Chapter4 - 4.0 AYRIK FOURIER DNM (DFT) 4.1 Frekans Uzaynda...

Info iconThis preview shows pages 1–3. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
4.0 AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT) 4.1 Frekans Uzayında Örnekleme ve Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık zamanlı sonlu enerjiye sahip işaretlerin frekans uzayında sürekli bir spektruma sahip olduklarını ve Fourier dönüşümlerinin -∞ = - = n n j e n x X ] [ ) ( (4.1) şeklinde elde edildiğini hatırlayalım. Ancak, sayısal yöntemler kullanılarak Fourier dönüşümünü ’nın tüm sürekli değerleri için hesaplamak imkansızdır. Bunun çözümü ise Fourier dönüşümünü ’nın yalnızca belli ayrık değerleri için hesaplamaktır. Fourier dönüşümü, 0 ≤ ≤ 2 π aralığında birbirinden eşit uzaklıkta N nokta için hesaplanırsa, 1 ,..., 2 , 1 , 0 , ] [ ) 2 ( 2 - = = -∞ = - N k e n x k N X n kn N j π (4.2) Şekil 4.1 - Frekans-uzayında örnekleme elde edilir. Ayrıca, gerçek zamanda karşılaştığımız tüm işaretlerin sınırlı bir aralıkta tanımlı olduklarını düşünürsek (4.2), 1 ,..., 2 , 1 , 0 , ] [ ) 2 ( 2 1 2 - = = = - N k e n x k N X n n n kn N j (4.3) olarak yazılabilmektedir. Şimdi, n = 0, 1, . .. , N – 1 için tanımlı bir x [ n ] işaretini ele alalım. Bu işaretin Fourier dönüşümü, 0 ≤ ≤ 2 π aralığında birbirinden eşit uzaklıkta N nokta için, 1 ,..., 2 , 1 , 0 , ] [ ) 2 ( 1 0 2 - = = - = - N k e n x k N X N n kn N j (4.4) ... 0 - π - π X( ) 2 π N 4 π N 6 π N -6 π N -4 π N -2 π N ... 68
Background image of page 1

Info iconThis preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full DocumentRight Arrow Icon
olarak bulunur. Eşitliğin sol tarafındaki ) 2 ( k N X π ’yı X [ k ] olarak tanımlarsak, 1 ,..., 2 , 1 , 0 , ] [ ] [ 1 0 2 - = = - = - N k e n x k X N n kn N j (4.5) şeklinde ayrık Fourier dönüşümünün (DFT) formülünü elde etmiş oluruz. O halde, n = 0, 1, . .. , N – 1 için tanımlı herhangi bir x [ n ] işaretinin ayrık Fourier dönüşümü, işaretin ayrık zamanlı Fourier dönüşümünün 0 ≤ ≤ 2 π aralığında birbirinden eşit uzaklıktaki N örnek değerine eşittir: 1 ,..., 2 , 1 , 0 , | ) ( ] [ / 2 - = = = N k X k X N k (4.6) Ters DFT, 1 ,..., 2 , 1 , 0 , ] [ 1 ] [ 1 0 2 - = = - = N n e k X N n x N k kn N j (4.7) olarak tanımlanmaktadır. Örnek 4.1 : x [ n ] = [0, 1, 2 , 3] olarak verilen işaretin ayrık Fourier dönüşümünü hesaplayalım. 3 , 2 , 1 , 0 , ] [ ] [ 3 0 4 / 2 = = = - k e n x k X n nk j 6 3 2 1 0 ] [ ] 0 [ 3 0 = + + + = = = n n x X j j j e e e e n x X j j j n n j 2 2 3 2 3 2 ] [ ] 1 [ 2 / 3 2 / 3 0 2 / + - = + - - = + + = = - - - = - 2 3 2 1 3 2 ] [ ] 2 [ 3 2 3 0 - = - + - = + + = = - - - = - j j j n n j e e e e n x X j j j e e e e n x X j j j n n j 2 2 3 2 3 2 ] [ ] 3 [ 2 / 9 3 2 / 3 3 0 2 / 3 - - = - - = + + = = - - - = - X [ k ] = [6, -2 + 2 j , -2 , -2 - 2 j ] n = 0, 1, . .. , L – 1 için tanımlı herhangi bir x [ n ] işaretinin L -noktalı DFT’si hesaplanabileceği gibi N -noktalı ( L N ) DFT’si de hesaplanabilir. DFT’nin işaretin ayrık zamanlı Fourier dönüşümünün (DTFT) 0 ≤ ≤ 2 π aralığında birbirinden eşit uzaklıktaki örnek değerlerine
Background image of page 2
Image of page 3
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

Page1 / 15

Chapter4 - 4.0 AYRIK FOURIER DNM (DFT) 4.1 Frekans Uzaynda...

This preview shows document pages 1 - 3. Sign up to view the full document.

View Full Document Right Arrow Icon
Ask a homework question - tutors are online