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7_probabilidad - Probabilidad Ernesto Mordecki 2 de mayo de...

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Probabilidad * Ernesto Mordecki ** 2 de mayo de 2007 ´ Indice 1. Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´on cl´ asica de pro- babilidad 2 1.1. Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Definici´ on cl´ asica de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Combinatoria y aplicaciones a la probabilidad 6 2.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Regla de la suma y otras propiedades de la probabilidad 9 3.1. Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2. Regla de la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Propiedades de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Probabilidad condicional. F´ ormula de la probabilidad total. ormula de Bayes. 13 5. Sucesos independientes 16 6. Paseo al azar sim´ etrico. Experimentos de Bernoulli y pro- babilidades binomiales 17 6.1. Probabilidades Binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 * Preparadas pensando en el Programa de matem´atica de 2 o a˜no de Bachillerato del N´ucleo Com´un - Reformulaci´on 2006 ** Facultad de Ciencias, Centro de Matem´atica: [email protected] 1
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7. Ejercicios 20 8. Bibliograf´ ıa 24 1. Experimentos aleatorios y sucesos. Definici´on cl´ asica de probabilidad 1.1. Experimentos aleatorios Las probabilidades aparecen asociadas a los fen´omenos aleatorios. Un fen´ omeno aleatorio es aquel en el cual la verificaci´ on de un cierto conjun- to de condiciones determinadas conduce a un resultado entre una serie de resultados posibles. Llamamos experimento aleatorio a ese conjunto de con- diciones determinadas. Por contraposici´ on, los fen´ omenos determ´ ısticos , o no aleatorios son aquellos en los que la verificaci´ on de un cierto conjunto de condiciones determinadas conduce, en forma inevitable, a un resultado fijo. Como ejemplos: tirar una moneda al aire y observar la cara que presenta al caer al piso es un experimento aleatorio (tenemos dos resultados posibles: cara y n´umero); mientras que enfriar agua hasta cero grados cent´ ıgrados bajo presion atmosf´ erica normal es un fen´omeno determin´ ıstico (conduce inequ´ ıvocamente a la formaci´ on de hielo). 1.2. Sucesos Consideremos un experimento aleatorio, y designemos mediante la letra griega may´uscula Ω (Omega) el conjunto de todos sus resultados posibles. Llamamos a este conjunto Ω espacio de sucesos elementales , y a sus puntos sucesos elementales o tambi´ en casos posibles . Suponemos que Ω es un con- junto finito y utilizamos la letra n para designar su cantidad de elementos. Ejemplo 1 . Si tiramos una moneda al aire, tenemos un experimento aleatorio con Ω = { cara , n´umero } , y resulta n = 2. Ejemplo 2 . Si tiramos un dado, tenemos seis resultados posibles, Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } y en este caso n = 6. 2
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Ejemplo 3 . Si lanzamos un dado dos veces consecutivas, tenemos 36 casos posibles, resultantes de combinar el primer resultado con el segundo, que podemos representar en la siguiente tabla: (1 , 1) (1 , 2) (1 , 3) (1 , 4) (1 , 5) (1 , 6) (2 , 1) (2 , 2) (2 , 3) (2 , 4) (2 , 5) (2 , 6) (3 , 1) (3 , 2) (3 , 3) (3 , 4) (3 , 5) (3 , 6) (4 , 1) (4 , 2) (4 , 3) (4 , 4) (4 , 5) (4 , 6) (5 , 1) (5 , 2) (5 , 3) (5 , 4) (5 , 5) (5 , 6) (6 , 1) (6 , 2) (6 , 3) (6 , 4) (6 , 5) (6 , 6) donde, por ejemplo, el caso (3 , 4) representa el resultado correspondiente a obtener 3 puntos en la primer tirada y 4 en la segunda.
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