MAT1112_ch10_v2007 - CHAPITRE 10 Jacobien, changement de...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonn ees. Dans ce chapitre, nous allons premi` erement rappeler la d efinition du d eterminant dune matrice. Nous nous limiterons au cas des matrices dordre 2 2 et 3 3, bien que les r esultats enonc es sont vrais dans un cadre plus g en eral. Ensuite nous d ecrirons le changement de coordonn ees pour lint egrale double, triple et le cas g en eral au moyen du jacobien lui-m eme d efini comme un d eterminant. Etant donn ee une matrice A carr ee dordre ( n n ), cest-` a-dire un tableau de n rang ees et n colonnes dont les entr ees sont des nombres r eels: A = a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 ... a nn , il est possible de lui associer un nombre r eel appel e son d eterminant et not e | A | ou encore det( A ). Dans ce qui suivra, nous d efinirons le d eterminant de A pour les cas n = 2 , 3. La d efinition g en erale est pr esent ee dans un cours dalg` ebre lin eaire. Si A est une matrice carr ee dordre 2 2, cest-` a-dire que A = a b c d , alors son d eterminant est | A | = ad- bc . Exemple 10.1 : 1 2 3 4 = (1)(4)- (2)(3) =- 2 et 2 1- 1 2 = (2)(2)- (- 1)(1) = 5 . Si A est une matrice carr ee dordre 3 3, cest-` a-dire que A = a b c d e f g h i , alors son d eterminant est | A | = ( aei + bfg + cdh )- ( ceg + afh + bdi ). Noter quil existe un moyen mn emotechnique pour se rappeler cette formule. Il suffit de rajouter ` a la droite de A ses deux premi` eres colonnes pour obtenir a b c a b d e f d e g h i g h . On additionne les produits des el ements sur chacune des diagonales suivantes: a b c a b & & & d e f d e & & & g h i g h on a ( aei + bfg + cdh ) et on soustrait les produits des el ements sur chacune des diagonales suivantes: a b c a b . . . d e f d e . . . g h i g h on a- ( ceg + afh + bdi ) . 87 Exemple 10.2 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = ((1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8))- ((3)(5)(7) + (1)(6)(8) + (2)(4)(9)) = 0 et 2 3 1 1 0 2 3 1 0 = ((2)(0)(0) + (3)(2)(3) + (1)(1)(1))- ((1)(0)(3) + (2)(2)(1) + (3)(1)(0)) = 15 . Le d eterminant dune matrice a une relation avec les notions daire et de volume. Cette relation sugg` ere un lien possible avec les int egrales multiples. Illustrons cette relation dans le cas des matrices dordre 2 2 et 3 3. Proposition 10.1 : Soit A = a b c d une matrice dordre 2 2. Alors la valeur absolue | det( A ) | du d eterminant de A est egale ` a laire du parall elogramme ayant ( a,c ) et ( b,d ) comme c ot es dans R 2 . Voir la figure 10.1....
View Full Document

Page1 / 10

MAT1112_ch10_v2007 - CHAPITRE 10 Jacobien, changement de...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online