MAT1112_ch12_v2007 - CHAPITRE 12 Int´ egrales impropres...

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Unformatted text preview: CHAPITRE 12 Int´ egrales impropres, fonctions gamma et bˆ eta et transform´ ee de Laplace. Dans ce chapitre, nous revenons aux int´ egrales simples, mais cette fois soit l’intervalle d’int´ egration, soit la fonction ` a int´ egrer, soit les deux ne sont pas born´ es. Toutes ces situations seront illustr´ ees. Deux fonctions importantes, la fonction gamma et la fonction bˆ eta, seront d´ efinies au moyen d’int´ egrales impropres. Nous ´ etudierons ces fonctions et quelques-unes de leurs propri´ et´ es. La fonction gamma apparait dans diff´ erents contextes en math´ ematiques, par exemple en th´ eorie des nombres, en probabilit´ e, etc. Nous concluerons ce chapitre en discutant d’une autre int´ egrale impropre: la transform´ ee de Laplace. A une “bonne” fonction, cette transform´ ee en associe une autre d´ efinie au moyen d’une int´ egrale impropre. Il y a essentiellement deux types d’int´ egrales impropres. Dans le premier cas, le domaine d’int´ egration n’est pas born´ e. Voyons donc pour d´ ebuter ce premier type. Supposons que f : [ a, ∞ ) → R ,x 7→ f ( x ) est une fonction telle que l’int´ egrale R b a f ( x ) dx existe pour tout nombre r´ eel b,b ≥ a . Si la limite lim b →∞ R b a f ( x ) dx existe, on dit alors que la fonction f est int´ egrable sur l’intervalle [ a, ∞ ) et on pose Z ∞ a f ( x ) dx = lim b →∞ Z b a f ( x ) dx. Supposons que f : (-∞ ,b ] → R ,x 7→ f ( x ) est une fonction telle que l’int´ egrale R b a f ( x ) dx existe pour tout nombre r´ eel a,a ≤ b . Si la limite lim a →-∞ R b a f ( x ) dx existe, on dit alors que la fonction f est int´ egrable sur l’intervalle (-∞ ,b ] et on pose Z b-∞ f ( x ) dx = lim a →-∞ Z b a f ( x ) dx. Finalement supposons que la fonction f : R → R est int´ egrable sur les intervalles [0 , ∞ ) et (-∞ , 0], alors on dit que f est int´ egrable sur R et on pose Z ∞-∞ f ( x ) dx = Z-∞ f ( x ) dx + Z ∞ f ( x ) dx. Dans ce dernier cas, il faut noter que Z ∞-∞ f ( x ) dx = lim c →∞ Z c- c f ( x ) dx. Cependant que la r´ eciproque est fausse, c’est-` a-dire que la limite lim c →∞ R c- c f ( x ) dx peut exister, alors que la fonction f ( x ) n’est pas int´ egrable sur R . Pour illustrer cette derni` ere remarque, il suffit de consid´ erer f ( x ) = x , alors Z c- c xdx = 0 pour tout c ≥ 0 et lim c →∞ Z c- c xdx = 0 . Mais il est clair que les int´ egrales R ∞ xdx et R ∞ xdx n’existent pas. Consid´ erons quelques exemples de ce premier type d’int´ egrales impropres. Exemple 12.1 : D´ eterminons les nombres r´ eels c pour lesquels l’int´ egrale R ∞ 1 x c dx existe et calculons cette derni` ere....
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This note was uploaded on 11/14/2011 for the course MAT 2070 taught by Professor S.g. during the Spring '11 term at Université du Québec à Montréal.

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