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Unformatted text preview: 维普资讯 http://www.cqvip.com 第2卷 2 湖 第2   期 北 农 学 院 学 2 0 年 4月  02 报  A Dr 20 2 . 0  J u n l fH b i g iu t r l o lg   o r a    u e A rc l a- l e o   u Ce V o _ 2   No 2 l2 .  文 章 编 号 :04 3 8 ( 0 2 0 — 0 7 -0  1 0 — 88 20 ) 2 10 3 用 限 义 明 限 几种 法’ 极定证极的 方   郏 文 杰  ( 北 民族 学 院 预科 部 . 北 恩 施 4 50 ) 湖 瑚 4 0 0  摘  要 : 微 积 分 中 , 限 是 最 重 要 的概 念 之 一 , 且 微 分 、 分 、 数 等 概 念 都 是 由 极 限 来  在 极 而 积 级 定 义 的 。 因 此 , 握 好 用极 限 定 义证 明 部 分 极 限 问题 的 方 法 大 有 必 要 , 极 限 定 义 证 明 极 限 的  掌 从 方 法 的 特 点 加 以分 析 , 归 纳 总 结 出放 大 法 、 方 法 、 点 法 、 逼 法 和 反 证 法 等 5种 方 法 。 可 乘 取 夹   关 键 词 : 限 ; 义 ; 明 方 法  极 定 证 中 图分类号 : 12 0 7  文献标 识码 :   A 6 … … <E的 形 式 , 后 在 放 大 化 筒 的 不 等 式 的  < 然 1 极 限 的 定 义  基 础 上 再 讨 论 极 限证 明 问 题 。 此 类 方 法 主 要 取 决  定 义 1 设 {f ) 一 个 数 列 , 是 一 个 确 定  : _. 是 ). A 于 绝 对 值 不 等 式 放 大 的 程 度 , 大 放 小 都 不 易 得  放 的数 , 对 任 给 的正 数 e 总 存 在 某 一 个 自然 数  若 . 出结果 , 有 适 度 放 大才 能 使 解题 化 繁 为筒 。在  只 N, 得 当 n N 时 . 有 I —A I £则 称 数列  使 > 都 .    < , 各类 型的极 限证 明中此 类方法 较 常见 。   {   收敛 于 A . 称 为 它 的极 限。并 记 作 l X X) A i  m t   ∞ 例 l 证 明l  ̄- l 其 中 “ 1 i =, m >    n  一 A.   函数 , 是 一 个 定 数 , 对 任 给 正 数 e 总 存 在 正   A 若 , 数 _ . 得适 台 I I _ 的一切 X对应 的 函数值  )使 f X >) f 得  Ⅱ ( +n  l   一 l  ( 一 1 或  = 1 )≥ + +Ⅱ ) ,( ) 有 不 等式 I () A l E 成 立 则 常 数 A  恒 ,  一 < ,   就 叫 函数 Y一 ,  ) 当  一 。 时 的 极 限 , 作 l f (, 。 记 i  m …   口 ÷一 l a 1 < -  对 VE O 总 ]~ ( N - E - 1 ) 则 当 n    , > 取 "  3 > , ( ) A   一 E   定 义 3设 , ) 点 x 的某 个 空 心 领 域 内 : (在 o   N 时 . 有 a 一l e即 I÷一l <e 就   <, “    I 有定 义 , 果 VE O 总存在 > 0对 于遥 台 不 等  如 >, , .  式 0 I一 如 <  的一 切  所对 应 的 函 数值 恒  <  有不 等式 I ( ) A I E 立 , 常数 A 就 叫做  fx 一 < 成 则 函数   一 , ) 当  —   时 的 极 限 , 作 l f x    , 。 记 i () m ’   A  l  ̄- 1 (>1  i= m a) ∞   2 2 乘 方 法  . 乘 方 法 主 要 是 针 对 带 根 号 的 函数 极 限 证 明 问  题 , 且 其 中 变 量  一 般 是 趋 近 于 0 对 于 此 类 极  并 , 限 问题 首 先 必 须 将 函 数 中 根 号 通 过 乘 方 去 掉 ,   然 2 用 极 限 定 义 证 明 极 限 问 题 的 方 法    2 l 放 大 法  、 放 大 法 是 将 定 义 中 的 绝 对 值 不 等 式  I   Af e I ( ) A I E 当放大 , 化 为 _ 一 < 或 ,  一 < 适 ) f 转   I   A I m<n … …<E l ( ) A I d   _一 < ) f < 或 fx 一 < < ・   证 : a 一 l a 则 a 0 由 伯 努 利 不 等 式 推  令 ÷ =, >. 定 义 2 设 ,( ) 定 义 在 ( 。 , 。 ) 的  :  为 一 。 + 。上 一 ∞ 后 再 按 极 限 定 义 证 明 的方 法 讨 论 该 极 限 问题 。   例 2 证 明l  ̄ - o i =  m 0   证 明 : V > o 要 使  对  a, I 一 } l l e 立, 需 拓 0= 扛 < 成 只   I I I—o <e X=  I  收 稿 日期 :0 1 1 — 1  20— 2 7 作 者 简 介 : 文 杰 ( 9 q ) 男 . 北 成 宁市 人 , 北 民族 学 院 预 科 部 讲 师  郑 17 一 , 瑚 湖 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 2期  郑 文 杰 : 极 限 定 义 证 明极 限的 几 种 方 法  用 取 —e, 0 I 一0 <  e 时 ,    当 < z I =   则 1 一0 <e 立 。 0 E l成  . 证 明 :   > 1时 , > 1 记 n 一  = 1 h 当   ,   +  (  0 , 有  ^> )则 1  ̄ 一0 ix   m n (+   一1 n   兰   ^+ = 1 ^) + ^+ ; 三     一0   2 3 取 点 法  . 取 点 法 一 般 先 在 变 量 z 的 变 化 范 围 内 先 取  … 定 一 个 或 几 个 不 同 的 值 , 在 取 定 的 值 的范 围 内  再 值 而得 到所 要证 明 的结果 。   例 3 求证 l z =4 i   m 证 : 为 z 一2 所 以不妨 设 I 一( 2 l   因 一 . z - )— +^≥丛兰   : : ; 于 有≤ = k l   是 l 1 ≤+ n+ √ 下 (   )  证1 = 十 √1 VE 0要 使   , > I +2 < 1从 而有 I 一2 < 5 z I. z I  于 是 l 一4 = I 一2 ・ I +2 < 5   I .】 r zI  l 一= l -- 恬l<  s   I +2I e z <  因 此 ,V > 0 要 使 j 一4 < e 只 要    E ,   1, … 0 ≤  ≤√ k 讨 论 该 极 限 问 题 , 后 将 所 得 结 果 和 原 先 取 定 的  然 z 的 变 化 范 围 相 比较 , 后 取 z 的 最 大 值 或 最 小  最 ll 7  即  >  + 1   I +2 <  , I +2 < 1 xI 又x I   取 N = [ + 1 ,当  > N 时 ,就 有    1 即 要 ¥ mn ,} 只 取 = i{   lJ    当 o l +2 < 8时 ,  一4 < e成 立 ,   <z l l l 故 I 一< 立 - -e     {成 lr  一 4 i a   一 , ●    2   注 : 此 题 中 , 取 定 l+2 < 1 其 实 已取  在 先 zI, ^ +高    √ 定 了 z 的 某 一 个 变 化 范 围 , 这 个 范 围 内 先 讨 论  在 再 由 夹 逼 定 理 , 得  可 该极 限 的证 明问题 , 后将 所 得结 果 和 原先 取 定  然 l  ̄- 1 i 一  m 的 z变化 范 围 ( I +2 < 1 相 比较 , 最小 值  即z f ) 取 则该 极 限问题 得证 。   e 4 夹 逼 法  . 2 5 反 证 法  . 反 正 法 主 要 是 为 了解 决 数 列 不 收 敛 — — 即发  散 的 问题 , 它 的 根 本 方 法 也 是 利 用 极 限 定 义 ,   但 掌 夹 逼 法 通 常 是 将 要 证 明 的极 限 问 题 构 造 成 夹  握好 此类 方法 , 仅 对初学 者 学好 极 限大有 益处 , 不   逼 不 等 式 的 形 式 , 后 利 用 已证 明 的 极 限 和 夹 逼   然 而且从 另一个 侧面 也加深 了我 们对 极 限定 义的认  定理 来得 到所 要证 明 的结果 。   识 和理 解 。   定 理 ( 逼定 理 ) 若在 o I —z I y内 夹 < z 。<   恒 有  例 5 数列不 能 收敛 于两个 不 同的 极 限【   一   证 : 证 法  反 g( ) ,( ) ^ z) x≤ z≤ (   假 设 同 时 有 z 一 Ⅱ及 z 一 6 且 a b 取 E       . <, = 且 l g x 一 l h z 一A,则 l , z 一 A i ( ) i () m m i ()   a r 一   0  一  0   , 因为 l   一n 故存在 正整 数 N 使得 对 于  i m , , 证明,  。 略 ]  由于 夹 逼 定 理 的 证 明 过 程 也 是 运 用 了极 限 定  义 , 么 通 过 夹 逼 定 理 也 同 样 可 以 证 明 许 多 相 关  那 的极 限 问题 , 运 用 夹 逼 法 时 , 造 夹 逼 不 等 式 是  在 构 最 关 键 的一 环 , 一 环 节 处 理 得好 . 杂 的证 明 问  这 复 题 也 就 迎 刃 而 解 .此 类 方 法 对 n o , 一 。 , —  — 。 z 。z z 的情形都 能 成立 。 。   例 4 l  ̄ =1  in   m n N  一 切 z , 等 式   > 的  不 z 一n <   I 成立 , 理 , 为 l x 一 b故 存 在 正 整 数 M ,   同 因 i  . m 使 得 对 于 n N2的 一 切  , 等 式   > 不 I. 6 <  x- f () 2  成 立 , N— ma (   Nz , 当 n N 时 ,1 式  取 x N . }则 > () 维普资讯 http://www.cqvip.com 湖 北 农 及() 向 廊巫 , 由() 有 < 2式 对 但 1式     , () 由2   式 有  >  , 个 矛盾 证 明了本定 理 的断 言 a 这   学 院 学 报  Z 0 年  02 法 。有 时 , 个 极 限 证 明 问 题 往 往 是 几 种 方 法 揉   一 和在一 起 的 , 需 要初学 者 的 细致观察 和 总结 ,   这 相 信大家 只要 在 实践 中摸 索 , 学 者一 定能 学好它 , 初   并能熟 练运 用 、 握 . 掌   以 上 几 种 方 法 , 用 定 义 证 明 极 限 的 题 型 中  在 常 见 , 是 , 人 到 具 体 问 题 存 在 着 不 同 技 巧 和 方  但 涉 参 考文献 :   [3 华 东师 范 太 学教 学 乐. 学分 析 ( 二 版 )M] 北 京 : 等教 育 出版社 ・9 1 3  ̄ 3 ,4 1 教 第 [. 高 19 .3 4 6 ・   [3 同济 太 学教 学教 研 宣. 等 教 学( 四版 )M] 北 京 : 等教 育 出版 社 t9 6 3 . 2  高 第 [. 高 19 - 9   M e h d   f Li i  r v n   y U s n   h   e i ii n o   i i  t o s o   m t P o i g b   i g t e D f n to   f L m t Z E   e -e H N W nj  i ( r p r t  De a t e t H u e  n t u ef rNa in lte , nhiH u e  4 0 0, h n ) P e8ao p rm n , b iI si t  o   to a iis E s , b i 5 0 C i a   t 4 Ab ta t Li i i  n   f h   o ti p r a tc n e t     ac l s Co c p s s c   sd fe e t l a   sr c ! m t so e o   e m s m o t n   o c p s i c l u u . n e t  u h a   i r n a  l   t n f ic c l s i t g a  ac l s a d p o r s in, r   l d f e   y l i S ,ts r t e   e e s r   o m a t r a u u .n e r lc l u u   n   r g e so a e a l e i d b   i t o i’  a h r n c s a y t     n m. se    fw  eh d   f r vn   o el i p o lms Bya ay i gt ec a a trsiso i i p o ig b   sn   e m t o so  o i gs m   m t r be .   n lzn  h  h r ce it   f m t r vn   y u i g p i  c l   t e d fn t0   f n ; , f e m e h d   o p o e l i , m p iy n , u t l i g a o tn , q e zn   n   h   ei i n o   m t i   t o s t  r v  i t a l ig m l p yn , d p i g s u e i g a d i v m f i d s r v n   e e c n l d d  ip o i g w r   o cu e . 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