MAT1112_ch10_v2007 - CHAPITRE 10 Jacobien changement de...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonn´ ees. Dans ce chapitre, nous allons premi` erement rappeler la d´ efinition du d´ eterminant d’une matrice. Nous nous limiterons au cas des matrices d’ordre 2 × 2 et 3 × 3, bien que les r´ esultats ´ enonc´ es sont vrais dans un cadre plus g´ en´ eral. Ensuite nous d´ ecrirons le changement de coordonn´ ees pour l’int´ egrale double, triple et le cas g´ en´ eral au moyen du jacobien lui-mˆ eme d´ efini comme un d´ eterminant. Etant donn´ ee une matrice A carr´ ee d’ordre ( n × n ), c’est-` a-dire un tableau de n rang´ ees et n colonnes dont les entr´ ees sont des nombres r´ eels: A = a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 ... a nn , il est possible de lui associer un nombre r´ eel appel´ e son d´ eterminant et not´ e | A | ou encore det( A ). Dans ce qui suivra, nous d´ efinirons le d´ eterminant de A pour les cas n = 2 , 3. La d´ efinition g´ en´ erale est pr´ esent´ ee dans un cours d’alg` ebre lin´ eaire. Si A est une matrice carr´ ee d’ordre 2 × 2, c’est-` a-dire que A = a b c d , alors son d´ eterminant est | A | = ad- bc . Exemple 10.1 : 1 2 3 4 = (1)(4)- (2)(3) =- 2 et 2 1- 1 2 = (2)(2)- (- 1)(1) = 5 . Si A est une matrice carr´ ee d’ordre 3 × 3, c’est-` a-dire que A = a b c d e f g h i , alors son d´ eterminant est | A | = ( aei + bfg + cdh )- ( ceg + afh + bdi ). Noter qu’il existe un moyen mn´ emotechnique pour se rappeler cette formule. Il suffit de rajouter ` a la droite de A ses deux premi` eres colonnes pour obtenir a b c a b d e f d e g h i g h . On additionne les produits des ´ el´ ements sur chacune des diagonales suivantes: a b c a b & & & d e f d e & & & g h i g h on a ( aei + bfg + cdh ) et on soustrait les produits des ´ el´ ements sur chacune des diagonales suivantes: a b c a b . . . d e f d e . . . g h i g h on a- ( ceg + afh + bdi ) . 87 Exemple 10.2 : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = ((1)(5)(9) + (2)(6)(7) + (3)(4)(8))- ((3)(5)(7) + (1)(6)(8) + (2)(4)(9)) = 0 et 2 3 1 1 0 2 3 1 0 = ((2)(0)(0) + (3)(2)(3) + (1)(1)(1))- ((1)(0)(3) + (2)(2)(1) + (3)(1)(0)) = 15 . Le d´ eterminant d’une matrice a une relation avec les notions d’aire et de volume. Cette relation sugg` ere un lien possible avec les int´ egrales multiples. Illustrons cette relation dans le cas des matrices d’ordre 2 × 2 et 3 × 3. Proposition 10.1 : Soit A = a b c d une matrice d’ordre 2 × 2. Alors la valeur absolue | det( A ) | du d´ eterminant de A est ´ egale ` a l’aire du parall´ elogramme ayant ( a,c ) et ( b,d ) comme cˆ ot´ es dans R 2 . Voir la figure 10.1....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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