MAT1112_ch12_v2007 - CHAPITRE 12 Int egrales impropres,...

Info iconThis preview shows pages 1–2. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Unformatted text preview: CHAPITRE 12 Int egrales impropres, fonctions gamma et b eta et transform ee de Laplace. Dans ce chapitre, nous revenons aux int egrales simples, mais cette fois soit lintervalle dint egration, soit la fonction ` a int egrer, soit les deux ne sont pas born es. Toutes ces situations seront illustr ees. Deux fonctions importantes, la fonction gamma et la fonction b eta, seront d efinies au moyen dint egrales impropres. Nous etudierons ces fonctions et quelques-unes de leurs propri et es. La fonction gamma apparait dans diff erents contextes en math ematiques, par exemple en th eorie des nombres, en probabilit e, etc. Nous concluerons ce chapitre en discutant dune autre int egrale impropre: la transform ee de Laplace. A une bonne fonction, cette transform ee en associe une autre d efinie au moyen dune int egrale impropre. Il y a essentiellement deux types dint egrales impropres. Dans le premier cas, le domaine dint egration nest pas born e. Voyons donc pour d ebuter ce premier type. Supposons que f : [ a, ) R ,x 7 f ( x ) est une fonction telle que lint egrale R b a f ( x ) dx existe pour tout nombre r eel b,b a . Si la limite lim b R b a f ( x ) dx existe, on dit alors que la fonction f est int egrable sur lintervalle [ a, ) et on pose Z a f ( x ) dx = lim b Z b a f ( x ) dx. Supposons que f : (- ,b ] R ,x 7 f ( x ) est une fonction telle que lint egrale R b a f ( x ) dx existe pour tout nombre r eel a,a b . Si la limite lim a - R b a f ( x ) dx existe, on dit alors que la fonction f est int egrable sur lintervalle (- ,b ] et on pose Z b- f ( x ) dx = lim a - Z b a f ( x ) dx. Finalement supposons que la fonction f : R R est int egrable sur les intervalles [0 , ) et (- , 0], alors on dit que f est int egrable sur R et on pose Z - f ( x ) dx = Z- f ( x ) dx + Z f ( x ) dx. Dans ce dernier cas, il faut noter que Z - f ( x ) dx = lim c Z c- c f ( x ) dx. Cependant que la r eciproque est fausse, cest-` a-dire que la limite lim c R c- c f ( x ) dx peut exister, alors que la fonction f ( x ) nest pas int egrable sur R . Pour illustrer cette derni` ere remarque, il suffit de consid erer f ( x ) = x , alors Z c- c xdx = 0 pour tout c 0 et lim c Z c- c xdx = 0 . Mais il est clair que les int egrales R xdx et R xdx nexistent pas. Consid erons quelques exemples de ce premier type dint egrales impropres. Exemple 12.1 : D eterminons les nombres r eels c pour lesquels lint egrale R 1 x c dx existe et calculons cette derni` ere....
View Full Document

Page1 / 13

MAT1112_ch12_v2007 - CHAPITRE 12 Int egrales impropres,...

This preview shows document pages 1 - 2. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online