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lecture_27 (dragged) 2 - MA 36600 LECTURE NOTES WEDNESDAY...

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Unformatted text preview: MA 36600 LECTURE NOTES: WEDNESDAY, APRIL 1 3 where ￿ ￿ y1 (τ ) ··· ￿ ￿ (1) ￿ y (τ ) ··· n ￿1 ￿ 1 ￿ n+i ￿ ￿ K (τ , t) = · (−1) yi (t) ￿ . .. . ￿ W y1 , y2 , . . . , yn (τ ) . . i=1 ￿ ￿ (n−2) ￿y (τ ) · · · ￿1 ￿ ￿ ￿ y1 (τ ) y2 (τ ) ￿ ￿ (1) (1) ￿ y (τ ) y2 (τ ) ￿1 ￿ 1 ￿ . . . . ￿ =￿ ￿ . . W y1 , y2 , . . . , yn (τ ) ￿ ￿ (n−2) (n−2) ￿y (τ ) y2 (τ ) ￿1 ￿ ￿ y1 (t) y2 (t) ··· ··· .. . ··· ··· yi−1 (τ ) (1) yi−1 (τ ) yi+1 (τ ) (1) yi+1 (τ ) . . . (n−2) . . . (n−2) ··· ··· .. . yi−1 (τ ) yi+1 (τ ) · · · ￿￿ Wi ( τ ) ￿ yn (τ ) ￿ ￿ ￿ (1) yn (τ ) ￿ ￿ ￿ ￿ . . ￿. . ￿ ￿ (n−2) yn (τ )￿ ￿ ￿ yn (t) ￿ ￿ yn (τ ) ￿ ￿ ￿ (1) yn (τ ) ￿ ￿ ￿ ￿ . . ￿ . ￿ ￿ (n−2) yn (τ )￿ ￿ ￿ Example. We wish to find the general solution to the differential equation y (3) − 3 y (2) + 3 y (1) − y = 4 et . We saw before that a fundamental set of solutions {y1 , y2 , y3 } corresponds to y1 (t) = et , y2 (t) = t et , and y3 (t) = t2 et . We compute the determinants ￿ ￿ ￿τ ￿ ￿y1 (τ ) y2 (τ ) y3 (τ )￿ ￿e ￿ τ eτ τ 2 eτ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿τ ￿ ￿ τ 2 τ￿ ￿y1 (τ ) y2 (τ ) y3 (τ )￿ ￿e (1 + τ ) e (2 τ + τ ) e ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿2 ￿ ￿2 ￿ y (t) y (t) y (t) ￿ ￿ et ￿ t et t2 et τ − t et+2τ τ − t −(τ −t) 1 2 3 K (τ , t) = ￿ = e . ￿=￿τ ￿= 2 e3τ 2 ￿ y1 (τ ) y2 (τ ) y3 (τ ) ￿ ￿e ￿ τ eτ τ 2 eτ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿￿ ￿ ￿τ ￿ ￿ ￿ (2 τ + τ 2 ) eτ ￿ ￿ y1 (τ ) y2 (τ ) y3 (τ ) ￿ ￿e (1 + τ ) eτ ￿ ￿ ￿ ￿ ￿y ￿￿ (τ ) y ￿￿ (τ ) y ￿￿ (τ )￿ ￿eτ (2 + τ ) eτ (2 + 4 τ + τ 2 ) eτ ￿ 1 2 3 We find the integral ￿ ￿2 ￿ ￿￿ ￿t ￿t ￿ τ − t −(τ −t) G(τ ) 13 2 τ t 2 2￿ Y (t) = K (τ , t) dτ = 4e · e · dτ = 2 e τ −τ t+τt ￿ = t3 et . P0 (τ ) 2 3 3 τ =t Hence the general solution to the nonhomogeneous equation is ￿3 ￿ ￿ ￿ ￿ 2 y (t) = Ci yi (t) + Y (t) = C1 + C2 t + C3 t2 et + t3 et . 3 i=1 ...
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This note was uploaded on 11/30/2011 for the course MATH 366 taught by Professor Edraygoins during the Spring '09 term at Purdue.

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