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Análisis Funcional Álvaro Rovella Andrés Sambarino 31 de agosto de 2005
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Índice general 1. Espacios vectoriales topológicos 2 1.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Topologías lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Topologías débiles 14 2.1. Construcción de topologías localmente convexas . . . . . . . . . . 14 2.2. Topologías débil y débil estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Convexos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3. Espacios de Hilbert 24 3.1. Teoría Básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2. El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4. Operadores 31 4.1. Acotación uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2. Aplicación abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3. Gráfico cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5. Fredholm y operadores compactos 37 5.1. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2. Perturbados compactos de la identidad . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.3. El álgebra de Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6. Teorema Espectral 44 6.1. Operadores normales y autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7. Teorema de Lomonosov 49 7.1. Teorema de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.2. Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 A. Teorema de von-Neumann 53 1
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Capítulo 1 Espacios vectoriales topológicos 1.1. Espacios vectoriales Un espacio vectorial es un grupo abeliano sobre el cual actúa un cuerpo. Básicamente tenemos un conjunto X , un cuerpo K y dos operaciones, suma, + : X × X -→ X , y producto por escalares, · : K × X -→ X que verifican ciertas propiedades. Si tenemos un subconjunto, { x i } i I , de un espacio vectorial X el espacio generado por él es { x i } i I = j J a j x j : a j K y J I finito En pocas palabras, el espacio generado por { x i } es el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de { x i } con escalares en K . Una base algebraica, o de Hamel, de un espacio vectorial es un subconjunto linealmente independiente, que genera todo el espacio. El siguiente teorema se prueba a partir del lema de Zorn. Teorema 1.1. Todo espacio vectorial tiene una base y dado cualquier subcon- junto L.i. hay una base que lo contiene. Definición 1.1. Sea X un espacio vectorial, la dimensión de X es el número de elementos de una base y la notamos dim X. A partir de ahora siempre nos referiremos a K como R o C , y a X como un espacio vectorial, o sea, siempre estaremos asumiendo que X es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales o de los complejos. 2
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CAPÍTULO 1. ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS 3 Definición 1.2. Sea X un espacio vectorial. X , el dual algebraico, es el con- junto de todas las funcionales lineales en X , o sea X = { ϕ : X -→ K lineal } Obviamente es también un espacio vectorial de modo que podemos llamar X , el bidual algebraico de X , al dual algebraico de X . Ejercicio. Sea J : X -→ X dada por J ( x )( ϕ ) = ϕ ( x ) , probar que J es lineal e inyectiva y es sobreyectiva si y solo si X tiene dimension finita. Dada una base algebraica { x α } α I de un espacio vectorial X , y dado un conjunto { b α } α I K existe una única funcional lineal tal que ϕ ( x α ) = b α α I. El conjunto dual de una base { x α } α I es { ϕ α } α I tal que ϕ α ( x β ) = δ αβ = 1 si α = β 0 en otro caso { ϕ α } es claramente L.i. pero si X tiene dimensión infinita no genera X .
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  • Spring '11
  • pedro
  • Espacio de Hilbert, Espacio vectorial, Producto escalar, Aplicación lineal, Espacio vectorial normado, Topología

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