MAT1112_ch9_v2007 - CHAPITRE 9 Int egrales triples. Dans ce...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 9 Int egrales triples. Dans ce chapitre, nous d efinirons lint egrale triple dune fonction f ( x,y,z ) sur une r egion born ee de R 3 et nous pr esenterons quelques-unes de ces propri et es. Ensuite nous verrons comment calculer ces int egrales au moyen dint egrales it er ees. Nous conclurons ce chapitre en discutant des coordonn ees cylindriques et sph eriques et du th eor` eme de changement de variables pour lint egrale triple dans ces cas particuliers. Soient R , une r egion born ee de R 3 , cest-` a-dire que R est contenue dans un parall elipip` ede rectangle suffisamment grand, et f ( x,y,z ) une fonction d efinie et born ee sur R . On d efinit lint egrale de f ( x,y,z ) sur R , que lon note ZZZ R f ( x,y,z ) dxdy dz comme etant la limite lim n max { i | 1 i n } n X i =1 f ( x i ,y i ,z i ) V i , pour laquelle nous consid erons toutes les subdivisions de la r egion R en n sous-r egions: R 1 ,R 2 ,...,R n , dont le diam` etre de R i , cest-` a-dire la distance maximale entre deux points quelconques de R i , est not e i , en y laissant n , le nombre de ces sous-r egions devenir de plus en plus grand et le maximum max { i | 1 i n } des diam` etres de ces sous-r egions devenir de plus en plus pr` es de z ero; de plus dans cette d efinition, ( x i ,y i ,z i ) peut etre nimporte quel point de R i et V i est le volume de la sous-r egion R i . Cette limite nexiste pas toujours. Cependant si R est une r egion born ee, f ( x,y,z ) est continue sur R et que le bord de R consiste en une r eunion finie de surfaces lisses, alors lint egrale triple RRR R f ( x,y,z ) dxdy dz existe. Dans ce dernier cas, il est possible dinterpr eter lint egrale triple dans le cas o`u f ( x,y,z ) 0 pour tout point ( x,y,z ) de R et que lon consid` ere comme une fonction de densit e comme etant la masse de R . Il est aussi possible de v erifier ` a partir de la d efinition de lint egrale que RRR R dxdy dz est egale au volume de R . Dans ce dernier cas, la fonction ` a int egrer est la fonction constante f ( x,y,z ) = 1 et nous supposons que la r egion R est born ee et que son bord est une r eunion finie de surfaces lisses. Nous allons maintenant enum erer quelques-unes des propri etes des int egrales triples dans la proposition ci-dessous. Elle est d emontr ee en utilisant la d efinition de lint egrale triple. Proposition 9.1 : Soient R , R , deux r egions de R 3 telles que lintersection R R de celles-ci est contenue dans les bords de R et R . Soient f ( x,y,z ) ,g ( x,y,z ) deux fonctions r eelles et a,b deux nombres r eels. Alors: a) (r` egle lin eaire) RRR R ( af ( x,y,z )+ bg ( x,y,z )) dxdy dz = a RRR R f ( x,y,z ) dxdy dz + b RRR R g ( x,y,z )) dxdy dz b) RRR R R f ( x,y,z ) dxdy dz = RRR R f ( x,y,z ) dxdy dz + RRR R f ( x,y,z...
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