x,y ) dxdy comme etant la limite lim n max { i | 1 i n } n X i =1 f ( x i ,y i ) A i , pour laquelle nous consid erons toutes les subdivisions de la r egion R en n sous-r egions: R 1 ,R 2 ,...,R n , dont le diam` etre de R i , cest-` a-dire la distance maximale entre deux points quelconques de R i , est not e i , en y laissant n , le nombre de ces sous-r egions devenir de plus en plus grand et le maximum max { i | 1 i n } des diam` etres de ces sous-r egions devenir de plus en plus pr` es de z ero; de plus dans cette d efinition, ( x i ,y i ) peut etre nimporte quel point de R i et A i est laire de la sous-r egion R i . Cette limite nexiste pas toujours. Cependant si R est une r egion born ee, f ( x,y ) est continue sur R et que le bord de R consiste en une r eunion finie de courbes continument d erivables, alors lint egrale double RR R f ( x,y ) dxdy existe. Dans ce dernier cas, il est possible dinterpr eter lint egrale double comme le volume sign e de la r egion de R 3 comprise entre le graphe de f ( x,y ) et R , la partie au-dessus du plan des x,y correspondant ` a un volume positif, la partie au-dessous du plan des x,y correspondant ` a un volume n egatif. Nous avons illustr e ceci dans la figure 8.1 ci-dessous. x y f ( x, y ) figure 8.1 59 Nous allons maintenant enum erer quelques-unes des propri etes des int egrales doubles dans la proposition ci-dessous. Elle est d emontr ee en utilisant la d efinition de lint egrale double. Proposition 8.1 : Soient R , R , deux r egions de R 2 telles que lintersection R R de celles-ci est contenue dans les bords de R et de R . Soient f ( x,y ) ,g ( x,y ) deux fonctions r eelles et a,b deux nombres r eels. Alors: a) (r` egle lin eaire) RR R ( af ( x,y ) + bg ( x,y )) dxdy = a RR R f ( x,y ) dxdy + b RR R g ( x,y )) dxdy b) RR R R f ( x,y ) dxdy = RR R f ( x,y ) dxdy + RR R f ( x,y ) dxdy si ces int egrales existent....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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